Как найти вектор зная его проекции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $

Решение

Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи:

$$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Длина вектора $|overline{a}| = 5 $

Пример 2

Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $

Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё:

$|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $

Ответ

Длина вектора $|overline{a}|=6 $

Пример 3

Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $

Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат:

$ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $

Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу:

$|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $

Ответ

$|overline{AB}|=sqrt{13} $

В статье мы ответили на вопрос:»Как найти длину вектора?» с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

Источник

Длина вектора по координатам

Содержание:

Сложение векторов
Разность векторов
Умножение вектора на число

Пусть вектор задан своими проекциями: Перенесем его параллельно себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Получим Из рис. 1.9 видно, что

Согласно (1.5) аналогично и Эти числа подставим в предыдущую формулу и получим Извлечем квадратный корень и найдем длину вектора:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример с решением

Задача:

Пусть в пространстве Oxyz точки А и В заданы координатами (рис. 1.10). Нужно найти расстояние между ними.

Так как координаты точки равны проекциям на оси координат радиус-вектора этой точки, то Согласно (1.8) Значит, — Отсюда видно, что проекции вектора на оси координат равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Зная проекции , по формуле (1.10) найдем длину вектора следовательно, и расстояние между точками А и В:

Скалярной называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса. Вектором называется направленный отрезок прямой, соединяющий две точки в пространстве (рис. 1.4). Если А и В — начало и конец вектора, то он обозначается или

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается Если начало вектора совпадает с концом, то вектор называется нулевым и обозначается Рис. 1.4 Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называют равными (в этом случае пишут ), если:

— равны их длины

— они коллинеарны;

— они сонаправлены.

Следовательно, при параллельном переносе вектора получим вектор, равный исходному.

Сложение векторов

Даны векторы Вектор перенесем параллельно самому себе и поместим его начало в конец вектора Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора Ь, называется суммой векторов и обозначается Ясно, что сумму двух векторов можно получить иначе: построить с началом в общей точке, затем достроить на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Тогда его диагональ, выходящая из общего начала, будет суммой исходных векторов (рис. 1.5). Указанный метод легко распространяется на случаи трех

и большего числа векторов: от конца первого строим второй, от конца второго — третий и т. д., тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом последнего, и будет суммой рассматриваемых векторов (рис. 1.6).

Свойства сложения векторов: Эти свойства проверяются с помощью построения.

Разность векторов

Даны векторы Построим эти векторы с началом в общей точке. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора а конец — с концом вектора , называется разностью векторов и обозначается (рис. 1.7). Из рисунка видно, что

Умножение вектора на число

Даны ненулевой вектор и число Произведением вектора на число называется вектор который:

— коллинеарен

— имеет длину

— направлен так же, как и при , и противоположно при

Свойства умножения вектора на число:

Эти свойства доказываются построением.

Лекции:

Формы комплексного числа
Шар и его части
Комбинаторные тождества
Основная теорема алгебры
Объемы фигур вращения
Свойства прямоугольного треугольника
Частное решение дифференциального уравнения
Интегрирование иррациональных функций
Площадь поверхности. Интеграл по площади поверхности
Формула Пуассона

Источник

Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Действия над векторами, заданными проекциями
- Линейные операции над векторами
- Равенство векторов
- Коллинеарность векторов
- Координаты точки
- Координаты вектора

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В — его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается —.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается ||. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. £5] Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство но Векторы — противоположные,

Равные векторы называют также свободными. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли-неарны, то такие векторы компланарны.

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов : (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов

Под разностью векторов понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах , одна направленная диагональ является суммой векторов , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .Например, если дан вектор, то векторы будут иметь вид

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если Наоборот, если , то при некотором верно равенство

2) всегда , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Точка есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l , то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть — произвольный вектор . Обозначим через проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число —если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки совпадают , то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: . Если или , то .

Угол между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т. е.

Следствие:

Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие:

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, Имеем т. е. (см. рис. 11).

Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

При имеем

(свойство 1)

При :

Свойство справедливо, очевидно, и при .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат:

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда По определению суммы нескольких векторов находим А так как то

Но

Обозначим проекции вектора на оси Ох, Оу и Oz соответственно через

Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде:

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа т. е. Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.

Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу , Oz или, что то же самое

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

или кратко То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).
или короче То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов , заданных своими координатами.

Так как то можно записать где— некоторое число. То есть

Отсюда

T.e.

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектораназываются координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М, обозначается г, т. е. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у, z).

Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек — Имеем (см. рис. 13):

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?

Рассмотрим ненулевые векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии).

Представьте,

что на вектор перпендикулярно сверху падают

лучи света. Тогда отрезок будет «тенью»

вектора . Проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Это ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют,

«маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция

вектора «а» на вектор «бэ»».

Если угол между векторами острый (как на рисунке выше), то

Если векторы ортогональны, то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина с добавленным знаком «минус»).

Отвечу на назревший вопрос: что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую

вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ», попросту – на прямую, содержащую

вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на

прямую, содержащую вектор «бэ».

Из вышесказанного следует, что проекция вектора на любой ненулевой сонаправленный вектор

будет точно такой же:
– фактически это проекция вектора

на прямую , которая содержит сонаправленные векторы (и поскольку векторы свободны, то таких прямых будет

бесконечно много, все они будут параллельны друг другу);
а если векторы направлены противоположно , то

добавится знак «минус»:

Отложим наши подопытные векторы от одной точки:

и рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинус угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:
, но с другой стороны, у нас уже получена

формула косинуса угла между векторами:

…все ли догадались, что будет дальше?

Приравниваем формулы:

и сокращаем знаменатели обеих частей на ,

получая формулу для вычисления проекции:

Распишем её в координатах:

Если векторы плоскости и заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:

Если векторы пространства заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:

Легко убедиться, что проекция вектора на

коллинеарный вектор может

отличаться лишь знАком, приведу выкладки для «плоского» случая :

, если , и , если

Задача 34

Найти проекцию вектора на вектор

Решение в одну строчку:
, на завершающем шаге я умножил числитель и

знаменатель на , избавившись тем самым от

иррациональности в знаменателе.

Ответ:

Проекция – это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность, правда, если получится знак «минус», то смотреться это

будет своеобразно.

Задача 35

Треугольник задан своими вершинами .

Найти:
а) проекцию стороны на сторону ;
б) проекцию стороны на сторону .

Это задача для самостоятельного решения.

Итак, как найти проекцию вектора на отрезок с известными концами ? (как вариант, на продолжение этого отрезка). Находим вектор и используем формулу . Либо вектор и формулу . В

одном из случаев получится отрицательное значение, и если оно вас напрягает, выберите другой вариант

О проекции же вектора на прямую поговорим в следующей главе, а пока

выясним геометрический смысл координат векторов в ортонормированном базисе:

1.7.2. Проекции вектора на координатные оси. Направляющие косинусы

1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник