Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Примеры задач на ортогональность векторов
Примеры плоских задач на ортогональность векторов
Так в случае плоской задачи для векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > , условие ортогональности запишется следующим образом:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16
Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2
Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
Так в случае пространственной задачи для векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz >, условие ортогональности запишется следующим образом:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2
Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Ортогональные векторы
В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются ортогональными, какое условие при этом должно выполняться. Также разберем примеры решения задач по этой теме.
Условие ортогональности векторов
Векторы a и b являются ортогональными, если угол между ними прямой (т.е. равен 90°).
Примечание: Скалярное произведение ортогональных векторов равняется нулю. Это и есть существенное условие их ортогональности.
a · b = 0
То есть, если в плоскости и , то
Примеры задач
Задание 1
Докажем, что векторы и ортогональны.
Решение:
a · b = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0
Следовательно, заданные векторы являются ортогональными, так как их скалярное произведение равняется нулю.
Задание 2
При каком значении n векторы и ортогональны.
Решение:
a · b = 3 · 6 + (-9) · n = 0
18 – 9n = 0
n = 2
Таким образом, a и b ортогональны при n, равном двум.
Ортогональные векторы и условие ортогональности
В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.
Ортогональные векторы: определение и условие
Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .
Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:
a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0
Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; — 1 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0
Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.
Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; — 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16
Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.
Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.
Как решить?
Найдем скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2
Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .
Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >являются ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0
Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.
Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; — 8 >будут являться ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2
Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/ortogonalnye-vektory-i-uslovie-ortogonalnosti/
Suppose that $a,b$ are two orthogonal unit vectors in $mathbb R^3$, want to find a unit vector $c$ orthogonal to both $a$ and $b$. And the matrix formed by using $a$, $b$, $c$ as row vectors has determinant 1.
One strategy would be to suppose that $c = (x_1, x_2, x_3)$, and write down three equations using given conditions. Then solve it. But this would be tedious. Are there any other methods?
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|||
|
Нужно решить пункт б?
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 03 ноя 2019, 16:37 
|
dimavfox |
Заголовок сообщения: Re: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|
3D Homer а как по первому способу не знаю, там получается два уравнения которые равны нулю, и в результате получается, что все координаты равны 0.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
3D Homer |
Заголовок сообщения: Re: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|
dimavfox писал(а): я нашёл векторное произведение и получилось вот так c = (-3, 0, 0) Правильно. dimavfox писал(а): там получается два уравнения которые равны нулю Уравнение — это утверждение вида [math]E_1=E_2[/math], где [math]E_i[/math] — это какие-то выражения. Можно сказать, что выражение [math]E_1[/math] равно выражению [math]E_2[/math], но нельзя сказать, что все уравнение чему-то равно. dimavfox писал(а): в результате получается, что все координаты равны 0 Убедите меня в этом. Я не согласен. dimavfox писал(а): Плюс сказано что вектор c еденичный, то есть длина = 1, и еще для чего-то угол дали с Oz тупой, значит косинус < 0 Я прочитал это в условии.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
| За это сообщение пользователю 3D Homer «Спасибо» сказали: dimavfox |
|
|
|
dimavfox |
Заголовок сообщения: Re: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|
3D Homer 0x + 2y + z = 0 отсюда, x, y , z = 0 2y + z = y — z
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
dimavfox |
Заголовок сообщения: Re: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|
3D Homer
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
3D Homer |
Заголовок сообщения: Re: Как найти вектор ортогональный к двум другим?
|
|
dimavfox писал(а): 0x + 2y + z = 0 отсюда, x, y , z = 0 2y + z = y — z А почему вы заключили, что x = 0? dimavfox писал(а): Так с = (-3, 0, 0) его длина не 1, разве правильно? Разумеется, длина [math]c[/math] равна трем. Подумайте, как превратить этот вектор в коллинеарный и единичный.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
| За это сообщение пользователю 3D Homer «Спасибо» сказали: dimavfox |
|
|
В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются ортогональными, какое условие при этом должно выполняться. Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Условие ортогональности векторов
- Примеры задач
Условие ортогональности векторов
Векторы a и b являются ортогональными, если угол между ними прямой (т.е. равен 90°).
Примечание: Скалярное произведение ортогональных векторов равняется нулю. Это и есть существенное условие их ортогональности.
a · b = 0
То есть, если в плоскости a = {ax; ay} и b = {bx; by}, то a · b = ax · bx + ay · by = 0
Примеры задач
Задание 1
Докажем, что векторы a = {2; 4} и b = {-2; 1} ортогональны.
Решение:
a · b = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0
Следовательно, заданные векторы являются ортогональными, так как их скалярное произведение равняется нулю.
Задание 2
При каком значении n векторы a = {3; -9} и b = {6; n} ортогональны.
Решение:
a · b = 3 · 6 + (-9) · n = 0
18 – 9n = 0
n = 2
Таким образом, a и b ортогональны при n, равном двум.
Содержание
Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами
Коллинеарность
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $mathbf a(x_1,y_1)$ и $mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что
$$ mathbf {a} = n · mathbf {b}$$
или покоординатная детализация:
$$ x_1 = k cdot x_2 \
y_1 = k cdot y_2 \
z_1 = k cdot z_2 $$
Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
$$ k = frac {x_1} {y_1} =frac {x_2} {y_2} = ldots $$
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]
$$ x_1y_2 — x_2y_1 = 0$$
Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ — a и b.
Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$
Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), 
-6,14)?
Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).
В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) — значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.
Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:
-
параллельность противоположных сторон AB и CD;
-
параллельность противоположных сторон BC и AD.
Найти вектора и проверить на коллинеарность.
Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
-
векторы линейно независимы;
-
векторы образуют базис;
-
векторы не коллинеарны;
-
векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
-
определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Ортогональность
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$
или в трехмерном случае:
$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$
Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.
Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.
Ответ -2
Пример 4. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Ответ : да
Компланарность
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.
Условия компланарности векторов
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [b × с] = 1 2 3 = 1 1 1 1 2 1 = 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями:
$$ a: y = k_1 x + c_1 \
b: y = k_2 x + c_2
$$
Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$
Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$
Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ — совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны
Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны