Как найти вектор левой тройки - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правая и левая тройки векторов

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

Антикоммутативность
Свойство дистрибутивности

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Определение правой и левой тройки векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие тройки векторов

Из курса физики известно, что скалярные величины или скаляры — это величины, вполне определяемые одним численным значением (например, масса, температура, объём, расстояние и пр.). То есть любое вещественное число является скаляром.

Векторные величины или векторы — это величины, которые определяют и численным значением, и направлением. Например, скорость.

Линейно зависимыми называются такие векторы $a,b,c. $, что если подобрать такие числа $x,y,z. $, из которых по крайней мере одно не равно $0$, то будет иметь место тождество $xa+yb+zc+. =0$. Если три вектора $a,b,c$ не равны $0$ и линейно зависимы, то они компланарны.

Связка трёх векторов — это приведённая к общему началу тройка некомпланарных векторов $a,b,c$.

Определение правой и левой тройки векторов

Приведём чертёж правой связки.

Рисунок 1. Чертёж правой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим кратчайшее вращение $vec=a$ к $vec=b$ на плоскости $OAB$ со стороны направления $vec=c$. Мы увидим, что вращение идёт против часовой стрелки.

Если большой палец и указательный пальцы левой руки вытянуть, а средний согнуть под углом ладони, то три пальца в порядке большой-указательный-средний составят правую связку. Те же пальцы на левой руке составят левую связку.

На чертеже левой связки то же вращение идёт по часовой стрелке.

Рисунок 2. Чертеж левой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

Способы преобразования правой связки в левую и обратно:

перестановка местами двух любых векторов;
изменение знака при одном из векторов;
замена какого-нибудь вектора его зеркальным отображением относительно плоскости двух других векторов.

Правая и левая системы координат

Напомним, что координатная ось — это ось, на которой выбрано начало и единица масштаба.

Ортогональная или прямоугольная система координат в пространстве — это система из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей $Ox, Oy$ и $Oz$ с общим началом $O$. Ортами в ортогональной системе координат называют единичные векторы (то есть векторы равные $1$).

Рассмотрим чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Отметим на ней орты $i, j, k$.

Рисунок 3. Чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$i, j, k$ образуют правую связку. Система координат в данном случае называется правой.

Система координат называется левой, когда орты образуют левую связку. То есть:

Рисунок 4. Левая система координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Подведём итог. В статье мы дали определение связки тройки векторов, описали правую и левую тройку векторов, а также правую и левую систему координат, как вытекающую тему из определения правой и левой тройки векторов. Стоит сказать, что на практике определение правой и левой тройки векторов со временем происходит интуитивно или «на автомате». Самое важное, это один раз понять, как это делается. Также стоит заметить, что чаще в задачах используется всё-таки правая тройка векторов и соответственно правая система координат.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/vektornoe-proizvedenie-vektorov

http://spravochnick.ru/matematika/opredelenie_pravoy_i_levoy_troyki_vektorov/

Источник

Три некомпланарных вектора $overline{a}$,
$overline{b}$ и $overline{c}$, приведенных к общему началу, образуют так
называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов $overline{a}$, $overline{b}$ и $overline{c}$ называется левой, если
поворот от вектора $overline{a}$ к вектору $overline{b}$, видимый с конца третьего вектора $overline{c}$,
осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов $overline{a}$, $overline{b}$ и $overline{c}$ называется правой, если
поворот от вектора $overline{a}$ к вектору $overline{b}$, видимый с конца третьего вектора $overline{c}$,
осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Понятие тройки векторов

Линейно зависимыми называются такие векторы $a,b,c,…$, что если подобрать такие числа $x,y,z,…$, из которых по крайней мере одно не равно $0$, то будет иметь место тождество $xa+yb+zc+…=0$. Если три вектора $a,b,c$ не равны $0$ и линейно зависимы, то они компланарны.

Определение 1

Связка трёх векторов — это приведённая к общему началу тройка некомпланарных векторов $a,b,c$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение правой и левой тройки векторов

Приведём чертёж правой связки.

Рисунок 1. Чертёж правой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим кратчайшее вращение $vec{OA}=a$ к $vec{OB}=b$ на плоскости $OAB$ со стороны направления $vec{OC}=c$. Мы увидим, что вращение идёт против часовой стрелки.

На чертеже левой связки то же вращение идёт по часовой стрелке.

Рисунок 2. Чертеж левой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Определение правой и левой тройки векторов» 👇

Способы преобразования правой связки в левую и обратно:

перестановка местами двух любых векторов;
изменение знака при одном из векторов;
замена какого-нибудь вектора его зеркальным отображением относительно плоскости двух других векторов.

Правая и левая системы координат

Напомним, что координатная ось — это ось, на которой выбрано начало и единица масштаба.

Рассмотрим чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Отметим на ней орты $i, j, k$.

$i, j, k$ образуют правую связку. Система координат в данном случае называется правой.

Система координат называется левой, когда орты образуют левую связку. То есть:

Рисунок 4. Левая система координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

{displaystyle left|mathbf {c} right|=left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right||sin varphi |}

Обозначение:

{displaystyle mathbf {c} =left[mathbf {a} mathbf {b} right]=left[mathbf {a} ,;mathbf {b} right]=mathbf {a} times mathbf {b} }

В различных учебных заведениях определение векторного произведения даётся по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах. А далее выводится данное выше определение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

{displaystyle [mathbf {a} ,;mathbf {b} ]=S,mathbf {e} }

${displaystyle left[mathbf {a} ,;mathbf {c} right]=mathrm {Pr} _{mathbf {e} },mathbf {a} left|mathbf {c} right|mathbf {g} .}$

Алгебраические свойства векторного произведения

Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

${displaystyle mathbf {a} =left{a_{x},;a_{y},;a_{z}right}}$

${displaystyle mathbf {b} =left{b_{x},;b_{y},;b_{z}right}}$

то иx векторное произведение имеет вид

${displaystyle [mathbf {a} ,;mathbf {b} ]=left{a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}right}.}$

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель :

${displaystyle [mathbf {a} ,;mathbf {b} ]={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \a_{x}&a_{y}&a_{z}\b_{x}&b_{y}&b_{z}end{vmatrix}}}$

или

${displaystyle [mathbf {a} ,;mathbf {b} ]_{i}=sum _{j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

где ${displaystyle varepsilon _{ijk}}$ — символ Леви-Чивиты.

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , , — стандартные обозначения для ортов в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между , , и соответствуют правилам умножения для кватернионов , , и . Если представить вектор ${displaystyle [a_{1},;a_{2},;a_{3}]}$ как кватернион ${displaystyle a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}$ , то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} =[mathbf {a} ]_{times }mathbf {b} ={begin{bmatrix},0&!-a_{3}&,,a_{2}\,,a_{3}&0&!-a_{1}\-a_{2}&,,a_{1}&,0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}end{bmatrix}}}$

${displaystyle mathbf {b} times mathbf {a} =mathbf {b} ^{T}[mathbf {a} ]_{times }={begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix},0&!-a_{3}&,,,a_{2}\,,,a_{3}&,0&!-a_{1}\-a_{2}&,,a_{1}&,0end{bmatrix}}}$

где

${displaystyle [mathbf {a} ]_{times }{stackrel {rm {def}}{=}}{begin{bmatrix},,0&!-a_{3}&,,,a_{2}\,,,a_{3}&0&!-a_{1}\!-a_{2}&,,a_{1}&,,0end{bmatrix}}}$

Пусть равен векторному произведению:

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {c} times mathbf {d} }

тогда

${displaystyle [mathbf {a} ]_{times }=(mathbf {c} mathbf {d} ^{T})^{T}-mathbf {c} mathbf {d} ^{T}.}$

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь независимых компонент в -мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

${displaystyle [mathbf {a} ]_{times },mathbf {a} =mathbf {0} }$

и ${displaystyle mathbf {a} ^{T},[mathbf {a} ]_{times }=mathbf {0} }$

а так как ${displaystyle [mathbf {a} ]_{times }}$ кососимметрична, то

${displaystyle mathbf {b} ^{T},[mathbf {a} ]_{times },mathbf {b} =0.}$

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В 3-хмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу как столбец векторов, тогда

${displaystyle {begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}\{vec {a}}_{2}\{vec {a}}_{3}end{bmatrix}}times {vec {b}}={begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}times {vec {b}}\{vec {a}}_{2}times {vec {b}}\{vec {a}}_{3}times {vec {b}}end{bmatrix}}}$

${displaystyle {begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}\{vec {a}}_{2}\{vec {a}}_{3}end{bmatrix}}cdot {vec {b}}={begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}cdot {vec {b}}\{vec {a}}_{2}cdot {vec {b}}\{vec {a}}_{3}cdot {vec {b}}end{bmatrix}}}$

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например ( — матрица, , — векторы):

{displaystyle Acdot ({vec {x}}times {vec {y}})=(Atimes {vec {x}})cdot {vec {y}}}

{displaystyle Atimes ({vec {x}}times {vec {y}})={vec {x}}(Acdot {vec {y}})-{vec {y}}(Acdot {vec {x}})}

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

{displaystyle {vec {x}}times {vec {y}}=Ecdot ({vec {x}}times {vec {y}})=(Etimes {vec {x}})cdot {vec {y}}}

— единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ примет вид:

${displaystyle int limits _{Sigma }operatorname {rot} ,mathbf {A^{T}} ,mathbf {dSigma } =int limits _{partial Sigma }mathbf {A} cdot ,dmathbf {r} ,}$

где ротор матрицы вычисляется как векторное произведение матрицы на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

${displaystyle int limits _{Sigma }operatorname {grad} ,utimes ,mathbf {dSigma } =int limits _{partial Sigma }u,dmathbf {r} ,}$

${displaystyle int limits _{Sigma }left[mathbf {dSigma } ;left[nabla ;{vec {a}}right]right]=int limits _{partial Sigma }{vec {a}}times dmathbf {r} .}$

Размерности, не равные трём

Пусть — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение ${displaystyle mathbb {R} ^{D}times mathbb {R} ^{D}to mathbb {R} ^{D}}$ , можно ввести только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в -мерном пространстве на операцию с сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты ${displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}ldots i_{D}}}$ с индексами, можно явно записать такое -валентное векторное произведение как

${displaystyle P_{i}(mathbf {a,;b,;c,;ldots } )=sum _{i,;j,;k,;m,;ldots =1}^{D}varepsilon _{ijkldots }a_{j}b_{k}c_{m}ldots }$

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности .

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

${displaystyle P_{ij}(mathbf {a,b} )=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая эта операция называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат можно отождествить с псевдоскаляром.

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ структуру алгебры Ли

См. также

Смешанное произведение векторов
Ротор

Ссылки

Многомерное векторное произведение

Литература

Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Векторное произведение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

Содержание

1 Правые и левые тройки векторов
2 Определение
3 Свойства
- 3.1 Геометрические свойства векторного произведения
- 3.2 Алгебраические свойства векторного произведения
- 3.3 Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
4 Обобщения
- 4.1 Кватернионы
- 4.2 Преобразование к матричной форме
- 4.3 Распространение на матрицы
- 4.4 Размерности, не равные трём
5 Алгебра Ли векторов
6 См. также
7 Ссылки
8 Литература

Правые и левые тройки векторов

Определение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

left| mathbf c right| = left| mathbf a right| left| mathbf b right| |sin varphi|

Обозначение:

mathbf c = left[ mathbf a mathbf b right] = left[ mathbf a,; mathbf b right] = mathbf a times mathbf b

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

$left[ mathbf a,; mathbf c right] = mathrm{Pr}_{ mathbf e }, mathbf a left| mathbf c right| mathbf g.$

Алгебраические свойства векторного произведения

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

то их векторное произведение имеет вид

[ mathbf a,; mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,; a_z b_x - a_x b_z,; a_x b_y - a_y b_x).

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

$[ mathbf a,; mathbf b ] = begin{vmatrix} mathbf i &amp; mathbf j &amp; mathbf k \ a_x &amp; a_y &amp; a_z \ b_x &amp; b_y &amp; b_z end{vmatrix}$

или

$[ mathbf a,; mathbf b ]_i = sum_{j,k=1}^3 varepsilon_{i j k} a_j b_k,$

где $varepsilon_{i j k}$ — символ Леви-Чивиты.

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , , — стандартные обозначения для ортов в R^3 : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов i, j и k. Если представить вектор как кватернион a₁i + a₂j + a₃k, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

$mathbf{a} times mathbf{b} = [mathbf{a}]_{times} mathbf{b} = begin{bmatrix},0&amp;!-a_3&amp;,,a_2\ ,,a_3&amp;0&amp;!-a_1\-a_2&amp;,,a_1&amp;,0end{bmatrix}begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3end{bmatrix}$

$mathbf{b} times mathbf{a} = mathbf{b}^T [mathbf{a}]_{times} = begin{bmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3end{bmatrix}begin{bmatrix},0&amp;!-a_3&amp;,,,a_2\,,,a_3&amp;,0&amp;!-a_1\-a_2&amp;,,a_1&amp;,0end{bmatrix}$

где

$[mathbf{a}]_{times} stackrel{rm def}{=} begin{bmatrix},,0&amp;!-a_3&amp;,,,a_2\,,,a_3&amp;0&amp;!-a_1\!-a_2&amp;,,a_1&amp;,,0end{bmatrix}$

Пусть равен векторному произведению:

тогда

$[mathbf{a}]_{times} = (mathbf{c}mathbf{d}^T)^T - mathbf{c}mathbf{d}^T.$

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n − 1) / 2 независимых компонент в n-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

$[mathbf{a}]_{times} , mathbf{a} = mathbf{0}$

и $mathbf{a}^{T} , [mathbf{a}]_{times} = mathbf{0}$

а так как $[mathbf{a}]_{times}$ кососимметрична, то

$mathbf{b}^{T} , [mathbf{a}]_{times} , mathbf{b} = 0.$

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

$begin{bmatrix}vec a_1\vec a_2\vec a_3end{bmatrix} times vec b = begin{bmatrix}vec a_1 times vec b \vec a_2 times vec b \vec a_3 times vec b end{bmatrix}$

$begin{bmatrix}vec a_1\vec a_2\vec a_3end{bmatrix} cdot vec b = begin{bmatrix}vec a_1 cdot vec b \vec a_2 cdot vec b \vec a_3 cdot vec b end{bmatrix}$

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A — матрица, , — векторы):

A cdot (vec x times vec y) = (A times vec x) cdot vec y

A times (vec x times vec y) = vec x (A cdot vec y)- vec y (A cdot vec x)

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

vec x times vec y = E cdot (vec x times vec y) = (E times vec x)cdot vec y

E — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в R^3 примет вид:

$intlimits_{Sigma}operatorname{rot}, mathbf{A^T} , mathbf{dSigma} = intlimits_{partialSigma} mathbf{A}cdot, d mathbf{r},$

где ротор матрицы A вычисляется как векторное произведение матрицы A на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

$intlimits_{Sigma}operatorname{grad}, u times , mathbf{dSigma} = intlimits_{partialSigma} u, d mathbf{r},$

$intlimits_{Sigma} left[ mathbf{dSigma}; left[ nabla; vec a right] right] = intlimits_{partialSigma} vec a times d mathbf{r}.$

Размерности, не равные трём

Пусть D — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение $mathbb{R}^D times mathbb{R}^D to mathbb{R}^D$ , можно ввести только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора (D − 1) векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в D-мерном пространстве на операцию с D сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты $varepsilon_{i_1 i_2 i_3 ldots i_D}$ с D индексами, можно явно записать такое (D − 1)-валентное векторное произведение как

$P_i(mathbf{a,;b,;c,;ldots}) = sum_{i,;j,;k,;m,;ldots=1}^D varepsilon_{ijkldots} a_j b_k c_m ldots$

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности (D − 1).

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при D < > 3 не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

$P_{ij}(mathbf{a,b}) = a_i b_j - a_j b_i$

Эта конструкция называется внешним произведением.

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на $mathbb{R}^3$ структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению R^3 с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

Косое произведение векторов (2D)
Скалярное произведение векторов (2D и 3D)
Смешанное произведение векторов (3D)
Векторно-векторное произведение векторов (3D)

Другое

Ротор

Ссылки

Многомерное векторное произведение

Литература

Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Wikimedia Foundation.
2010.

Источник