Как найти вектор перпендикулярный двум другим векторам

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Обозначение: $overline{AB}$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Обозначение: $overline{0}$.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

«Как найти вектор, перпендикулярный вектору» 👇

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos⁡∠(overline{α},overline{β})$

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$overline{α}overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; — 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; — 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; — 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: $overline$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$overline<α>overline<β>=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline<α>$ и $overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство

Так как векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.

$overline<α>cdot overline<β>=|overline<α>||overline<β>|cos⁡90^circ =|overline<α>||overline<β>|cdot 0=0$

Достаточность: Пусть верно равенство $overline<α>cdot overline<β>=0$. Докажем, что векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.

По определению 6, будет верно равенство

Следовательно, векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.

Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$overline<α>cdot overline<β>=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac<3><2>=2cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline<α>=(1,2,3)$ и $overline<β>=(-1,0,3)$

Найдем векторное произведение данных векторов.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 07 2022

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения перпендикулярного вектора

Формула

Для того чтобы вектор $bar{a}$ был перпендикулярен вектору
$bar{b}$ необходимо, чтобы их
скалярное произведение было равно нулю, то есть

В случае если векторы заданы на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то условие их перпендикулярности примет вид:

Если векторы заданны в пространстве и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то условие перпендикулярности запишется в виде:

Примеры нахождения перпендикулярного вектора

Читать дальше: как найти орт вектора.

Перпендикулярность векторов

Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.

Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному

Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.

Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов

Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:

1. Поменять местами координатные числа «x» и «y».
2. Заменить знак у одной из координат на противоположный.

Графический пример

Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).

Рис. 1. На рисунке векторы, обозначенные черным цветом, перпендикулярны вектору, обозначенному красным цветом

На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: (vec{a}) и (vec{b}).

[ vec{a} = left{ 4 ; 3 right} ]

[ vec{b} = left{ -3 ; 4 right} ]

Из рисунка видно, что векторы (vec{a}) и (vec{b}) перпендикулярны: ( vec{a} perp vec{b} ).

Вектор ( -vec{b} = left{ 3 ; -4 right} ), также будет перпендикулярным вектору ( vec{a} ): ( vec{a} perp vec{(-b)} )

Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.

Длины векторов ( vec{a} ), ( vec{b} ) и ( vec{(-b)} ) равны.

 Условие перпендикулярности векторов

Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.

[ large boxed { begin{cases} vec{a} = left{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} right} \ vec{b} = left{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} right} \ |vec{a}| ne 0  \ |vec{b}| ne 0 end{cases}}]

Запишем условие перпендикулярности векторов.

Для двумерного случая:

[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} = 0 }]

Для трехмерного случая:

[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} + a_{z} cdot b_{z} = 0 }]

Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.

При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.

Примечание:

Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.

Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.

Перпендикулярные векторы в физике

В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.

Вот несколько примеров:

1. Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
2. На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
3. Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
4. Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
5. На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).

Оценка статьи:

Загрузка…

---

Short answer: the vector $(s_z,(z + s_z) — x^2, -x y, -x,(z + s_z))$ with $s_z := text{sign}(z) , |(x,y,z)|$ is orthogonal to the vector $(x,y,z)$.

---

Note that we assume that $text{sign}(x)$ is defined as $+1$ for $x ge 0$ and as $-1$ otherwise.

Let $(x,y,z)$ be a vector with norm s and z > -s then the following matrix is an orthogonal basis where every basis vector has norm s:

$left(
begin{array}{ccc}
s — frac{x^2}{z+s} & -frac{x y}{z+s} & x \
-frac{x y}{z+s} & s — frac{y^2}{z+s} & y \
-x & -y & z \
end{array}
right)$

There are two notable cases if z = -s:

1. The vector is of form $(0,0,z)$ with z < 0 and we can simply invert it before applying the formula above. As shown below this can be exploited to get a branch-free implementation.
2. The vector is the zero vector $(0,0,0)$. «perpendicular» doesn’t make much sense in case of the null vector. If you interpret it as «dot product is zero» than you can just return the zero vector.

We can deal with these two problems as follows:

---

Let’s look at the first vector: $(s — frac{x^2}{z+s}, -frac{x y}{z+s}, -x)$. The singularity at $(0,0,-1)$ can be avoided by inverting the input vector and then inverting the result which gives: $(-s — frac{x^2}{z-s}, -frac{x y}{z-s}, -x)$.

Following this idea we can set $s_z := text{sign}(z) , s$ and compute an orthogonal basis vector for any non-null vector $(x,y,z)$ as:

$(s_z — frac{x^2}{z + s_z}, -frac{x y}{z + s_z}, -x)$

This leads to a nice branch-free C++ implementation for a normalized vector:

Vector3 OrthoNormalVector(double x, double y, double z) {
  const double g = std::copysign(1., z);
  const double h = z + g;
  return Vector3(g - x*x/h, -x*y/h, -x);
}

Check the implementation of copysign on your platform to make sure that copysign(1., 0.) returns 1 and not 0.

---

For an arbitrary vector, not necessarily normalized, we can use a little trick to get an orthogonal vector: we scale the vector by the factor $z+s_z$ to get:

$(s_z,(z + s_z) — x^2, -x y, -x,(z + s_z))$

This vector is still orthogonal to the original vector $(x,y,z)$ as it was just scaled by a factor. It also has zero norm if and only if the norm of the original vector is 0.

This leads again to a branch-free implementation:

Vector3 OrthogonalVector(double x, double y, double z) {
  const double s = std::sqrt(x*x + y*y + z*z);
  const double g = std::copysign(s, z);  // note s instead of 1
  const double h = z + g;
  return Vector3(g*h - x*x, -x*y, -x*h);
}