Как найти вектор умноженный на вектор

Что такое произведение векторов

Это одна из основных операций над векторами в векторной алгебре. Вектор, в отличие от обычного отрезка, имеет не только длину, но и направление в пространстве.

Основные типы перемножения векторов

В математике есть два основных вида умножения векторов: скалярное и векторное. Результатом первого является число, результатом второго — вектор. Оба произведения применяются к двум векторам. Также выделяют смешанное произведение векторов, которое является комбинацией двух вышеописанных. Оно применяется, когда необходимо узнать результат умножения трех векторов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Скалярное

Записывается скалярное произведение двумя способами: ( (overline a,;overline b) ) или ( overline acdotoverline b.)

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. Перестановочность. Произведение не меняется от перемены мест множителей: (overline acdotoverline b=overline bcdotoverline a.)
2. Сочетательность относительно числа. Умножение одного из векторов на число равносильно умножению обоих векторов на это число: ((lambdaoverline a)cdotoverline b=lambda(overline acdotoverline b)(lambdaoverline a)cdot(muoverline b)=(lambdamu)(overline acdotoverline b).)
3. Распределительный закон. Скалярное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме скалярных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)cdotoverline c=overline acdotoverline c+overline bcdotoverline c.)

Геометрические свойства скалярного умножения

1. Скалярное произведение вектора на него же равняется квадрату его модуля: (overline acdotoverline a=overline a^2=overline{left|aright|}cdotoverline{left|aright|}cdotcosleft(0right)=left|overline a^2right|.)
2. Если угол между векторами острый (меньше (90^circ)), то скалярное произведение этих векторов больше нуля.
3. Если угол между векторами тупой (больше (90^circ)), то их скалярное произведение меньше нуля.
4. Если вектора перпендикулярны (угол равен (90^circ)), то их скалярное произведение будет равняться нулю.
5. Если координаты перемножаемых векторов известны, то их скалярное произведение будет равняться сумме произведений соответствующих координат:( overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z.)

Геометрический смысл

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

(overline acdotoverline b=left|overline aright|cdot пр_overline aoverline b=overline{left|bright|}cdot пр_overline boverline a)

(пр_overline boverline a=frac{overline acdotoverline b}{left|overline bright|})

Физический смысл

Скалярное произведение применяется для расчета работы, выполняемой при перемещении материальной точки вдоль вектора (overline s) под действием силы (overline F), приложенной под некоторым углом (varphi.)

Рисунок 1. Физический смысл скалярного произведения

Силу (overline F) необходимо разложить на ортогональные компоненты (overline{F_1}) и (overline{F_2}.) Тогда (overline{F_1}) будет являться проекцией силы (overline F) на вектор (overline s:)

(left|overline{F_1}right|=left|overline Fright|cdotcosleft(varphiright).)

В свою очередь, работа A вычисляется по формуле:

(A=left|overline{F_1}right|cdotleft|overline Sright|.)

Соединив данные формулы получим:

(A=left|overline Fright|cdotleft|overline Sright|cdotcosleft(varphiright),)

что является скалярным произведением векторов (overline F) и (overline s:)

(A=overline Fcdotoverline S.)

Векторное

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки. В противном случае такая тройка называется левой.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторное произведение может выражаться в записи двумя способами: (overline atimesoverline b) и (lbrackoverline a,overline brbrack.)

Алгебраические свойства

1. Антиперестановочность. В отличие от скалярного произведения, в векторном при перемене мест множителей знак меняется на противоположный: (overline atimesoverline b=-(overline btimesoverline a))
2. Сочетательность относительно числа. Как и в случае со скалярным умножением, произведение числа на один из векторов равняется произведению его на другой или на оба вектора: ((lambdaoverline a)timesoverline b=overline atimes(lambdaoverline b)=lambda(overline atimesoverline b).)
3. Распределительный закон. Векторное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме векторных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)timesoverline c=overline atimesoverline c+overline btimesoverline c.)

Из этого следует, что при выполнении алгебраических действий, связанных с векторным произведением, скобки можно раскрывать так же, как при работе с числами, с поправкой на правило антиперестановочности.

Геометрические свойства

1. Если вектора (overline a) и (overline b) параллельны, то их векторное произведение равняется нулю.
2. Векторное произведение векторов с известными координатами выражается в матричном виде: (overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right).)

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, сторонами которого являются эти вектора.

Рисунок 2. Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного умножения следует, что модуль полученного вектора равняется произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними:

(left|overline cright|=left|overline aright|cdotleft|overline bright|cdotsinleft(varphiright))

Площадь параллелограмма вычисляется так:

(S=left|overline aright|cdot h, где h=left|overline bright|cdotsinleft(varphiright).)

Таким образом, получаем:

(S=left|overline aright|cdotleft|overline bright|cdotsinleft(varphiright)=left|overline atimesoverline bright|)

Отсюда следует формула для площади треугольника:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

Физический смысл

В физике векторное произведение применяется для расчета момента силы, приложенной к одной точке относительно другой:

(overline M=overline{AB}timesoverline F)

Смешанное умножение векторов

Фактически, смешанное произведение векторов представляется как скалярное умножение одного вектора на векторное произведение двух других. Результатом смешанного произведения является число.

Свойства смешанного умножения

1. ((overline atimesoverline b)cdotoverline c=overline acdot(overline btimesoverline c)=overline acdotoverline bcdotoverline c.)
2. Если (overline acdotoverline bcdotoverline c) больше нуля, тройка векторов — правая.
3. Если( overline acdotoverline bcdotoverline c) меньше нуля, тройка векторов — левая.
4. Если вектора (overline a, overline b) и (overline c) компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.

Геометрический смысл

Если вектора overline a, overline b и overline c не компланарны, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Число будет положительным, если тройка векторов правая, и отрицательным, если тройка левая.

(V_{пар.}=overline acdotoverline bcdotoverline c)

Следствием этого является формула нахождения объема пирамиды:

(V_{пир.}=frac16left(overline acdotoverline bcdotoverline cright))

Произведение векторов, примеры и решения

Задача №1

Даны вектора (overline a=(-1,;0,;3) и overline b=(2,;-3,;1).)

Найти их скалярное произведение.

Решение

Возьмем формулу скалярного произведения для векторов с известными координатами:

(overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z) и подставим имеющиеся значения:

(overline acdotoverline b=(-1)cdot2+0cdot(-3)+3cdot1=1)

Задача №2

Найти площадь треугольника с известными координатами угловых точек

Координаты точек: (A(-1,;2,;3), B(0,;-2,;1), C(1,;2,;1))

Решение

Для решения этой простейшей задачи из геометрии воспользуемся следствием геометрического смысла векторного произведения:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

В данном случае треугольник построен на векторах( overline{AB}) и (overline{AC}). Чтобы рассчитать их координаты, необходимо вычесть из координат конечной точки координаты начальной:

(overline{AB}=(0-(-1),;(-2)-2,;1-3)=(1,;-4,;-2))

(overline{AC}=(1-(-1),;2-2,;1-3)=(2,;0,;-2))

Векторное произведение векторов с известными координатами выполняется в матричном виде:

(overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right))

Подставляем значения векторов( overline{AB}) и (overline{AC}) в матрицу и производим вычисления:

(overline{AB}timesoverline{AC}=begin{vmatrix}i&j&k\1&-4&-2\2&0&-2end{vmatrix}=left(ibegin{vmatrix}-4&-2\0&-2end{vmatrix};;-jbegin{vmatrix}1&-2\2&-2end{vmatrix};;kbegin{vmatrix}1&-4\2&0end{vmatrix}right)=8i-2j+8k)

Подставляем полученное значение в формулу вычисления площади треугольника, учитывая, что в ней фигурирует модуль произведения:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline{AB}timesoverline{AC}right|=frac12sqrt{8^2+{(-2)}^2+8^2}=sqrt{132}=11.49)

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти векторное произведение двух векторов, приведем геометрическую интерпретацию, алгебраическую формулу и свойства этого действия, а также разберем пример решения задачи.

Геометрическая интерпретация

Векторное произведение двух ненулевых векторов a и b – это вектор c, который обозначается как [a, b] или a x b.

Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного с помощью векторов a и b.

При этом c перпендикулярен плоскости, в которой расположены a и b, и расположен так, чтобы наименьшее вращение от a к b выполнялось против часовой стрелки (с точки зрения конца вектора).

Формула векторного произведения

Произведение векторов a = {a_x; a_y, a_z} и b = {b_x; b_y, b_z} вычисляется с помощью одной из формул ниже:

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равняется нулю тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

[a, b] = 0, если

a || b

.

2. Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, образованного этими векторами.

S_парал. = |a x b|

3. Площадь треугольника, образованного двумя векторами, равняется половине их векторного произведения.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектор, являющийся векторным произведением двух других векторов, перпендикулярен им.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = –b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) x c = a x c + b x c

Пример задачи

Вычислим векторное произведение a = {2; 4; 5} и b = {9; -3; 1}.

Решение:

Ответ: a x b = {19; 43; -42}.

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле: $$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$ где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами $$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$ Полученный ответ можно записать в удобном виде: $$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

• Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
• Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
• Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

 

Пример 2

Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$

Решение

Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов. Находим определитель: $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$ Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора: $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$ По формуле нахождения площади треугольника имеем: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

Ответ

$$ S_Delta = 4.33 $$

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $overline{α}$ и $overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline{α}=overline{OA}$ и $overline{β}=overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Причем мы будем считать, что если векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них нулевой, то угол между этими векторами будет равен $0^circ$.

Обозначение: $∠(overline{α},overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overline{α}хoverline{β}|=|overline{α}||overline{β}|sin⁡∠(overline{α},overline{β})$
2. $overline{α}хoverline{β}⊥overline{α}$, $overline{α}хoverline{β}⊥overline{β}$
3. $(overline{α}хoverline{β},overline{α},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

«Как найти векторное произведение векторов» 👇

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

1. Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
2. Если угол между этими векторами будет равняться $180^circ$ или $0^circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).

Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$overline{α}хoverline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

1. $overline{α}хoverline{β}=-(overline{β}хoverline{α})$

   Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

2. $(roverline{α})хoverline{β}=r(overline{α}хoverline{β})$ и $overline{α}х(roverline{β})=r(overline{α}хoverline{β})$

   Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

   $(roverline{α})overline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\rα_1&rα_2&rα_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=r(overline{α}хoverline{β})$

   $overline{α}х(roverline{β})=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\rβ_1&rβ_2&rβ_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=r(overline{α}хoverline{β})$

3. $overline{α}х(overline{β}+overline{γ})=overline{α}overline{β}+overline{α}overline{γ}$ и $(overline{α}+overline{β})overline{γ}=overline{α}overline{γ}+overline{β}overline{γ}$.

   Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

   Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

   

   Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Векторное произведение

Для того чтобы дать правильное определение векторного произведения, необходимо разобраться в следующем моменте: рассмотреть вопрос, касающийся ориентации всей упорядоченной группы векторов. Для всего пространства на координатной плоскости.

Нужно отложить все три вектора от одной конкретной точки в системе. Ориентация для векторов может быть двух направлений:

• правая;
• левая.

Направление непосредственно зависит от направления самого вектора. Именно в каком направление будет осуществляться самый кратчайший поворот от двух векторов, а и b от конца третьего вектора с. При условии, что самый короткий поворот против часовой стрелки, тогда все три вектора будут именоваться – правыми.

Соответственно левыми будут называться вектора, движение которых происходит по направлению часовой стрелки.

Следовательно, можно выделить следующие основные моменты:

1. Заданные векторы, которые обозначены линиями красного цвета, и основываясь на определение являются не коллинеарными

2. Векторы [bar{a} text { и } bar{b}] приняты в заданном порядке: произведение [[bar{a} times bar{b}]_{-}]

Окончательный результат выражен как: [bar{N}=[bar{a} times bar{b}]], обозначенный синим цветом.

Если вектора перемножить в обратном порядке, получится равный по всей длине и противоположный по направлению вектор [-bar{N}=[bar{b} times bar{a}]].

Следовательно: [[bar{a} times bar{b}]=-[bar{b} times bar{a}]]

3. Геометрический смыл векторного произведения.

Величина длины синего вектора  [bar{N}=[bar{a} times bar{b}]] (следовательно это справедливо и для  красного вектора [-bar{N}=[bar{b} times bar{a}]]) будет равна площади параллелограмма. Который   построен  на векторах  [bar{a} text { и } bar{b}]. На схеме, данная фигура изображена штриховкой черного цвета. чёрным цветом.

Исходя из вышесказанного, справедливой будет формула определения длины для векторного произведения:

Данная формула отражает длину вектора а не его самого  [bar{N}]. Для задач   геометрии площадь параллелограмма зачастую  определяют через главное понятие произведения векторов:

Выведем следующую формулу. Диагональ у параллелограмма (красная пунктирная линия) делит фигуру два равных треугольника.

Из этого следует, что площадь треугольника, который построен на векторах [bar{a} text { и } bar{b}], определяется по формуле:

4. Стоит помнить, что вектор [bar{N}] ортогонален векторам [bar{a} text { и } bar{b}], иными словами [bar{N} perp bar{a}, bar{N} perp bar{b}].

Векторное произведение коллинеарных векторов

Случаи, при которых векторы являются коллинеарными:

• когда вектора возможно расположить на одной прямой;
• параллелограмм визуально, также становится плоским относительно оси координат;
• площадь параллелограмма равна нулю [S_{text { п-грамма } }=|bar{a}| cdot|bar{b}| cdot sin angle(bar{a} ; bar{b})](синус нуля равняется или 180 градусов равняется нулю следовательно и площадь также будет нулевой).

Поэтому , если [bar{a} || bar{b} text {, то } bar{N}=[bar{a} times bar{b}]=overline{0} text{ и }|bar{N}|=|[bar{a} times bar{b}]|=0].

Нужно всегда помнить, что именно само векторное произведение равно нулю.

При решении практических задач данным моментом часто пренебрегают.

Пример частного случая [[bar{a} times bar{a}]=overline{0}].

Векторное произведение помогает определить коллинеарность векторов трехмерного типа.

Главные свойства векторного произведения

Для некоторых произвольных векторов [bar{a}, bar{b}, bar{c}] и произвольного значения числа [lambda], являются справедливыми следующие главные свойства:

1. [[bar{a} times bar{a}]=overline{0}] — данное свойство обычно не выделяют. Однако именно оно является важным моментом процессе решения векторных задач.
2. [[bar{a} times bar{b}]=-[bar{b} times bar{a}]] – это свойство часто называют анти коммуникативным. Иными словами, порядок векторов может иметь разное направление и значение.
3. [[lambda bar{a} times bar{b}]=lambda[bar{a} times bar{b}], quad[bar{a} times(lambda bar{b})]=lambda[bar{a} times bar{b}]] – суммарные и ассоциативные законы для векторных произведений. Константа выносится за пределы векторного произведения в координатной оси.
4. [[(bar{a}+bar{b}) times bar{c}]=[bar{a} times bar{c}]+[bar{b} times bar{c}], quad[bar{a} times(bar{b}+bar{c})]=[bar{a} times bar{b}]+[bar{a} times bar{c}]] – распределительные или действующие законы векторного произведения. Для решения главным моментом является умение правильно раскрывать значение в скобках.

Коллинеарные и компланарные векторы. Основные определения

Компланарность характерна всегда двум любым, на выбор, векторам. Так как всегда можно вычистить плоскость, которой будет параллельны произвольные вектора.

Выведем основное правило признака копланарности вектора.

При условии, что два вектора a и b не характеризуются как календарные, а для вектора с свойственны только одна пара чисел x и y. c=xa+yb. Если соблюдаются данные условия, то перечисленные векторы можно назвать компланарными.

Обратное утверждение компланарности.

Когда вектора a , b , c — компланарны, при этом a , b не относятся к коллинеарным. можно вектор c разложить по двум любым векторам, только одним способом.

Главные условия и класс компланарности векторов

1. Если произведение трех векторов равно нулевому значению. Данные вектора можно характеризовать как компланарные.
2. Когда три любых вектора независимы друг от друга, то они будут компланарными.
3. Когда задано несколько векторов, выполняется условие: компланарность будет характерна, для двух любых векторов, если они линейно друг от друга зависимы.

Для более лучшего восприятия материала, необходимо применить правила компланарности и коллинеарности при решении практических задач.

Для этого решим, и подробно распишем три конкретных примера.

Пример №1:

В условии задачи даны три вектора со следующими числовыми значениями.

a(1,2,3);

b(1,1,1);

c(1,2,1).

При условии, что произведение векторов будет равняться нулевому значению, можно сделать вывод о компланарности векторов.

Определяем произведение заданных значений.

Запишем все значения в виде матрицы и решим ее, применяя правила произведения и разности чисел.

a, b, с = 1*1*1+1*2*3+2*1*1-1*1*3-2*1*1-1*2*1=2 0

Так как окончательный ответ не равен нулю, а равен значению два. Следует, что вектора не являются компланарными.

Пример №2:

Заданы три вектора с положительными и отрицательными значениями. Необходимо составить и решить матрицу чисел.

a(1,-1,2);

b(0,1,-1);

c(2,-2,4).

Для решения задачи, нужно вычислить произведение значений векторов.

a, b, с=1*1*1+0*(-2)*2+(-1)*(-1)*2-2*(-1)*1-0*(-1)=0

Выполнив все действия по вычислению произведения данных, мы видим, что ответ уравнения равен нулю.

Согласно основному правило компланарности, можно сделать вывод, что вектора ему соответствую. То есть являются компланарными между собой.

Примеры решения

Для решения некоторых категорий задач, необходимо пользоваться тригонометрической таблицей. Для определения углов функций.

Пример 1:

• Необходимо определить длину векторного произведения двух векторов [bar{a} text { и } bar{b}], , если:

• Определить площадь параллелограмма, который построен на основании векторов [bar{a} text { и } bar{b}], если:

По условию задачи необходимо вычислить длину векторного произведения. По следующей формуле:

Ответ:

В ответе обязательно следует указывать единицы измерения, так как определится длина.

Из условия задачи нужно определить площадь фигуры параллелограмм, который построен на векторах [bar{a} text { и } bar{b}].

Площадь равняется значению длины векторного произведения:

Ответ:

Пример 2:

Определить площадь геометрической фигуры треугольник, который построен на векторах [bar{a} text { и } bar{b}], , если:

Для решения задачи применим соответствующую формулу и вспомним все преобразования, которые необходимы для определения площади.

Ответ:

Пример 3:

Найти:

Решение: По условию требуется определить длину векторного произведения:

Алгоритм решения:

• вынести за пределы скобок векторного произведения все константы, согласно ассоциативного закона.

• затем выносим значение константы за пределы модуля; при этом модуль изменят отрицательный знак на положительный.

Ответ:

Пример 4:

Необходимо определить значение площади треугольника.

Для этого задано в задаче следующие данные:

, если:

Алгоритм решения задачи:

Площадь треугольника определяется по уже известной формуле:

Данный алгоритм стандартный и частично имеет схожесть с другими примерами.

Решение для удобства, необходимо разделить на три этапа:

Этап 1:

Нужно правильно выразим произведение векторов: [[bar{c} times bar{d}]] через определение векторного произведения [[bar{m} times bar{n}]].

Иными словами, выражение вектора через вектор.

Для этого сформулируем и запишем следующее:

подставляем в формулу соответствующие выражения векторов [bar{c}, bar{d}].

• используя определённые законы, нужно раскрыть скобки по характерным правилам умножения числовых многочленов.

• применяя ассоциативные векторные законы, можно вынести все константы за скобки и пределы векторных произведений.

Первое и последнее выражение равно нулевому значению или нулевому вектору, исходя из принятого свойства: [[bar{a} times bar{a}]=overline{0}].

Для второго слагаемого применяется свойство анти коммутативности и выглядит следующим образом: [6 cdot[bar{n} times bar{m}]=-6 cdot[bar{m} times bar{n}]]

— приведение подобных слагаемых.

По результатам вычисления заданный вектор получился выражен через вектор. Этого и требовалось доказать:
[[bar{c} times bar{d}]=-5 cdot[bar{m} times bar{n}]]

Этап 2:

На втором этапе определяется длина заданного векторного произведения.

Приведенное действие напрямую напоминает задачу №3:

Этап 3:

Применяя все известные данные и формулы, можно определить площадь треугольника:

Ответ:

Пример 5:

Определить векторное произведение, применяя все заданные значения векторов:

[|[bar{c} times bar{d}]|], если:

Необходимо выразить вектор [[bar{c} times bar{d}]] через другой вектор [[bar{m} times bar{n}]]:

Используя все данные и алгоритм решения можно составить формулу и записать следующее выражение подставляя числа:

Окончательным действием будет определение произведения векторов, поэтапно подставляя все числовые значения:

Ответ задачи: [|[bar{c} times bar{d}]|=4 text { ед }]

Векторное произведение векторов в системе координат

Произведение векторов [bar{v}left(v_{1} ; v_{2} ; v_{3}right), bar{w}left(w_{1} ; w_{2} ; w_{3}right)], заданные в координатной системе базиса [(bar{i} ; bar{j} ; bar{k})],

характеризуются соответствующей формулой:

Формула достаточно проста и понятна для восприятия: в верхней строке определителя указываются координатные значения векторов.

Во второй и третьей строке указываются векторные координаты, при этом обозначены в строгом порядке:

• для начала координаты векторов номер 1;

• затем координаты вектора номер 2.

Когда векторы необходимо перемножить в ином порядке, то необходимо все строки поменять с друг другом местами:

Основываясь на свойства определителя, можно выделить следующее: в случае, когда в определителе две строки нужно поменять местами, то, следовательно, изменится знак

Данное значение определителя всегда отражается в первой строке, что и указано выше.

Пример 7:

Даны следующие данные векторов:

Необходимо определить произведение векторов [left[overline{A_{1} A_{3}} times overline{A_{1} A_{2}}right]] и вычислить [left|left[overline{A_{1} A_{3}} times overline{A_{1} A_{2}}right]right|]

Используя алгоритм решения выполним следующие действия:

• Сформулируем и запишем формулу для нахождения векторного произведения

• Подставим имеющиеся данные и вычислим длину векторов по следующей формуле:

Окончательный ответ:

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение применяется довольно редко, поэтому и примеров задач не много.

Практически вся информация сводится к следующим данным:

• главному определению;
• геометрическому смыслу;
• рабочие формулы.

Данная геометрическая фигура построена на заданных векторах, которые отражены с положительным значением.

 Если базисное значение векторов  [(bar{a} cdot bar{b} cdot bar{c})] имеет правое направление , когда отрицательный знак, то  базис векторов [(bar{a} cdot bar{b} cdot bar{c})] имеет  левое направление.

Все характеристики подробно изображены на рисунке.

Смешанное произведение векторов в координатах

Для данного способа определения произведения векторов, используется сугубо алгебраический метод.

Перечень смешанных векторов: [bar {v}left(v_{1}, v_{2}, v_{3}right), bar{w}left(w_{1}, w_{2}, w_{3}right), bar{s}left(s_{1}, s_{2}, s_{3}right)], которые непосредственно заданы в координатной системе данных  [(bar{i} ; bar{j} ; bar{k})]  для правого направления, следует выражать характерной формулой, виде матрицы:

С практической точки зрения стоит отметить следующие важные моменты:

• для всего векторного произведения, координатные данные векторов следует изображать в конкретный определитель в особо строгом порядке.
• когда в любом смешанном произведении [(bar{v} cdot bar{w} cdot bar{s})] выбрать несколько векторов, затем переставить их местами, следовательно нужно переставить и все характерные строки определителя.
• при перестановке строк в количестве двух штук, соответствующие строки изменяют знак на противоположный.
• при перемене местами любых векторов, для смешанного произведения будет характерно изменение знака на противоположный.

Соответственно, все координаты векторов не всегда нужно записывать в виде строк. Также они могут изображаться как таблица: слева направо, и обязательно, в строгом порядке.

Основное значение главного определителя при этом изменяться не будет: компланарность векторов также имеет огромное значение в данном случае.

Пример 1

Даны следующие значения векторов [bar{a}(1 ;-1 ; 2), bar{b}(0 ; 4 ; 3), bar{c}(3 ; 2 ;-6)].

Необходимо определить:

• смешанное векторное произведение;
• значение объема параллелепипеда, который построен на векторах [bar{a}, bar{b}, bar{c}];
• значение объёма геометрической фигуры тетраэдра, который также построен на векторах [bar{a}, bar{b}, bar{c}].

Процесс решения заключается в следующем

1. Применяя формулу для смешанного произведения вычисляем неизвестную:

Значение определителя раскрыто по первому столбцу

2. Определение значения объёма параллелепипеда, который построен на векторах [bar{a}, bar{b}, bar{c}], равняется модулю смешанного векторного произведения:

3. Определяем значение объема тетраэдра, который построен на заданных векторах:

Ответ:

Пример 2

Определить значение объема, которое характерно для треугольной пирамиды. Применяя все известные ее вершины: A(-2 ;-2 ; 0), B(0 ; 4 ;-1), C(1 ; 2 ; 1), D(-13 ; 8 ; 11)

Решение: Для простоты выполнения, рекомендуется выполнять схематический рисунок геометрической пирамиды, это необходимо для более понятного процесса решения.

Для начал определяются значения векторов, по исходным данным:

Следующим действием произведение векторов смешанного типа.

[=2 cdot(44-10)-6 cdot(33+11)-(30+44)=68-264-74=-270]

Выполним расчет для треугольной пирамиды ABCD:

Ответ задачи: [V_{A B C D}=45 mathrm{ед}^{3}]

Пример 3

Определить объём заданной пирамиды, с известными вершинами: [A_{1}(2 ;-1 ; 3), A_{2}(-5 ; 1 ; 1), A_{3}(0 ; 3 ;-4), A_{4}(-1 ;-3 ; 4)]

Для начала определим значения векторов

Смешанное произведение определим по формуле:

[=-7 cdot(4-14)-2 cdot(-2-21)-2 cdot(4+12)=70+46-32=84]

Применяя формулу из геометрии определим объем пирамиды [A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}]

[V_{text {пир}}=frac{1}{6} cdot|p|=frac{1}{6} cdot 84=14text{ед} .^{3}]

[V_{text {пир}}=14text{ед} .^{3}]