Как найти вектор поворота

Кватернионы, матрицы поворота и перепроецирование векторов между системами координат

Пришлось это мне в последнее время поработать с задачами, где нужно было оперировать кватернионами и заниматься перепроецированием векторов в разные системы координат (это еще называется заменой базиса). Сначала по чужим формулам — причем с опечатками и даже, как выяснилось, с фактическими ошибками — а потом делать свои, по аналогии. И всё даже работало! Но сохранялся какой-то туман в понимании происходящего. А всё, как оказалось, из-за этих ошибок: их комбинация давала систему, в целом сохраняющую корректность, неверным путем таки достигался верный результат. Зато такая удача сильно мешала осознанию проблемы и прояснению природы феномена «верный итог при подозрительных формулах». При этом разбираться досконально времени все не было — работает же, числа выдает правильные, чего тебе еще надо, собака? Вперед, нужно больше золота кода! А вот сейчас пришел момент, когда я, похоже, окончательно всё понял, и хочу поделиться получившейся картинкой с окружающими. Вдруг кому пригодится, и себе памятка.

Заранее оговорюсь, что материал не претендует на академичность изложения, а скорее просто описывает удобный для запоминания способ интерпретации того, что происходит при перепроецировании векторов.

Стало быть, речь у нас пойдет в особенности о проекциях и поворотах.

Исходные посылки

Описание кватернионов и матриц поворота как таковых опущу, предполагаю, что читатели знакомы с ними. Вектор здесь будет пониматься в его интуитивном представлении, как отрезок прямой в трехмерном пространстве, имеющий длину и направление. Исходное положение вектора будет иметь индекс «–», конечное — индекс «+».

Кватернионы и матрицы поворота могут быть использованы как для выполнения пространственного поворота векторов, так и для описания взаимной ориентации систем координат. В частности, для описания положения целевой системы координат относительно исходной: как нужно повернуть исходную, чтобы ее оси совпали с одноименными осями целевой. Матрица поворота (она же матрица ориентации, для случая описания взаимной ориентации систем координат) может быть получена из нормированного кватерниона ориентации по известным из литературы формулам. Обратное тоже верно: можно получить кватернион ориентации из матрицы.

Вектор , подлежащий повороту, задается величинами его проекций (длинами проекций) на оси исходной системы координат: три числа – проекции на три ортогональных оси . Получается матрица-столбец размерности 3х1, которая также называется вектором. Чтобы не смешивать в тексте подобную запись проекций вектора с интуитивным представлением о нем, я буду и дальше называть эту запись «матрицей-столбцом».

Поворот вектора

Поворачивать вектор можно, как уже сказано, и с помощью матрицы, и с помощью кватерниона.

Поворот с использованием матрицы: матрица поворота умножается на исходную матрицу-столбец. На выходе имеем другую, результирующую матрицу-столбец:

Поворот с использованием кватерниона ориентации выполняется в два шага:

1. Из исходной матрицы-столбца и кватерниона вычисляется промежуточная матрица-столбец , где – операция векторного произведения векторов;
2. Вычисляется значение результирующей матрицы-столбца по формуле

Числа в результирующей матрице-столбце, полученной любым из этих способов — это проекции вектора в его новом, повернутом положении, на оси все той же исходной системы координат.

С поворотом вектора дело ясное, вопросов нет.

Перепроецирование вектора

А вот задача перепроецирования вектора из одной системы координат в другую несколько контринтуитивна. Формулировка задачи: необходимо узнать, как некоторый вектор, заданный в исходной системе координат, выглядит в целевой системе. Иначе говоря, по проекциям вектора на оси исходной системы узнать проекции вектора на оси целевой. При этом задан кватернион или матрица ориентации целевой системы относительно исходной.

Может показаться, что для решения этой задачи нужно просто повернуть вектор из исходной системы координат в целевую, пользуясь кватернионом или матрицей ориентации второй относительно первой. Однако это не так! Выполнив подобную операцию, мы узнаем только, как новый, повернутый вектор выглядит в осях все той же исходной системы, а это не то, что нас интересует .

Важно, однако, обратить внимание на то, что после проведения подобного поворота сам вектор окажется ориентирован относительно целевой системы координат так же, как он был до операции ориентирован относительно исходной. В этом кроется ключ к правильному ходу действий. Для получения проекций интересующего нас вектора на целевую систему координат нужно выполнить операцию «в обратную сторону»:

1. Задать в целевой системе координат «временный» вектор с теми же величинами проекций на оси этой целевой системы, какие есть у интересующего нас («заданного») вектора на оси исходной системы. Таким образом, «временный» вектор будет ориентирован относительно целевой системы так же, как заданный вектор ориентирован относительно исходной;
2. Определить ориентацию исходной системы относительно целевой. Здесь легко: нужная ориентация описывается либо кватернионом, сопряженным к имеющемуся (), либо матрицей , обратной по отношению к имеющейся; причем для матрицы ориентации, чей определитель всегда равен 1, обратная матрица совпадает с транспонированной , поэтому достаточно транспонировать имеющуюся матрицу ориентации;
3. Повернуть «временный» вектор с использованием полученного кватерниона/матрицы. Вектор повернется относительно целевой системы координат так же, как относительно нее повернута исходная система. При этом, в силу всего сказанного ранее, а) «временный» вектор станет ориентирован уже относительно исходной системы так, как был ранее ориентирован относительно целевой, и, следовательно, точно совпадет с заданным вектором, и б) результатом операции будет матрица-столбец, описывающая, как теперь «временный» (а значит, и заданный) вектор выглядит в осях целевой системы координат.

Ура, это именно то, что нам нужно!

Кроме того, быстро становится очевидно, что с точки зрения реализации никакой «временный» вектор (в смысле «матрица-столбец») на самом деле не нужен: в ходе операции он никак не модифицируется, и при этом численно является копией исходного вектора. Так что, разумеется, можно спокойно брать сам исходный вектор и проводить операции с ним. Описание выше лишь подробнее иллюстрирует смысл происходящего.

Матрицы поворота, углы Эйлера и кватернионы (Rotation matrices, Euler angles and quaternions)

Объект обычно определяется в удобной для его описания локальной системе координат (ЛСК), а его положение в пространстве — в глобальной системе координат (ГСК).

В трёхмерном пространстве переход из одной СК в другую описывается в общем случае системой линейных уравнений:

Уравнения могут быть записаны через матрицы аффинных преобразований в однородных координатах одним из 2-х способов:

В ортогональных СК оси X, Y и Z взаимно перпендикулярны и расположены по правилу правой руки:

На рисунке справа большой палец определяет направление оси, остальные пальцы — положительное направление вращения относительно этой оси.

Все три вектора направлений есть единичными.

Ниже приводится единичная матрица для 2-х способов записи уравнений геометрических преобразований. Такая матрица не описывает ни перемещения, ни вращения. Оси ЛСК и ГСК совпадают.

Далее рассматривается матрица для второго способа матричной записи уравнений (матрица справа). Этот способ встречается в статьях значительно чаще.

При использовании матрицы вы можете игнорировать нижнюю строку. В ней всегда хранятся одни и те же значения 0, 0, 0, 1. Она добавлена для того, чтобы мы могли перемножать матрицы (напомню правило перемножения матриц и отмечу, что всегда можно перемножать квадратные матрицы). Подробнее см. Композиция матриц. Однородные координаты.

Остальные 12 значений определяют координатную систему. Первый столбец описывает компоненты направления оси X(1,0,0). Второй столбец задает направление оси Y(0,1,0), третий – оси Z (0,0,1). Последний столбец определяет положение начала системы координат (0,0,0).

Как будет выглядеть матрица Евклидового преобразования (преобразование движения) для задания ЛСК , с началом в точке (10,5,0) и повёрнутой на 45° вокруг оси Z глобальной СК, показано на рисунке.

Рассмотрим сначала ось X. Если новая система координат повернута на 45° вокруг оси z, значит и ось x повернута относительно базовой оси X на 45° в положительном направлении отсчета углов. Таким образом, ось X направлена вдоль вектора (1, 1, 0), но поскольку вектор системы координат должен быть единичным, то результат должен выглядеть так (0.707, 0.707, 0). Соответственно, ось Y имеет отрицательную компоненту по X и положительную по Y и будет выглядеть следующим образом (-0.707, 0.707, 0). Ось Z направления не меняет (0, 0, 1). Наконец, в четвертом столбце вписываются координаты точки начала системы координат (10, 5, 0).

Частным случаем матриц геометрических преобразований есть матрицы поворота ЛСК относительно базовых осей ГСК. Вектора осей ЛСК здесь выражены через синусы и косинусы углов вращения относительно оси, перпендикулярной к плоскости вращения.

От матрицы преобразований размером 4*4 можно перейти непосредственно к матрице поворота 3*3, убрав нижний ряд и правый столбец. При этом, система линейных уравнений записывается без свободных элементов (лямда, мю, ню), которые определяют перемещение вдоль осей координат.

Путем перемножения базовых матриц можно получать комбинированные вращения. Ниже рассмотрены возможности комбинировать вращениями через матрицы поворота на примерах работы с углами Эйлера.

Матрицы поворота и углы Эйлера

От выбора осей и последовательности вращения зависит конечный результат. На рисунках отображена следующая последовательность вращения относительно осей ЛСК:

• оси Z (угол alpha);
• оси X (угол beta);
• оси Z (угол gamma).

Получил от читателя этой статьи вопрос: «Как понять, из каких углов поворота вокруг осей X,Y,Z можно получить текущее положение объекта, когда в качестве задания мы уже имеем повернутый объект, а нужно вывести его в это положение, последовательно повернув его из какого-то начального положения до полного совмещения с заданным?»

Мой ответ: «Если я правильно понял вопрос, то Вас интересует, как от начального положения перейти к заданному положению объекта, используя для этого элементарные базовые аффинные преобразования.

Начну с аналогии. Это как в шахматах. Мы знаем как ходит конь. Необходимо переместить его в результате многоходовки в нужную клетку на доске — при условии, что это возможно.

Подробно эта проблематика рассмотрена в статье Преобразование координат при калибровке роботов.

Умение правильно выбирать последовательность элементарных геометрических преобразований помогает в решении множества других задач (см. Примеры геометрических преобразований).»

Можно получить результирующую матрицу, которая определяет положение ГСК относительно ЛСК. Для этого необходимо перемножить матрицы с отрицательными углами в последовательности выполнения поворотов:

Почему знак угла поворота меняется на противоположный? Объяснение этому простое. Движение относительно. Абстрагируемся и представим, что ГСК меняет положение относительно неподвижной ЛСК. При этом направление вращения меняется на противоположное.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Результирующую матрицу можно использовать для пересчета координат из ГСК в ЛСК:

Для пересчета координат из ЛСК в ГСК используется результирующая обратная матрица.

В обратной матрице последовательность поворота и знаки углов меняются на противоположные (в рассматриваемом примере снова на положительные) по сравнению с матрицей определения положения ГСК относительно ЛСК.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Выше был рассмотрен случай определения углов Эйлера через вращение относительно осей ЛСК. То же взаимное положение СК можно получить, выполняя вращение относительно осей ГСК:

• оси z (угол (gamma+pi/2));
• оси y (угол угол beta);
• оси z (угол (-alpha)).

Определение углов Эйлера через вращение относительно осей ГСК позволяет также просто получить зависимости для пересчета координат из ЛСК в ГСК через перемножение матриц поворота.

В рамках рассматриваемой задачи вместо угла gamma в матрицe Az используем угол gamma+pi/2.

Также легко можно перейти к зависимостям для пересчета координат из ГСК в ЛСК.

Обратная матрица получается перемножением обратных матриц в обратном порядке по сравнению с прямым преобразованием. При этом каждая из обратных матриц вращения может быть получена заменой знака угла на противоположный.

Детально с теоретическими основами аффинных преобразований (включая и вращение) можно ознакомиться в статье Геометрические преобразования в графических приложениях

Примеры преобразований рассмотрены в статьях:

Axis Angle представление вращения

Выбрав подходящую ось (англ. rotation axis) и угол (англ. rotation angle) можно задать любую ориентацию объекта.

Обычно хранят ось вращения в виде единичного вектора и угол поворота вокруг этой оси в радианах или градусах.

q = [ x, y, z, w ] = [ v, w ]

В некоторых случаях удобно хранить угол вращения и ось в одном векторе. Направление вектора при этом совпадает с направлением оси вращения, а его длина равна углу поворота:

q = [ x, y, z]; w=sqrt (x*x +y*y +z*z)

В физике, таким образом хранят угловую скорость. Направление вектора совпадает с направлением оси вращения, а длина вектора равна скорости (в радианах в секунду).

Можно описать рассмотренные выше углы Эйлера через Axis Angle представление в 3 этапа:

q1 = [ 0, 0, 1, alpha]; q2 = [ 1, 0, 0, beta]; q3 = [ 0, 0, 1, gamma ]

Здесь каждое вращение выполняется относительно осей текущего положения ЛСК. Такое преобразование равнозначно рассмотренному выше преобразованию через матрицы поворота:

Возникает вопрос, а можно ли 3 этапа Axis Angle представления объединить в одно, подобно матрицам поворота? Попробуем решить геометрическую задачу по определению координат последнего вектора вращения в последовательности преобразований через Axis Angle представления:

q = [ x, y, z, gamma ]

Есть ли представление q= [x, y, z, gamma] композицией последовательности из 3-х этапов преобразований? Нет! Координаты x, y, z определяют всего лишь положение оси Z ЛСК после первого и второго этапов преобразований:

При этом ось Z, отнюдь, не есть вектор вращения для Axis Angle представления, которое могло бы заменить рассмотренные 3-х этапа преобразований.

Еще раз сформулирую задачу, которая математически пока не решена: «Необходимо найти значение угла (rotation angle) и положение оси (rotation axis), вращением относительно которой на этот угол можно заменить комбинацию из 3-х поворотов Эйлера вокруг осей координат».

К сожалению, никакие операции (типа объединения нескольких преобразований в одно) с Axis Angle представлениями нельзя выполнить. Не будем расстраиваться. Это можно сделать через кватернионы, которые также определяют вращение через параметры оси и угол.

Кватернионы

Кватернион (как это и видно по названию) представляет собой набор из четырёх параметров, которые определяют вектор и угол вращения вокруг этого вектора. По сути такое определение ничем не отличается от Axis Angle представления вращения. Отличия лишь в способе представления. Как же хранят вращение в кватернионе?

q = [ V*sin(alpha/2), cos(alpha/2) ]

В кватернионе параметры единичного вектора умножается на синус половины угла поворота. Четвертый компонент — косинус половины угла поворота.

Таблица с примерами значений кватернионов:

Представление вращения кватернионом кажется необычным по сравнению с Axis Angle представлением. Почему параметры вектора умножаются на синус половины угла вращения, четвертый параметр — косинус половины угла вращения, а не просто угол?

Откуда получено такое необычное представление кватерниона детально можно ознакомиться в статье Доступно о кватернионах и их преимуществах. Хотя программисту не обязательно знать эти детали, точно также как и знать, каким образом получены матрицы преобразования пространства. Достаточно лишь знать основные операции с кватернионами, их смысл и правила применения.

Основные операции над кватернионами

Кватернион удобно рассматривать как 4d вектор, и некоторые операции с ним выполняются как над векторами.

Сложение, вычитание и умножение на скаляр.

Смысл операции сложения можно описать как «смесь» вращений, т.е. мы получим вращение, которое находится между q и q’.

Что-то подобное сложению кватернионов выполнялось при неудачной попытке объединить 3 этапа Axis Angle представления.

Умножение на скаляр на вращении не отражается. Кватернион, умноженный на скаляр, представляет то же самое вращение, кроме случая умножения на 0. При умножении на 0 мы получим «неопределенное» вращение.

Пример сложения 2-х кватернионов:

Норма и модуль

Следует различать (а путают их часто) эти две операции:

Модуль (magnitude), или как иногда говорят «длина» кватерниона:

Через модуль кватернион можно нормализовать. Нормализация кватерниона — это приведение к длине = 1 (так же как и в векторах):

Обратный кватернион или сопряжение ( conjugate )

Обратный кватернион задает вращение, обратное данному. Чтобы получить обратный кватернион достаточно развернуть вектор оси в другую сторону и при необходимости нормализовать кватернион.

Например, если разворот вокруг оси Y на 90 градусов = (w=0,707; x = 0; y = 0,707; z=0), то обратный = (w=0,707; x = 0; y = -0,707; z=0).

Казалось бы, можно инвертировать только компоненту W, но при поворотах на 180 кватернион представляется как (w=1; x = 0; y = 0; z=0), то есть, у него длина вектора оси = 0.

Фрагмент программной реализации:

Инверсный (inverse) кватернион

Существует такой кватернион, при умножении на который произведение дает нулевое вращение и соответствующее тождественному кватерниону (identity quaternion), и определяется как:

Тождественный кватернион

Записывается как q[0, 0, 0, 1]. Он описывает нулевой поворот (по аналогии с единичной матрицей), и не изменяет другой кватернион при умножении.

Скалярное произведение

Скалярное произведение полезно тем, что дает косинус половины угла между двумя кватернионами, умноженный на их длину. Соответственно, скалярное произведение двух единичных кватернионов даст косинус половины угла между двумя ориентациями. Угол между кватернионами — это угол поворота из q в q’ (по кратчайшей дуге).

Вращение 3d вектора

Вращение 3d вектора v кватернионом q определяется как

причем вектор конвертируется в кватернион как

и кватернион обратно в вектор как

Умножение кватернионов

Одна из самых полезных операций, она аналогична умножению двух матриц поворота. Итоговый кватернион представляет собой комбинацию вращений — сначала объект повернули на q, а затем на q’ (если смотреть из глобальной системы координат).

Примеры векторного и скалярного перемножения 2-х векторов векторное произведение — вектор: Скалярное произведение — число:

Пример умножения 2-х кватернионов:

Конвертирование между кватернионом и Axis Angle представлением

В разделе Axis Angle представление вращения была сделана неудачная попытка объединить 3 Axis Angle представления в одно . Это можно сделать опосредовано. Сначала Axis Angle представления конвертируются в кватернионы, затем кватернионы перемножаются и результат конвертируется в Axis Angle представление.

Пример конвертирования произведения 2-х кватернионов в Axis Angle представление:

Фрагмент программы на C:

Конвертирование кватерниона в матрицу поворота

Матрица поворота выражается через компоненты кватерниона следующим способом:

где

Проверим формулы конвертирования на примере конвертирования произведения 2-х кватернионов в матрицу поворотов:

Определяем элемент матрицы m[0][0] через параметры кватерниона:

Соответствующее произведению кватернионов (q1 и q2) произведение матриц поворотов было получено ранее (см. Матрицы поворота и углы Эйлера):

Как видим, результат m[0][0], полученный через конвертирование, совпал с значением в матрице поворота.

Фрагмент программного кода на С для конвертирования кватерниона в матрицу поворота:

При конвертировании используется только умножения и сложения, что является несомненным преимуществом на современных процессорах.

Часто для задания вращений используют только кватернионы единичной длины, но это не обязательно и иногда даже не эффективно. Разница между конвертированием единичного и неединичного кватернионов составляет около 6-ти умножений и 3-х сложений, зато избавит во многих случаях от необходимости нормировать (приводить длину к 1) кватернион. Если кусок кода критичен по скорости и вы пользуетесь только кватернионами единичной длины тогда можно воспользоваться фактом что норма его равна 1.

Конвертирование матрицы поворота в кватернион

Конвертирование матрицы в кватернион выполняется не менее эффективно, чем кватерниона в матрицу, но в итоге мы получим кватернион неединичной длины. Его можно нормализовать.

Фрагмент программного кода конвертирования матрицы поворота в кватернион:

Вращение фигуры в 3-х мерном пространстве

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.
Обычно считают, что, в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса), при умножении на матрицу поворота вектора-столбца координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Любое вращение в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:
Вращение вокруг оси x:

Вращение вокруг оси y:

Вращение вокруг оси z:

После преобразований мы получаем формулы:
По оси Х
x’=x;
y’:=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z’:=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

По оси Y
x’=x*cos(L)+z*sin(L);
y’=y;
z’=-x*sin(L)+z*cos(L);

По оси Z
x’=x*cos(L)-y*sin(L);
y’=-x*sin(L)+y*cos(L);
z’=z;

Все три поворота делаются независимо друг от друга, т.е. если надо повернуть вокруг осей Ox и Oy, вначале делается поворот вокруг оси Ox, потом применительно к полученной точки делается поворот вокруг оси Oy.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

In linear algebra, a rotation matrix is a transformation matrix that is used to perform a rotation in Euclidean space. For example, using the convention below, the matrix

rotates points in the xy plane counterclockwise through an angle θ about the origin of a two-dimensional Cartesian coordinate system. To perform the rotation on a plane point with standard coordinates v = (x, y), it should be written as a column vector, and multiplied by the matrix R:

If x and y are the endpoint coordinates of a vector, where x is cosine and y is sine, then the above equations become the trigonometric summation angle formulae. Indeed, a rotation matrix can be seen as the trigonometric summation angle formulae in matrix form. One way to understand this is say we have a vector at an angle 30° from the x axis, and we wish to rotate that angle by a further 45°. We simply need to compute the vector endpoint coordinates at 75°.

The examples in this article apply to active rotations of vectors counterclockwise in a right-handed coordinate system (y counterclockwise from x) by pre-multiplication (R on the left). If any one of these is changed (such as rotating axes instead of vectors, a passive transformation), then the inverse of the example matrix should be used, which coincides with its transpose.

Since matrix multiplication has no effect on the zero vector (the coordinates of the origin), rotation matrices describe rotations about the origin. Rotation matrices provide an algebraic description of such rotations, and are used extensively for computations in geometry, physics, and computer graphics. In some literature, the term rotation is generalized to include improper rotations, characterized by orthogonal matrices with a determinant of −1 (instead of +1). These combine proper rotations with reflections (which invert orientation). In other cases, where reflections are not being considered, the label proper may be dropped. The latter convention is followed in this article.

Rotation matrices are square matrices, with real entries. More specifically, they can be characterized as orthogonal matrices with determinant 1; that is, a square matrix R is a rotation matrix if and only if R^T = R⁻¹ and det R = 1. The set of all orthogonal matrices of size n with determinant +1 is a representation of a group known as the special orthogonal group SO(n), one example of which is the rotation group SO(3). The set of all orthogonal matrices of size n with determinant +1 or −1 is a representation of the (general) orthogonal group O(n).

In two dimensions[edit]

In two dimensions, the standard rotation matrix has the following form:

This rotates column vectors by means of the following matrix multiplication,

Thus, the new coordinates (x′, y′) of a point (x, y) after rotation are

Examples[edit]

For example, when the vector

is rotated by an angle θ, its new coordinates are

and when the vector

is rotated by an angle θ, its new coordinates are

Direction[edit]

The direction of vector rotation is counterclockwise if θ is positive (e.g. 90°), and clockwise if θ is negative (e.g. −90°). Thus the clockwise rotation matrix is found as

The two-dimensional case is the only non-trivial (i.e. not one-dimensional) case where the rotation matrices group is commutative, so that it does not matter in which order multiple rotations are performed. An alternative convention uses rotating axes,^[1] and the above matrices also represent a rotation of the axes clockwise through an angle θ.

Non-standard orientation of the coordinate system[edit]

If a standard right-handed Cartesian coordinate system is used, with the x-axis to the right and the y-axis up, the rotation R(θ) is counterclockwise. If a left-handed Cartesian coordinate system is used, with x directed to the right but y directed down, R(θ) is clockwise. Such non-standard orientations are rarely used in mathematics but are common in 2D computer graphics, which often have the origin in the top left corner and the y-axis down the screen or page.^[2]

See below for other alternative conventions which may change the sense of the rotation produced by a rotation matrix.

Common rotations[edit]

Particularly useful are the matrices

for 90°, 180°, and 270° counter-clockwise rotations.

Relationship with complex plane[edit]

Since

the matrices of the shape

form a ring isomorphic to the field of the complex numbers . Under this isomorphism, the rotation matrices correspond to circle of the unit complex numbers, the complex numbers of modulus 1.

If one identifies with through the linear isomorphism the action of a matrix of the above form on vectors of corresponds to the multiplication by the complex number x + iy, and rotations correspond to multiplication by complex numbers of modulus 1.

As every rotation matrix can be written

the above correspondence associates such a matrix with the complex number

(this last equality is Euler’s formula).

In three dimensions[edit]

Basic rotations[edit]

A basic rotation (also called elemental rotation) is a rotation about one of the axes of a coordinate system. The following three basic rotation matrices rotate vectors by an angle θ about the x-, y-, or z-axis, in three dimensions, using the right-hand rule—which codifies their alternating signs. Notice that the right-hand rule only works when multiplying . (The same matrices can also represent a clockwise rotation of the axes.^{[nb 1]})

For column vectors, each of these basic vector rotations appears counterclockwise when the axis about which they occur points toward the observer, the coordinate system is right-handed, and the angle θ is positive. R_z, for instance, would rotate toward the y-axis a vector aligned with the x-axis, as can easily be checked by operating with R_z on the vector (1,0,0):

This is similar to the rotation produced by the above-mentioned two-dimensional rotation matrix. See below for alternative conventions which may apparently or actually invert the sense of the rotation produced by these matrices.

General rotations[edit]

Other rotation matrices can be obtained from these three using matrix multiplication. For example, the product

represents a rotation whose yaw, pitch, and roll angles are α, β and γ, respectively. More formally, it is an intrinsic rotation whose Tait–Bryan angles are α, β, γ, about axes z, y, x, respectively.
Similarly, the product

represents an extrinsic rotation whose (improper) Euler angles are α, β, γ, about axes x, y, z.

These matrices produce the desired effect only if they are used to premultiply column vectors, and (since in general matrix multiplication is not commutative) only if they are applied in the specified order (see Ambiguities for more details). The order of rotation operations is from right to left; the matrix adjacent to the column vector is the first to be applied, and then the one to the left.^[3]

Conversion from rotation matrix to axis–angle[edit]

Every rotation in three dimensions is defined by its axis (a vector along this axis is unchanged by the rotation), and its angle — the amount of rotation about that axis (Euler rotation theorem).

There are several methods to compute the axis and angle from a rotation matrix (see also axis–angle representation). Here, we only describe the method based on the computation of the eigenvectors and eigenvalues of the rotation matrix. It is also possible to use the trace of the rotation matrix.

Determining the axis[edit]

Given a 3 × 3 rotation matrix R, a vector u parallel to the rotation axis must satisfy

since the rotation of u around the rotation axis must result in u. The equation above may be solved for u which is unique up to a scalar factor unless R = I.

Further, the equation may be rewritten

which shows that u lies in the null space of R − I.

Viewed in another way, u is an eigenvector of R corresponding to the eigenvalue λ = 1. Every rotation matrix must have this eigenvalue, the other two eigenvalues being complex conjugates of each other. It follows that a general rotation matrix in three dimensions has, up to a multiplicative constant, only one real eigenvector.

One way to determine the rotation axis is by showing that:

Since (R − R^T) is a skew-symmetric matrix, we can choose u such that

The matrix–vector product becomes a cross product of a vector with itself, ensuring that the result is zero:

Therefore, if

then

The magnitude of u computed this way is ‖u‖ = 2 sin θ, where θ is the angle of rotation.

This does not work if R is symmetric. Above, if R − R^T is zero, then all subsequent steps are invalid. In this case, it is necessary to diagonalize R and find the eigenvector corresponding to an eigenvalue of 1.

Determining the angle[edit]

To find the angle of a rotation, once the axis of the rotation is known, select a vector v perpendicular to the axis. Then the angle of the rotation is the angle between v and Rv.

A more direct method, however, is to simply calculate the trace: the sum of the diagonal elements of the rotation matrix. Care should be taken to select the right sign for the angle θ to match the chosen axis:

from which follows that the angle’s absolute value is

Rotation matrix from axis and angle[edit]

The matrix of a proper rotation R by angle θ around the axis u = (u_x, u_y, u_z), a unit vector with u²
_x + u²
_y + u²
_z = 1, is given by:^[4]

A derivation of this matrix from first principles can be found in section 9.2 here.^[5] The basic idea to derive this matrix is dividing the problem into few known simple steps.

1. First rotate the given axis and the point such that the axis lies in one of the coordinate planes (xy, yz or zx)
2. Then rotate the given axis and the point such that the axis is aligned with one of the two coordinate axes for that particular coordinate plane (x, y or z)
3. Use one of the fundamental rotation matrices to rotate the point depending on the coordinate axis with which the rotation axis is aligned.
4. Reverse rotate the axis-point pair such that it attains the final configuration as that was in step 2 (Undoing step 2)
5. Reverse rotate the axis-point pair which was done in step 1 (undoing step 1)

This can be written more concisely as

where [u]_× is the cross product matrix of u; the expression u ⊗ u is the outer product, and I is the identity matrix. Alternatively, the matrix entries are:

where ε_jkl is the Levi-Civita symbol with ε₁₂₃ = 1. This is a matrix form of Rodrigues’ rotation formula, (or the equivalent, differently parametrized Euler–Rodrigues formula) with^{[nb 2]}

In the rotation of a vector x around the axis u by an angle θ can be written as:

If the 3D space is right-handed and θ > 0, this rotation will be counterclockwise when u points towards the observer (Right-hand rule). Explicitly, with a right-handed orthonormal basis,

Note the striking merely apparent differences to the equivalent Lie-algebraic formulation below.

Properties[edit]

For any n-dimensional rotation matrix R acting on

(The rotation is an orthogonal matrix)

It follows that:

A rotation is termed proper if det R = 1, and improper (or a roto-reflection) if det R = –1. For even dimensions n = 2k, the n eigenvalues λ of a proper rotation occur as pairs of complex conjugates which are roots of unity: λ = e^±iθ_j for j = 1, …, k, which is real only for λ = ±1. Therefore, there may be no vectors fixed by the rotation (λ = 1), and thus no axis of rotation. Any fixed eigenvectors occur in pairs, and the axis of rotation is an even-dimensional subspace.

For odd dimensions n = 2k + 1, a proper rotation R will have an odd number of eigenvalues, with at least one λ = 1 and the axis of rotation will be an odd dimensional subspace. Proof:

Here I is the identity matrix, and we use det(R^T) = det(R) = 1, as well as (−1)ⁿ = −1 since n is odd. Therefore, det(R – I) = 0, meaning there is a null vector v with (R – I)v = 0, that is Rv = v, a fixed eigenvector. There may also be pairs of fixed eigenvectors in the even-dimensional subspace orthogonal to v, so the total dimension of fixed eigenvectors is odd.

For example, in 2-space n = 2, a rotation by angle θ has eigenvalues λ = e^iθ and λ = e^−iθ, so there is no axis of rotation except when θ = 0, the case of the null rotation. In 3-space n = 3, the axis of a non-null proper rotation is always a unique line, and a rotation around this axis by angle θ has eigenvalues λ = 1, e^iθ, e^−iθ. In 4-space n = 4, the four eigenvalues are of the form e^±iθ, e^±iφ. The null rotation has θ = φ = 0. The case of θ = 0, φ ≠ 0 is called a simple rotation, with two unit eigenvalues forming an axis plane, and a two-dimensional rotation orthogonal to the axis plane. Otherwise, there is no axis plane. The case of θ = φ is called an isoclinic rotation, having eigenvalues e^±iθ repeated twice, so every vector is rotated through an angle θ.

The trace of a rotation matrix is equal to the sum of its eigenvalues. For n = 2, a rotation by angle θ has trace 2 cos θ. For n = 3, a rotation around any axis by angle θ has trace 1 + 2 cos θ. For n = 4, and the trace is 2(cos θ + cos φ), which becomes 4 cos θ for an isoclinic rotation.

Examples[edit]

Geometry[edit]

In Euclidean geometry, a rotation is an example of an isometry, a transformation that moves points without changing the distances between them. Rotations are distinguished from other isometries by two additional properties: they leave (at least) one point fixed, and they leave «handedness» unchanged. In contrast, a translation moves every point, a reflection exchanges left- and right-handed ordering, a glide reflection does both, and an improper rotation combines a change in handedness with a normal rotation.

If a fixed point is taken as the origin of a Cartesian coordinate system, then every point can be given coordinates as a displacement from the origin. Thus one may work with the vector space of displacements instead of the points themselves. Now suppose (p₁, …, p_n) are the coordinates of the vector p from the origin O to point P. Choose an orthonormal basis for our coordinates; then the squared distance to P, by Pythagoras, is

which can be computed using the matrix multiplication

A geometric rotation transforms lines to lines, and preserves ratios of distances between points. From these properties it can be shown that a rotation is a linear transformation of the vectors, and thus can be written in matrix form, Qp. The fact that a rotation preserves, not just ratios, but distances themselves, is stated as

or

Because this equation holds for all vectors, p, one concludes that every rotation matrix, Q, satisfies the orthogonality condition,

Rotations preserve handedness because they cannot change the ordering of the axes, which implies the special matrix condition,

Equally important, it can be shown that any matrix satisfying these two conditions acts as a rotation.

Multiplication[edit]

The inverse of a rotation matrix is its transpose, which is also a rotation matrix:

The product of two rotation matrices is a rotation matrix:

For n > 2, multiplication of n × n rotation matrices is generally not commutative.

Noting that any identity matrix is a rotation matrix, and that matrix multiplication is associative, we may summarize all these properties by saying that the n × n rotation matrices form a group, which for n > 2 is non-abelian, called a special orthogonal group, and denoted by SO(n), SO(n,R), SO_n, or SO_n(R), the group of n × n rotation matrices is isomorphic to the group of rotations in an n-dimensional space. This means that multiplication of rotation matrices corresponds to composition of rotations, applied in left-to-right order of their corresponding matrices.

Ambiguities[edit]

The interpretation of a rotation matrix can be subject to many ambiguities.

In most cases the effect of the ambiguity is equivalent to the effect of a rotation matrix inversion (for these orthogonal matrices equivalently matrix transpose).

Alias or alibi (passive or active) transformation

The coordinates of a point P may change due to either a rotation of the coordinate system CS (alias), or a rotation of the point P (alibi). In the latter case, the rotation of P also produces a rotation of the vector v representing P. In other words, either P and v are fixed while CS rotates (alias), or CS is fixed while P and v rotate (alibi). Any given rotation can be legitimately described both ways, as vectors and coordinate systems actually rotate with respect to each other, about the same axis but in opposite directions. Throughout this article, we chose the alibi approach to describe rotations. For instance,

represents a counterclockwise rotation of a vector v by an angle θ, or a rotation of CS by the same angle but in the opposite direction (i.e. clockwise). Alibi and alias transformations are also known as active and passive transformations, respectively.

Pre-multiplication or post-multiplication

The same point P can be represented either by a column vector v or a row vector w. Rotation matrices can either pre-multiply column vectors (Rv), or post-multiply row vectors (wR). However, Rv produces a rotation in the opposite direction with respect to wR. Throughout this article, rotations produced on column vectors are described by means of a pre-multiplication. To obtain exactly the same rotation (i.e. the same final coordinates of point P), the equivalent row vector must be post-multiplied by the transpose of R (i.e. wR^T).

Right- or left-handed coordinates

The matrix and the vector can be represented with respect to a right-handed or left-handed coordinate system. Throughout the article, we assumed a right-handed orientation, unless otherwise specified.

Vectors or forms

The vector space has a dual space of linear forms, and the matrix can act on either vectors or forms.

Decompositions[edit]

Independent planes[edit]

Consider the 3 × 3 rotation matrix

If Q acts in a certain direction, v, purely as a scaling by a factor λ, then we have

so that

Thus λ is a root of the characteristic polynomial for Q,

Two features are noteworthy. First, one of the roots (or eigenvalues) is 1, which tells us that some direction is unaffected by the matrix. For rotations in three dimensions, this is the axis of the rotation (a concept that has no meaning in any other dimension). Second, the other two roots are a pair of complex conjugates, whose product is 1 (the constant term of the quadratic), and whose sum is 2 cos θ (the negated linear term). This factorization is of interest for 3 × 3 rotation matrices because the same thing occurs for all of them. (As special cases, for a null rotation the «complex conjugates» are both 1, and for a 180° rotation they are both −1.) Furthermore, a similar factorization holds for any n × n rotation matrix. If the dimension, n, is odd, there will be a «dangling» eigenvalue of 1; and for any dimension the rest of the polynomial factors into quadratic terms like the one here (with the two special cases noted). We are guaranteed that the characteristic polynomial will have degree n and thus n eigenvalues. And since a rotation matrix commutes with its transpose, it is a normal matrix, so can be diagonalized. We conclude that every rotation matrix, when expressed in a suitable coordinate system, partitions into independent rotations of two-dimensional subspaces, at most n/2 of them.

The sum of the entries on the main diagonal of a matrix is called the trace; it does not change if we reorient the coordinate system, and always equals the sum of the eigenvalues. This has the convenient implication for 2 × 2 and 3 × 3 rotation matrices that the trace reveals the angle of rotation, θ, in the two-dimensional space (or subspace). For a 2 × 2 matrix the trace is 2 cos θ, and for a 3 × 3 matrix it is 1 + 2 cos θ. In the three-dimensional case, the subspace consists of all vectors perpendicular to the rotation axis (the invariant direction, with eigenvalue 1). Thus we can extract from any 3 × 3 rotation matrix a rotation axis and an angle, and these completely determine the rotation.

Sequential angles[edit]

The constraints on a 2 × 2 rotation matrix imply that it must have the form

with a² + b² = 1. Therefore, we may set a = cos θ and b = sin θ, for some angle θ. To solve for θ it is not enough to look at a alone or b alone; we must consider both together to place the angle in the correct quadrant, using a two-argument arctangent function.

Now consider the first column of a 3 × 3 rotation matrix,

Although a² + b² will probably not equal 1, but some value r² < 1, we can use a slight variation of the previous computation to find a so-called Givens rotation that transforms the column to

zeroing b. This acts on the subspace spanned by the x— and y-axes. We can then repeat the process for the xz-subspace to zero c. Acting on the full matrix, these two rotations produce the schematic form

Shifting attention to the second column, a Givens rotation of the yz-subspace can now zero the z value. This brings the full matrix to the form

which is an identity matrix. Thus we have decomposed Q as

An n × n rotation matrix will have (n − 1) + (n − 2) + ⋯ + 2 + 1, or

entries below the diagonal to zero. We can zero them by extending the same idea of stepping through the columns with a series of rotations in a fixed sequence of planes. We conclude that the set of n × n rotation matrices, each of which has n² entries, can be parameterized by 1/2n(n − 1) angles.

In three dimensions this restates in matrix form an observation made by Euler, so mathematicians call the ordered sequence of three angles Euler angles. However, the situation is somewhat more complicated than we have so far indicated. Despite the small dimension, we actually have considerable freedom in the sequence of axis pairs we use; and we also have some freedom in the choice of angles. Thus we find many different conventions employed when three-dimensional rotations are parameterized for physics, or medicine, or chemistry, or other disciplines. When we include the option of world axes or body axes, 24 different sequences are possible. And while some disciplines call any sequence Euler angles, others give different names (Cardano, Tait–Bryan, roll-pitch-yaw) to different sequences.

One reason for the large number of options is that, as noted previously, rotations in three dimensions (and higher) do not commute. If we reverse a given sequence of rotations, we get a different outcome. This also implies that we cannot compose two rotations by adding their corresponding angles. Thus Euler angles are not vectors, despite a similarity in appearance as a triplet of numbers.

Nested dimensions[edit]

A 3 × 3 rotation matrix such as

suggests a 2 × 2 rotation matrix,

is embedded in the upper left corner:

This is no illusion; not just one, but many, copies of n-dimensional rotations are found within (n + 1)-dimensional rotations, as subgroups. Each embedding leaves one direction fixed, which in the case of 3 × 3 matrices is the rotation axis. For example, we have

fixing the x-axis, the y-axis, and the z-axis, respectively. The rotation axis need not be a coordinate axis; if u = (x,y,z) is a unit vector in the desired direction, then

where c_θ = cos θ, s_θ = sin θ, is a rotation by angle θ leaving axis u fixed.

A direction in (n + 1)-dimensional space will be a unit magnitude vector, which we may consider a point on a generalized sphere, Sⁿ. Thus it is natural to describe the rotation group SO(n + 1) as combining SO(n) and Sⁿ. A suitable formalism is the fiber bundle,

where for every direction in the base space, Sⁿ, the fiber over it in the total space, SO(n + 1), is a copy of the fiber space, SO(n), namely the rotations that keep that direction fixed.

Thus we can build an n × n rotation matrix by starting with a 2 × 2 matrix, aiming its fixed axis on S² (the ordinary sphere in three-dimensional space), aiming the resulting rotation on S³, and so on up through Sⁿ⁻¹. A point on Sⁿ can be selected using n numbers, so we again have 1/2n(n − 1) numbers to describe any n × n rotation matrix.

In fact, we can view the sequential angle decomposition, discussed previously, as reversing this process. The composition of n − 1 Givens rotations brings the first column (and row) to (1, 0, …, 0), so that the remainder of the matrix is a rotation matrix of dimension one less, embedded so as to leave (1, 0, …, 0) fixed.

Skew parameters via Cayley’s formula[edit]

When an n × n rotation matrix Q, does not include a −1 eigenvalue, thus none of the planar rotations which it comprises are 180° rotations, then Q + I is an invertible matrix. Most rotation matrices fit this description, and for them it can be shown that (Q − I)(Q + I)⁻¹ is a skew-symmetric matrix, A. Thus A^T = −A; and since the diagonal is necessarily zero, and since the upper triangle determines the lower one, A contains 1/2n(n − 1) independent numbers.

Conveniently, I − A is invertible whenever A is skew-symmetric; thus we can recover the original matrix using the Cayley transform,

which maps any skew-symmetric matrix A to a rotation matrix. In fact, aside from the noted exceptions, we can produce any rotation matrix in this way. Although in practical applications we can hardly afford to ignore 180° rotations, the Cayley transform is still a potentially useful tool, giving a parameterization of most rotation matrices without trigonometric functions.

In three dimensions, for example, we have (Cayley 1846)

If we condense the skew entries into a vector, (x,y,z), then we produce a 90° rotation around the x-axis for (1, 0, 0), around the y-axis for (0, 1, 0), and around the z-axis for (0, 0, 1). The 180° rotations are just out of reach; for, in the limit as x → ∞, (x, 0, 0) does approach a 180° rotation around the x axis, and similarly for other directions.

Decomposition into shears[edit]

For the 2D case, a rotation matrix can be decomposed into three shear matrices (Paeth 1986):

This is useful, for instance, in computer graphics, since shears can be implemented with fewer multiplication instructions than rotating a bitmap directly. On modern computers, this may not matter, but it can be relevant for very old or low-end microprocessors.

A rotation can also be written as two shears and scaling (Daubechies & Sweldens 1998):

Group theory[edit]

Below follow some basic facts about the role of the collection of all rotation matrices of a fixed dimension (here mostly 3) in mathematics and particularly in physics where rotational symmetry is a requirement of every truly fundamental law (due to the assumption of isotropy of space), and where the same symmetry, when present, is a simplifying property of many problems of less fundamental nature. Examples abound in classical mechanics and quantum mechanics. Knowledge of the part of the solutions pertaining to this symmetry applies (with qualifications) to all such problems and it can be factored out of a specific problem at hand, thus reducing its complexity. A prime example – in mathematics and physics – would be the theory of spherical harmonics. Their role in the group theory of the rotation groups is that of being a representation space for the entire set of finite-dimensional irreducible representations of the rotation group SO(3). For this topic, see Rotation group SO(3) § Spherical harmonics.

The main articles listed in each subsection are referred to for more detail.

Lie group[edit]

The n × n rotation matrices for each n form a group, the special orthogonal group, SO(n). This algebraic structure is coupled with a topological structure inherited from in such a way that the operations of multiplication and taking the inverse are analytic functions of the matrix entries. Thus SO(n) is for each n a Lie group. It is compact and connected, but not simply connected. It is also a semi-simple group, in fact a simple group with the exception SO(4).^[6] The relevance of this is that all theorems and all machinery from the theory of analytic manifolds (analytic manifolds are in particular smooth manifolds) apply and the well-developed representation theory of compact semi-simple groups is ready for use.

Lie algebra[edit]

The Lie algebra so(n) of SO(n) is given by

and is the space of skew-symmetric matrices of dimension n, see classical group, where o(n) is the Lie algebra of O(n), the orthogonal group. For reference, the most common basis for so(3) is

Exponential map[edit]

Connecting the Lie algebra to the Lie group is the exponential map, which is defined using the standard matrix exponential series for e^A[7] For any skew-symmetric matrix A, exp(A) is always a rotation matrix.^{[nb 3]}

An important practical example is the 3 × 3 case. In rotation group SO(3), it is shown that one can identify every A ∈ so(3) with an Euler vector ω = θu, where u = (x, y, z) is a unit magnitude vector.

By the properties of the identification , u is in the null space of A. Thus, u is left invariant by exp(A) and is hence a rotation axis.

According to Rodrigues’ rotation formula on matrix form, one obtains,

where

This is the matrix for a rotation around axis u by the angle θ. For full detail, see exponential map SO(3).

Baker–Campbell–Hausdorff formula[edit]

The BCH formula provides an explicit expression for Z = log(e^Xe^Y) in terms of a series expansion of nested commutators of X and Y.^[8] This general expansion unfolds as^{[nb 4]}

In the 3 × 3 case, the general infinite expansion has a compact form,^[9]

for suitable trigonometric function coefficients, detailed in the Baker–Campbell–Hausdorff formula for SO(3).

As a group identity, the above holds for all faithful representations, including the doublet (spinor representation), which is simpler. The same explicit formula thus follows straightforwardly through Pauli matrices; see the 2 × 2 derivation for SU(2). For the general n × n case, one might use Ref.^[10]

Spin group[edit]

The Lie group of n × n rotation matrices, SO(n), is not simply connected, so Lie theory tells us it is a homomorphic image of a universal covering group. Often the covering group, which in this case is called the spin group denoted by Spin(n), is simpler and more natural to work with.^[11]

In the case of planar rotations, SO(2) is topologically a circle, S¹. Its universal covering group, Spin(2), is isomorphic to the real line, R, under addition. Whenever angles of arbitrary magnitude are used one is taking advantage of the convenience of the universal cover. Every 2 × 2 rotation matrix is produced by a countable infinity of angles, separated by integer multiples of 2π. Correspondingly, the fundamental group of SO(2) is isomorphic to the integers, Z.

In the case of spatial rotations, SO(3) is topologically equivalent to three-dimensional real projective space, RP³. Its universal covering group, Spin(3), is isomorphic to the 3-sphere, S³. Every 3 × 3 rotation matrix is produced by two opposite points on the sphere. Correspondingly, the fundamental group of SO(3) is isomorphic to the two-element group, Z₂.

We can also describe Spin(3) as isomorphic to quaternions of unit norm under multiplication, or to certain 4 × 4 real matrices, or to 2 × 2 complex special unitary matrices, namely SU(2). The covering maps for the first and the last case are given by

and

For a detailed account of the SU(2)-covering and the quaternionic covering, see spin group SO(3).

Many features of these cases are the same for higher dimensions. The coverings are all two-to-one, with SO(n), n > 2, having fundamental group Z₂. The natural setting for these groups is within a Clifford algebra. One type of action of the rotations is produced by a kind of «sandwich», denoted by qvq^∗. More importantly in applications to physics, the corresponding spin representation of the Lie algebra sits inside the Clifford algebra. It can be exponentiated in the usual way to give rise to a 2-valued representation, also known as projective representation of the rotation group. This is the case with SO(3) and SU(2), where the 2-valued representation can be viewed as an «inverse» of the covering map. By properties of covering maps, the inverse can be chosen ono-to-one as a local section, but not globally.

Infinitesimal rotations[edit]

The matrices in the Lie algebra are not themselves rotations; the skew-symmetric matrices are derivatives, proportional differences of rotations. An actual «differential rotation», or infinitesimal rotation matrix has the form

where dθ is vanishingly small and A ∈ so(n), for instance with A = L_x,

The computation rules are as usual except that infinitesimals of second order are routinely dropped. With these rules, these matrices do not satisfy all the same properties as ordinary finite rotation matrices under the usual treatment of infinitesimals.^[12] It turns out that the order in which infinitesimal rotations are applied is irrelevant. To see this exemplified, consult infinitesimal rotations SO(3).

Conversions[edit]

We have seen the existence of several decompositions that apply in any dimension, namely independent planes, sequential angles, and nested dimensions. In all these cases we can either decompose a matrix or construct one. We have also given special attention to 3 × 3 rotation matrices, and these warrant further attention, in both directions (Stuelpnagel 1964).

Quaternion[edit]

Given the unit quaternion q = w + xi + yj + zk, the equivalent pre-multiplied (to be used with column vectors) 3 × 3 rotation matrix is ^[13]

Now every quaternion component appears multiplied by two in a term of degree two, and if all such terms are zero what is left is an identity matrix. This leads to an efficient, robust conversion from any quaternion – whether unit or non-unit – to a 3 × 3 rotation matrix. Given:

we can calculate

Freed from the demand for a unit quaternion, we find that nonzero quaternions act as homogeneous coordinates for 3 × 3 rotation matrices. The Cayley transform, discussed earlier, is obtained by scaling the quaternion so that its w component is 1. For a 180° rotation around any axis, w will be zero, which explains the Cayley limitation.

The sum of the entries along the main diagonal (the trace), plus one, equals 4 − 4(x² + y² + z²), which is 4w². Thus we can write the trace itself as 2w² + 2w² − 1; and from the previous version of the matrix we see that the diagonal entries themselves have the same form: 2x² + 2w² − 1, 2y² + 2w² − 1, and 2z² + 2w² − 1. So we can easily compare the magnitudes of all four quaternion components using the matrix diagonal. We can, in fact, obtain all four magnitudes using sums and square roots, and choose consistent signs using the skew-symmetric part of the off-diagonal entries:

Alternatively, use a single square root and division

This is numerically stable so long as the trace, t, is not negative; otherwise, we risk dividing by (nearly) zero. In that case, suppose Q_xx is the largest diagonal entry, so x will have the largest magnitude (the other cases are derived by cyclic permutation); then the following is safe.

If the matrix contains significant error, such as accumulated numerical error, we may construct a symmetric 4 × 4 matrix,

and find the eigenvector, (x, y, z, w), of its largest magnitude eigenvalue. (If Q is truly a rotation matrix, that value will be 1.) The quaternion so obtained will correspond to the rotation matrix closest to the given matrix (Bar-Itzhack 2000) (Note: formulation of the cited article is post-multiplied, works with row vectors).

Polar decomposition[edit]

If the n × n matrix M is nonsingular, its columns are linearly independent vectors; thus the Gram–Schmidt process can adjust them to be an orthonormal basis. Stated in terms of numerical linear algebra, we convert M to an orthogonal matrix, Q, using QR decomposition. However, we often prefer a Q closest to M, which this method does not accomplish. For that, the tool we want is the polar decomposition (Fan & Hoffman 1955; Higham 1989).

To measure closeness, we may use any matrix norm invariant under orthogonal transformations. A convenient choice is the Frobenius norm, ‖Q − M‖_F, squared, which is the sum of the squares of the element differences. Writing this in terms of the trace, Tr, our goal is,

Find Q minimizing Tr( (Q − M)^T(Q − M) ), subject to Q^TQ = I.

Though written in matrix terms, the objective function is just a quadratic polynomial. We can minimize it in the usual way, by finding where its derivative is zero. For a 3 × 3 matrix, the orthogonality constraint implies six scalar equalities that the entries of Q must satisfy. To incorporate the constraint(s), we may employ a standard technique, Lagrange multipliers, assembled as a symmetric matrix, Y. Thus our method is:

Differentiate Tr( (Q − M)^T(Q − M) + (Q^TQ − I)Y ) with respect to (the entries of) Q, and equate to zero.

In general, we obtain the equation

so that

where Q is orthogonal and S is symmetric. To ensure a minimum, the Y matrix (and hence S) must be positive definite. Linear algebra calls QS the polar decomposition of M, with S the positive square root of S² = M^TM.

When M is non-singular, the Q and S factors of the polar decomposition are uniquely determined. However, the determinant of S is positive because S is positive definite, so Q inherits the sign of the determinant of M. That is, Q is only guaranteed to be orthogonal, not a rotation matrix. This is unavoidable; an M with negative determinant has no uniquely defined closest rotation matrix.

Axis and angle[edit]

To efficiently construct a rotation matrix Q from an angle θ and a unit axis u, we can take advantage of symmetry and skew-symmetry within the entries. If x, y, and z are the components of the unit vector representing the axis, and

then

Determining an axis and angle, like determining a quaternion, is only possible up to the sign; that is, (u, θ) and (−u, −θ) correspond to the same rotation matrix, just like q and −q. Additionally, axis–angle extraction presents additional difficulties. The angle can be restricted to be from 0° to 180°, but angles are formally ambiguous by multiples of 360°. When the angle is zero, the axis is undefined. When the angle is 180°, the matrix becomes symmetric, which has implications in extracting the axis. Near multiples of 180°, care is needed to avoid numerical problems: in extracting the angle, a two-argument arctangent with atan2(sin θ, cos θ) equal to θ avoids the insensitivity of arccos; and in computing the axis magnitude in order to force unit magnitude, a brute-force approach can lose accuracy through underflow (Moler & Morrison 1983).

A partial approach is as follows:

The x-, y-, and z-components of the axis would then be divided by r. A fully robust approach will use a different algorithm when t, the trace of the matrix Q, is negative, as with quaternion extraction. When r is zero because the angle is zero, an axis must be provided from some source other than the matrix.

Euler angles[edit]

Complexity of conversion escalates with Euler angles (used here in the broad sense). The first difficulty is to establish which of the twenty-four variations of Cartesian axis order we will use. Suppose the three angles are θ₁, θ₂, θ₃; physics and chemistry may interpret these as

while aircraft dynamics may use

One systematic approach begins with choosing the rightmost axis. Among all permutations of (x,y,z), only two place that axis first; one is an even permutation and the other odd. Choosing parity thus establishes the middle axis. That leaves two choices for the left-most axis, either duplicating the first or not. These three choices gives us 3 × 2 × 2 = 12 variations; we double that to 24 by choosing static or rotating axes.

This is enough to construct a matrix from angles, but triples differing in many ways can give the same rotation matrix. For example, suppose we use the zyz convention above; then we have the following equivalent pairs:

(90°,	45°,	−105°)	≡	(−270°,	−315°,	255°)	multiples of 360°
(72°,	0°,	0°)	≡	(40°,	0°,	32°)	singular alignment
(45°,	60°,	−30°)	≡	(−135°,	−60°,	150°)	bistable flip

Angles for any order can be found using a concise common routine (Herter & Lott 1993; Shoemake 1994).

The problem of singular alignment, the mathematical analog of physical gimbal lock, occurs when the middle rotation aligns the axes of the first and last rotations. It afflicts every axis order at either even or odd multiples of 90°. These singularities are not characteristic of the rotation matrix as such, and only occur with the usage of Euler angles.

The singularities are avoided when considering and manipulating the rotation matrix as orthonormal row vectors (in 3D applications often named the right-vector, up-vector and out-vector) instead of as angles. The singularities are also avoided when working with quaternions.

Vector to vector formulation[edit]

In some instances it is interesting to describe a rotation by specifying how a vector is mapped into another through the shortest path (smallest angle). In this completely describes the associated rotation matrix. In general, given x, y ∈ ⁿ, the matrix

belongs to SO(n + 1) and maps x to y.^[14]

Uniform random rotation matrices[edit]

We sometimes need to generate a uniformly distributed random rotation matrix. It seems intuitively clear in two dimensions that this means the rotation angle is uniformly distributed between 0 and 2π. That intuition is correct, but does not carry over to higher dimensions. For example, if we decompose 3 × 3 rotation matrices in axis–angle form, the angle should not be uniformly distributed; the probability that (the magnitude of) the angle is at most θ should be 1/π(θ − sin θ), for 0 ≤ θ ≤ π.

Since SO(n) is a connected and locally compact Lie group, we have a simple standard criterion for uniformity, namely that the distribution be unchanged when composed with any arbitrary rotation (a Lie group «translation»). This definition corresponds to what is called Haar measure. León, Massé & Rivest (2006) show how to use the Cayley transform to generate and test matrices according to this criterion.

We can also generate a uniform distribution in any dimension using the subgroup algorithm of Diaconis & Shashahani (1987). This recursively exploits the nested dimensions group structure of SO(n), as follows. Generate a uniform angle and construct a 2 × 2 rotation matrix. To step from n to n + 1, generate a vector v uniformly distributed on the n-sphere Sⁿ, embed the n × n matrix in the next larger size with last column (0, …, 0, 1), and rotate the larger matrix so the last column becomes v.

As usual, we have special alternatives for the 3 × 3 case. Each of these methods begins with three independent random scalars uniformly distributed on the unit interval. Arvo (1992) takes advantage of the odd dimension to change a Householder reflection to a rotation by negation, and uses that to aim the axis of a uniform planar rotation.

Another method uses unit quaternions. Multiplication of rotation matrices is homomorphic to multiplication of quaternions, and multiplication by a unit quaternion rotates the unit sphere. Since the homomorphism is a local isometry, we immediately conclude that to produce a uniform distribution on SO(3) we may use a uniform distribution on S³. In practice: create a four-element vector where each element is a sampling of a normal distribution. Normalize its length and you have a uniformly sampled random unit quaternion which represents a uniformly sampled random rotation. Note that the aforementioned only applies to rotations in dimension 3. For a generalised idea of quaternions, one should look into Rotors.

Euler angles can also be used, though not with each angle uniformly distributed (Murnaghan 1962; Miles 1965).

For the axis–angle form, the axis is uniformly distributed over the unit sphere of directions, S², while the angle has the nonuniform distribution over [0,π] noted previously (Miles 1965).

See also[edit]

[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Arvo, James (1992), «Fast random rotation matrices», in David Kirk (ed.), Graphics Gems III, San Diego: Academic Press Professional, pp. 117–120, Bibcode:1992grge.book…..K, ISBN 978-0-12-409671-4
• Baker, Andrew (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Springer, ISBN 978-1-85233-470-3
• Bar-Itzhack, Itzhack Y. (Nov–Dec 2000), «New method for extracting the quaternion from a rotation matrix», Journal of Guidance, Control and Dynamics, 23 (6): 1085–1087, Bibcode:2000JGCD…23.1085B, doi:10.2514/2.4654, ISSN 0731-5090
• Björck, Åke; Bowie, Clazett (June 1971), «An iterative algorithm for computing the best estimate of an orthogonal matrix», SIAM Journal on Numerical Analysis, 8 (2): 358–364, Bibcode:1971SJNA….8..358B, doi:10.1137/0708036, ISSN 0036-1429
• Cayley, Arthur (1846), «Sur quelques propriétés des déterminants gauches», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1846 (32): 119–123, doi:10.1515/crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102, S2CID 199546746; reprinted as article 52 in Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 332–336
• Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), «The subgroup algorithm for generating uniform random variables», Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648, S2CID 122752374
• Engø, Kenth (June 2001), «On the BCH-formula in so(3)», BIT Numerical Mathematics, 41 (3): 629–632, doi:10.1023/A:1021979515229, ISSN 0006-3835, S2CID 126053191
• Fan, Ky; Hoffman, Alan J. (February 1955), «Some metric inequalities in the space of matrices», Proceedings of the American Mathematical Society, 6 (1): 111–116, doi:10.2307/2032662, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032662
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, New York, Berlin, Heidelberg: Springer, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (third ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-65702-9
• Hall, Brian C. (2004), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 978-0-387-40122-5 (GTM 222)
• Herter, Thomas; Lott, Klaus (September–October 1993), «Algorithms for decomposing 3-D orthogonal matrices into primitive rotations», Computers & Graphics, 17 (5): 517–527, doi:10.1016/0097-8493(93)90003-R, ISSN 0097-8493
• Higham, Nicholas J. (October 1, 1989), «Matrix nearness problems and applications», in Gover, Michael J. C.; Barnett, Stephen (eds.), Applications of Matrix Theory, Oxford University Press, pp. 1–27, ISBN 978-0-19-853625-3
• León, Carlos A.; Massé, Jean-Claude; Rivest, Louis-Paul (February 2006), «A statistical model for random rotations», Journal of Multivariate Analysis, 97 (2): 412–430, doi:10.1016/j.jmva.2005.03.009, ISSN 0047-259X
• Miles, Roger E. (December 1965), «On random rotations in R³«, Biometrika, 52 (3/4): 636–639, doi:10.2307/2333716, ISSN 0006-3444, JSTOR 2333716
• Moler, Cleve; Morrison, Donald (1983), «Replacing square roots by pythagorean sums», IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, doi:10.1147/rd.276.0577, ISSN 0018-8646
• Murnaghan, Francis D. (1950), «The element of volume of the rotation group», Proceedings of the National Academy of Sciences, 36 (11): 670–672, Bibcode:1950PNAS…36..670M, doi:10.1073/pnas.36.11.670, ISSN 0027-8424, PMC 1063502, PMID 16589056
• Murnaghan, Francis D. (1962), The Unitary and Rotation Groups, Lectures on applied mathematics, Washington: Spartan Books
• Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 332–336
• Paeth, Alan W. (1986), «A Fast Algorithm for General Raster Rotation» (PDF), Proceedings, Graphics Interface ’86: 77–81
• Daubechies, Ingrid; Sweldens, Wim (1998), «Factoring wavelet transforms into lifting steps» (PDF), Journal of Fourier Analysis and Applications, 4 (3): 247–269, doi:10.1007/BF02476026, S2CID 195242970
• Pique, Michael E. (1990), «Rotation Tools», in Andrew S. Glassner (ed.), Graphics Gems, San Diego: Academic Press Professional, pp. 465–469, ISBN 978-0-12-286166-6
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 21.5.2. Picking a Random Rotation Matrix», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

• Shepperd, Stanley W. (May–June 1978), «Quaternion from rotation matrix», Journal of Guidance and Control, 1 (3): 223–224, doi:10.2514/3.55767b
• Shoemake, Ken (1994), «Euler angle conversion», in Paul Heckbert (ed.), Graphics Gems IV, San Diego: Academic Press Professional, pp. 222–229, ISBN 978-0-12-336155-4
• Stuelpnagel, John (October 1964), «On the parameterization of the three-dimensional rotation group», SIAM Review, 6 (4): 422–430, Bibcode:1964SIAMR…6..422S, doi:10.1137/1006093, ISSN 0036-1445, S2CID 13990266 (Also NASA-CR-53568.)
• Varadarajan, Veeravalli S. (1984), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation, Springer, ISBN 978-0-387-90969-1 (GTM 102)
• Wedderburn, Joseph H. M. (1934), Lectures on Matrices, AMS, ISBN 978-0-8218-3204-2

External links[edit]

• «Rotation», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Rotation matrices at Mathworld
• Math Awareness Month 2000 interactive demo (requires Java)
• Rotation Matrices at MathPages
• (in Italian) A parametrization of SOn(R) by generalized Euler Angles
• Rotation about any point

Тут всё просто. Для начала рассмотрим более простую задачу: какие координаты будут у единичного вектора, который повёрнут относительно оси абсцисс на угол α? Ответ: (cos α, sin α). Это чуть ли не определение косинуса и синуса.

Что такое координаты? Это коэффициенты в разложении вектора по базису:

r = i cos α + j sin α

Здесь r — искомый вектор, i и j — базисные вектора.

Таким образом, поворачивать базисный вектор в ортонормированном базисе очень просто.

Теперь вспомним, что нам надо повернуть не базисный вектор, а указанный. Обозначим его буквой v. Так вот, повернуть его очень просто: надо сделать его базисным! Точнее, надо построить ортонормированный базис с его участием. В конце концов, ортонормированный базис на плоскости — это всего лишь два перпендикулярных вектора одинаковой длины, и один из них у нас уже есть.

Чтобы найти второй вектор, надо повернуть вектор v на 90 градусов. Это делается куда проще, чем поворот на произвольный угол:

Как видно, если у вектора v координаты были (x, y) — то у перпендикулярного вектора u координаты будут (-y, x). Можете проверить сами — это верно для любого квадранта. И обратите ещё раз внимание на разные знаки у координат: именно отсюда в дальнейшем возникнет интересующее вас несоответствие.

И так, у нас есть ортонормированный базис, у нас если формула поворота базисного вектора, и нам надо его повернуть:

Кажется, всё готово для получения ответа. Получаем формулу в векторном виде:

r = v cos α + u sin α

Теперь подставим в формулу координаты обоих векторов и…

r_x = x cos α — y sin α

r_y = y cos α + x sin α

Матрица поворота в двумерном пространстве

В
двумерном пространстве поворот можно
описать одним углом

со
следующей матрицей линейного
преобразования
в декартовой
системе координат:

Поворот
выполняется путём умножения матрицы
поворота на вектор-столбец,
описывающий вращаемую точку:

.

Координаты
(x’,y’) в результате поворота точки (x,y)
имеют вид:

,

.

Положительным
углам при этом соответствует вращение
вектора против часовой стрелки в обычной,
правосторонней
системе координат,
и по часовой стрелке в левосторонней
системе координат.

[Править] Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами
вращения вокруг оси декартовой
системы координат
на угол α
в трёхмерном пространстве являются:

• Вращение
  вокруг оси x:

,

• Вращение
  вокруг оси y:

,

• Вращение
  вокруг оси z:

.

Положительным
углам при этом соответствует вращение
вектора против часовой стрелки в правой
системе координат,
и по часовой стрелке в левой системе
координат, если смотреть на плоскость
вращении со стороны полупространства,
где значения координат оси, вокруг
которой осуществляется поворот,
положительные. Правая система координат
связана с выбором правого базиса
(см. правило
буравчика).

Свойства
матрицы поворота.

Свойства матрицы поворота

Если

 —
матрица, задающая поворот вокруг оси

на
угол ϕ,
то:

• 
  

• 

• 

• 
  (след
  матрицы
  вращения)

• 
  (матрица
  имеет единичный определитель).

• если
  строки (или столбцы матрицы) рассматривать
  как координаты векторов
  
  ,
  то верны следующие соотношения):

  • 

  • 

  • 

• Матрица
  обратного поворота получается обычным
  транспонированием
  матрицы прямого поворота, т. о.
  
  .

1. Алгоритм
   Брезенхема для растеризации отрезка.

Алгоритм
Брезенхе́ма
(англ. Bresenham’s
line algorithm)
— это алгоритм, определяющий, какие
точки двумерного
растра нужно закрасить, чтобы получить
близкое приближение прямой линии между
двумя заданными точками.
Это один из старейших алгоритмов в
машинной
графике
— он был разработан Джеком Е. Брезенхэмом
(Jack E. Bresenham) в компании IBM
в 1962
году. Алгоритм широко используется, в
частности, для рисования линий на экране
компьютера. Существует обобщение
алгоритма Брезенхэма
для построения кривых 2-го порядка.

Алгоритм

Отрезок
проводится между двумя точками — (x₀,y₀)
и (x₁,y₁),
где в этих парах указаны колонка и
строка, соответственно, номера которых
растут вправо и вниз. Сначала мы будем
предполагать, что наша линия идёт вниз
и вправо, причём горизонтальное расстояние
x₁
− x₀
превосходит вертикальное y₁
− y₀,
т.е. наклон линии от горизонтали — менее
45°. Наша цель состоит в том, чтобы для
каждой колонки x
между x₀
и x₁,
определить, какая строка y
ближе всего к линии, и нарисовать точку
(x,y).

Общая
формула линии между двумя точками:

Поскольку
мы знаем колонку x,
то строка y
получается округлением к целому
следующего значения:

Однако,
вычислять точное значение этого выражения
нет необходимости. Достаточно заметить,
что y
растёт от y₀
и за каждый шаг мы добавляем к x
единицу и добавляем к y
значение наклона

которое
можно вычислить заранее. Более того, на
каждом шаге мы делаем одно из двух: либо
сохраняем тот же y,
либо увеличиваем его на 1.

Что
из этих двух выбрать — можно решить,
отслеживая значение
ошибки,
которое означает — вертикальное
расстояние между текущим значением y
и точным значением y
для текущего x.
Всякий раз, когда мы увеличиваем x,
мы увеличиваем значение ошибки на
величину наклона s,
приведённую выше. Если ошибка превысила
0.5, линия стала ближе к следующему y,
поэтому мы увеличиваем y
на единицу, одновременно уменьшая
значение ошибки на 1. В реализации
алгоритма, приведённой ниже, plot(x,y)
рисует точку, а abs
возвращает абсолютную
величину
числа:

function
line(x0, x1, y0, y1)

int
deltax := abs(x1 — x0)

int
deltay := abs(y1 — y0)

real
error := 0

real
deltaerr := deltay / deltax

int
y := y0

for
x from
x0 to
x1

plot(x,y)

error
:= error + deltaerr

if
error >= 0.5

y
:= y + 1

error
:= error — 1.0

Проблема
такого подхода — в том, что с вещественными
величинами, такими как error
и deltaerr,
компьютеры работают относительно
медленно. Кроме того, при вычислениях
с плавающей точкой может накапливаться
ошибка. По этим причинам, лучше работать
только с целыми числами. Это можно
сделать, если умножить все используемые
вещественные величины на deltax.
Единственная проблема — с константой
0.5 — но в данном случае достаточно
умножить обе части неравенства на 2.
Получаем
следующий
код:

function
line(x0, x1, y0, y1)

int
deltax := abs(x1 — x0)

int
deltay := abs(y1 — y0)

int
error := 0

int
deltaerr := deltay

int
y := y0

for
x from
x0 to
x1

plot(x,y)

error
:= error + deltaerr

if
2 * error >= deltax

y
:= y + 1

error
:= error — deltax

Умножение
на 2 для целых чисел реализуется битовым
сдвигом влево.

Теперь
мы можем быстро рисовать линии,
направленные вправо-вниз с величиной
наклона меньше 1. Осталось распространить
алгоритм на рисование во всех направлениях.
Это достигается за счёт зеркальных
отражений, т.е. заменой знака (шаг в 1
заменяется на -1), обменом переменных x
и y,
обменом координат начала отрезка с
координатами конца.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

О матрице поворота простыми словами

Когда Пифагор плыл по реке Хуанхэ, он увидел у берега, в лодке, задремавшего рыбака, в конической шляпе и с бамбуковой удочкой в руках.

Памятуя о том, что на Хабрахабр заглядывают люди разной математической подготовки, — однако, в поле интересов которых вполне может попадать тема линейных преобразований, — в связи с её практической значимостью, — я попробую рассказать об этом максимально доступно.

Продолжим историю

Треугольные очертания лодки, шляпы и удочки над водой настолько поразили философа-математика, что он застыл как заворожённый.

Удочка рыбака аккуратно зависла над гладью вод Жёлтой Реки под углом, равным 45 градусам.

Лёгкий туман стелился над водой… и вдруг — поклёв. Рыбак потянул удочку, и она стала быстро набирать высоту, длина лески (катет А) стала расти на глазах, а расстояние от рыбака до самой лески стало уменьшаться (катет B). И самое интересное — длина самой удочки совсем не изменилась — телескопических удочек ещё не было, — даже когда она описала в воздухе дугу и оказалась почти над головой рыбака, под углом 90 градусов. Длина лески сравнялась с длиной удочки — катушки тогда уже были, — а расстояние между рыбаком и леской изменилось до 0, леска оказалась в руках рыбака.

Последний момент очень важен для понимания того, что происходит при умножении вектора-удочки на матрицу поворота.

Ностальгируем и думаем дальше…

Вспомним теорему Пифагора: квадрат длины удочки равен сумме квадратов катетов — самой лески и расстоянию между рыбаком и тем местом, где леска погружена в воду — С^2=А в квадрате + B в квадрате.

Представим, что длина удочки 4.2, длина (или высота над водой) лески 3, расстояние между рыбаком и местом, где леска погружена в воду тоже 3.

Окунёмся в поиски

1) найдём то, как соотносится между собой длина лески с длиной удочки — синус угла а.
2) найдём то, как соотносится длина отрезка между рыбаком и местом погружения лески с длиной удочки — косинус а. Считаем:

sin(a) = 3/ 4.2= 0.7
cos(a) = 3/ 4.2 = 0.7

А теперь порассуждаем
Что будет если катет А разделить на sin(a)?! т.е.:

3/0.7= 4.2

Получаем длину удочки — гипотенузу.
А если мы умножим катет А на sin(а)?!

3*0.7= 2.1

Отметим это расстояние на гипотенузе — 2.1.

На оставшееся расстояние также приходится — 2.1, так как очевидно:

4.2-2.1=2.1

Это означает, то как в текущий момент времени синус и косинус делят гипотенузу. Поскольку квадрат гипотенузы это 4.2*4.2, то вопрос: что будет если 4.2 умножить на 2.1?! На ту самую её часть, с которой связан один из катетов:

4.2*2.1 = 9, (корень: 3)

Тоже самое для второго катета.

Нашли катеты. И убедились в том, что со времён Пифагора ничего не изменилось.

Далее

Теперь ещё раз осуществим умножение катета А на sin(a), катета B на cos(a).

3*0.7= 2,1
3*0.7 = 2,1

Суммируем:

2.1 + 2.1 =4.2

или

3*0.7 + 3*0.7 =4.2

Снова получили число равное длине удочки… и мы вплотную подобрались к матрице поворота.

Напомню формулу

(изображение из Википедии. Ссылка на статью)

Возьмём её нижнюю часть — получение точки y:

y=x*sin(Ф)+y*cos(Ф)

И сравним с вычислениями выше:

3*0.7 + 3*0.7 = 4.2
y=x*sin(Ф)+y*cos(Ф)

Как две капли воды. Y в нашем случае окажется равным 4.2.
Если применить первую часть формулы к вычислениям, то получим:

3*0.7 — 3*0.7 = 0

Иными словами случится так:

x станет 0 — рыбак поймает леску.
y станет 4.2 — леска сравняется с длиной удочки.

Помним, что для вычисления x синус и косинус меняются местами.

Ф в данном случае равно 45 градусам (Ф = 0.7 ) и при таком угле синус и косинус равны, что удобно для примера. В остальных случаях очевидно величины для синуса и косинуса будут другие. Например, для 40 градусов: cosdegree(40) = 0,7660444431, sindegree(40) = 0,6427876097 (если вы не согласны, обращайтесь в Яндекс, я пользовался его калькулятором).

В итоге

Применяя формулу к новым значениям x,y несколько раз — в цикле, наглядно увидим движение по окружности, каждый раз на 45 градусов.

Если требуется сдвинуть вектор-удочку на один градус, то его и подставляем в формулу на место Ф.

Как происходит вычисление тригонометрических функций?!
Как известно, для вычисления косинуса и синуса угла обычно используются готовые функции. Согласно информации по ссылке вычисление и точность зависят от системы. Для unix-систем есть по крайней мере два варианта: функция, написанная в недрах компании IBM и встроенная инструкция fsin на Ассемблере. Есть также библиотека fdlibm с достаточно наглядным кодом и комментариями, по которым видно, что синус и косинус вычисляются в этой библиотеке через число pi.

А вдруг автор этой статьи все придумал?

Если у вас на компьютере есть веб-сервер и интерпретатор языка PHP, то можно поэкспериментировать со следующим кодом, который вращает блок CSS div:

Файл index.php

<?php
if (isset($_GET['ok'])) {
$x= $_GET['x']*cos(1)-$y=$_GET['y']*sin(1);
$y= $_GET['x']*sin(1)+$y=$_GET['y']*cos(1);
}
?>

		<style>
			#rotation_martix {
			position: absolute;
			top:  <?=$x+300?>px;
			left: <?=$y+300?>px;
			background-color: #999;
			width: 10px;
			height: 10px;
			}
			</style>

<    div id="rotation_martix">
</  div>
<form  method="GET" >
<input type="submit" name="ok" value="ok">
<input type="text" name="x" value="<?=$x?>">
<input type="text" name="y" value="<?=$y?>">
</form>

Если немного изменить матрицу, то можно получить вращение по спирали или сделать из точки маятник.