Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие вектора и перпендикулярности векторов
Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Определение 1
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Определение 2
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Определение 3
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Обозначение: $overline{AB}$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.
Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).
Определение 4
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Обозначение: $overline{0}$.
Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).
«Как найти вектор, перпендикулярный вектору» 👇
Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Определение 6
Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos∠(overline{α},overline{β})$
Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом
$overline{α}overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$
Признак перпендикулярности через пропорциональность
Теорема 1
Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство
$overline{α}cdot overline{β}=0$
Так как векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.
$overline{α}cdot overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos90^circ =|overline{α}||overline{β}|cdot 0=0$
Достаточность: Пусть верно равенство $overline{α}cdot overline{β}=0$. Докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.
По определению 6, будет верно равенство
$|overline{α}||overline{β}|cos∠(overline{α},overline{β})=0$
$cos∠(overline{α},overline{β})=0$
$∠(overline{α},overline{β})=90^circ$
Следовательно, векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.
Теорема доказана.
Пример 1
Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.
Доказательство.
Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше
$overline{α}cdot overline{β}=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac{3}{2}=2cdot 5+3=0$
Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.
Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение
Введем вначале понятие векторного произведения.
Определение 7
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$
Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.
Пример 2
Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline{α}=(1,2,3)$ и $overline{β}=(-1,0,3)$
Решение.
Найдем векторное произведение данных векторов.
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\1&2&3\-1&0&3end{vmatrix}=(6-0)overline{i}-(3+3)overline{j}+(0+2)overline{k}=6overline{i}-6overline{j}+2overline{k}=(6,6,2)$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и :
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
.
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
;
.
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
.
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Формула
Для того чтобы вектор $bar{a}$ был перпендикулярен вектору
$bar{b}$ необходимо, чтобы их
скалярное произведение было равно нулю, то есть
В случае если векторы заданы на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то условие их перпендикулярности примет вид:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Если векторы заданны в пространстве и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то условие перпендикулярности запишется в виде:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Пример
Задание. Даны два вектора
$bar{a}=(2 ;-1)$ и $bar{b}=(-3 ; m)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Для того чтобы векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ были перпендикулярны необходимо, чтобы их скалярное
произведение было равно нулю, то есть выполнялось условие:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Подставим в это выражение координаты заданных векторов и из полученного равенства найдем
$m$:
$$2 cdot(-3)+(-1) cdot m=0$$
$$-6-m=0$$
$$m=-6$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при $m=-6$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы два вектора
$bar{a}=(3 ;-2 ; m)$ и $bar{b}=(-1 ; m ; 1)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Два вектора
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное
произведение будет равняться нулю. И так как векторы заданны в пространстве, то должно выполнялось условие:
Подставим в него заданные координаты векторов, получим:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
$$3 cdot(-1)+(-2) cdot m+m cdot 1=0$$
$$3-2 cdot m+m=0$$
Из полученного уравнения найдем $m$:
$$3-m=0 Rightarrow m=-3$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при
$m=-3$
Читать дальше: как найти орт вектора.
Перпендикулярность векторов
Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.
Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному
Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.
Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов
Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:
- Поменять местами координатные числа «x» и «y».
- Заменить знак у одной из координат на противоположный.
Графический пример
Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).
Рис. 1. На рисунке векторы, обозначенные черным цветом, перпендикулярны вектору, обозначенному красным цветом
На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: (vec{a}) и (vec{b}).
[ vec{a} = left{ 4 ; 3 right} ]
[ vec{b} = left{ -3 ; 4 right} ]
Из рисунка видно, что векторы (vec{a}) и (vec{b}) перпендикулярны: ( vec{a} perp vec{b} ).
Вектор ( -vec{b} = left{ 3 ; -4 right} ), также будет перпендикулярным вектору ( vec{a} ): ( vec{a} perp vec{(-b)} )
Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.
Длины векторов ( vec{a} ), ( vec{b} ) и ( vec{(-b)} ) равны.
Условие перпендикулярности векторов
Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.
[ large boxed { begin{cases} vec{a} = left{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} right} \ vec{b} = left{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} right} \ |vec{a}| ne 0 \ |vec{b}| ne 0 end{cases}}]
Запишем условие перпендикулярности векторов.
Для двумерного случая:
[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} = 0 }]
Для трехмерного случая:
[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} + a_{z} cdot b_{z} = 0 }]
Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.
При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.
Примечание:
Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.
Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.
Перпендикулярные векторы в физике
В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.
Вот несколько примеров:
- Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
- На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
- Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
- Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
- На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).
Оценка статьи:
Загрузка…
Как найти вектор перпендикулярный вектору
ФОРМУЛА
Чтобы вектор ( overline{a}) был перпендикулярен вектору ( overline{b}) , необходимо, чтобы его скалярное произведение было равно нулю, т.е.
(
(overline{a}, overline{b})=0
)
Если векторы задаются на плоскости своими координатами (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)
) и (
overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)
), то условие их перпендикулярности принимает вид:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0
)
Если векторы заданы в пространстве и имеют координаты (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)
) и (
overline{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)
), то перпендикулярное условие записывается в виде:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0
)
ПРИМЕРЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОГО ВЕКТОРА
ПРИМЕР
overline{a}=(2 ;-1)
) и (
overline{b}=(-3 ; m)
) . При каком значении (
m
) эти векторы будут перпендикулярны?
overline{a}
) и (
overline{b}
) были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, то есть условие выполняется:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0
)
Подставляем координаты указанных векторов в это выражение и из полученного равенства находим (
m
):
(
2 cdot(-3)+(-1) cdot m=0
)
(
-6-m=0
)
(
m=-6
)
overline{a}
) и (
overline{b}
) будут перпендикулярны (
m=-6
)
ПРИМЕР
overline{a}=(3 ;-2 ; m)
) и (
overline{b}=(-1 ; m ; 1)
) даны. При каком значении (
m
) эти векторы будут перпендикулярны?
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0
)
Подставив в него указанные координаты векторов, мы получим:
(
3 cdot(-1)+(-2) cdot m+m cdot 1=0
)
(
3-2 cdot m+m=0
)
Из полученного уравнения находим (
m=-6
):
(
3-m=0 Rightarrow m=-3
)
m=-3
)