Как найти вектор весов

Сигнал
ошибки запишем как:

или

Здесь для удобства
записи опущен индекс kвектораW_k.
Найдем:

.

Будем считать, что
,d_k, иX_k–
стационарны в статическом смысле и
найдем средне-квадратическую ошибку:

.

Введем обозначения:

— корреляционная
матрица входного сигнала. Элементы по
диагонали равны средне-квадратичным
значениям входных компонентов вектора
X_k.

— взаимокорреляционная
функция отсчетов полезного отклика и
отсчетов входного сигнала.

Тогда:

.

(2.150)

Чтобы найти весовой
вектор W, при котором
средне-квадратичное отклонение имеет
минимум, нужно взять производную
выражения (2.150) поW,
приравнять к нулю и решить уравнение
относительноW.

.

Откуда находим:

.

(2.151)

При этом

.

(2.152)

Из выражения
(2.150) видно, что если отсчеты входного
сигнала и полезного отклика – стационарные
случайные процессы, то средне-квадратичное
отклонение является квадратичной
функцией вектора W.

2.5.3.1 Метод градиентного поиска оптимального вектора w

В практических
системах поиск W_опт
производится не по выражению (2.151),
т.к это технически не целесообразно.

Наибольшее
применение нашли методы нахождения
W_опт, основанные на
градиентных методах для определения
направления перестройки весовых
коэффициентов для достиженияminСКО. Наиболее известны – это метод
Ньютона и наискорейшего спуска.

Рассмотрим принцип
градиентного поиска для случая системы
с одним весовым коэффициентом.

Итеративный
процесс градиентного поиска можно
представить в виде:

(2.153)

где k– номер шага,_k– градиент при

Таким образом
— текущее значение,— новое значение, µ — константа, определяющая
устойчивость устройства и скорость
сходимости.

При минимальном
значении СКО градиент = 0.

Сходимость метода
Ньютона зависит от выбора начального
значения w₀). Для
широкого класса функции он обладает
быстрой сходимостью.

Зависимость СКО
от озменений весового вектора называется

обучающей
кривой. Общий вид ее показан на рис.
2.25.

Выражение для
можно записать в виде,

где — собственное значениеr₀₀матрицыR.

Тогда

.

Для
случая с одним весовым коэффициентом
получаем:

.

Тогда подставляя
в (7) получаем

или

,

где w₀– начальное приближение,— называется знаменателем прогрессии.

Алгоритм сходится,
если
<1,.

2.5.3.2 Метод Ньютона для многомерного пространства

Оптимальный вектор
весовых коэффициентов вектор градиента
определяются соотношениями

,

(2.154)

.

(2.155)

Умножим обе части
второго равенства слева и справа на
и тогда с учетом первого равенства
получим

,

или в виде адаптивного
алгоритма

.

(2.156)

Равенство (2.156)
описывает метод Ньютона для многих
переменных. Этот алгоритм приводит к
оптимальному решению за один шаг
.

Этот метод Ньютона
можно обобщить, если ввести константу
, определяющую
скорость сходимости

(2.157)

при
получаем решение за один шаг.

Можно выбрать в пределах области устойчивости.

Однако, желательно,
чтобы система имела меньший размер шага
.

Вопросы для
самопроверки

1. Классификация
   адаптивных фильтров.

2. Нарисуйте схему
   адаптивной системы и объясните принцип
   ее работы.

3. Какие две физические
   интерпретации существуют относительно
   входного вектора сигнала.

4. Что такое векторное
   представление сигнала.

5. Что называют
   обучающей кривой.

6. Чему равен
   оптимальный весовой вектор.

1. Устройства
   модуляции и демодуляции измерительных
   

сигналов

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Регрессия и линейные комбинации векторов

Недавно я помогал вести курс по линейной алгебре, который организовали Тай-Даная Брэдли и Джек Хидари. Одним из вопросов, который периодически возникал у слушателей курса, был вопрос о том, почему программистов должна заботить тема линейной комбинации векторов.

Если кто не знает о том, что это такое — поясню. Предположим, имеются векторы . Их линейной комбинацией называется выражение вида , представляющее собой сумму произведений векторов на коэффициенты .

Должен признать, что книги по математике оказывают своим читателям медвежью услугу, представляя концепцию линейной комбинации векторов не более чем теоретической идеей. В результате создаётся впечатление того, что эта концепция нужна лишь для математических доказательств, что самое ценное для практика — это умножение матриц и векторные произведения. Но, на самом деле, это не так. Линейная комбинация векторов лежит в самом сердце многих вариантов практического применения математических идей.

В некоторых случаях главной целью применения некоего алгоритма является лишь поиск «приемлемой» линейной комбинации набора векторов. Векторы — это строительные блоки (часто являющиеся базисом векторного пространства или подпространства), а набор линейных комбинаций векторов представляет собой законный способ комбинирования этих блоков. Более простые блоки допускают применение более простых и более эффективных алгоритмов, но их линейные комбинации менее выразительны. Вследствие этого и возникает компромисс.

Конкретный пример этого — регрессия. Большинство людей, говоря о регрессии, имеют в виду линейную регрессию. Речь идёт о поиске линейной функции, вроде , которая хорошо аппроксимирует некие данные. В случае с функцией от нескольких переменных имеется, например, в роли вектора входных переменных, и в роли вектора коэффициентов или весов. А сама функция тогда выглядит как .

Для того чтобы избежать сдвига функции на (что делает функцию аффинной, а не чисто линейной; с формулами чисто линейных функций проще работать, так как сдвиг функции напоминает неприятный частный случай, который нужно постоянно принимать во внимание) авторы часто добавляют к вектору входных переменных фиктивную переменную , значение которой никогда не меняется и составляет 1, и переименовывают в для того чтобы формула приобрела бы окончательный вид
. В результате задача оптимизации, которую нужно решить, учитывая то, что — это набор данных для аппроксимации, выглядит так:

В данном случае оптимизируемая функция, представляющая собой результат работы регрессии, не похожа на линейную комбинацию векторов. Но с технической точки зрения это — линейная комбинация векторов, хотя выполнена она с использованием не слишком интересного способа.

Более очевидной связь подобных задач с линейной комбинацией векторов становится тогда, когда пытаются моделировать нелинейные системы. Суть тут в том, чтобы определить класс функций, называемых базисными функциями , и допустить, чтобы аппроксимация представляла бы собой любую линейную комбинацию функций в , то есть — любую функцию в пределах :

Опять же, вместо того, чтобы умножать каждую координату входного вектора на коэффициент , мы «взвешиваем» вклад каждой базисной функции (когда нам дан весь входной вектор) в выходные данные. Если базисные функции должны дать нам единственную координату — (
), это значит, что мы возвращаемся к линейной регрессии.

В результате задача оптимизации будет заключаться в том, чтобы выбрать коэффициенты, минимизирующие ошибку аппроксимации:

Рассмотрим пример. Предположим, что нам нужно выполнить регрессию на базисных функциях, представленных квадратичными полиномами. Базис для трёх входных переменных может выглядеть так:

Любой квадратичный полином от трёх переменных может быть представлен в виде линейной комбинации этих базисных функций. Кроме того, обратить внимание на то, что если рассматривать это как базис векторного пространства, тогда вектор будет представлен набором из 10 чисел — из десяти коэффициентов полинома. Это — то же самое, что , но с другой интерпретацией того, какой смысл имеют компоненты векторов. Учитывая это, мы теперь знаем о том, как находить скалярные произведения векторов, проекции векторов, и много чего ещё, хотя всё это может и не иметь такого же геометрического смысла.

Это — не те функции, которые обычно, на практике, используются в качестве базисных функций для полиномиальной регрессии (подробнее об этом смотрите в примечаниях, приведённых в конце статьи), но благодаря этим знаниям мы уже можем сделать кое-что полезное при реализации регрессионных алгоритмов.

Простой стохастический градиентный спуск

Хотя существуют аналитические решения многих регрессионных задач (включая задачу квадратичной регрессии, хотя и с небольшим изменением), градиентный спуск — это достаточно простое решение, позволяющее продемонстрировать то, как оптимизатор может находить «приемлемые» линейные комбинации векторов. Нижеприведённый код написан на Python 3.9, этот код можно найти на GitHub.

Начнём с объявления нескольких полезных псевдонимов типов:

from typing import Callable, Tuple, List
 
Input = Tuple[float, float, float]
Coefficients = List[float]
Gradient = List[float]
Hypothesis = Callable[[Input], float]
Dataset = List[Tuple[Input, float]]

Затем объявим простой класс-обёртку для базисных функций:

class QuadraticBasisPolynomials:
    def __init__(self):
        self.basis_functions = [
            lambda x: 1,
            lambda x: x[0],
            lambda x: x[1],
            lambda x: x[2],
            lambda x: x[0] * x[1],
            lambda x: x[0] * x[2],
            lambda x: x[1] * x[2],
            lambda x: x[0] * x[0],
            lambda x: x[1] * x[1],
            lambda x: x[2] * x[2],
        ]
 
    def __getitem__(self, index):
        return self.basis_functions[index]
 
    def __len__(self):
        return len(self.basis_functions)
 
    def linear_combination(self, weights: Coefficients) -> Hypothesis:
        def combined_function(x: Input) -> float:
            return sum(
                w * f(x)
                for (w, f) in zip(weights, self.basis_functions)
            )
 
        return combined_function
 
basis = QuadraticBasisPolynomials()

Функция linear_combination возвращает функцию, которая вычисляет взвешенную сумму базисных функций. Теперь мы можем описать функции, вычисляющие ошибку для всего набора данных и для одной точки данных:

def total_error(weights: Coefficients, data: Dataset) -> float:
    hypothesis = basis.linear_combination(weights)
    return sum(
        (actual_output - hypothesis(example)) ** 2
        for (example, actual_output) in data
    )
 
 
def single_point_error(
        weights: Coefficients, point: Tuple[Input, float]) -> float:
    return point[1] - basis.linear_combination(weights)(point[0])

Сейчас можно определить градиент функции ошибки по отношению к весам и к одной точке данных. Вспомним о том, что функция ошибок выглядит так:

Здесь — это линейная комбинация базисных функций:

Так как мы реализуем алгоритм стохастического градиентного спуска, формула вычисления ошибки немного упрощается. Мы вычисляем её не для всего набора данных, а только для одного, случайным образом выбранного элемента за раз. В результате функция ошибки будет выглядеть так:

Затем мы вычисляем градиент применительно к отдельным компонентам , используя правило дифференцирования сложной функции, и учитывая, что единственный компонент линейной комбинации векторов, отличающийся ненулевым влиянием на градиент для — это компонент, содержащий . Это — один из главных плюсов использования линейной комбинации векторов, который заключается в простоте вычисления градиента:

Ещё одна сильная сторона линейности заключается в том, что этой формуле безразлично содержимое исходных базисных функций. Это будет так до тех пор, пока веса не появятся в формуле для базисных функций. Попробуйте, в качестве упражнения, изменить эту реализацию так, чтобы в каждой из точек данных применялась бы собственная радиальная базисная функция (в конце статьи есть примечание о том, почему это, в реальной жизни, может быть непросто).

def gradient(weights: Coefficients, data_point: Tuple[Input, float]) -> Gradient:
    error = single_point_error(weights, data_point)
    dE_dw = [0] * len(weights)
 
    for i, w in enumerate(weights):
        dE_dw[i] = -2 * error * basis[i](data_point[0])
 
    return dE_dw

И, наконец, реализуем ядро алгоритма градиентного спуска, в которое входят механизмы, упрощающие отладку кода:

import random
 
def print_debug_info(step, grad_norm, error, progress):
    print(f"{step}, {progress:.4f}, {error:.4f}, {grad_norm:.4f}")
 
 
def gradient_descent(
        data: Dataset,
        learning_rate: float,
        tolerance: float,
        training_callback = None,
) -> Hypothesis:
    weights = [random.random() * 2 - 1 for i in range(len(basis))]
    last_error = total_error(weights, data)
    step = 0
    progress = tolerance * 2
    grad_norm = 1.0
 
    if training_callback:
        training_callback(step, 0.0, last_error, 0.0)
 
    while abs(progress) > tolerance or grad_norm > tolerance:
        grad = gradient(weights, random.choice(data))
        grad_norm = sum(x**2 for x in grad)
         
        for i in range(len(weights)):
            weights[i] -= learning_rate * grad[i]
 
        error = total_error(weights, data)
        progress = error - last_error
        last_error = error
        step += 1
 
        if training_callback:
            training_callback(step, grad_norm, error, progress)
 
    return basis.linear_combination(weights)

Сгенерируем какой-нибудь простой набор данных и запустим оптимизацию:

def example_quadratic_data(num_points: int):
    def fn(x, y, z):
        return 2 - 4*x*y + z + z**2
 
    data = []
    for i in range(num_points):
        x, y, z = random.random(), random.random(), random.random()
        data.append(((x, y, z), fn(x, y, z)))
 
    return data
 
 
if __name__ == "__main__":
    data = example_quadratic_data(30)
    gradient_descent(
        data, 
        learning_rate=0.01, 
        tolerance=1e-06, 
        training_callback=print_debug_info
    )

Алгоритму на то, чтобы сойтись, может понадобиться несколько тысяч шагов. Сколько именно — зависит от того, как отработал генератор случайных чисел при подготовке данных. Но обычно алгоритм сходится к решению, дающему ошибку меньше 1. Вот график, на котором показана связь ошибки и шагов алгоритма градиентного спуска для задачи квадратичной регрессии.

Ошибка и шаги алгоритма

Ядра и регуляризация

Я завершу этот материал пояснениями, на которые ссылался в статье.

Настоящее полиномиальное ядро. Мы решили использовать простой набор полиномиальных функций. Это тесно связано с концепцией «ядра», но «настоящее» полиномиальное ядро использует немного другие базисные функции. Оно масштабирует некоторые из базисных функций, используя . Но зачем это делать? Ответ сводится к технике повышения эффективности вычислений, называемой «ядерным трюком». Этот «трюк», если кратко его описать, позволяет вычислять скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов в векторном пространстве без вычисления координат данных в пространстве. Если в реализации используемого алгоритма регрессии используются только скалярные произведения векторов (что справедливо для аналитических решений регрессионных задач), то в нашем распоряжении оказываются сильные стороны нелинейного моделирования признаков и нам, при этом, не нужно тратить ресурсы на непосредственное вычисление признаков. В этой связи уместно будет обсудить гораздо больше теоретических математических вопросов (см. также: Reproducing Kernel Hilbert Space), но тут я не буду углубляться в эту тему.

Что не так с упражнением про радиальные базисные функции? В этом упражнении я предложил вам создать семейство базисных функций, по одной функции для каждой точки данных. Проблема тут заключается в том, что наличие настолько большого количества базисных функций делает пространство линейной комбинации векторов слишком выразительным. В ходе оптимизации произойдёт переобучение модели. В результате получится нечто, напоминающее справочную таблицу: каждой точке данных соответствует отдельная запись. При этом такая модель редко показывает хорошие результаты при обработке новых точек данных, которых не было в учебном наборе. Дело в том, что этих точек нет в найденной алгоритмом оптимизации «справочной таблице». На практике, для того чтобы справиться с этой проблемой, обычно, при расчёте ошибки, используют дополнительный компонент, соответствующий метрикам L1 или L2 вектора весовых коэффициентов. Это позволяет обеспечить то, что общий размер весов будет небольшим, то, что большинство весов, в случае с применением метрики L1, будут нулевыми, и то, что лишь немногие веса (самые важные) будут ненулевыми. Процесс введения «штрафов» за «размеры» линейных комбинаций векторов называют регуляризацией.

Что вы посоветовали бы почитать программистам, которые хотят с нуля освоить линейную алгебру?

Мы начнем с самых простых и понятных моделей машинного обучения: линейных. В этой главе мы разберёмся, что это такое, почему они работают и в каких случаях их стоит использовать. Так как это первый класс моделей, с которым вы столкнётесь, мы постараемся подробно проговорить все важные моменты. Заодно объясним, как работает машинное обучение, на сравнительно простых примерах.

Почему модели линейные?

Представьте, что у вас есть множество объектов $mathbb{X}$, а вы хотели бы каждому объекту сопоставить какое-то значение. К примеру, у вас есть набор операций по банковской карте, а вы бы хотели, понять, какие из этих операций сделали мошенники. Если вы разделите все операции на два класса и нулём обозначите законные действия, а единицей мошеннические, то у вас получится простейшая задача классификации. Представьте другую ситуацию: у вас есть данные геологоразведки, по которым вы хотели бы оценить перспективы разных месторождений. В данном случае по набору геологических данных ваша модель будет, к примеру, оценивать потенциальную годовую доходность шахты. Это пример задачи регрессии. Числа, которым мы хотим сопоставить объекты из нашего множества иногда называют таргетами (от английского target).

Таким образом, задачи классификации и регрессии можно сформулировать как поиск отображения из множества объектов $mathbb{X}$ в множество возможных таргетов.

Математически задачи можно описать так:

• классификация: $mathbb{X} to {0,1,ldots,K}$, где $0, ldots, K$ – номера классов,
• регрессия: $mathbb{X} to mathbb{R}$.

Очевидно, что просто сопоставить какие-то объекты каким-то числам — дело довольно бессмысленное. Мы же хотим быстро обнаруживать мошенников или принимать решение, где строить шахту. Значит нам нужен какой-то критерий качества. Мы бы хотели найти такое отображение, которое лучше всего приближает истинное соответствие между объектами и таргетами. Что значит «лучше всего» – вопрос сложный. Мы к нему будем много раз возвращаться. Однако, есть более простой вопрос: среди каких отображений мы будем искать самое лучшее? Возможных отображений может быть много, но мы можем упростить себе задачу и договориться, что хотим искать решение только в каком-то заранее заданном параметризированном семействе функций. Вся эта глава будет посвящена самому простому такому семейству — линейным функциям вида

$$
y = w_1 x_1 + ldots + w_D x_D + w_0,
$$

где $y$ – целевая переменная (таргет), $(x_1, ldots, x_D)$ – вектор, соответствующий объекту выборки (вектор признаков), а $w_1, ldots, w_D, w_0$ – параметры модели. Признаки ещё называют фичами (от английского features). Вектор $w = (w_1,ldots,w_D)$ часто называют вектором весов, так как на предсказание модели можно смотреть как на взвешенную сумму признаков объекта, а число $w_0$ – свободным коэффициентом, или сдвигом (bias). Более компактно линейную модель можно записать в виде

$$y = langle x, wrangle + w_0$$

Теперь, когда мы выбрали семейство функций, в котором будем искать решение, задача стала существенно проще. Мы теперь ищем не какое-то абстрактное отображение, а конкретный вектор $(w_0,w_1,ldots,w_D)inmathbb{R}^{D+1}$.

Замечание. Чтобы применять линейную модель, нужно, чтобы каждый объект уже был представлен вектором численных признаков $x_1,ldots,x_D$. Конечно, просто текст или граф в линейную модель не положить, придётся сначала придумать для него численные фичи. Модель называют линейной, если она является линейной по этим численным признакам.

Разберёмся, как будет работать такая модель в случае, если $D = 1$. То есть у наших объектов есть ровно один численный признак, по которому они отличаются. Теперь наша линейная модель будет выглядеть совсем просто: $y = w_1 x_1 + w_0$. Для задачи регрессии мы теперь пытаемся приблизить значение игрек какой-то линейной функцией от переменной икс. А что будет значить линейность для задачи классификации? Давайте вспомним про пример с поиском мошеннических транзакций по картам. Допустим, нам известна ровно одна численная переменная — объём транзакции. Для бинарной классификации транзакций на законные и потенциально мошеннические мы будем искать так называемое разделяющее правило: там, где значение функции положительно, мы будем предсказывать один класс, где отрицательно – другой. В нашем примере простейшим правилом будет какое-то пороговое значение объёма транзакций, после которого есть смысл пометить транзакцию как подозрительную.

В случае более высоких размерностей вместо прямой будет гиперплоскость с аналогичным смыслом.

Вопрос на подумать. Если вы посмотрите содержание учебника, то не найдёте в нём ни «полиномиальных» моделей, ни каких-нибудь «логарифмических», хотя, казалось бы, зависимости бывают довольно сложными. Почему так?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Линейные зависимости не так просты, как кажется. Пусть мы решаем задачу регрессии. Если мы подозреваем, что целевая переменная $y$ не выражается через $x_1, x_2$ как линейная функция, а зависит ещё от логарифма $x_1$ и ещё как-нибудь от того, разные ли знаки у признаков, то мы можем ввести дополнительные слагаемые в нашу линейную зависимость, просто объявим эти слагаемые новыми переменными и добавив перед ними соответствующие регрессионные коэффициенты

$$y approx w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3log{x_1} + w_4text{sgn}(x_1x_2) + w_0,$$

и в итоге из двумерной нелинейной задачи мы получили четырёхмерную линейную регрессию.

Вопрос на подумать. А как быть, если одна из фичей является категориальной, то есть принимает значения из (обычно конечного числа) значений, не являющихся числами? Например, это может быть время года, уровень образования, марка машины и так далее. Как правило, с такими значениями невозможно производить арифметические операции или же результаты их применения не имеют смысла.

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)В линейную модель можно подать только численные признаки, так что категориальную фичу придётся как-то закодировать. Рассмотрим для примера вот такой датасет

Здесь два категориальных признака – pet_type и color. Первый принимает четыре различных значения, второй – пять.

Самый простой способ – использовать one-hot кодирование (one-hot encoding). Пусть исходный признак мог принимать $M$ значений $c_1,ldots, c_M$. Давайте заменим категориальный признак на $M$ признаков, которые принимают значения $0$ и $1$: $i$-й будет отвечать на вопрос «принимает ли признак значение $c_i$?». Иными словами, вместо ячейки со значением $c_i$ у объекта появляется строка нулей и единиц, в которой единица стоит только на $i$-м месте.

В нашем примере получится вот такая табличка:

Можно было бы на этом остановиться, но добавленные признаки обладают одним неприятным свойством: в каждом из них ровно одна единица, так что сумма соответствующих столбцов равна столбцу из единиц. А это уже плохо. Представьте, что у нас есть линейная модель

$$y sim w_1x_1 + ldots + w_{D-1}x_{d-1} + w_{c_1}x_{c_1} + ldots + w_{c_M}x_{c_M} + w_0$$

Преобразуем немного правую часть:

$$ysim w_1x_1 + ldots + w_{D-1}x_{d-1} + underbrace{(w_{c_1} — w_{c_M})}_{=:w’_{c_1}}x_{c_1} + ldots + underbrace{(w_{c_{M-1}} — w_{c_M})}_{=:w’_{C_{M-1}}}x_{c_{M-1}} + w_{c_M}underbrace{(x_{c_1} + ldots + x_{c_M})}_{=1} + w_0 = $$

$$ = w_1x_1 + ldots + w_{D-1}x_{d-1} + w’_{c_1}x_{c_1} + ldots + w’_{c_{M-1}}x_{c_{M-1}} + underbrace{(w_{c_M} + w_0)}_{=w’_{0}}$$

Как видим, от одного из новых признаков можно избавиться, не меняя модель. Больше того, это стоит сделать, потому что наличие «лишних» признаков ведёт к переобучению или вовсе ломает модель – подробнее об этом мы поговорим в разделе про регуляризацию. Поэтому при использовании one-hot-encoding обычно выкидывают признак, соответствующий одному из значений. Например, в нашем примере итоговая матрица объекты-признаки будет иметь вид:

Конечно, one-hot кодирование – это самый наивный способ работы с категориальными признаками, и для более сложных фичей или фичей с большим количеством значений оно плохо подходит. С рядом более продвинутых техник вы познакомитесь в разделе про обучение представлений.

Помимо простоты, у линейных моделей есть несколько других достоинств. К примеру, мы можем достаточно легко судить, как влияют на результат те или иные признаки. Скажем, если вес $w_i$ положителен, то с ростом $i$-го признака таргет в случае регрессии будет увеличиваться, а в случае классификации наш выбор будет сдвигаться в пользу одного из классов. Значение весов тоже имеет прозрачную интерпретацию: чем вес $w_i$ больше, тем «важнее» $i$-й признак для итогового предсказания. То есть, если вы построили линейную модель, вы неплохо можете объяснить заказчику те или иные её результаты. Это качество моделей называют интерпретируемостью. Оно особенно ценится в индустриальных задачах, цена ошибки в которых высока. Если от работы вашей модели может зависеть жизнь человека, то очень важно понимать, как модель принимает те или иные решения и какими принципами руководствуется. При этом не все методы машинного обучения хорошо интерпретируемы, к примеру, поведение искусственных нейронных сетей или градиентного бустинга интерпретировать довольно сложно.

В то же время слепо доверять весам линейных моделей тоже не стоит по целому ряду причин:

• Линейные модели всё-таки довольно узкий класс функций, они неплохо работают для небольших датасетов и простых задач. Однако, если вы решаете линейной моделью более сложную задачу, то вам, скорее всего, придётся выдумывать дополнительные признаки, являющиеся сложными функциями от исходных. Поиск таких дополнительных признаков называется feature engineering, технически он устроен примерно так, как мы описали в вопросе про «полиномиальные модели». Вот только поиском таких искусственных фичей можно сильно увлечься, так что осмысленность интерпретации будет сильно зависеть от здравого смысла эксперта, строившего модель.
• Если между признаками есть приближённая линейная зависимость, коэффициенты в линейной модели могут совершенно потерять физический смысл (об этой проблеме и о том, как с ней бороться, мы поговорим дальше, когда будем обсуждать регуляризацию).
• Особенно осторожно стоит верить в утверждения вида «этот коэффициент маленький, значит, этот признак не важен». Во-первых, всё зависит от масштаба признака: вдруг коэффициент мал, чтобы скомпенсировать его. Во-вторых, зависимость действительно может быть слабой, но кто знает, в какой ситуации она окажется важна. Такие решения принимаются на основе данных, например, путём проверки статистического критерия (об этом мы коротко упомянем в разделе про вероятностные модели).
• Конкретные значения весов могут меняться в зависимости от обучающей выборки, хотя с ростом её размера они будут потихоньку сходиться к весам «наилучшей» линейной модели, которую можно было бы построить по всем-всем-всем данным на свете.

Обсудив немного общие свойства линейных моделей, перейдём к тому, как их всё-таки обучать. Сначала разберёмся с регрессией, а затем настанет черёд классификации.

Линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)

Мы начнём с использования линейных моделей для решения задачи регрессии. Простейшим примером постановки задачи линейной регрессии является метод наименьших квадратов (Ordinary least squares).

Пусть у нас задан датасет $(X, y)$, где $y=(y_i)_{i=1}^N in mathbb{R}^N$ – вектор значений целевой переменной, а $X=(x_i)_{i = 1}^N in mathbb{R}^{N times D}, x_i in mathbb{R}^D$ – матрица объекты-признаки, в которой $i$-я строка – это вектор признаков $i$-го объекта выборки. Мы хотим моделировать зависимость $y_i$ от $x_i$ как линейную функцию со свободным членом. Общий вид такой функции из $mathbb{R}^D$ в $mathbb{R}$ выглядит следующим образом:

$$color{#348FEA}{f_w(x_i) = langle w, x_i rangle + w_0}$$

Свободный член $w_0$ часто опускают, потому что такого же результата можно добиться, добавив ко всем $x_i$ признак, тождественно равный единице; тогда роль свободного члена будет играть соответствующий ему вес:

$$begin{pmatrix}x_{i1} & ldots & x_{iD} end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}w_1\ vdots \ w_Dend{pmatrix} + w_0 =
begin{pmatrix}1 & x_{i1} & ldots & x_{iD} end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}w_0 \ w_1\ vdots \ w_D end{pmatrix}$$

Поскольку это сильно упрощает запись, в дальнейшем мы будем считать, что это уже сделано и зависимость имеет вид просто $f_w(x_i) = langle w, x_i rangle$.

Сведение к задаче оптимизации

Мы хотим, чтобы на нашем датасете (то есть на парах $(x_i, y_i)$ из обучающей выборки) функция $f_w$ как можно лучше приближала нашу зависимость.

Для того, чтобы чётко сформулировать задачу, нам осталось только одно: на математическом языке выразить желание «приблизить $f_w(x)$ к $y$». Говоря простым языком, мы должны научиться измерять качество модели и минимизировать её ошибку, как-то меняя обучаемые параметры. В нашем примере обучаемые параметры — это веса $w$. Функция, оценивающая то, как часто модель ошибается, традиционно называется функцией потерь, функционалом качества или просто лоссом (loss function). Важно, чтобы её было легко оптимизировать: скажем, гладкая функция потерь – это хорошо, а кусочно постоянная – просто ужасно.

Функции потерь бывают разными. От их выбора зависит то, насколько задачу в дальнейшем легко решать, и то, в каком смысле у нас получится приблизить предсказание модели к целевым значениям. Интуитивно понятно, что для нашей текущей задачи нам нужно взять вектор $y$ и вектор предсказаний модели и как-то сравнить, насколько они похожи. Так как эти вектора «живут» в одном векторном пространстве, расстояние между ними вполне может быть функцией потерь. Более того, положительная непрерывная функция от этого расстояния тоже подойдёт в качестве функции потерь. При этом способов задать расстояние между векторами тоже довольно много. От всего этого разнообразия глаза разбегаются, но мы обязательно поговорим про это позже. Сейчас давайте в качестве лосса возьмём квадрат $L^2$-нормы вектора разницы предсказаний модели и $y$. Во-первых, как мы увидим дальше, так задачу будет нетрудно решить, а во-вторых, у этого лосса есть ещё несколько дополнительных свойств:

• $L^2$-норма разницы – это евклидово расстояние $|y — f_w(x)|_2$ между вектором таргетов и вектором ответов модели, то есть мы их приближаем в смысле самого простого и понятного «расстояния».

• Как мы увидим в разделе про вероятностные модели, с точки зрения статистики это соответствует гипотезе о том, что наши данные состоят из линейного «сигнала» и нормально распределенного «шума».

Так вот, наша функция потерь выглядит так:

$$L(f, X, y) = |y — f(X)|_2^2 = $$

$$= |y — Xw|_2^2 = sum_{i=1}^N(y_i — langle x_i, w rangle)^2$$

Такой функционал ошибки не очень хорош для сравнения поведения моделей на выборках разного размера. Представьте, что вы хотите понять, насколько качество модели на тестовой выборке из $2500$ объектов хуже, чем на обучающей из $5000$ объектов. Вы измерили $L^2$-норму ошибки и получили в одном случае $300$, а в другом $500$. Эти числа не очень интерпретируемы. Гораздо лучше посмотреть на среднеквадратичное отклонение

$$L(f, X, y) = frac1Nsum_{i=1}^N(y_i — langle x_i, w rangle)^2$$

По этой метрике на тестовой выборке получаем $0,12$, а на обучающей $0,1$.

Функция потерь $frac1Nsum_{i=1}^N(y_i — langle x_i, w rangle)^2$ называется Mean Squared Error, MSE или среднеквадратическим отклонением. Разница с $L^2$-нормой чисто косметическая, на алгоритм решения задачи она не влияет:

$$color{#348FEA}{text{MSE}(f, X, y) = frac{1}{N}|y — X w|_2^2}$$

В самом широком смысле, функции работают с объектами множеств: берут какой-то входящий объект из одного множества и выдают на выходе соответствующий ему объект из другого. Если мы имеем дело с отображением, которое на вход принимает функции, а на выходе выдаёт число, то такое отображение называют функционалом. Если вы посмотрите на нашу функцию потерь, то увидите, что это именно функционал. Для каждой конкретной линейной функции, которую задают веса $w_i$, мы получаем число, которое оценивает, насколько точно эта функция приближает наши значения $y$. Чем меньше это число, тем точнее наше решение, значит для того, чтобы найти лучшую модель, этот функционал нам надо минимизировать по $w$:

$$color{#348FEA}{|y — Xw|_2^2 longrightarrow min_w}$$

Эту задачу можно решать разными способами. В этой главе мы сначала решим эту задачу аналитически, а потом приближенно. Сравнение двух этих решений позволит нам проиллюстрировать преимущества того подхода, которому посвящена эта книга. На наш взгляд, это самый простой способ «на пальцах» показать суть машинного обучения.

МНК: точный аналитический метод

Точку минимума можно найти разными способами. Если вам интересно аналитическое решение, вы можете найти его в главе про матричные дифференцирования (раздел «Примеры вычисления производных сложных функций»). Здесь же мы воспользуемся геометрическим подходом.

Пусть $x^{(1)},ldots,x^{(D)}$ – столбцы матрицы $X$, то есть столбцы признаков. Тогда

$$Xw = w_1x^{(1)}+ldots+w_Dx^{(D)},$$

и задачу регрессии можно сформулировать следующим образом: найти линейную комбинацию столбцов $x^{(1)},ldots,x^{(D)}$, которая наилучшим способом приближает столбец $y$ по евклидовой норме – то есть найти проекцию вектора $y$ на подпространство, образованное векторами $x^{(1)},ldots,x^{(D)}$.

Разложим $y = y_{parallel} + y_{perp}$, где $y_{parallel} = Xw$ – та самая проекция, а $y_{perp}$ – ортогональная составляющая, то есть $y_{perp} = y — Xwperp x^{(1)},ldots,x^{(D)}$. Как это можно выразить в матричном виде? Оказывается, очень просто:

$$X^T(y — Xw) = 0$$

В самом деле, каждый элемент столбца $X^T(y — Xw)$ – это скалярное произведение строки $X^T$ (=столбца $X$ = одного из $x^{(i)}$) на $y — Xw$. Из уравнения $X^T(y — Xw) = 0$ уже очень легко выразить $w$:

$$w = (X^TX)^{-1}X^Ty$$

Вопрос на подумать Для вычисления $w_{ast}$ нам приходится обращать (квадратную) матрицу $X^TX$, что возможно, только если она невырожденна. Что это значит с точки зрения анализа данных? Почему мы верим, что это выполняется во всех разумных ситуациях?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Как известно из линейной алгебры, для вещественной матрицы $X$ ранги матриц $X$ и $X^TX$ совпадают. Матрица $X^TX$ невырожденна тогда и только тогда, когда её ранг равен числу её столбцов, что равно числу столбцов матрицы $X$. Иными словами, формула регрессии поломается, только если столбцы матрицы $X$ линейно зависимы. Столбцы матрицы $X$ – это признаки. А если наши признаки линейно зависимы, то, наверное, что-то идёт не так и мы должны выкинуть часть из них, чтобы остались только линейно независимые.

Другое дело, что зачастую признаки могут быть приближённо линейно зависимы, особенно если их много. Тогда матрица $X^TX$ будет близка к вырожденной, и это, как мы дальше увидим, будет вести к разным, в том числе вычислительным проблемам.

Вычислительная сложность аналитического решения — $O(N^2D + D^3)$, где $N$ — длина выборки, $D$ — число признаков у одного объекта. Слагаемое $N^2D$ отвечает за сложность перемножения матриц $X^T$ и $X$, а слагаемое $D^3$ — за сложность обращения их произведения. Перемножать матрицы $(X^TX)^{-1}$ и $X^T$ не стоит. Гораздо лучше сначала умножить $y$ на $X^T$, а затем полученный вектор на $(X^TX)^{-1}$: так будет быстрее и, кроме того, не нужно будет хранить матрицу $(X^TX)^{-1}X^T$.

Вычисление можно ускорить, используя продвинутые алгоритмы перемножения матриц или итерационные методы поиска обратной матрицы.

Проблемы «точного» решения

Заметим, что для получения ответа нам нужно обратить матрицу $X^TX$. Это создает множество проблем:

1. Основная проблема в обращении матрицы — это то, что вычислительно обращать большие матрицы дело сложное, а мы бы хотели работать с датасетами, в которых у нас могут быть миллионы точек,
2. Матрица $X^TX$, хотя почти всегда обратима в разумных задачах машинного обучения, зачастую плохо обусловлена. Особенно если признаков много, между ними может появляться приближённая линейная зависимость, которую мы можем упустить на этапе формулировки задачи. В подобных случаях погрешность нахождения $w$ будет зависеть от квадрата числа обусловленности матрицы $X$, что очень плохо. Это делает полученное таким образом решение численно неустойчивым: малые возмущения $y$ могут приводить к катастрофическим изменениям $w$.

Пара слов про число обусловленности.Пожертвовав математической строгостью, мы можем считать, что число обусловленности матрицы $X$ – это корень из отношения наибольшего и наименьшего из собственных чисел матрицы $X^TX$. Грубо говоря, оно показывает, насколько разного масштаба бывают собственные значения $X^TX$. Если рассмотреть $L^2$-норму ошибки предсказания, как функцию от $w$, то её линии уровня будут эллипсоидами, форма которых определяется квадратичной формой с матрицей $X^TX$ (проверьте это!). Таким образом, число обусловленности говорит о том, насколько вытянутыми являются эти эллипсоиды.ПодробнееДанные проблемы не являются поводом выбросить решение на помойку. Существует как минимум два способа улучшить его численные свойства, однако если вы не знаете про сингулярное разложение, то лучше вернитесь сюда, когда узнаете.

1. Построим $QR$-разложение матрицы $X$. Напомним, что это разложение, в котором матрица $Q$ ортогональна по столбцам (то есть её столбцы ортогональны и имеют длину 1; в частности, $Q^TQ=E$), а $R$ квадратная и верхнетреугольная. Подставив его в формулу, получим

   $$w = ((QR)^TQR)^{-1}(QR)^T y = (R^Tunderbrace{Q^TQ}_{=E}R)^{-1}R^TQ^Ty = R^{-1}R^{-T}R^TQ^Ty = R^{-1}Q^Ty$$

   Отметим, что написать $(R^TR)^{-1} = R^{-1}R^{-T}$ мы имеем право благодаря тому, что $R$ квадратная. Полученная формула намного проще, обращение верхнетреугольной матрицы (=решение системы с верхнетреугольной левой частью) производится быстро и хорошо, погрешность вычисления $w$ будет зависеть просто от числа обусловленности матрицы $X$, а поскольку нахождение $QR$-разложения является достаточно стабильной операцией, мы получаем решение с более хорошими, чем у исходной формулы, численными свойствами.

2. Также можно использовать псевдообратную матрицу, построенную с помощью сингулярного разложения, о котором подробно написано в разделе про матричные разложения. А именно, пусть

   $$A = Uunderbrace{mathrm{diag}(sigma_1,ldots,sigma_r)}_{=Sigma}V^T$$

   – это усечённое сингулярное разложение, где $r$ – это ранг $A$. В таком случае диагональная матрица посередине является квадратной, $U$ и $V$ ортогональны по столбцам: $U^TU = E$, $V^TV = E$. Тогда

   $$w = (VSigma underbrace{U^TU}_{=E}Sigma V^T)^{-1}VSigma U^Ty$$

   Заметим, что $VSigma^{-2}V^Tcdot VSigma^2V^T = E = VSigma^2V^Tcdot VSigma^{-2}V^T$, так что $(VSigma^2 V^T)^{-1} = VSigma^{-2}V^T$, откуда

   $$w = VSigma^{-2}underbrace{V^TV}_{=E}Sigma U^Ty = VSigma^{-1}Uy$$

   Хорошие численные свойства сингулярного разложения позволяют утверждать, что и это решение ведёт себя довольно неплохо.

   Тем не менее, вычисление всё равно остаётся довольно долгим и будет по-прежнему страдать (хоть и не так сильно) в случае плохой обусловленности матрицы $X$.

Полностью вылечить проблемы мы не сможем, но никто и не обязывает нас останавливаться на «точном» решении (которое всё равно никогда не будет вполне точным). Поэтому ниже мы познакомим вас с совершенно другим методом.

МНК: приближенный численный метод

Минимизируемый функционал является гладким и выпуклым, а это значит, что можно эффективно искать точку его минимума с помощью итеративных градиентных методов. Более подробно вы можете прочитать о них в разделе про методы оптимизации, а здесь мы лишь коротко расскажем об одном самом базовом подходе.

Как известно, градиент функции в точке направлен в сторону её наискорейшего роста, а антиградиент (противоположный градиенту вектор) в сторону наискорейшего убывания. То есть имея какое-то приближение оптимального значения параметра $w$, мы можем его улучшить, посчитав градиент функции потерь в точке и немного сдвинув вектор весов в направлении антиградиента:

$$w_j mapsto w_j — alpha frac{d}{d{w_j}} L(f_w, X, y) $$

где $alpha$ – это параметр алгоритма («темп обучения»), который контролирует величину шага в направлении антиградиента. Описанный алгоритм называется градиентным спуском.

Посмотрим, как будет выглядеть градиентный спуск для функции потерь $L(f_w, X, y) = frac1Nvertvert Xw — yvertvert^2$. Градиент квадрата евклидовой нормы мы уже считали; соответственно,

$$
nabla_wL = frac2{N} X^T (Xw — y)
$$

Следовательно, стартовав из какого-то начального приближения, мы можем итеративно уменьшать значение функции, пока не сойдёмся (по крайней мере в теории) к минимуму (вообще говоря, локальному, но в данном случае глобальному).

Алгоритм градиентного спуска

w = random_normal()             # можно пробовать и другие виды инициализации
repeat S times:                 # другой вариант: while abs(err) > tolerance
   f = X.dot(w)                 # посчитать предсказание
   err = f - y                  # посчитать ошибку
   grad = 2 * X.T.dot(err) / N  # посчитать градиент
   w -= alpha * grad            # обновить веса

С теоретическими результатами о скорости и гарантиях сходимости градиентного спуска вы можете познакомиться в главе про методы оптимизации. Мы позволим себе лишь несколько общих замечаний:

• Поскольку задача выпуклая, выбор начальной точки влияет на скорость сходимости, но не настолько сильно, чтобы на практике нельзя было стартовать всегда из нуля или из любой другой приятной вам точки;
• Число обусловленности матрицы $X$ существенно влияет на скорость сходимости градиентного спуска: чем более вытянуты эллипсоиды уровня функции потерь, тем хуже;
• Темп обучения $alpha$ тоже сильно влияет на поведение градиентного спуска; вообще говоря, он является гиперпараметром алгоритма, и его, возможно, придётся подбирать отдельно. Другими гиперпараметрами являются максимальное число итераций $S$ и/или порог tolerance.

Иллюстрация.Рассмотрим три задачи регрессии, для которых матрица $X$ имеет соответственно маленькое, среднее и большое числа обусловленности. Будем строить для них модели вида $y=w_1x_1 + w_2x_2$. Раскрасим плоскость $(w_1, w_2)$ в соответствии со значениями $|X_{text{train}}w — y_{text{train}}|^2$. Тёмная область содержит минимум этой функции – оптимальное значение $w_{ast}$. Также запустим из из двух точек градиентный спуск с разными значениями темпа обучения $alpha$ и посмотрим, что получится:

Заголовки графиков («Round», «Elliptic», «Stripe-like») относятся к форме линий уровня потерь (чем более они вытянуты, тем хуже обусловлена задача и тем хуже может вести себя градиентный спуск).

Итог: при неудачном выборе $alpha$ алгоритм не сходится или идёт вразнос, а для плохо обусловленной задачи он сходится абы куда.

Вычислительная сложность градиентного спуска – $O(NDS)$, где, как и выше, $N$ – длина выборки, $D$ – число признаков у одного объекта. Сравните с оценкой $O(N^2D + D^3)$ для «наивного» вычисления аналитического решения.

Сложность по памяти – $O(ND)$ на хранение выборки. В памяти мы держим и выборку, и градиент, но в большинстве реалистичных сценариев доминирует выборка.

Стохастический градиентный спуск

На каждом шаге градиентного спуска нам требуется выполнить потенциально дорогую операцию вычисления градиента по всей выборке (сложность $O(ND)$). Возникает идея заменить градиент его оценкой на подвыборке (в английской литературе такую подвыборку обычно именуют batch или mini-batch; в русской разговорной терминологии тоже часто встречается слово батч или мини-батч).

А именно, если функция потерь имеет вид суммы по отдельным парам объект-таргет

$$L(w, X, y) = frac1Nsum_{i=1}^NL(w, x_i, y_i),$$

а градиент, соответственно, записывается в виде

$$nabla_wL(w, X, y) = frac1Nsum_{i=1}^Nnabla_wL(w, x_i, y_i),$$

то предлагается брать оценку

$$nabla_wL(w, X, y) approx frac1Bsum_{t=1}^Bnabla_wL(w, x_{i_t}, y_{i_t})$$

для некоторого подмножества этих пар $(x_{i_t}, y_{i_t})_{t=1}^B$. Обратите внимание на множители $frac1N$ и $frac1B$ перед суммами. Почему они нужны? Полный градиент $nabla_wL(w, X, y)$ можно воспринимать как среднее градиентов по всем объектам, то есть как оценку матожидания $mathbb{E}nabla_wL(w, x, y)$; тогда, конечно, оценка матожидания по меньшей подвыборке тоже будет иметь вид среднего градиентов по объектам этой подвыборки.

Как делить выборку на батчи? Ясно, что можно было бы случайным образом сэмплировать их из полного датасета, но даже если использовать быстрый алгоритм вроде резервуарного сэмплирования, сложность этой операции не самая оптимальная. Поэтому используют линейный проход по выборке (которую перед этим лучше всё-таки случайным образом перемешать). Давайте введём ещё один параметр нашего алгоритма: размер батча, который мы обозначим $B$. Теперь на $B$ очередных примерах вычислим градиент и обновим веса модели. При этом вместо количества шагов алгоритма обычно задают количество эпох $E$. Это ещё один гиперпараметр. Одна эпоха – это один полный проход нашего сэмплера по выборке. Заметим, что если выборка очень большая, а модель компактная, то даже первый проход бывает можно не заканчивать.

Алгоритм:

 w = normal(0, 1)
 repeat E times:
   for i = B, i <= n, i += B
      X_batch = X[i-B : i]       
      y_batch = y[i-B : i]
      f = X_batch.dot(w)                 # посчитать предсказание
      err = f - y_batch                  # посчитать ошибку
      grad = 2 * X_batch.T.dot(err) / B  # посчитать градиент
      w -= alpha * grad

Сложность по времени – $O(NDE)$. На первый взгляд, она такая же, как и у обычного градиентного спуска, но заметим, что мы сделали в $N / B$ раз больше шагов, то есть веса модели претерпели намного больше обновлений.

Сложность по памяти можно довести до $O(BD)$: ведь теперь всю выборку не надо держать в памяти, а достаточно загружать лишь текущий батч (а остальная выборка может лежать на диске, что удобно, так как в реальности задачи, в которых выборка целиком не влезает в оперативную память, встречаются сплошь и рядом). Заметим, впрочем, что при этом лучше бы $B$ взять побольше: ведь чтение с диска – намного более затратная по времени операция, чем чтение из оперативной памяти.

В целом, разницу между алгоритмами можно представлять как-то так:

Шаги стохастического градиентного спуска заметно более шумные, но считать их получается значительно быстрее. В итоге они тоже сходятся к оптимальному значению из-за того, что матожидание оценки градиента на батче равно самому градиенту. По крайней мере, сходимость можно получить при хорошо подобранных коэффициентах темпа обучения в случае выпуклого функционала качества. Подробнее мы об этом поговорим в главе про оптимизацию. Для сложных моделей и лоссов стохастический градиентный спуск может сходиться плохо или застревать в локальных минимумах, поэтому придумано множество его улучшений. О некоторых из них также рассказано в главе про оптимизацию.

Существует определённая терминологическая путаница, иногда стохастическим градиентным спуском называют версию алгоритма, в которой размер батча равен единице (то есть максимально шумная и быстрая версия алгоритма), а версии с бОльшим размером батча называют batch gradient descent. В книгах, которые, возможно, старше вас, такая процедура иногда ещё называется incremental gradient descent. Это не очень принципиально, но вы будьте готовы, если что.

Вопрос на подумать. Вообще говоря, если объём данных не слишком велик и позволяет это сделать, объекты лучше случайным образом перемешивать перед тем, как подавать их в алгоритм стохастического градиентного спуска. Как вам кажется, почему?

Также можно использовать различные стратегии отбора объектов. Например, чаще брать объекты, на которых ошибка больше. Какие ещё стратегии вы могли бы придумать?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Легко представить себе ситуацию, в которой объекты как-нибудь неудачно упорядочены, скажем, по возрастанию таргета. Тогда модель будет попеременно то запоминать, что все таргеты маленькие, то – что все таргеты большие. Это может и не повлиять на качество итоговой модели, но может привести и к довольно печальным последствиям. И вообще, чем более разнообразные батчи модель увидит в процессе обучения, тем лучше.

Стратегий можно придумать много. Например, не брать объекты, на которых ошибка слишком большая (возможно, это выбросы – зачем на них учиться), или вообще не брать те, на которых ошибка достаточно мала (они «ничему не учат»). Рекомендуем, впрочем, прибегать к этим эвристикам, только если вы понимаете, зачем они вам нужны и почему есть надежда, что они помогут.

Неградиентные методы

После прочтения этой главы у вас может сложиться ощущение, что приближённые способы решения ML задач и градиентные методы – это одно и тоже, но вы будете правы в этом только на 98%. В принципе, существуют и другие способы численно решать эти задачи, но в общем случае они работают гораздо хуже, чем градиентный спуск, и не обладают таким хорошим теоретическим обоснованием. Мы не будем рассказывать про них подробно, но можете на досуге почитать, скажем, про Stepwise regression, Orthogonal matching pursuit или LARS. У LARS, кстати, есть довольно интересное свойство: он может эффективно работать на выборках, в которых число признаков больше числа примеров. С алгоритмом LARS вы можете познакомиться в главе про оптимизацию.

Регуляризация

Всегда ли решение задачи регрессии единственно? Вообще говоря, нет. Так, если в выборке два признака будут линейно зависимы (и следовательно, ранг матрицы будет меньше $D$), то гарантировано найдётся такой вектор весов $nu$ что $langlenu, x_irangle = 0 forall x_i$. В этом случае, если какой-то $w$ является решением оптимизационной задачи, то и $w + alpha nu $ тоже является решением для любого $alpha$. То есть решение не только не обязано быть уникальным, так ещё может быть сколь угодно большим по модулю. Это создаёт вычислительные трудности. Малые погрешности признаков сильно возрастают при предсказании ответа, а в градиентном спуске накапливается погрешность из-за операций со слишком большими числами.

Конечно, в жизни редко бывает так, что признаки строго линейно зависимы, а вот быть приближённо линейно зависимыми они вполне могут быть. Такая ситуация называется мультиколлинеарностью. В этом случае у нас, всё равно, возникают проблемы, близкие к описанным выше. Дело в том, что $Xnusim 0$ для вектора $nu$, состоящего из коэффициентов приближённой линейной зависимости, и, соответственно, $X^TXnuapprox 0$, то есть матрица $X^TX$ снова будет близка к вырожденной. Как и любая симметричная матрица, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе, и некоторые из собственных значений $lambda_i$ близки к нулю. Если вектор $X^Ty$ в выражении $(X^TX)^{-1}X^Ty$ будет близким к соответствующему собственному вектору, то он будет умножаться на $1 /{lambda_i}$, что опять же приведёт к появлению у $w$ очень больших по модулю компонент (при этом $w$ ещё и будет вычислен с большой погрешностью из-за деления на маленькое число). И, конечно же, все ошибки и весь шум, которые имелись в матрице $X$, при вычислении $ysim Xw$ будут умножаться на эти большие и неточные числа и возрастать во много-много раз, что приведёт к проблемам, от которых нас не спасёт никакое сингулярное разложение.

Важно ещё отметить, что в случае, когда несколько признаков линейно зависимы, веса $w_i$ при них теряют физический смысл. Может даже оказаться, что вес признака, с ростом которого таргет, казалось бы, должен увеличиваться, станет отрицательным. Это делает модель не только неточной, но и принципиально не интерпретируемой. Вообще, неадекватность знаков или величины весов – хорошее указание на мультиколлинеарность.

Для того, чтобы справиться с этой проблемой, задачу обычно регуляризуют, то есть добавляют к ней дополнительное ограничение на вектор весов. Это ограничение можно, как и исходный лосс, задавать по-разному, но, как правило, ничего сложнее, чем $L^1$- и $L^2$-нормы, не требуется.

Вместо исходной задачи теперь предлагается решить такую:

$$color{#348FEA}{min_w L(f, X, y) = min_w(|X w — y|_2^2 + lambda |w|^k_k )}$$

$lambda$ – это очередной параметр, а $|w|^k_k $ – это один из двух вариантов:

$$color{#348FEA}{|w|^2_2 = w^2_1 + ldots + w^2_D}$$

или

$$color{#348FEA}{|w|_1^1 = vert w_1 vert + ldots + vert w_D vert}$$

Добавка $lambda|w|^k_k$ называется регуляризационным членом или регуляризатором, а число $lambda$ – коэффициентом регуляризации.

Коэффициент $lambda$ является гиперпараметром модели и достаточно сильно влияет на качество итогового решения. Его подбирают по логарифмической шкале (скажем, от 1e-2 до 1e+2), используя для сравнения моделей с разными значениями $lambda$ дополнительную валидационную выборку. При этом качество модели с подобранным коэффициентом регуляризации уже проверяют на тестовой выборке, чтобы исключить переобучение. Более подробно о том, как нужно подбирать гиперпараметры, вы можете почитать в соответствующей главе.

Отдельно надо договориться о том, что вес $w_0$, соответствующий отступу от начала координат (то есть признаку из всех единичек), мы регуляризовать не будем, потому что это не имеет смысла: если даже все значения $y$ равномерно велики, это не должно портить качество обучения. Обычно это не отображают в формулах, но если придираться к деталям, то стоило бы написать сумму по всем весам, кроме $w_0$:

$$|w|^2_2 = sum_{color{red}{j=1}}^{D}w_j^2,$$

$$|w|_1 = sum_{color{red}{j=1}}^{D} vert w_j vert$$

В случае $L^2$-регуляризации решение задачи изменяется не очень сильно. Например, продифференцировав новый лосс по $w$, легко получить, что «точное» решение имеет вид:

$$w = (X^TX + lambda I)^{-1}X^Ty$$

Отметим, что за этой формулой стоит и понятная численная интуиция: раз матрица $X^TX$ близка к вырожденной, то обращать её сродни самоубийству. Мы лучше слегка исказим её добавкой $lambda I$, которая увеличит все собственные значения на $lambda$, отодвинув их от нуля. Да, аналитическое решение перестаёт быть «точным», но за счёт снижения численных проблем мы получим более качественное решение, чем при использовании «точной» формулы.

В свою очередь, градиент функции потерь

$$L(f_w, X, y) = |Xw — y|^2 + lambda|w|^2$$

по весам теперь выглядит так:

$$
nabla_wL(f_w, X, y) = 2X^T(Xw — y) + 2lambda w
$$

Подставив этот градиент в алгоритм стохастического градиентного спуска, мы получаем обновлённую версию приближенного алгоритма, отличающуюся от старой только наличием дополнительного слагаемого.

Вопрос на подумать. Рассмотрим стохастический градиентный спуск для $L^2$-регуляризованной линейной регрессии с батчами размера $1$. Выберите правильный вариант шага SGD:

(а) $w_imapsto w_i — 2alpha(langle w, x_jrangle — y_j)x_{ji} — frac{2alphalambda}N w_i,quad i=1,ldots,D$;

(б) $w_imapsto w_i — 2alpha(langle w, x_jrangle — y_j)x_{ji} — 2alphalambda w_i,quad i=1,ldots,D$;

(в) $w_imapsto w_i — 2alpha(langle w, x_jrangle — y_j)x_{ji} — 2lambda N w_i,quad i=1,ldots D$.

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Не регуляризованная функция потерь имеет вид $mathcal{L}(X, y, w) = frac1Nsum_{i=1}^Nmathcal{L}(x_i, y_i, w)$, и её можно воспринимать, как оценку по выборке $(x_i, y_i)_{i=1}^N$ идеальной функции потерь

$$mathcal{L}(w) = mathbb{E}_{x, y}mathcal{L}(x, y, w)$$

Регуляризационный член не зависит от выборки и добавляется отдельно:

$$mathcal{L}_{text{reg}}(w) = mathbb{E}_{x, y}mathcal{L}(x, y, w) + lambda|w|^2$$

Соответственно, идеальный градиент регуляризованной функции потерь имеет вид

$$nabla_wmathcal{L}_{text{reg}}(w) = mathbb{E}_{x, y}nabla_wmathcal{L}(x, y, w) + 2lambda w,$$

Градиент по батчу – это тоже оценка градиента идеальной функции потерь, только не на выборке $(X, y)$, а на батче $(x_{t_i}, y_{t_i})_{i=1}^B$ размера $B$. Он будет выглядеть так:

$$nabla_wmathcal{L}_{text{reg}}(w) = frac1Bsum_{i=1}^Bnabla_wmathcal{L}(x_{t_i}, y_{t_i}, w) + 2lambda w.$$

Как видите, коэффициентов, связанных с числом объектов в батче или в исходной выборке, во втором слагаемом нет. Так что верным является второй вариант. Кстати, обратите внимание, что в третьем ещё и нет коэффициента $alpha$ перед производной регуляризационного слагаемого, это тоже ошибка.

Вопрос на подумать. Распишите процедуру стохастического градиентного спуска для $L^1$-регуляризованной линейной регрессии. Как вам кажется, почему никого не волнует, что функция потерь, строго говоря, не дифференцируема?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Распишем для случая батча размера 1:

$$w_imapsto w_i — alpha(langle w, x_jrangle — y_j)x_{ji} — frac{lambda}alpha text{sign}(w_i),quad i=1,ldots,D$$

Функция потерь не дифференцируема лишь в одной точке. Так как в машинном обучении чаще всего мы имеем дело с данными вероятностного характера, это не влечёт каких-то особых проблем. Дело в том, что попадание прямо в ноль очень маловероятно из-за численных погрешностей в данных, так что мы можем просто доопределить производную в одной точке, а если даже пару раз попадём в неё за время обучения, это не приведёт к каким-то значительным изменениям результатов.

Отметим, что $L^1$- и $L^2$-регуляризацию можно определять для любой функции потерь $L(w, X, y)$ (и не только в задаче регрессии, а и, например, в задаче классификации тоже). Новая функция потерь будет соответственно равна

$$widetilde{L}(w, X, y) = L(w, X, y) + lambda|w|_1$$

или

$$widetilde{L}(w, X, y) = L(w, X, y) + lambda|w|_2^2$$

Разреживание весов в $L^1$-регуляризации

$L^2$-регуляризация работает прекрасно и используется в большинстве случаев, но есть одна полезная особенность $L^1$-регуляризации: её применение приводит к тому, что у признаков, которые не оказывают большого влияния на ответ, вес в результате оптимизации получается равным $0$. Это позволяет удобным образом удалять признаки, слабо влияющие на таргет. Кроме того, это даёт возможность автоматически избавляться от признаков, которые участвуют в соотношениях приближённой линейной зависимости, соответственно, спасает от проблем, связанных с мультиколлинеарностью, о которых мы писали выше.

Не очень строгим, но довольно интуитивным образом это можно объяснить так:

1. В точке оптимума линии уровня регуляризационного члена касаются линий уровня основного лосса, потому что, во-первых, и те, и другие выпуклые, а во-вторых, если они пересекаются трансверсально, то существует более оптимальная точка:

1. Линии уровня $L^1$-нормы – это $N$-мерные октаэдры. Точки их касания с линиями уровня лосса, скорее всего, лежат на грани размерности, меньшей $N-1$, то есть как раз в области, где часть координат равна нулю:

Заметим, что данное построение говорит о том, как выглядит оптимальное решение задачи, но ничего не говорит о способе, которым это решение можно найти. На самом деле, найти такой оптимум непросто: у $L^1$ меры довольно плохая производная. Однако, способы есть. Можете на досуге прочитать, например, вот эту статью о том, как работало предсказание CTR в google в 2012 году. Там этой теме посвящается довольно много места. Кроме того, рекомендуем посмотреть про проксимальные методы в разделе этой книги про оптимизацию в ML.

Заметим также, что вообще-то оптимизация любой нормы $L_x, 0 < x leq 1$, приведёт к появлению разреженных векторов весов, просто если c $L^1$ ещё хоть как-то можно работать, то с остальными всё будет ещё сложнее.

Другие лоссы

Стохастический градиентный спуск можно очевидным образом обобщить для решения задачи линейной регрессии с любой другой функцией потерь, не только квадратичной: ведь всё, что нам нужно от неё, – это чтобы у функции потерь был градиент. На практике это делают редко, но тем не менее рассмотрим ещё пару вариантов.

MAE

Mean absolute error, абсолютная ошибка, появляется при замене $L^2$ нормы в MSE на $L^1$:

$$color{#348FEA}{MAE(y, widehat{y}) = frac1Nsum_{i=1}^N vert y_i — widehat{y}_ivert}$$

Можно заметить, что в MAE по сравнению с MSE существенно меньший вклад в ошибку будут вносить примеры, сильно удалённые от ответов модели. Дело тут в том, что в MAE мы считаем модуль расстояния, а не квадрат, соответственно, вклад больших ошибок в MSE получается существенно больше. Такая функция потерь уместна в случаях, когда вы пытаетесь обучить регрессию на данных с большим количеством выбросов в таргете.

Иначе на эту разницу можно посмотреть так: MSE приближает матожидание условного распределения $y mid x$, а MAE – медиану.

MAPE

Mean absolute percentage error, относительная ошибка.

$$MAPE(y, widehat{y}) = frac1Nsum_{i=1}^N left|frac{widehat{y}_i-y_i}{y_i}right|$$

Часто используется в задачах прогнозирования (например, погоды, загруженности дорог, кассовых сборов фильмов, цен), когда ответы могут быть различными по порядку величины, и при этом мы бы хотели верно угадать порядок, то есть мы не хотим штрафовать модель за предсказание 2000 вместо 1000 в разы сильней, чем за предсказание 2 вместо 1.

Вопрос на подумать. Кроме описанных выше в задаче линейной регрессии можно использовать и другие функции потерь, например, Huber loss:

$$mathcal{L}(f, X, y) = sum_{i=1}^Nh_{delta}(y_i — langle w_i, xrangle),mbox{ где }h_{delta}(z) = begin{cases}
frac12z^2, |z|leqslantdelta,\
delta(|z| — frac12delta), |z| > delta
end{cases}$$

Число $delta$ является гиперпараметром. Сложная формула при $vert zvert > delta$ нужна, чтобы функция $h_{delta}(z)$ была непрерывной. Попробуйте объяснить, зачем может быть нужна такая функция потерь.

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Часто требования формулируют в духе «функция потерь должна слабее штрафовать то-то и сильней штрафовать вот это». Например, $L^2$-регуляризованный лосс штрафует за большие по модулю веса. В данном случае можно заметить, что при небольших значениях ошибки берётся просто MSE, а при больших мы начинаем штрафовать нашу модель менее сурово. Например, это может быть полезно для того, чтобы выбросы не так сильно влияли на результат обучения.

Линейная классификация

Теперь давайте поговорим про задачу классификации. Для начала будем говорить про бинарную классификацию на два класса. Обобщить эту задачу до задачи классификации на $K$ классов не составит большого труда. Пусть теперь наши таргеты $y$ кодируют принадлежность к положительному или отрицательному классу, то есть принадлежность множеству ${-1,1}$ (в этой главе договоримся именно так обозначать классы, хотя в жизни вам будут нередко встречаться и метки ${0,1}$), а $x$ – по-прежнему векторы из $mathbb{R}^D$. Мы хотим обучить линейную модель так, чтобы плоскость, которую она задаёт, как можно лучше отделяла объекты одного класса от другого.

В идеальной ситуации найдётся плоскость, которая разделит классы: положительный окажется с одной стороны от неё, а отрицательный с другой. Выборка, для которой это возможно, называется линейно разделимой. Увы, в реальной жизни такое встречается крайне редко.

Как обучить линейную модель классификации, нам ещё предстоит понять, но уже ясно, что итоговое предсказание можно будет вычислить по формуле

$$y = text{sign} langle w, x_irangle$$

Почему бы не решать, как задачу регрессии?Мы можем попробовать предсказывать числа $-1$ и $1$, минимизируя для этого, например, MSE с последующим взятием знака, но ничего хорошего не получится. Во-первых, регрессия почти не штрафует за ошибки на объектах, которые лежат близко к *разделяющей плоскости*, но не с той стороны. Во вторых, ошибкой будет считаться предсказание, например, $5$ вместо $1$, хотя нам-то на самом деле не важно, какой у числа модуль, лишь бы знак был правильным. Если визуализировать такое решение, то проблемы тоже вполне заметны:

Нам нужна прямая, которая разделяет эти точки, а не проходит через них!

Сконструируем теперь функционал ошибки так, чтобы он вышеперечисленными проблемами не обладал. Мы хотим минимизировать число ошибок классификатора, то есть

$$sum_i mathbb{I}[y_i neq sign langle w, x_irangle]longrightarrow min_w$$

Домножим обе части на $$y_i$$ и немного упростим

$$sum_i mathbb{I}[y_i langle w, x_irangle < 0]longrightarrow min_w$$

Величина $M = y_i langle w, x_irangle$ называется отступом (margin) классификатора. Такая фунция потерь называется misclassification loss. Легко видеть, что

• отступ положителен, когда $sign(y_i) = sign(langle w, x_irangle)$, то есть класс угадан верно; при этом чем больше отступ, тем больше расстояние от $x_i$ до разделяющей гиперплоскости, то есть «уверенность классификатора»;

• отступ отрицателен, когда $sign(y_i) ne sign(langle w, x_irangle)$, то есть класс угадан неверно; при этом чем больше по модулю отступ, тем более сокрушительно ошибается классификатор.

От каждого из отступов мы вычисляем функцию

$$F(M) = mathbb{I}[M < 0] = begin{cases}1, M < 0,\ 0, Mgeqslant 0end{cases}$$

Она кусочно-постоянная, и из-за этого всю сумму невозможно оптимизировать градиентными методами: ведь её производная равна нулю во всех точках, где она существует. Но мы можем мажорировать её какой-нибудь более гладкой функцией, и тогда задачу можно будет решить. Функции можно использовать разные, у них свои достоинства и недостатки, давайте рассмотрим несколько примеров:

Вопрос на подумать. Допустим, мы как-то обучили классификатор, и подавляющее большинство отступов оказались отрицательными. Правда ли нас постигла катастрофа?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Наверное, мы что-то сделали не так, но ситуацию можно локально выправить, если предсказывать классы, противоположные тем, которые выдаёт наша модель.

Вопрос на подумать. Предположим, что у нас есть два классификатора с примерно одинаковыми и достаточно приемлемыми значениями интересующей нас метрики. При этом одна почти всегда выдаёт предсказания с большими по модулю отступами, а вторая – с относительно маленькими. Верно ли, что первая модель лучше, чем вторая?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)На первый взгляд кажется, что первая модель действительно лучше: ведь она предсказывает «увереннее», но на самом деле всё не так однозначно: во многих случаях модель, которая умеет «честно признать, что не очень уверена в ответе», может быть предпочтительней модели, которая врёт с той же непотопляемой уверенностью, что и говорит правду. В некоторых случаях лучше может оказаться модель, которая, по сути, просто отказывается от классификации на каких-то объектах.

Ошибка перцептрона

Реализуем простейшую идею: давайте считать отступы только на неправильно классифицированных объектах и учитывать их не бинарно, а линейно, пропорционально их размеру. Получается такая функция:

$$F(M) = max(0, -M)$$

Давайте запишем такой лосс с $L^2$-регуляризацией:

$$L(w, x, y) = lambdavertvert wvertvert^2_2 + sum_i max(0, -y_i langle w, x_irangle)$$

Найдём градиент:

$$
nabla_w L(w, x, y) = 2 lambda w + sum_i
begin{cases}
0, & y_i langle w, x_i rangle > 0 \
— y_i x_i, & y_i langle w, x_i rangle leq 0
end{cases}
$$

Имея аналитическую формулу для градиента, мы теперь можем так же, как и раньше, применить стохастический градиентный спуск, и задача будет решена.

Данная функция потерь впервые была предложена для перцептрона Розенблатта, первой вычислительной модели нейросети, которая в итоге привела к появлению глубокого обучения.

Она решает задачу линейной классификации, но у неё есть одна особенность: её решение не единственно и сильно зависит от начальных параметров. Например, все изображённые ниже классификаторы имеют одинаковый нулевой лосс:

Hinge loss, SVM

Для таких случаев, как на картинке выше, возникает логичное желание не только найти разделяющую прямую, но и постараться провести её на одинаковом удалении от обоих классов, то есть максимизировать минимальный отступ:

Это можно сделать, слегка поменяв функцию ошибки, а именно положив её равной:

$$F(M) = max(0, 1-M)$$

$$L(w, x, y) = lambda||w||^2_2 + sum_i max(0, 1-y_i langle w, x_irangle)$$

$$
nabla_w L(w, x, y) = 2 lambda w + sum_i
begin{cases}
0, & 1 — y_i langle w, x_i rangle leq 0 \
— y_i x_i, & 1 — y_i langle w, x_i rangle > 0
end{cases}
$$

Почему же добавленная единичка приводит к желаемому результату?

Интуитивно это можно объяснить так: объекты, которые проклассифицированы правильно, но не очень «уверенно» (то есть $0 leq y_i langle w, x_irangle < 1$), продолжают вносить свой вклад в градиент и пытаются «отодвинуть» от себя разделяющую плоскость как можно дальше.

К данному выводу можно прийти и чуть более строго; для этого надо совершенно по-другому взглянуть на выражение, которое мы минимизируем. Поможет вот эта картинка:

Если мы максимизируем минимальный отступ, то надо максимизировать $frac{2}{|w|_2}$, то есть ширину полосы при условии того, что большинство объектов лежат с правильной стороны, что эквивалентно решению нашей исходной задачи:

$$lambda|w|^2_2 + sum_i max(0, 1-y_i langle w, x_irangle) longrightarrowminlimits_{w}$$

Отметим, что первое слагаемое у нас обратно пропорционально ширине полосы, но мы и максимизацию заменили на минимизацию, так что тут всё в порядке. Второе слагаемое – это штраф за то, что некоторые объекты неправильно расположены относительно разделительной полосы. В конце концов, никто нам не обещал, что классы наши линейно разделимы и можно провести оптимальную плоскость вообще без ошибок.

Итоговое положение плоскости задаётся всего несколькими обучающими примерами. Это ближайшие к плоскости правильно классифицированные объекты, которые называют опорными векторами или support vectors. Весь метод, соответственно, зовётся методом опорных векторов, или support vector machine, или сокращённо SVM. Начиная с шестидесятых годов это был сильнейший из известных методов машинного обучения. В девяностые его сменили методы, основанные на деревьях решений, которые, в свою очередь, недавно передали «пальму первенства» нейросетям.

Почему же SVM был столь популярен? Из-за небольшого количества параметров и доказуемой оптимальности. Сейчас для нас нормально выбирать специальный алгоритм под задачу и подбирать оптимальные гиперпараметры для этого алгоритма перебором, а когда-то трава была зеленее, а компьютеры медленнее, и такой роскоши у людей не было. Поэтому им нужны были модели, которые гарантированно неплохо работали бы в любой ситуации. Такой моделью и был SVM.

Другие замечательные свойства SVM: существование уникального решения и доказуемо минимальная склонность к переобучению среди всех популярных классов линейных классификаторов. Кроме того, несложная модификация алгоритма, ядровый SVM, позволяет проводить нелинейные разделяющие поверхности.

Строгий вывод постановки задачи SVM можно прочитать тут или в лекции К.В. Воронцова.

Логистическая регрессия

В этом параграфе мы будем обозначать классы нулём и единицей.

Ещё один интересный метод появляется из желания посмотреть на классификацию как на задачу предсказания вероятностей. Хороший пример – предсказание кликов в интернете (например, в рекламе и поиске). Наличие клика в обучающем логе не означает, что, если повторить полностью условия эксперимента, пользователь обязательно кликнет по объекту опять. Скорее у объектов есть какая-то «кликабельность», то есть истинная вероятность клика по данному объекту. Клик на каждом обучающем примере является реализацией этой случайной величины, и мы считаем, что в пределе в каждой точке отношение положительных и отрицательных примеров должно сходиться к этой вероятности.

Проблема состоит в том, что вероятность, по определению, величина от 0 до 1, а простого способа обучить линейную модель так, чтобы это ограничение соблюдалось, нет. Из этой ситуации можно выйти так: научить линейную модель правильно предсказывать какой-то объект, связанный с вероятностью, но с диапазоном значений $(-infty,infty)$, и преобразовать ответы модели в вероятность. Таким объектом является logit или log odds – логарифм отношения вероятности положительного события к отрицательному $logleft(frac{p}{1-p}right)$.

Если ответом нашей модели является $logleft(frac{p}{1-p}right)$, то искомую вероятность посчитать не трудно:

$$langle w, x_irangle = logleft(frac{p}{1-p}right)$$

$$e^{langle w, x_irangle} = frac{p}{1-p}$$

$$p=frac{1}{1 + e^{-langle w, x_irangle}}$$

Функция в правой части называется сигмоидой и обозначается

$$color{#348FEA}{sigma(z) = frac1{1 + e^{-z}}}$$

Таким образом, $p = sigma(langle w, x_irangle)$

Как теперь научиться оптимизировать $w$ так, чтобы модель как можно лучше предсказывала логиты? Нужно применить метод максимума правдоподобия для распределения Бернулли. Это самое простое распределение, которое возникает, к примеру, при бросках монетки, которая орлом выпадает с вероятностью $p$. У нас только событием будет не орёл, а то, что пользователь кликнул на объект с такой вероятностью. Если хотите больше подробностей, почитайте про распределение Бернулли в теоретическом минимуме.

Правдоподобие позволяет понять, насколько вероятно получить данные значения таргета $y$ при данных $X$ и весах $w$. Оно имеет вид

$$ p(ymid X, w) =prod_i p(y_imid x_i, w) $$

и для распределения Бернулли его можно выписать следующим образом:

$$ p(ymid X, w) =prod_i p_i^{y_i} (1-p_i)^{1-y_i} $$

где $p_i$ – это вероятность, посчитанная из ответов модели. Оптимизировать произведение неудобно, хочется иметь дело с суммой, так что мы перейдём к логарифмическому правдоподобию и подставим формулу для вероятности, которую мы получили выше:

$$ ell(w, X, y) = sum_i big( y_i log(p_i) + (1-y_i)log(1-p_i) big) =$$

$$ =sum_i big( y_i log(sigma(langle w, x_i rangle)) + (1-y_i)log(1 — sigma(langle w, x_i rangle)) big) $$

Если заметить, что

$$
sigma(-z) = frac{1}{1 + e^z} = frac{e^{-z}}{e^{-z} + 1} = 1 — sigma(z),
$$

то выражение можно переписать проще:

$$
ell(w, X, y)=sum_i big( y_i log(sigma(langle w, x_i rangle)) + (1 — y_i) log(sigma(-langle w, x_i rangle)) big)
$$

Нас интересует $w$, для которого правдоподобие максимально. Чтобы получить функцию потерь, которую мы будем минимизировать, умножим его на минус один:

$$color{#348FEA}{L(w, X, y) = -sum_i big( y_i log(sigma(langle w, x_i rangle)) + (1 — y_i) log(sigma(-langle w, x_i rangle)) big)}$$

В отличие от линейной регрессии, для логистической нет явной формулы решения. Деваться некуда, будем использовать градиентный спуск. К счастью, градиент устроен очень просто:

$$
nabla_w L(y, X, w) = -sum_i x_i big( y_i — sigma(langle w, x_i rangle)) big)
$$

Вывод формулы градиентаНам окажется полезным ещё одно свойство сигмоиды:

$$
frac{d log sigma(z)}{d z} = left( log left( frac{1}{1 + e^{-z}} right) right)’ = frac{e^{-z}}{1 + e^{-z}} = sigma(-z)
$$ $$
frac{d log sigma(-z)}{d z} = -sigma(z)
$$

Отсюда:

$$
nabla_w log sigma(langle w, x_i rangle) = sigma(-langle w, x_i rangle) x_i
$$ $$
nabla_w log sigma(-langle w, x_i rangle) = -sigma(langle w, x_i rangle) x_i
$$

и градиент оказывается равным

$$
nabla_w L(y, X, w) = -sum_i big( y_i x_i sigma(-langle w, x_i rangle) — (1 — y_i) x_i sigma(langle w, x_i rangle)) big) =
$$ $$
= -sum_i big( y_i x_i (1 — sigma(langle w, x_i rangle)) — (1 — y_i) x_i sigma(langle w, x_i rangle)) big) =
$$ $$
= -sum_i big( y_i x_i — y_i x_i sigma(langle w, x_i rangle) — x_i sigma(langle w, x_i rangle) + y_i x_i sigma(langle w, x_i rangle)) big) =
$$ $$
= -sum_i big( y_i x_i — x_i sigma(langle w, x_i rangle)) big)
$$

Предсказание модели будет вычисляться, как мы договаривались, следующим образом:

$$p=sigma(langle w, x_irangle)$$

Это вероятность положительного класса, а как от неё перейти к предсказанию самого класса? В других методах нам достаточно было посчитать знак предсказания, но теперь все наши предсказания положительные и находятся в диапазоне от 0 до 1. Что же делать? Интуитивным и не совсем (и даже совсем не) правильным является ответ «взять порог 0.5». Более корректным будет подобрать этот порог отдельно, для уже построенной регрессии минимизируя нужную вам метрику на отложенной тестовой выборке. Например, сделать так, чтобы доля положительных и отрицательных классов примерно совпадала с реальной.

Отдельно заметим, что метод называется логистической регрессией, а не логистической классификацией именно потому, что предсказываем мы не классы, а вещественные числа – логиты.

Вопрос на подумать. Проверьте, что, если метки классов – это $pm1$, а не $0$ и $1$, то функцию потерь для логистической регрессии можно записать в более компактном виде:

$$mathcal{L}(w, X, y) = sum_{i=1}^Nlog(1 + e^{-y_ilangle w, x_irangle})$$

Вопрос на подумать. Правда ли разделяющая поверхность модели логистической регрессии является гиперплоскостью?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Разделяющая поверхность отделяет множество точек, которым мы присваиваем класс $0$ (или $-1$), и множество точек, которым мы присваиваем класс $1$. Представляется логичным провести отсечку по какому-либо значению предсказанной вероятности. Однако, выбор этого значения — дело не очевидное. Как мы увидим в главе про калибровку классификаторов, это может быть не настоящая вероятность. Допустим, мы решили провести границу по значению $frac12$. Тогда разделяющая поверхность как раз задаётся равенством $p = frac12$, что равносильно $langle w, xrangle = 0$. А это гиперплоскость.

Вопрос на подумать. Допустим, что матрица объекты-признаки $X$ имеет полный ранг по столбцам (то есть все её столбцы линейно независимы). Верно ли, что решение задачи восстановления логистической регрессии единственно?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)В этот раз хорошего геометрического доказательства, как было для линейной регрессии, пожалуй, нет; нам придётся честно посчитать вторую производную и доказать, что она является положительно определённой. Сделаем это для случая, когда метки классов – это $pm1$. Формулы так получатся немного попроще. Напомним, что в этом случае

$$L(w, X, y) = -sum_{i=1}^Nlog(1 + e^{-y_ilangle w, x_irangle})$$

Следовательно,

$$frac{partial}{partial w_{j}}L(w, X, y) = sum_{i=1}^Nfrac{y_ix_{ij}e^{-y_ilangle w, x_irangle}}{1 + e^{-y_ilangle w, x_irangle}} = sum_{i=1}^Ny_ix_{ij}left(1 — frac1{1 + e^{-y_ilangle w, x_irangle}}right)$$

$$frac{partial^2L}{partial w_jpartial w_k}(w, X, y) = sum_{i=1}^Ny^2_ix_{ij}x_{ik}frac{e^{-y_ilangle w, x_irangle}}{(1 + e^{-y_ilangle w, x_irangle})^2} =$$

$$ = sum_{i=1}^Ny^2_ix_{ij}x_{ik}sigma(y_ilangle w, x_irangle)(1 — sigma(y_ilangle w, x_irangle))$$

Теперь заметим, что $y_i^2 = 1$ и что, если обозначить через $D$ диагональную матрицу с элементами $sigma(y_ilangle w, x_irangle)(1 — sigma(y_ilangle w, x_irangle))$ на диагонали, матрицу вторых производных можно представить в виде:

$$nabla^2L = left(frac{partial^2mathcal{L}}{partial w_jpartial w_k}right) = X^TDX$$

Так как $0 < sigma(y_ilangle w, x_irangle) < 1$, у матрицы $D$ на диагонали стоят положительные числа, из которых можно извлечь квадратные корни, представив $D$ в виде $D = D^{1/2}D^{1/2}$. В свою очередь, матрица $X$ имеет полный ранг по столбцам. Стало быть, для любого вектора приращения $une 0$ имеем

$$u^TX^TDXu = u^TX^T(D^{1/2})^TD^{1/2}Xu = vert D^{1/2}Xu vert^2 > 0$$

Таким образом, функция $L$ выпукла вниз как функция от $w$, и, соответственно, точка её экстремума непременно будет точкой минимума.

А теперь – почему это не совсем правда. Дело в том, что, говоря «точка её экстремума непременно будет точкой минимума», мы уже подразумеваем существование этой самой точки экстремума. Только вот существует этот экстремум не всегда. Можно показать, что для линейно разделимой выборки функция потерь логистической регрессии не ограничена снизу, и, соответственно, никакого экстремума нет. Доказательство мы оставляем читателю.

Вопрос на подумать. На картинке ниже представлены результаты работы на одном и том же датасете трёх моделей логистической регрессии с разными коэффициентами $L^2$-регуляризации:

Наверху показаны предсказанные вероятности положительного класса, внизу – вид разделяющей поверхности.

Как вам кажется, какие картинки соответствуют самому большому коэффициенту регуляризации, а какие – самому маленькому? Почему?

Ответ (не открывайте сразу; сначала подумайте сами!)Коэффициент регуляризации максимален у левой модели. На это нас могут натолкнуть два соображения. Во-первых, разделяющая прямая проведена достаточно странно, то есть можно заподозрить, что регуляризационный член в лосс-функции перевесил функцию потерь исходной задачи. Во-вторых, модель предсказывает довольно близкие к $frac12$ вероятности – это значит, что значения $langle w, xrangle$ близки к нулю, то есть сам вектор $w$ близок к нулевому. Это также свидетельствует о том, что регуляризационный член играет слишком важную роль при оптимизации.

Наименьший коэффициент регуляризации у правой модели. Её предсказания достаточно «уверенные» (цвета на верхнем графике сочные, то есть вероятности быстро приближаются к $0$ или $1$). Это может свидетельствовать о том, что числа $langle w, xrangle$ достаточно велики по модулю, то есть $vertvert w vertvert$ достаточно велик.

Многоклассовая классификация

В этом разделе мы будем следовать изложению из лекций Евгения Соколова.

Пусть каждый объект нашей выборки относится к одному из $K$ классов: $mathbb{Y} = {1, ldots, K}$. Чтобы предсказывать эти классы с помощью линейных моделей, нам придётся свести задачу многоклассовой классификации к набору бинарных, которые мы уже хорошо умеем решать. Мы разберём два самых популярных способа это сделать – one-vs-all и all-vs-all, а проиллюстрировать их нам поможет вот такой игрушечный датасет

Один против всех (one-versus-all)

Обучим $K$ линейных классификаторов $b_1(x), ldots, b_K(x)$, выдающих оценки принадлежности классам $1, ldots, K$ соответственно. В случае с линейными моделями эти классификаторы будут иметь вид

$$b_k(x) = text{sgn}left(langle w_k, x rangle + w_{0k}right)$$

Классификатор с номером $k$ будем обучать по выборке $left(x_i, 2mathbb{I}[y_i = k] — 1right)_{i = 1}^{N}$; иными словами, мы учим классификатор отличать $k$-й класс от всех остальных.

Логично, чтобы итоговый классификатор выдавал класс, соответствующий самому уверенному из бинарных алгоритмов. Уверенность можно в каком-то смысле измерить с помощью значений линейных функций:

$$a(x) = text{argmax}_k left(langle w_k, x rangle + w_{0k}right) $$

Давайте посмотрим, что даст этот подход применительно к нашему датасету. Обучим три линейных модели, отличающих один класс от остальных:

Теперь сравним значения линейных функций

и для каждой точки выберем тот класс, которому соответствует большее значение, то есть самый «уверенный» классификатор:

Хочется сказать, что самый маленький класс «обидели».

Проблема данного подхода заключается в том, что каждый из классификаторов $b_1(x), dots, b_K(x)$ обучается на своей выборке, и значения линейных функций $langle w_k, x rangle + w_{0k}$ или, проще говоря, «выходы» классификаторов могут иметь разные масштабы. Из-за этого сравнивать их будет неправильно. Нормировать вектора весов, чтобы они выдавали ответы в одной и той же шкале, не всегда может быть разумным решением: так, в случае с SVM веса перестанут являться решением задачи, поскольку нормировка изменит норму весов.

Все против всех (all-versus-all)

Обучим $C_K^2$ классификаторов $a_{ij}(x)$, $i, j = 1, dots, K$, $i neq j$. Например, в случае с линейными моделями эти модели будут иметь вид

$$b_{ij}(x) = text{sgn}left( langle w_{ij}, x rangle + w_{0,ij} right)$$

Классификатор $a_{ij}(x)$ будем настраивать по подвыборке $X_{ij} subset X$, содержащей только объекты классов $i$ и $j$. Соответственно, классификатор $a_{ij}(x)$ будет выдавать для любого объекта либо класс $i$, либо класс $j$. Проиллюстрируем это для нашей выборки:

Чтобы классифицировать новый объект, подадим его на вход каждого из построенных бинарных классификаторов. Каждый из них проголосует за своей класс; в качестве ответа выберем тот класс, за который наберется больше всего голосов:

$$a(x) = text{argmax}_ksum_{i = 1}^{K} sum_{j neq i}mathbb{I}[a_{ij}(x) = k]$$

Для нашего датасета получается следующая картинка:

Обратите внимание на серый треугольник на стыке областей. Это точки, для которых голоса разделились (в данном случае каждый классификатор выдал какой-то свой класс, то есть у каждого класса было по одному голосу). Для этих точек нет явного способа выдать обоснованное предсказание.

Многоклассовая логистическая регрессия

Некоторые методы бинарной классификации можно напрямую обобщить на случай многих классов. Выясним, как это можно проделать с логистической регрессией.

В логистической регрессии для двух классов мы строили линейную модель

$$b(x) = langle w, x rangle + w_0,$$

а затем переводили её прогноз в вероятность с помощью сигмоидной функции $sigma(z) = frac{1}{1 + exp(-z)}$. Допустим, что мы теперь решаем многоклассовую задачу и построили $K$ линейных моделей

$$b_k(x) = langle w_k, x rangle + w_{0k},$$

каждая из которых даёт оценку принадлежности объекта одному из классов. Как преобразовать вектор оценок $(b_1(x), ldots, b_K(x))$ в вероятности? Для этого можно воспользоваться оператором $text{softmax}(z_1, ldots, z_K)$, который производит «нормировку» вектора:

$$text{softmax}(z_1, ldots, z_K) = left(frac{exp(z_1)}{sum_{k = 1}^{K} exp(z_k)},
dots, frac{exp(z_K)}{sum_{k = 1}^{K} exp(z_k)}right).$$

В этом случае вероятность $k$-го класса будет выражаться как

$$P(y = k vert x, w) = frac{
exp{(langle w_k, x rangle + w_{0k})}}{ sum_{j = 1}^{K} exp{(langle w_j, x rangle + w_{0j})}}.$$

Обучать эти веса предлагается с помощью метода максимального правдоподобия: так же, как и в случае с двухклассовой логистической регрессией:

$$sum_{i = 1}^{N} log P(y = y_i vert x_i, w) to max_{w_1, dots, w_K}$$

Масштабируемость линейных моделей

Мы уже обсуждали, что SGD позволяет обучению хорошо масштабироваться по числу объектов, так как мы можем не загружать их целиком в оперативную память. А что делать, если признаков очень много, или мы не знаем заранее, сколько их будет? Такое может быть актуально, например, в следующих ситуациях:

• Классификация текстов: мы можем представить текст в формате «мешка слов», то есть неупорядоченного набора слов, встретившихся в данном тексте, и обучить на нём, например, определение тональности отзыва в интернете. Наличие каждого слова из языка в тексте у нас будет кодироваться отдельной фичой. Тогда размерность каждого элемента обучающей выборки будет порядка нескольких сотен тысяч.
• В задаче предсказания кликов по рекламе можно получить выборку любой размерности, например, так: в качестве фичи закодируем индикатор того, что пользователь X побывал на веб-странице Y. Суммарная размерность тогда будет порядка $10^9 cdot 10^7 = 10^{16}$. Кроме того, всё время появляются новые пользователи и веб-страницы, так что на этапе применения нас ждут сюрпризы.

Есть несколько хаков, которые позволяют бороться с такими проблемами:

• Несмотря на то, что полная размерность объекта в выборке огромна, количество ненулевых элементов в нём невелико. Значит, можно использовать разреженное кодирование, то есть вместо плотного вектора хранить словарь, в котором будут перечислены индексы и значения ненулевых элементов вектора.
• Даже хранить все веса не обязательно! Можно хранить их в хэш-таблице и вычислять индекс по формуле hash(feature) % tablesize. Хэш может вычисляться прямо от слова или id пользователя. Таким образом, несколько фичей будут иметь общий вес, который тем не менее обучится оптимальным образом. Такой подход называется hashing trick. Ясно, что сжатие вектора весов приводит к потерям в качестве, но, как правило, ценой совсем небольших потерь можно сжать этот вектор на много порядков.

Примером открытой библиотеки, в которой реализованы эти возможности, является vowpal wabbit.

Parameter server

Если при решении задачи ставки столь высоки, что мы не можем разменивать качество на сжатие вектора весов, а признаков всё-таки очень много, то задачу можно решать распределённо, храня все признаки в шардированной хеш-таблице

Кружки здесь означают отдельные сервера. Жёлтые загружают данные, а серые хранят части модели. Для обучения жёлтый кружок запрашивает у серого нужные ему для предсказания веса, считает градиент и отправляет его обратно, где тот потом применяется. Схема обладает бесконечной масштабируемостью, но задач, где это оправдано, не очень много.

Подытожим

На линейную модель можно смотреть как на однослойную нейросеть, поэтому многие методы, которые были изначально разработаны для них, сейчас переиспользуются в задачах глубокого обучения, а базовые подходы к регрессии, классификации и оптимизации вообще выглядят абсолютно так же. Так что несмотря на то, что в целом линейные модели на сегодня применяются редко, то, из чего они состоят и как строятся, знать очень и очень полезно.

Надеемся также, что главным итогом прочтения этой главы для вас будет осознание того, что решение любой ML-задачи состоит из выбора функции потерь, параметризованного класса моделей и способа оптимизации. В следующих главах мы познакомимся с другими моделями и оптимизаторами, но эти базовые принципы не изменятся.

Все курсы > Вводный курс > Занятие 12

Ещё на первом занятии мы упомянули, что в уравнении может быть несколько независимых переменных.

$$y = w_1 times x_1 + w_2 times x_2 + w_0 $$

Такое уравнение нельзя изобразить на координатной плоскости (имеющей два измерения, x и y), потому что в нем три переменных, а значит три измерения. Нужен график, имеющий три плоскости.

С помощью этого графика мы можем представить зависимость обхвата шеи не только от роста, но и, например, от веса.

На самом деле измерений может быть и больше, просто так как мы живём в трёхмерном пространстве, представить четыре и более измерений мы не можем. Математически же это вполне возможно.

Данные как векторы и матрицы

Помимо того, что мы можем представить данные на графике (по крайней мере вплоть до третьего измерения), мы также можем представить их в форме вектора. Вектор, по сути, это набор чисел, описывающих координаты наших данных.

Если взять несколько точек и соответственно несколько векторов,

то получится набор чисел, называемых матрицей.

Из сказанного выше очевидно, что любой вектор — не что иное как матрица, в которой один столбец или одна строка.

Область математики, изучающая векторы и матрицы, называется линейной алгеброй.

На этом занятии мы рассмотрим два аспекта векторных и матричных вычислений. Во-первых, посмотрим на удобный способ умножения одного вектора на другой. Во-вторых, посмотрим как мы можем рассчитать угол между двумя векторами.

Умножение векторов

Вспомним, как мы делали прогноз с помощью нашей модели. Мы умножали вес (наклон) на значение независимой переменной и прибавляли ошибку (сдвиг). Когда у нас несколько независимых переменных и несколько весов, нам нужно их попарно перемножить и сложить произведения.

Если представить и веса, и значения независимых переменных с помощью векторов, то можно воспользоваться инструментом, который называется скалярным произведением векторов (dot product), чтобы получить прогнозное значение (ŷ).

---

Работа над ошибками. На видео представлена иная схема расположения векторов (см. скриншот ниже), а именно вектор-столбец весов мы умножаем на вектор-строку данных.

Результат вычислений от этого не меняется, однако исправленное положение векторов математически более точное.

Как мы узнаем на следующем курсе, перемножать можно не только векторы, но и матрицы. При этом при нахождении произведения двух матриц мы умножаем строки первой матрицы на столбцы второй. И здесь положение множителей будет иметь значение для вычисления конечного результата.

Поэтому и векторы, которые являются частным случаем матрицы с одной строкой или одним столбцом, правильнее расположить именно таким образом.

Добавлю, что если вы не вполне поняли, что это значит, ничего страшного, на следующем курсе мы во всем разберемся.

---

Скалярное произведение векторов на Питоне

На Питоне это реализовано с помощью библиотеки Numpy. До сих пор мы создавали массивы Numpy в, скажем так, служебных целях, чтобы использовать их, например, в моделях Scikit-learn.

Сегодня рассмотрим эти массивы сами по себе. По сути, массив Numpy (Numpy array), это и есть вектор или матрица. Давайте посмотрим, как создать такой массив, и как перемножить два вектора.

Вначале откроем ноутбук к этому занятию⧉

Вначале разберемся с основами работы с массивами.

import numpy as np # предположим мы записали наши данные # роста, веса и обхвата шеи одного человека в список data = [1.72, 54, 36.2] # убедимся, что это список с помощью функции type() type(data)

# преобразуем список в массив Numpy data_Numpy = np.array(data) data_Numpy

array([ 1.72, 54.  , 36.2 ])

# если у нас несколько наблюдений, то нужна матрица, т.е. # по сути, несколько векторов data_matrix = np.array([[1.72, 54, 36.2], [1.74, 58, 36.3], [1.68, 52, 32.9]]) data_matrix

array([[ 1.72, 54.  , 36.2 ],        [ 1.74, 58.  , 36.3 ],        [ 1.68, 52.  , 32.9 ]])

# мы можем посмотреть размерность матрицы (количество строк и столбцов) data_matrix.shape

Теперь мы готовы умножить один вектор на другой.

# даны два вектора в виде массивов Numpy a = np.array([1.72, 54]) # вектор данных w = np.array([19.86, 0.05]) # вектор весов # перемножим их вручную 1.72 * 19.86 + 54 * 0.05

# используем скалярное произведение векторов np.dot(a, w)

Именно благодаря скалярному произведению векторов компьютер так эффективно перемножает веса и данные и минимизирует функцию потерь.

Теперь посмотрим на угол между векторами.

Угол между векторами

Представление данных в форме вектора имеет ещё одно полезное свойство. Мы можем измерить близость двух векторов или угол между ними. Чем угол меньше, тем они ближе.

Посмотрим на формулу.

$$ cos(theta )={mathbf {b} cdot mathbf {c} over |mathbf {b} ||mathbf {c} |} $$

В этой формуле мы умножаем один вектор на другой и делим на произведение их длин. Результатом будет косинус угла θ между ними. Зная косинус, мы можем найти сам угол в градусах.

Косинусное сходство с помощью Питона

В первую очередь найдем косинус угла по формуле, приведенной выше.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

# даны два вектора (данные двух человек) # нам нужно понять, насколько они схожи b = np.array([1.72, 54, 36.2]) c = np.array([1.56, 47, 30.0]) # вначале выполним операции в числителе формулы numerator = np.dot(b, c) # теперь займемся знаменателем и # (1) рассчитаем длины (по большому счету, это теорема Пифагора) bLen = np.linalg.norm(b) cLen = np.linalg.norm(c) # (2) перемножим их denominator = bLen * cLen # посмотрим, чему равен косинус угла между векторами cosine = numerator/denominator cosine

Теперь рассчитаем угол в градусах

# для этого вначале вычислим угол в радианах angle_radians = np.arccos(cosine) # затем в градусах angle_degrees = angle_radians * 360/2/np.pi angle_degrees

Как мы видим угол чрезвычайно мал, а значит векторы очень близки друг к другу.

Мы будем на практике применять косинусное сходство или близость векторов, например, при построении рекомендательных систем для сопутствующих товаров в интернет-магазине. Когда вы покупаете, например, холодильник, то микроволновую печь вам рекомендуют именно потому, что вектор ваших покупок очень близок к вектору покупок тех, кто купил микроволновку.

Подведем итог

На этом занятии мы узнали, что данные можно представить в виде вектора и матрицы. Это создает новые возможности для вычислений и преобразования данных.

В частности, мы посмотрели на то, как умножить один вектор на другой через скалярное произведение векторов, а также научились вычислять косинусное сходство между двумя векторами.

Вопросы для закрепления

Какие два вектора мы перемножаем для того, чтобы сделать прогноз?

Посмотреть правильный ответ

Ответ: вектор весов и вектор данных (ну и еще прибавляем ошибку).

Какое расстояние (сходство) помогает определить близость векторов?

Посмотреть правильный ответ

Ответ: косинусное расстояние

Дополнительные упражнения⧉ вы найдете в конце ноутбука.

Последний штрих

Прежде чем перейти к построению моделей остается последний штрих: научиться разделять данные, на которых мы будем обучать модель.