Как найти вектор ортогональный данному вектору

Так в случае плоской задачи для векторов a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y}, условие ортогональности запишется следующим образом:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y = 0

Пример 1. Доказать что вектора a = {1; 2} и b = {2; -1} ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Пример 2. Проверить являются ли вектора a = {3; -1} и b = {7; 5} ортогональными.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Пример 3. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4} и b = {n; 1} будут ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Так в случае пространственной задачи для векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}, условие ортогональности запишется следующим образом:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z = 0

Пример 4. Доказать что вектора a = {1; 2; 0} и b = {2; -1; 10} ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Пример 5. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Пример 6. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4; 1} и b = {n; 1; -8} будут ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2n + 4 — 8 = 2n — 4
2n — 4 = 0
2n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Содержание

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $mathbf a(x_1,y_1)$ и $mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что

$$ mathbf {a} = n · mathbf {b}$$

или покоординатная детализация:

$$ x_1 = k cdot x_2 \
y_1 = k cdot y_2 \
z_1 = k cdot z_2 $$

Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

$$ k = frac {x_1} {y_1} =frac {x_2} {y_2} = ldots $$

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]

$$ x_1y_2 — x_2y_1 = 0$$

Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ — a и b.

Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$

Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), -6,14)?

Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).

В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) — значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.

Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:

1. параллельность противоположных сторон AB и CD;

2. параллельность противоположных сторон BC и AD.

Найти вектора и проверить на коллинеарность.

Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:

1. векторы линейно независимы;

2. векторы образуют базис;

3. векторы не коллинеарны;

4. векторы нельзя линейно выразить друг через друга;

5. определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

или в трехмерном случае:

$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$

Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.

Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.

Ответ -2

Пример 4. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Ответ : да

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.

Условия компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =
1  	  2  	  3  	 =
1  	  1  	  1  
1  	  2  	  1  
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями:
$$ a: y = k_1 x + c_1 \
b: y = k_2 x + c_2
$$

Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$

Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$

Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ — совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны

Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны