Как найти координаты вектора в базисе
Решение:
Записываем матрицу перехода А:
и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:
Обратная матрица А -1
Находим координаты вектора х относительно нового базиса.
Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c
Пример №2 . Даны векторы 
. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:
Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .
| A -1 = -1/182 |
|
Матрицу Х ищем по формуле:
| X = A -1 ·B = -1/182 |
|
* | = |
|
Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)
Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.
Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.
Онлайн калькулятор. Проверить образуют ли вектора базис.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить образует ли заданый набор векторов базис (проверить линейную независимость векторов).
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение образует ли заданый набор векторов базис и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)
Выберите размерность пространства
Количество координат в векторе:
Введите значение векторов:
Инструкция использования калькулятора для проверки образуют ли вектора базис (проверки линейной независимости векторов)
- Для того чтобы проверить образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов) онлайн:
- выберите необходимую вам размерность пространства;
- введите значение векторов;
- Нажмите кнопку «Проверить образуют ли вектора базис» и вы получите детальное решение задачи.
Ввод данных в калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису
В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.
Введем некоторые определения.
Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.
Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:
e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )
Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.
Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.
Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.
Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.
Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.
Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.
Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.
Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.
Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )
Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.
Решение
Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.
A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3
Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.
Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )
Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.
Решение
Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.
Ответ: указанная система векторов не является базисом.
Исходные данные: векторы
a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )
Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?
Решение
Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
По методу Гаусса определим ранг матрицы:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4
Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.
Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
Исходные данные: векторы
a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )
Составляют ли они базис пространства размерностью 4?
Решение
Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.
Ответ: нет, не составляют.
Разложение вектора по базису
Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.
Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:
Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.
Докажем эту теорему:
зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :
x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.
Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:
Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:
1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x
2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x
Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x
2 — x 2 ) , . . . , ( x
n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x
n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.
При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .
Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.
Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .
Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.
Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x
Вектор x → будет представлен следующим образом:
2 · e ( 2 ) + . . . + x
Запишем это выражение в координатной форме:
( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x
1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x
2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x
n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x
2 e 1 ( 2 ) + . . . + x
2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x
n e 2 ( n ) , . . . , x
2 e n ( 2 ) + . . . + x
Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x
n e 2 n ⋮ x n = x
Матрица этой системы будет иметь следующий вид:
e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )
Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x
n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .
Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.
Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы
e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )
Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.
Решение
Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .
Используем метод Гаусса:
A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3
1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5
1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5
R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.
Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x
3 . Связь этих координат определяется уравнением:
3 e 1 ( 3 ) x 2 = x
3 e 2 ( 3 ) x 3 = x
Применим значения согласно условиям задачи:
Решим систему уравнений методом Крамера:
∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x
1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x
1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x
2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x
Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x
Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )
Связь между базисами
Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:
c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
Указанные системы являются также базисами заданного пространства.
n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:
1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c
В виде матрицы систему можно отобразить так:
( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c
n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :
( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c
n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
И, далее действуя по тому же принципу, получаем:
( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c
n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Матричные равенства объединим в одно выражение:
c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c
n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )
Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.
Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :
e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e
n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )
Дадим следующие определения:
n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )
к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .
n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )
к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/basis_inspection/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/
Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе
Даны векторы 
. Показать, что векторы 
образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы 
образуют базис, то любой вектор 
можно единственным способом разложить по данному базису: 
, где 
– координаты вектора в базисе 
.
Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор 
можно единственным образом разложить по данному базису:
, где 
– координаты вектора в базисе 
.
По условию и требуется найти координаты .
Для удобства объяснения поменяю части местами: 
. В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно: 
По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя 
, в правую часть записаны координаты вектора 
.
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.
Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшее – дело техники: 
Таким образом:
– разложение вектора по базису 
.
Ответ: 
Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.
Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:
Даны векторы 
. Показать, что векторы 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.
Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.
Любите векторы, и векторы полюбят вас!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
Ответ: при 
Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон 
и 
.
Найдём векторы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
:
, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны 
не параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон 
и 
.
Найдём векторы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
:
, значит, данные векторы коллинеарны, и 
.
Вывод: Две стороны четырёхугольника 
параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.
Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Система не имеет решения, значит, векторы 
не коллинеарны.
Более простое оформление:
– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: векторы не коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы 
. Составим систему:
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит 
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ:
Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
(определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса
Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
Таким образом, векторы линейно независимы и образуют базис.
Представим вектор 
в виде линейной комбинации базисных векторов:
Покоординатно:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ: Векторы 
образуют базис, 
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису
В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.
Введем некоторые определения.
Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.
Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:
e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )
Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.
Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.
Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.
Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.
Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.
Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.
Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.
Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.
Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )
Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.
Решение
Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.
A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3
Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.
Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )
Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.
Решение
Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.
Ответ: указанная система векторов не является базисом.
Исходные данные: векторы
a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )
Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?
Решение
Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
По методу Гаусса определим ранг матрицы:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4
Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.
Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
Исходные данные: векторы
a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )
Составляют ли они базис пространства размерностью 4?
Решение
Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.
Ответ: нет, не составляют.
Разложение вектора по базису
Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.
Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:
Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.
Докажем эту теорему:
зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :
x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.
Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:
Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:
1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x
2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x
Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x
2 — x 2 ) , . . . , ( x
n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x
n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.
При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .
Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.
Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .
Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.
Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x
Вектор x → будет представлен следующим образом:
2 · e ( 2 ) + . . . + x
Запишем это выражение в координатной форме:
( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x
1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x
2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x
n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x
2 e 1 ( 2 ) + . . . + x
2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x
n e 2 ( n ) , . . . , x
2 e n ( 2 ) + . . . + x
Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x
n e 2 n ⋮ x n = x
Матрица этой системы будет иметь следующий вид:
e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )
Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x
n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .
Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.
Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы
e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )
Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.
Решение
Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .
Используем метод Гаусса:
A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3
1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5
1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5
R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.
Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x
3 . Связь этих координат определяется уравнением:
3 e 1 ( 3 ) x 2 = x
3 e 2 ( 3 ) x 3 = x
Применим значения согласно условиям задачи:
Решим систему уравнений методом Крамера:
∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x
1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x
1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x
2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x
Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x
Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )
Связь между базисами
Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:
c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
Указанные системы являются также базисами заданного пространства.
n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:
1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c
В виде матрицы систему можно отобразить так:
( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c
n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :
( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c
n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
И, далее действуя по тому же принципу, получаем:
( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c
n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Матричные равенства объединим в одно выражение:
c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c
n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )
Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.
Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :
e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e
n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )
Дадим следующие определения:
n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )
к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .
n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )
к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .
Как найти базис трех векторов
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/
http://yukhym.com/ru/vektory/bazis-razlozhenie-vektora-po-vektoram.html
§ 22.Разложение вектора по базису
22.1. Компланарные векторы
Определение. Ненулевые векторы 
, 
, 
называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости (рис. 180, а).
Понятие компланарности определяется для произвольной совокупности векторов. Так, любой вектор компланарен некоторой плоскости. Два любых вектора также компланарны некоторой плоскости. Но три любых вектора считаются компланарными некоторой плоскости, если направленные отрезки, изображающие эти векторы, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости. Аналогично определяется компланарность для четырёх, пяти и т. д. произвольной совокупности векторов.
На рисунке 180, б векторы 
, 
, 
компланарны, так как отрезок B1D1 параллелен плоскости ABD, но тройка векторов 
, 
и 
не является компланарной, так как отрезок AA1 не параллелен плоскости ABD, в которой расположены отрезки AB и AD. Некомпланарны и тройки векторов 
, 
, 
и 
, 
, 
. (Почему?)
Укажите тройки компланарных и некомпланарных векторов, изображённых на рисунке 180, б, в.
Замечание. Если среди трёх векторов хотя бы два коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Рис. 180
Рис. 181
В самом деле, пусть среди трёх векторов 
= 
, 
= 
, 
= 
коллинеарны векторы 
и 
, т. е. 
= x
. Проведём плоскость α, параллельную непараллельным прямым AB и CD (рис. 181). Тогда MN ‖ α (почему?). От произвольной точки O плоскости α отложим направленные отрезки 
= 
, 
= 
, 
= 
.
Эти отрезки лежат в плоскости α (почему?). Следовательно, векторы 
, 
и 
компланарны. Три вектора, среди которых имеется нулевой вектор, считаются также компланарными.
22.2. Разложение вектора на плоскости
Пусть на плоскости α даны неколлинеарные векторы 
и 
; 
— произвольный вектор этой плоскости.
Если вектор 
коллинеарен с одним из векторов 
и 
, то или 
= x•
+ 0•
(
‖ 
), или 
= 0•
+ y•
(
‖ 
).
Заметим, что 
= 0•
+ 0•
.
Пусть теперь вектор 
= 
не коллинеарен ни с одним из векторов 
и 
(рис. 182). Через точку С проведём прямые a1 ‖ a и b1 ‖ b, при этом получим точки A1 = a ∩ b1 и B1 = b ∩ a1. Тогда по правилу параллелограмма пишем:
Рис. 182
= 
+ 
= x
+ y
= x
+ y
или
= x
+ y
.(1)
Равенство 
= x
+ y
называется разложением вектора 
по двум неколлинеарным векторам 
и 
; числа x и y называются коэффициентами разложения.
Покажем, что числа x и y в разложении (1) однозначно определены. Действительно, предположим, что существуют другие числа x1 и y1 такие, что, по крайней мере, или x1 ≠ x, или y1 ≠ y и при этом верно равенство
= x1
+ y1
.(2)
Из равенств (1) и (2) получаем x
+ y
= x1
+ y1
или (x1 – x) 
+ (y1 – y) 
= 0, откуда следует, что либо векторы 
и 
коллинеарны (что противоречит условию), либо y1 = y и x1 = x. Таким образом, нами доказана теорема.
Теорема 34. Если на плоскости дана упорядоченная пара (
; 
) неколлинеарных векторов, то для любого вектора 
этой плоскости существует единственная упорядоченная пара чисел (x; y) такая, что выполняется векторное равенство
= x
+ y
.
Из равенства (1) следует, что любой вектор 
, компланарный с неколлинеарными векторами 
и 
, является линейной комбинацией векторов 
и 
. Поэтому пару векторов 
и 
называют базисом на плоскости, а также базисом на множестве всех векторов пространства, компланарных с векторами 
и 
.
Определение. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов 
и 
. Векторы 
и 
называются базисными векторами.
Базис из векторов 
и 
обозначают (
; 
). При этом равенство 
= x
+ y
называется разложением вектора 
по базису (
; 
) (или разложением вектора 
по базисным векторам 
и 
), а числа x и y — координатами вектора 
в базисе (
; 
).
Если вектор 
компланарен с неколлинеарными векторами 
и 
, то выполняется равенство 
= x
+ y
.
Справедливо и обратное утверждение: если для векторов 
, 
и 
выполняется равенство 
= x
+ y
, то векторы 
, 
и 
компланарны.
(Докажите его самостоятельно.)
Таким образом: три вектора 
, 
и 
(где 
и 
неколлинеарные векторы) пространства компланарны, если существуют числа x и y такие, что выполняется равенство
= x
+ y
.
Признак компланарности трёх векторов можно сформулировать следующим образом.
Теорема 35 (признак компланарности трёх векторов). Три вектора 
, 
и 
пространства компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа x, y, z, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство
x
+ y
+ z
= 
.
Рис. 183
Докажите это утверждение самостоятельно.
Напомним одно важное векторное равенство на плоскости. Пусть точка O не лежит на прямой AB. Тогда точка M лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда 
= x•
+ y•
при x + y = 1 (рис. 183).
22.3. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам
Определение. Три вектора называются некомпланарными, если изображающие их направленные отрезки не лежат в одной плоскости и не параллельны одной плоскости.
Теорема 36. Если дана упорядоченная тройка (
; 
; 
) некомпланарных векторов, то для любого вектора 
пространства существует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z), удовлетворяющая равенству
= x
+ y
+ z
.
Рис. 184
Рис. 185
Доказательство. Пусть даны три некомпланарных вектора 
, 
, 
и произвольный вектор 
.
Если вектор 
компланарен с любыми двумя из данных трёх векторов 
, 
, 
, то теорема верна (например, если 
компланарен с векторами 
и 
, то 
= 0•
+ y•
+ z•
) (рис. 184).
Пусть теперь никакие три из векторов 
, 
, 
, 
не компланарны.
От произвольной точки O отложим векторы 
= 
, 
= 
, 
= 
и 
= 
. Так как направленные отрезки 
, 
и 
не компланарны, то плоскости AOB, AOC и BOC различны (рис. 185).
Проведём через точку D прямую, параллельную OC (D1 — точка пересечения этой прямой с плоскостью AOB). Тогда по правилу треугольника
= 
= 
+ 
.(1)
Векторы 
, 
и 
компланарны. Следовательно, 
= x
+ y
. Так как 
= 
, а вектор 
коллинеарен вектору 
= 
, т. е. 
= z
, то
= 
= x
+ y
+ z
.
Таким образом, для произвольного вектора 
пространства выполняется равенство
= x
+ y
+ z
,(2)
где 
, 
, 
— данные некомпланарные векторы. Равенство (2) называется разложением вектора 
по трём некомпланарным векторам 
, 
и 
; числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Докажем, что коэффициенты x, y и z в разложении (2) однозначно определены. Предположим, что существует другая тройка чисел (x1; y1; z1), для которой верно равенство
= x1
+ y1
+ z1
.(3)
Вычитая (3) из (2), получаем
(x – x1) 
+ (y – y1) 
+ (z – z1) 
= 
.
Из этого равенства на основании теоремы 35 следует, что либо векторы 
, 
и 
компланарны (что противоречит условию), либо z = z1, x = x1 и y = y1. Следовательно, тройки чисел (x; y; z) и (x1; y1; z1) равны. Теорема доказана. ▼
Из равенства 
= x
+ y
+ z
следует, что любой вектор 
пространства является линейной комбинацией тройки некомпланарных векторов 
, 
и 
. Поэтому говорят, что эта тройка образует базис векторов в пространстве.
Определение. Базисом векторов в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, образующие базис, называются базисными векторами.
Базис из векторов 
, 
и 
обозначают (
; 
; 
). Равенство 
= x
+ y
+ z
называется разложением вектора 
по базису (
; 
; 
) или разложением вектора 
по базисным векторам 
, 
и 
; числа x, y, z называются координатами вектора 
в базисе (
; 
; 
).
Рис. 186
Из теоремы 36 следует, что любой вектор пространства можно единственным образом разложить в данном базисе.
ЗадаЧа. В тетраэдре PABC точка M — центроид (точка пересечения медиан, центр тяжести) треугольника PBC, точка H — середина ребра PC, точка E взята на ребре AP так, что AE : EP = 2 : 1. Разложить вектор 
по базису (
; 
; 
), если 
= 
, 
= 
, 
= 
(рис. 186).
Решение. По правилу ломаной
= 
+ 
+ 
.
Находим: AE : EP = 2 : 1.
= 
= 
(
– 
) = 
(
– 
);
= –
= – 
;
M — центроид треугольника PBC.
= 
= 
•
(
+ 
) = 
(
+ 
).
Тогда
= 
(
– 
) – 
+ 
(
+ 
) = – 
+ 
– 
.
Ответ: – 
+ 
– 
.
Рис. 187
Попробуйте доказать самостоятельно важный стереометрический факт. Пусть даны треугольник ABC и любая точка O, не лежащая в плоскости этого треугольника. В таком случае: точка M тогда и только тогда будет лежать в плоскости ABC, когда выполняется векторное равенство 
= x•
+ y•
+ z•
при условии, что x + y + z = 1 (рис. 187).
Рис. 188
ЗадаЧа 6.044. ABCDA1B1C1D1 — куб. Доказать, что центроид M треугольника ACD1 принадлежит диагонали B1D и делит её в отношении 1 : 2, считая от вершины D.
Решение. Для решения задачи достаточно убедиться, что векторы 
и 
(рис. 188) коллинеарны (почему?).
Введём базис 
= 
, 
= 
, 
= 
и найдём разложение векторов 
и 
по этому базису.
По правилу параллелепипеда имеем
= 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
.(1)
Так как точка M — центроид треугольника ACD1, то
= 
(
+ 
+ 
) = 
(
+ 
+ 
).(2)
Из (1) и (2) следует, что 
= 
, поэтому векторы 
и 
коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что точка M принадлежит диагонали DB1 и DM : DB1 = 1 : 3, откуда DM : MB1 = 1 : 2, что и требовалось доказать.
1.8.4. Базис и система координат пространства
Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Тем не менее, рекомендую внимательно
прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.
Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в
помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса
потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.
И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний
палец. Это будут векторы 
, они смотрят в разные стороны, имеют
разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов!
Кстати, не нужно демонстрировать такое
преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)
Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно
прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас
пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными, и совершенно понятно, что базиса трёхмерного пространства они не
создают.
Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не
делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).
Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если
такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова
представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы 
мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно
выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы 
не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: 
(почему?).
Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом
не выражаются друг через друга.
И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.
Определение: базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов
, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным
образом раскладывается по данному базису 
, где 
– координаты вектора 
в этом базисе. Также говорят, что вектор 
представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки (начала отсчёта) и любых трёх линейно
независимых векторов:
Выбранное (где угодно) начало координат 
, и некомпланарные векторы 
, взятые в
определённом порядке, задают аффинную систему координаттрёхмерного пространства:
Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координаявляется «школьная» система. Начало координат 
и ортонормированный
базис 
задают декартову прямоугольную систему
координат пространства:
Ось абсцисс 
изображают под углом в 
по отношению к другим осям (к оси ординат 
и оси аппликат 
).
Популярный «тетрадный» масштаб: 1 ед. = 2 клетки по осям 
и 1 ед. = диагональ одной клетки – по оси 
.
И перед тем как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем теоретическую информацию:
Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Противоположные высказывания, думаю, понятны.
Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5), и оставшиеся
практические задания параграфа будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Повесим на гвоздь геометрическую клюшку и начнём
орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:
Три вектора пространства 
компланарны тогда и только
тогда, когда определитель, составленный из
координат данных векторов, равен нулю: 
.
Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (результат не
изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.
Задача 42
Проверить, образуют ли векторы базис трёхмерного пространства:
а) 
б) 
Фактически всё решение сводится к вычислению
определителей:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
(определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы 
линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы образуют базис.
б) Это пункт для самостоятельного решения. Не пропускаем! Для проверки правильности вычислений определителей я приложил к
книге Алгебраический Калькулятор.
Решим творческую задачку:
Задача 43
При каком значении параметра 
векторы 
будут компланарны?
Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен
нулю:
По существу, требуется решить уравнение с определителем. Определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:
Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:
Ответ: при 
Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение 
в исходный определитель и убедиться, что 
, раскрыв его заново.
И в заключение параграфа рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая встречается в подавляющем большинстве контрольных работ по алгебре и
геометрии:
Задача 44
Даны векторы 
. Показать, что векторы 
образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе.
Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора 
вполне могут образовывать свой базис. И первый этап полностью совпадает с решением Задачи 42 –
необходимо проверить, действительно ли векторы 
линейно
независимы. Для этого нужно вычислить определитель, составленный из координат векторов 
:
, значит, векторы 
линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно: координаты векторов 
обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы 
образуют
базис, то любой вектор 
можно единственным способом разложить по
данному базису: 
, где 
– координаты вектора в базисе 
.
Поскольку наши векторы 
образуют базис трёхмерного
пространства (это уже доказано), то вектор 
можно единственным
образом разложить по данному базису:
, где 
– координаты вектора 
в
базисе 
.
И по условию требуется найти координаты 
.
Для удобства объяснения поменяю части местами: 
. В целях
нахождения 
следует расписать данное равенство
покоординатно:
– коэффициенты левой части берём из опр-ля 
,
в правую часть записываем координаты вектора 
.
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое
требование.
Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшее дело техники:
и ещё один определитель:
Таким образом:
– разложение вектора 
по базису 
.
Ответ: 
Такая же задача для самостоятельного решения:
Задача 45
Даны векторы 
. Показать, что в
екторы образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце книги. Для самоконтроля используйте тот же Алгебраический
Калькулятор, где есть макет с автоматическим расчётом системы по правилу Крамера.
1.9.1. Векторное произведение векторов. Определение и его смысл
1.8.3. Как определить коллинеарность векторов пространства?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|
Определение 1.5.1. |
Базисом
Базисом
Базисом |
|
Определение 1.5.2. |
Базис |
|
Определение 1.5.3. |
Ортогональный |
Пространственный
базис, составленный из линейно независимых
векторов
,
будем обозначать
.
Ортогональный или ортонормированный
базис условимся обозначать как
.
|
Теорема 1.5.1. |
Пусть |
,
в пространстве может быть представлен,
,
— некоторые числа.|
Доказательство:
1. |
||
|
O
Рисунок |
Совместим Построим |
|
|
Перенеся
2.
и
Вычитая
где,
Но Теорема |
и
.
,
и
были коллинеарны, тогда, в силу
,
.
,
,
.
,
линейно зависимы и, следовательно, не|
Определение 1.5.4. |
Числа |
,
в базисе
.
Для
записи вектора
в координатном представлении используются
формы:
1. 2. 3.
4.
5.
,
из
которых в дальнейшем мы будем использовать
последнюю.
В
общем случае утверждение «вектор
в
базисе
имеет
координатное представление
» записывается как
,
но иногда, если это не приводит к
неоднозначности толкования, мы будем
использовать и сокращенную запись вида
.
Наконец,
если вектор
в базисе
на плоскости может быть представлен
как
,
то его координатная запись имеет вид
.