Как найти векторное произведение с суммой

Содержание:

  1. Векторы
  2. Действия над векторами
  3. Умножение вектора на число
  4. Скалярное произведение векторов
  5. Векторное произведение
  6. Смешенное произведение векторов
  7. Разложение вектора по базису
  8. Действия над векторами, заданными своими координатами
  9. Проекция вектора на ось
  10. Проекции вектора на оси координат
  11. Направляющие косинусы вектора
  12. Разложение вектора по ортам
  13. Действия над векторами, заданными в координатной форме
  14. Вектор — основные определения
  15. Операции над векторами и их свойства
  16. Сформулируем и докажем ещё одну важную для решения некоторых задач теорему.
  17. Координаты вектора
  18. Скалярное произведение векторов и его свойства
  19. Векторы и их решение
  20. Собственные числа и собственные векторы
  21. Векторная алгебра
  22. Векторы: основные определения, линейные операции
  23. Линейные операции над векторами
  24. Умножения вектора на скаляр
  25. Основные свойства проекции вектора на ось
  26. Прямоугольная система координат в пространстве. Координатная и алгебраическая формы задания векторов
  27. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
  28. Векторное произведение двух векторов
  29. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме
  30. Простейшие задачи аналитической геометрии
  31. Задача об определении площади треугольника
  32. Задача о деление отрезка в заданном отношении

Векторы

В математике вектором называют величину, которая характеризуется только числом и направлением. Так определённые векторы ещё называют свободными векторами. Примером физических величин, которые имеют векторный характер являются скорость, сила, ускорение. Геометрически вектор — это направленный отрезок, хотя правильней говорить про целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковые длину и направление.

Векторы

Векторы обозначают малыми латинскими буквами с чертой сверху Векторы, или двумя большими латинскими буквами, которые обозначают его начало и конец, например  Векторы. Длина (модуль) вектора — это длина отрезка, который отвечает данному вектору и обозначается Векторы В зависимости от соотношения длин и направлений различают следующие виды векторов:

Векторы

Векторы

Действия над векторами

Рассмотрим основные действия, определённые над векторами.

1. Сложение векторов. Суммой векторов Векторы называют вектор Векторы, который соединяет начало вектора Векторы с концом вектора Векторы, при условии, что вектор Векторы отложен от конца вектора Векторы. Такой способ сложения векторов называют правилом треугольника.

Векторы

Учитывая, что Векторы, то найти сумму векторов Векторы можно также по так называемым «правилом параллелограмма» (рис. 3)

Векторы

Вычитание векторов сводится к сложению противоположного вектора

Векторы

Запишем основные свойства действий сложения векторов:

 Векторы

Заметим, что сумма нескольких векторов находится последовательным сложением двух из них, например:

Векторы

Геометрически сумма нескольких векторов находится их последовательным отложением один за одним так, чтоб начало следующего совпадало с концом предыдущего. Суммой является вектор, который будет соединять начало первого с концом последнего (рис. 4). Если такая последовательность векторов даёт замкнутую ломаную то суммой векторов является Векторы (рис. 5).

Векторы

Умножение вектора на число

Произведением вектора Векторы на число Векторы называют вектор Векторы, для которого выполняются условия:

а) Векторы;

б) Векторы, причём Векторы сонаправленные если Векторы противоположно направленные, если Векторы. Отсюда, очевидно, что необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является соотношение Векторы.

Запишем основные свойства действий умножения вектора на число:

Векторы

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением Векторы или Векторы векторов Векторы и Векторы называют выражение Векторы, где Векторы угол, который образуют векторы. Отметим, что углом между векторами считают угол между их направлениями. Если хотя бы один из векторов равен Векторы, то их скалярное произведение считают равным нулю.

Очевидно, что скалярное произведение двух ненулевых векторов будет равно нулю тогда и только тогда когда эти вектора перпендикулярны (ортогональны). Действительно, если Векторы. Но Векторы, следовательно,

Векторы

Наоборот, если Векторы и согласно определениям

Векторы.

Например, скалярное произведение Векторы будет равным

Векторы

Запишем основные свойства действий скалярного умножения векторов:

Векторы

Векторное произведение

Векторным произведением Векторы двух векторов Векторы и Векторы называется вектор Векторы, который удовлетворяет условия:

1) модуль вектора Векторы равен произведению модулей векторов  Векторы и Векторы на синус угла между ними

 Векторы

2) вектор Векторы перпендикулярный к плоскости, которая определяется векторами Векторы и Векторы (рис. 5).

3) вектор Векторы направленный так, что кратчайший поворот вектора Векторы к вектору Векторы видно с конца вектора Векторы таким, что происходит против движения стрелки (то есть вектора ВекторыВекторы и  образуют правую упорядоченную тройку, или правый руль).

Векторы

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах Векторы и Векторы. Векторное произведение выражается формулой Векторы, где Векторы площадь параллелограмма построенного на векторах Векторы и ВекторыВекторы единичный вектор направления Векторы.

Приведём основные свойства векторного произведения:

1) векторное произведение Векторы равно нулю, если векторы  Векторы и Векторы коллинеарные, или один из них нулевой;

2) от перестановки местами векторов-сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный: Векторы (векторное произведение не имеет свойств перестановки);

3) Векторы (распределительный закон);

4) Векторы (соединительный закон).

Физическое содержание векторного произведения такое. Если Векторы сила, а Векторы радиус-вектор точки её приложения, которая имеет начало в точке Векторы, то моментом силы Векторы относительно точки Векторы является вектор, который равен векторному произведению Векторы на Векторы, то есть Векторы.

Смешенное произведение векторов

Смешенным произведением векторов Векторы называют скалярное произведение вектора Векторы на вектор Векторы. Смешенное произведение обозначают (Векторы), поэтому по определению имеем

Векторы

Как результат скалярного произведения векторов Векторы и Векторы смешенное произведение является скалярной величиной (числом). Геометрически смешенное произведение — это объём параллелепипеда, построенного на эти векторах, взятый со знаком плюс, если векторы Векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, когда эта тройка левая      (рис. 7).

 Векторы

Действительно, Векторы, где Векторы угол между векторами Векторы угол между векторами Векторы и Векторы.

Объём V параллелепипеда, построенного на векторах Векторы равный произведению площади основы S на высоту h.

Векторы

Однако, знак смешенного произведения совпадает со знаком Векторы, то есть он положительный, когда угол Векторы острый (Векторы образуют правую тройку векторов) и отрицательный, когда угол Векторы тупой (Векторы образуют левую тройку векторов). Поэтому:

Векторы

Из геометрического содержания смешенного произведения выходит, что 

1) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда перемноженные вектора копланарные (условие компланарных векторов);

2) Векторы

Учитывая коммутативность скалярного произведения и антикоммутативность векторного, для произвольных векторов Векторы имеем

Векторы

Пример 1.

Доказать, что когда М — точка АВС и О — произвольные точки пространства, то выполняется равенство: Векторы

Решение.

Пусть Векторы медиана треугольника АВС. По свойствам медиан треугольника Векторы Применив к векторам Векторы и Векторы формулу вычитания векторов

Векторы

тогда

Векторы

Пример 2.

У прямоугольного параллелепипеда рёбра Векторы, имеют длину 2, 3, 5. Вычислить длины отрезков Векторы и Векторы и угол между прямыми Векторы и Векторы.

Решение.

Пусть Векторы единичные вектора направленные вдоль рёбер, которые рассматриваются. Тогда Векторы (поскольку параллелепипед прямоугольный).

рис. 9.Векторы

Далее,

Векторы

Этим закончен «перевод» условия задачи на «язык» векторов.

Теперь произведём вычисления с векторами:

Векторы

Наконец «переводим» полученные вектора равенства снова на «геометрический язык». Поскольку Векторы аналогично Векторы.

Далее поскольку Векторы, где Векторы угол между данными векторами то Векторы, отсюда получаем Векторы. Теперь с помощью тригонометрических таблиц находим значения угла Векторы.

Разложение вектора по базису

Базисом на площади называют упорядоченную пару неколлинеарных векторов и точку отсчёта. 

Теорема. Любой вектор Векторы на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам Векторы и Векторы, то есть представить в виде: Векторы.

Доказательство.

Векторы

Пусть векторы Векторы компланарные и векторы Векторы и Векторы неколлинеарные. От точки О отложим все три вектора и на продолжении векторов Векторы и Векторы построим параллелограмм  ONCM так, чтобы вектор Векторы был его диагональю.

Тогда по правилу параллелограмма Векторы.

Но Векторы, как коллинеарные векторы. Следовательно, векторВекторы.

Числа, которые стоят при базисных векторах в разложении вектора за двумя неколлинеарными векторами называют координатами вектора в данном базисе и обозначают Векторы.

Соответственно в пространстве базисом называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов и точки отсчёта.  Для четырёх некомпланарных векторов справедлива следующая теорема.

Теорема. Любой вектор  Векторы в пространстве можно разложить по трём некомпланарным векторам ВекторыВекторы и Векторы, то есть представить в виде: Векторы.

Доказательство.

От точки О отложим векторы  Векторы и на продолжении векторов Векторы построим параллелограмм Векторы 

Векторы

в котором вектор Векторы является диагональю. Как видим

Векторы

Числа х,у,z которые стоят при базисных векторах в разложении вектора по трём некомпланарным векторам называют координатами вектора в пространстве и обозначают Векторы. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны (их обозначают Векторы), то вместе с точкой отсчёта они образуют декартовую систему координат, а координаты вектора в таком базисе называют декартовыми координатами. В декартовой системе координат разложение вектора будет иметь вид Векторы. Если началом вектора Векторы является точка Векторы, а концом — точка Векторы, то координаты вектора Векторы вычисляют как разность соответствующих координат точек А и В,

Векторы

Отсюда легко установить длину вектора как расстояние между двумя точками:

Векторы

Действия над векторами, заданными своими координатами

1. При сложении двух, или более векторов их соответствующие координаты складываются:

Векторы

Действительно:

Векторы

2. При вычитании векторов соответствующие координаты вычитаются:

Векторы

Доказательство аналогично предыдущему.

3. При умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

Правда, для вектора Векторы и числа Векторы имеем:

Векторы

4. Скалярное произведение двух векторов Векторы равно сумме произведений соответствующих координат:Векторы

Правда:

Векторы

Поскольку Векторы выполняется ВекторыСледовательно, мы можем записать

Векторы

5. Векторное произведение векторов Векторы заданных своими координатами вычисляется так:

Векторы

6. Смешенное произведение трёх векторов Векторы равняется:

Векторы

Пример 1.

Зная координаты векторов Векторы, найти координаты векторов Векторы.

Решение:

Векторы

Ответ: Векторы.

Пример 2.

Зная координаты векторов Векторы вычислить координаты вектора Векторы.

Решение.

Векторы

Ответ: Векторы.

Пример 3.

Зная координаты векторов Векторы вычислить:

а) скалярное произведение векторов Векторы

б) векторное произведение векторов Векторы

в) смешенное произведение векторов Векторы.

Решение.

Векторы

Ответ: Векторы

На основании приведённых выше формул действий над векторами можно установить следующие условия и соотношения для нулевых векторов

Векторы

1. Угол между векторами.

Векторы

2. Условие перпендикулярности двух векторов:

Векторы

(векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю).

3. Условие коллинеарности двух векторов: Векторы (векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда соответствующие их координаты пропорциональны).

4. Условие компланарности трёх векторов.

 Векторы

(три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешенное произведение равно нулю).

5. Деление отрезка АВ в заданном отношении.

Если точка Векторы делит отрезок АВ в отношении Векторы, то координаты точки М находят по формуле:

Векторы

Если точка М делит отрезок АВ на пополам то Векторы, и координаты точки находят согласно формуле:

Векторы

Действия над векторами (теория)

а) Произведение вектора на число.
Определение 1. Произведением вектора Векторы на число λ называется вектор Векторы,
который имеет длину Векторы  и направление его совпадает с направлением вектора Векторыесли λ > 0,  и противоположно ему, если λ < 0 (рис.12).

Векторы
Рис. 12.

Условие Векторы                                                                           (2.6)
является условием коллинеарности двух векторов.

б) Сложение векторов.

Определение 2. Суммой двух векторов Векторы  и  Векторы  называется вектор   Векторы , начало которого совпадает с началом вектора Векторы,  а конец совпадает с концом вектора Векторы, при условии, что начало вектора Векторы  совпадает с концом вектора  Векторы  (правило треугольника)  (рис.13).

Векторы

Рис. 13.

Понятно, что вектор Векторы в этом случае является диагональю параллелограмма, построенного на векторах Векторы  и  Векторы  (правило параллелограмма) (рис.13).
Для векторной суммы справедливый переместительный закон
Векторы
Легко убедиться, что для векторной суммы имеет место соединительный
закон  Векторы .
Исходя из определения 2, легко находим сумму, например, четырех векторов Векторы (рис. 14).
Векторы
Рис. 14.
Вектор Векторы соединяет начало первого вектора   Векторы с концом вектора  Векторы  (правило многоугольника).

в) Вычитание векторов.
Действие вычитание векторов можно рассматривать как обратное действие относительно сложения векторов.

Определение. Разностью Векторы  называется вектор Векторы , который в сумме с вектором Векторы дает вектор  Векторы  (рис. 15), т.е. Векторы

Векторы
Рис. 15.

Как видно из рис. 15,  одна диагональ Векторы является суммой  Векторы ,  а  вторая диагональ Векторы  является разностью векторов  Векторы и  Векторы.
Дадим еще одно определение разности векторов.

Определение. Разностью двух векторов Векторы и  Векторы , которые имеют общее начало, называется вектор Векторы , который соединяет концы этих векторов и направлен в сторону уменьшаемого.

Проекция вектора на ось

Пусть имеем произвольную ось l на плоскости и некоторый вектор Векторы (рис. 16).
Векторы

Рис. 16.

Опустим из начала A вектора и из конца B перпендикуляры на ось l. Основаниями перпендикуляров будут точки A1 и B1, которые называются проекциями точек A и B.

Величина A1B1 называется проекцией вектора Векторы на ось l и обозначается  Векторы, то есть Векторы.
Определение 1. Проекцией вектора Векторы  на ось l называется величина отрезка  A1B1, взята со знаком плюс, если направление отрезка A1B1  совпадает с направлением оси l, и с знаком минус, если направления противоположные.

Из точки A проведем прямую, параллельную оси l, которая пересечет отрезок  BB1 в точке C. Вектор Векторы образует с осью l угол φ. Величина отрезка AC равна величине отрезка  A1B1, а тогда из Δ ABC находим  
Векторы    или       Векторы                                        (2.7)

Определение 2. Проекция вектора на любую ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между осью и вектором.

Если угол φ острый, то проекция  Векторы — положительное число, а если угол φ тупой, то проекция Векторы  —  отрицательное число.

Свойства проекций.

1. Если векторы  Векторы и  Векторы равны, то величины их проекций на одну и ту же ось l также равны, то есть:  Векторы.
2. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось, то есть:
Векторы

3. Проекция разности двух векторов на ось l равна разности величин проекций на ту же ось, то есть:
Векторы

4. Если вектор Векторы умножен на любое число λ, то величина проекции вектора Векторы на ось также умножится на число λ, то есть: 
Векторы
 

Проекции вектора на оси координат

Рассматривается прямоугольная система координат Oxyz в пространстве и произвольный вектор Векторы.
Пусть Векторы  Векторы
Проекции x, y, z вектора Векторы  на координатные оси называют координатами вектора и записывают Векторы.
Если заданы две точки A (x1; y1; z1и B (x2; y2; z2), то координаты вектора Векторы находятся по формулам
x = x2 – x1,   y = y2 –  y1,  z = z2 – z.

Векторы

Рис. 17

Действительно, проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные оси Ox и обозначим точки их пересечения соответственно A1 и B1 (рис.17). Точки A1 и B1 имеют на оси Ox координаты   x1  и  x, но Векторы на основе формулы (2.1), а потому
x = x2 – x1 . Аналогично доказывается, что y = y2 –  y1,  z = z2 – z.
 

Направляющие косинусы вектора

Пусть имеем вектор Векторы  и будем считать, что он выходит из начала координат и не находится ни в одной координатной плоскости.

Векторы

Рис. 18

Через точку M проведем плоскости, перпендикулярные к осям координат, и вместе с координатными плоскостями они образуют параллелепипед, диагональ которого — отрезок OM (рис.18). Через α, β, γ обозначим углы, которые образует вектор Векторы с осями координат. Величины cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора Векторы. Координаты вектора Векторы.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов длин трех его измерений.
Поэтому
Векторы или  Векторы
Векторы                                                                     (2.8)
Формула (2.8) выражает длину вектора через его координаты. Тогда на основе формул (2.7) и (2.8) получим
Векторы
Отсюда для направляющих косинусов получаем

Векторы                  (2.9)

Для направляющих косинусов справедливо равенство Векторы  (это вытекает из (2.9)).

Разложение вектора по ортам

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве и вектор, начало которого в точке O (рис.19) .

Векторы

Рис. 19.

Обозначим орты осей координат Ox, Oy, Oz соответственно через  Векторы,  причем
Векторы

Спроецируем вектор Векторы  на координатные оси (через точку M проведем плоскости, перпендикулярные координатным осям). Проекциями точки M на координатные оси будут соответственно точки А, В, С (рис.19).

Из прямоугольника ODMC видно, что вектор  Векторы, но из прямоугольника AOBD получаем, что вектор  Векторы.
Тогда
Векторы                                                                          (2.10)
Вектор  Векторы, который соединяет точку O с точкой M (x, y, z) называется радиусом-вектором этой точки.
Векторы Векторы называются составными или компонентами вектора Векторы, а их величины OA = x, OB = y, OC = z  координатами этого вектора. Компоненты вектора Векторывыразим через его координаты и единичные векторы Векторы, а именно Векторы.
Подставляя эти значения в равенство (2.10), учитывая, что  Векторы, получим
Векторы                                                                                 (2.11)

Слагаемые  Векторы являются составными или компонентами вектора  Векторы.
Тройка векторов  Векторы  называется координатным базисом, а разложение (2.11) называется разложением вектора по базису Векторы.  Это основная формула векторной алгебры.

Пример 1. Построить вектор Векторы.
Векторы

Рис. 20.

Решение. Компоненты вектора  Векторы  являются  Векторы  и  Векторы, и им 
соответствует прямоугольный параллелепипед, диагональ которого является искомый вектор (рис. 20).

Действия над векторами, заданными в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то действия сложения, вычитания, умножения вектора на число можно заменить простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по таким правилам.

Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются

Пусть имеем векторы Векторы и  Векторы. Найдем  Векторы.  Запишем разложение векторов  Векторы  и  Векторы.  Тогда  Векторы.
Сложив эти равенства, получим
Векторы.
Итак, координаты вектора   Векторы  будут  Векторы

Правило 2. Чтобы отнять от вектора Векторы   вектор Векторы нужно вычесть из координат вектора Векторы  соответствующие координаты вектора  Векторы, то есть
Векторы

Правило 3. Чтобы умножить вектор  Векторы на число λ,  нужно каждую из его координат умножить на это число. То есть, если
Векторы   то  Векторы.
Пример 1. Найти вектор Векторы , если   Векторы
Решение. Выполним действия последовательно и найдем
Векторы
Векторы.
Значит, Векторы

Вектор — основные определения

Определение вектора в пространстве ничем не отличается от определения вектора на плоскости.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Так же как и на плоскости, векторы обозначаются Векторы и т. п. и на чертеже изображаются стрелкой.

Определение 2. Длиной (или модулем) вектора Векторы называется длина отрезка Векторы а направление, определяемое лучом Векторы называется направлением вектора Векторы

Длина вектора Векторы обозначается Векторы длина вектора Векторы обозначается Векторы

Любая точка пространства также считается вектором, который называется нулевым. Начало такого вектора совпадает с его концом, а длина равна нулю. Обозначения нулевого вектора: Векторы

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определение 3. Векторы Векторы и Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если ненулевые векторы Векторы и Векторы лежат на параллельных прямых (следовательно, в одной плоскости), причём лучи Векторы лежат в одной полуплоскости, границей которой является прямая Векторы то векторы Векторы и Векторы называются сонаправленными в случае же, когда эти векторы принадлежат одной прямой, они называются сонаправленными, если один из лучей Векторы или Векторы целиком содержится в другом. Нулевой вектор будем считать сонаправленным с любым вектором в пространстве.

Ясно, что сонаправленные векторы, в силу их определения, коллинеарны. Если два коллинеарных вектора не сонаправлены, то они называются противоположно направленными. Обозначения остаются обычными: Векторы (векторы Векторы и Векторы сонаправлены), Векторы (векторы Векторы и Векторы противоположно направлены).

Определение 4. Векторы Векторы и Векторы называются равными, если Векторы и Векторы (т.е. если векторы сонаправлены и их длины равны).

Теорема 1. От любой тонки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей планиметрической теоремы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Операции над векторами и их свойства

Операции над векторами в пространстве аналогичны соответствующим операциям на плоскости.

Пусть даны два вектора Векторы и Векторы В силу теоремы 1 от произвольной точки Векторы пространства можно отложить вектор Векторы а от точки Векторы — вектор Векторы Тогда вектор Векторы называется по определению суммой векторов Векторы и Векторы а описанное правило построения суммы двух векторов — правилом треугольника (рис. 1).

Теорема 2. Сумма Векторы векторов Векторы и Векторы не зависит от выбора точки Векторы от которой при сложении откладывается вектор Векторы (Докажите эту теорему самостоятельно.)

Правило треугольника можно сформулировать и так: для любых трёх точек Векторы пространства выполняется равенство

Векторы

Кроме того, сумму двух неколлинеарных векторов с общим началом можно построить и по правилу параллелограмма: Векторы где Векторы — вектор, модуль которого_равен длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах Векторы причём вектор Векторы откладывают от той же точки, что и векторы Векторы (рис. 2).

Все свойства операции сложения векторов, справедливые на плоскости, остаются справедливыми и в пространстве:

1) Векторы

2) Векторы — коммутативность (переместительный закон);

3) Векторы — ассоциативность (сочетательный закон).

Здесь Векторы — произвольные векторы в пространстве.

Определение 5. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и эти векторы противоположно направлены.

Вектор, противоположный данному ненулевому вектору Векторы обозначается Векторы

Определение 6. Разностью двух векторов Векторы и Векторы называется вектор Векторы такой, что его сумма с вектором Векторы равна вектору Векторы

Разность векторов Векторы и Векторы обозначается Векторы Таким образом, по определению Векторы если Векторы

Разность векторов Векторы и Векторы можно найти по формуле Векторы (рис. 3) (докажите эту формулу самостоятельно). Векторы Замечание. Так же как и на плоскости, для сложения нескольких векторов в пространстве можно использовать правило многоугольника (рис. 4), только в последнем случае этот многоугольник будет пространственным (т.е. не все векторы, его составляющие, лежат в одной плоскости).

Векторы

Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от порядка слагаемых.

Умножение (произведение) вектора на число и его свойства, так же как и свойства операции сложения, не претерпевают изменений и в пространстве.

Определение 7. Произведением ненулевого вектора Векторы на действительное число Векторы называется вектор Векторы длина которого равна произведению длины вектора Векторы на модуль числа Векторы причём вектор Векторы сонаправлен с вектором Векторы при Векторы и противоположно направлен вектору Векторы при Векторы

Таким образом, по определению, Векторы если Векторы причём Векторы при Векторы Ясно, что векторы Векторы коллинеарны. Если же Векторы или Векторы то Векторы

Свойства умножения вектора на число не отличаются от аналогичных свойств на плоскости:

  1.  Векторы — ассоциативность (сочетательный закон);
  2.  Векторы —дистрибутивность относительно сложения векторов (1-й распределительный закон);
  3.  Векторы — дистрибутивность относительно сложения чисел (2-й распределительный закон).

Здесь Векторы и Векторы — произвольные векторы, Векторы — произвольные действительные числа.

Справедлива также и лемма о коллинеарных векторах: если векторы Векторы и Векторы коллинеарны и Векторы то существует такое действительное число Векторы

что Векторы (ясно, что Векторы если Векторы

Сформулируем и докажем ещё одну важную для решения некоторых задач теорему.

Теорема 3. Пусть Векторы где Векторы — некоторое действительное число, отличное от -1, тогда точки ВекторыВекторы принадлежат одной прямой. Для произвольной точки Векторы пространства справедливо равенство:

Векторы

Доказательство 

1. Из равенства Векторы следует, что векторы Векторы коллинеарны, и так как Векторы — общая точка прямых Векторы и Векторы эти прямые совпадают, поэтому точки Векторы принадлежат одной прямой.

2. Пусть Векторы — произвольная точка пространства. Тогда Векторы и поскольку ВекторыВекторы откуда Векторы Поделив обе части последнего равенства на Векторы приходим к формуле (1). Теорема доказана.

З. Компланарные и некомпланарные векторы

Следующее понятие уже не имеет аналога в планиметрии.

Определение 8. Векторы называются компланарными, если лучи, задающие их направления, параллельны некоторой плоскости.

Замечание. Из определения 8 следует, что при откладывании от одной точки векторов, равных нескольким данным компланарным векторам, получим векторы, лежащие в одной плоскости. Таким образом, компланарные векторы лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Очевидно, что любые два вектора компланарны и любые три вектора, два из которых коллинеарны, также являются компланарными (поясните). Рассмотрим теперь условия, при которых три вектора, из которых никакие два не коллинеарны, являются компланарными.

Теорема 4. Векторы Векторы из которых никакие два не коллинеарны, являются компланарными в том и только том случае, если существуют такие действительные числа Векторы и Векторы что

Векторы (иными словами, векторы Векторы являются компланарными в том и только том случае, если один из них можно выразить через два других, или, как говорят, разложить по двум другим).

Доказательство

1. Пусть векторы Векторы компланарны. Докажем, что для них имеет место равенство (5). Отложим от произвольной

точки Векторы векторы ВекторыВекторы Векторы Векторы лежат в одной плоскости (см. замечание). Проведём через точку Векторы прямую Векторы до пересечения с прямой Векторы в точке Векторы и прямую Векторы до пересечения с прямой Векторы в точке Векторы (см. рис. 8). Так как векторы Векторы коллинеарны, по лемме о коллинеарных векторах (см. §1.2) существуют такие действительные числа Векторы и Векторы что Векторы ВекторыНо по правилу параллелограмма Векторы откуда Векторы Обратно, пусть выполнено равенство (5).

Докажем, что векторы Векторы компланарны. Векторы Векторы при откладывании от одной точки определяют некоторую плоскость. Согласно правилу параллелограмма и равенству (5) вектор Векторы принадлежит той же плоскости, откуда следует, что векторы Векторы Векторы и Векторы а значит, и векторы Векторы компланарны. Теорема доказана.

Отложим от произвольной точки Векторы пространства векторы Векторы Векторыгде Векторы — три данных некомпланарных вектора, и рассмотрим параллелепипед Векторы построенный на векторах Векторы (рис. 9). Тогда сумму векторов Векторыможно найти следующим образом: ВекторыВекторы Это правило сложения трёх некомпланарных векторов называется правилом параллелепипеда.

Если векторы Векторы не являются компланарными и для вектора Векторы имеет место равенство Векторы где Векторы — некоторые действительные числа, то говорят, что вектор Векторы разложен по трём некомпланарным векторам

Векторы а числа Векторы называются коэффициентами разложения.

Следующая теорема, называемая теоремой о разложении вектора по трём некомпланарным векторам, является основной во всей элементарной (школьной) векторной алгебре.

Теорема 5. Любой вектор Векторы пространства можно разложить по трём данным некомпланарным векторам Векторы причём коэффициенты разложения определятся единственным образом. Доказательство. 1. Если векторы Векторы и Векторы коллинеарны, то ВекторыВекторы и теорема доказана.

2. Пусть векторы Векторы и Векторы не коллинеарны. Отложим от произвольной точки Векторы пространства векторы ВекторыВекторы (рис. 10). Проведём через точку Векторы прямую Векторы до пересечения с плоскостью Векторы в точке Векторы Через точку Векторы в плоскости Векторы проведём прямую Векторы до пересечения с прямой Векторы в точке Векторы (в частности, если Векторы то точка Векторы совпадает с точкой Векторы Согласно правилу многоугольника Векторы но векторы Векторы Векторы по построению коллинеарны, поэтому в силу леммы о коллинеарных векторах ВекторыВекторы где Векторы — некоторые действительные числа Таким образом, учитывая, что Векторы приходим к равенству ВекторыВекторы

3. Докажем теперь, что разложение вектора Векторы по данным векторам Векторы единственно. Допустим, что это не так, т.е. существует ещё одно разложение Векторы в котором хотя бы один коэффициент не равен соответствующему коэффициенту в полученном нами разложении. Пусть, например, Векторы Вычтем последнее равенство из предпоследнего.

Тогда Векторы отсюда ВекторыВекторы— т. е. векторы Векторы компланарны, что противоречит условию теоремы. Значит, наше допущение о ещё одном разложении неверно, т.е. разложение вектора Векторы по данным векторам Векторы единственно. Теорема доказана.

Итак, любой вектор Векторы пространства можно разложить по трём данным некомпланарным векторам Векторы причём единственным образом. Заданную тройку некомпланарных векторов Векторы называют базисом, сами векторы Векторы — базисными векторами, а разложение вектора Векторы по векторам Векторы называют разложением по данному базису Векторы

Координаты вектора

Так же как и на плоскости, в пространстве помимо координат точки вводятся координаты вектора. Рассмотрим три попарно перпендикулярных вектора Векторы отложенных от некоторой точки Векторы пространства, таких, что Векторы (например, их можно направить по рёбрам единичного куба). Эти векторы, очевидно, не являются компланарными. Поэтому, в силу теоремы 5, любой вектор Векторы можно разложить_по векторам Векторы причём единственным образом: Векторы Введём прямоугольную систему координат с началом в точке Векторы так, чтобы направления осей Векторы совпали_с направлениями векторов Векторы соответственно. Тогда векторы Векторы называются единичными векторами осей координат, а числа Векторы — координатами вектора Векторы в системе координат Векторы (обозначения: Векторы

Свойства векторов пространства, заданных своими координатами, аналогичны соответствующим свойствам векторов на плоскости:

  1. Два вектора равны в том и только том случае, если равны их координаты.
  2. Координаты суммы (разности) двух векторов равны суммам (разностям) соответствующих координат этих векторов, т.е. для векторов Векторы получаем Векторы
  3. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. для вектора Векторы и действительного числа Векторы получаем Векторы

Докажем, например, свойство 2. Так как ВекторыВекторы то, согласно свойствам сложения векторов и умножения вектора на число, Векторы т. е. вектор Векторы имеет координаты Векторы что и требовалось доказать. Остальные свойства доказываются аналогично.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение скалярного произведения векторов Векторы и Векторы в пространстве ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости.

Определение 11. Скалярным произведением векторов Векторы называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними (обозначение: Векторы Таким образом, по определению,

Векторы

Теорема 8. Два ненулевых вектора Векторы взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т. е.

Векторы

Доказательство этой теоремы вытекает из формулы (9).

Определение 12. Скалярным квадратом вектора Векторы называется скалярное произведение Векторы Скалярный квадрат обозначается Векторы т.е. по определению Векторы

Так как Векторы то

Векторы

Таким образом, длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата.

Замечание. Скалярное произведение есть число, поэтому грубой ошибкой явилась бы запись: Векторы

Если векторы Векторы и Векторы заданы своими координатами: ВекторыВекторы то скалярное произведение может быть выражено через их координаты.

Теорема 9. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответственных координат, т. е.

Векторы

Доказательство. Отложим от произвольной точки Векторы пространства векторы Векторы При этом, как мы знаем, соответствующие координаты векторов Векторы и Векторы а также Векторы и Векторы будут равны, а угол Векторы По теореме косинусов для треугольника Векторы получим

Векторы

итак как Векторы имеем ВекторыВекторы откуда Векторы Но

Векторы

поэтому

Векторы

Решение любой геометрической задачи на вычисление сводится, в сущности, к нахождению величин двух типов: расстояний и углов. Если в пространстве задан некоторый базис (в частности, прямоугольный), т. е. тройка некомпланарных векторов, то на основании теоремы 5 любой вектор пространства можно разложить по векторам этого базиса, причём единственным образом.

Если известны длины векторов, образующих базис, углы между ними и разложение некоторого вектора по векторам этого базиса, то, используя свойства скалярного произведения, можно определить длину такого вектора и угол, образуемый им с любым другим вектором, разложение которого по векторам этого базиса известно.

Таким образом, векторы позволяют находить решения довольно широкого класса геометрических задач, а умение определять разложение вектора по базисным векторам является важнейшим фактором их решения.

Для решения задач о разложении вектора по трём данным некомпланарным векторам, разумеется, необходимо, помимо теоремы 5, знание предшествующего ей материала.

Примеры с решением

Задача 1.

Основанием четырёхугольной пирамиды Векторы является параллелограмм Векторы Точки Векторы и Векторы — середины рёбер Векторы и Векторы соответственно. Найдите разложение векторов Векторы по векторам Векторы

Решение (см. рис. 14).

1. Векторы но Векторы поэтому Векторы

2. Так как Векторы — середина Векторы но ВекторыВекторы (см. следствие 1 теоремы 3), поэтому ВекторыВекторы

Ответ: Векторы

Заметим, что в разложении вектора Векторы по векторам Векторы коэффициент разложения при векторе Векторы равен нулю, а это означает, в силу теоремы 4, что векторы Векторы компланарны. Если заранее «увидеть», что Векторы где Векторы — середина Векторы (отсюда Векторы то разложение вектора Векторы можно было бы найти проще. Но векторный метод тем и хорош, что, даже не обладая развитым пространственным воображением, а лишь зная основные определения и теоремы, можно получить правильный ответ (пусть и не всегда самым оптимальным путём)!

Задача 2.

Пусть Векторы — точка пересечения медиан треугольника Векторы — произвольная точка пространства. Найдите разложение вектора Векторы по векторам Векторы

Решение (см. рис. 15). Пусть Векторы — середина ребра Векторы Так как Векторы — точка пересечения медиан треугольника Векторы точки Векторы принадлежат одной прямой, причём, в силу теоремы о точке пересечения медиан треугольника, ВекторыСогласно следствию I теоремы 3 Векторы Тогда Векторы

Векторы

Ответ: Векторы

Векторы и их решение

Вектором называется направленный отрезок. Направление отрезка показывается стрелкой. Различают начало и конец отрезка. 

Два вектора называются равными между собой, если каждый из них можно получить параллельными перенесениями другого. 

Равные векторы являются параллельными (колинеарными), имеют одно и то же направление и одинаковую длину. Длина вектора Векторы называется абсолютной величиной или модулем вектора и обозначается Векторы

Вектор называется нулевым (ноль- вектором), если он имеет нулевую длину, то есть его конец сходится с началом. 

Чтобы найти сумму двух векторов Векторы и Векторы совместим начало вектора Векторы с концом вектора Векторы.

Суммой Векторы векторов Векторы и Векторы  называется вектор, начало которого сходится с началом вектора Векторы, а конец — с концом вектора Векторы (рис. 1.1).

Векторы Правило треугольника

Векторы Правило параллелограмма 

Векторы

Для складывания векторов имеют место такие законы: 

1) переставной (коммутативный)

Векторы

2) связующий 

Векторы

3) для каждого вектора Векторы существует противоположный Векторы такой, что 

Векторы

4)Векторы

5) для некоторых двух  векторов Векторы и Векторы  выполняются неравенства: 

Векторы

Если вектор Векторы образует угол Векторы с осью Векторы (рис. 1.2), то проекцию вектора Векторы на ость называется величина 

Векторы

Пусть вектор имеет начало в точке Векторы а конец — в точке  Векторы Тогда величины Векторы Векторы являются проекциями вектора Векторы на оси Векторы Проекции вектора однозначно определяют вектор. Потому имеет место равенство 

Векторы

Если вектор Векторы то проекция суммы векторов 

Векторы

Произведением вектора Векторы на число Векторы называется вектор Векторы длина которого равна Векторы Умножение вектора на число имеет свойство ассоциативности и дистрибутивности, то есть для произвольных чисел Векторы и векторов Векторы и Векторы справедливы равенства: 

Векторы

Любой вектор Векторы можно записать в видеВекторы

где Векторы — единичные векторы, Векторы Векторы называются компонентами вектора   Векторы  (рис. 1.3) .

Векторы

Векторы

Пример 1.73  

Даны два вектора: Векторы и Векторы 

Найти вектор Векторы

Решение Векторы

Признаком колинеарности двух векторов Векторы  и  Векторы  является пропорциональность их координат: 

Векторы

Скалярным произведением двух векторов Векторы  и  Векторы  называется число Векторы которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними: 

Векторы

Скалярное произведение можно записать в таком виде: 

Векторы

Если векторы Векторы  и  Векторы  заданы своими координатами, то их скалярное произведение вычисляется по формуле: 

Векторы

Учитывая формулы (1.18) и (1.19), можно найти косинус угла между векторами  Векторы  и  Векторы

Векторы

Отсюда получается условие перпендикулярности двух векторов: если Векторы  и Векторы   или в координатной форме: 

Векторы

Среди свойств скалярного произведения отметим так: 

Векторы

Векторным произведением вектора Векторы на вектор Векторы называется вектор Векторы который имеет такие свойства: 

1) длина вектора Векторы равна произведению длин сомножителей на синус угла между ними: Векторы

2) вектор Векторы перпендикулярный к векторам Векторы и Векторы

3) из конца вектора Векторы  кратчайший поворот от Векторы  к  Векторы  является таким, что происходит против часовой стрелки (рис. 1.4). 

Векторы

Заметим, что Векторы а модуль векторного произведения равен плоскости параллелограмма, построенного на векторах Векторы  и   Векторы, если у них общее начало.  

В координатной форме векторное произведение векторов Векторы и Векторы можно записать в виде:  

Векторы

Смешанным или скалярно — векторным произведением трех векторов Векторы называется векторное произведение векторов  Векторы  и   Векторы, скалярно умноженный на вектор Векторы то есть Векторы

Если векторы Векторы — компланарны, то есть расположены в одной плоскости или на параллельных плоскостях, то их смешанное произведение равно нулю. 

Если известные координаты сомножителей ВекторыВекторы то смешанное произведение вычисляется по формуле: 

Векторы

Если три ненулевых Векторы разложены в одной плоскости (компланарны), то из смешанное произведение Векторы

Следует, в координатной форме условие компланарности трех ненулевых векторов имеет вид: 

Векторы

Решение примеров:

Пример 1.74 

Заданы координатами точек Векторы Векторы и Векторы Найти: 

1) вектор Векторы если Векторы

2) угол между векторами Векторы и Векторы

3) координаты вектора Векторы

4) объем пирамиды с вершинами в точках Векторы

Решение 

1) По формуле (1.14) находим 

Векторы

тогда Векторы

2) Косинус угла между векторами Векторы и Векторы вычислим по формуле (1.20): 

Векторы

Поскольку косинус угла отрицательный, то угол Векторы тупой. 

3) Координаты векторного произведения находим по формуле (1.22):

Векторы

Векторы

4) Чтобы найти объем пирамиды, найдем сначала смешанное произведение векторов, что выходят из одной вершины пирамиды: 

Векторы

Тогда объем пирамиды

Векторы

Собственные числа и собственные векторы

Вектор — столбец Векторы  называется собственным вектором квадратной матрицы Векторы Векторы — ого порядка, что соответствует собственному значению Векторы если он удовлетворяют матричному уравнению Векторы или ВекторыВекторы

Тут Векторы — единичная матрица Векторы — ого порядка, а Векторы — нулевой вектор — столбец. При условии, что Векторы получим характеристическое уравнение для определения собственных значений Векторы

Векторы

Координаты собственного вектора Векторы что соответствуют собственному значению Векторы является решением системы уравнений: 

Векторы

Собственный вектор обозначаются с точностью к постоянному множителю.

Решение примеров:

Пример 1.90.

Обозначить  собственные определения и собственные векторы матрицы

Векторы

Решение. Характеристические уравнения данной матрицы имеет вид (1.24): 

Векторы или Векторы

отсюда получается, что матрица Векторы имеет два собственных значения Векторы и Векторы Собственный вектор Векторы что соответствует Векторы обозначаются с системой уравнений вида (1.25)

Векторы  или Векторы

которое приводится к одному уравнению Векторы

Возьмем Векторы получим решение в виде Векторы

Следует, первый собственный вектор является 

Векторы

Второй вектор Векторы что соответствует собственному значению Векторы определяется из системы уравнений вида (1.25)

Векторы

Эта система уравнений так же приводится к одному уравнению Векторы положив Векторы запишем ее решение в виде Векторы Следует, второй собственный вектор: 

Векторы

Таким образом, матрица Векторы имеет два разных определения Векторы и Векторы и два собственных вектора, равных Векторы и Векторы (с точностью к постоянному множителю). 

Пример 1.91 

Найти собственные векторы и собственные значения матрицы 

Векторы

Решение. Характеристическое уравнение

Векторы

Раскрыв определитель получим: 

Векторы

Корень Векторы — кратный, показатель кратности Векторы корень Векторы — простой, Векторы

Система уравнений для определения собственных векторов имеет вид: 

Векторы

Последовательно подставим Векторы и Векторы в записанную систему: 

Векторы

Векторы

Фундаментальная система уравнений получается, если свободным переменным Векторы последовательно дать значения Векторы

Векторы

Получили два линейно независимые собственные векторы. Вся совокупность векторов, что соответствуют собственному значению Векторы имеет вид: 

Векторы

Векторы

Векторы

Фундаментальная система решений получается, если взять Векторы

Векторы

Векторная алгебра

Понятие «вектор» (от лат. vector — носитель), как отрезка, имеет определенную длину и определенное направление, впервые появилось в работах по построению числовых систем в ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805-1865). Это понятие связано с объектами, которые характеризуются величиной и направлением, например, скорость, сила, ускорение. При этом скорость можно понимать в широком смысле: скорость изменения издержек производства, доходов, спроса, потребления и предложения и др. Вектор может указывать направление наибольшего возрастания или убывания функции, описывающей различные экономические процессы. Векторы, рассмотренные в данном разделе, является частным случаем Векторы-мерных векторов: они предполагают геометрическую интерпретацию, потому что принадлежат к векторным линейных пространств размерности Векторы

Для графического изображения решения экономических задач на плоскости и в пространстве применяются средства аналитической геометрии. Аналитическая геометрия — математическая наука, объектом изучения которой являются геометрические фигуры, а предметом — установление их свойств средствами алгебры с помощью координатного метода. Теоретической базой этой науки является частично известна из школы векторная алгебра.

Основателем метода координат и, вместе с тем, аналитической геометрии является Рене Декарт (1596-1650) — французский философ, математик, физик и физиолог. Его именем и названа известная «декартова прямоугольная система координат», которая позволяет определить положение фигуры на плоскости и тела в пространстве.

После изучения данной темы вы сможете:

● использовать инструмент векторной алгебры для геометрического изображения и анализа объектов экономических процессов;
● применять уравнение прямой линии на плоскости для геометрической интерпретации зависимости между функциональному признаку и аргументом, что на нее влияет;
● применять уравнение кривых второго порядка при построении нелинейных математических моделей экономических задач;
● осуществлять геометрическую интерпретацию решений экономических задач с помощью поверхностей и плоскостей.

Векторы: основные определения, линейные операции

Выберем на произвольной прямой (в Векторы или в Векторы) отрезок Векторы и укажем, которую из точек Векторы или Векторы считать начальной (началом отрезка), а какую — конечной (концом отрезка). Конец отрезка обозначают стрелке и говорят, что на отрезке задано направление. Отрезок Векторы с заданным на нем направлением, или коротко — направленный отрезок, называется вектором. Вектор обозначается символом Векторы или строчными буквами латинского
алфавита с чертой: Векторы и др. (Рис. 6.1). 

Векторы

Рис. 6.1

В применимых задачах естественных наук существенным является обстоятельство — где, в какой точке находится начало вектора. Например, результат действия силы зависит не только от ее величины и направления действия, но и от того, в какой точке она прикладывается.

Вектор, для которого фиксированная (не фиксирована) начальная точка называется связанным (свободным). Векторы, которые применяются в экономических задачах, как правило, не являются связанными, поэтому в дальнейшем будем рассматривать преимущественно свободные векторы

Длиной, или модулем, вектора называется длина соответствующего отрезка и обозначается одним из символов: Векторы

Нулевым вектором 0, или ноль-вектором, называется вектор, длина которого равна нулю, а направление его считается произвольным (неопределенным).

Единичным вектором Векторы называется вектор, длина которого равна единице.

Равными векторами называются векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым, одинаково направлены и имеют равные длины.

Взаимно противоположными называются векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым, имеют равные длины, но противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору Векторы, обозначают символом Векторы.

Коллинеарными называют векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым.

Компланарными называются векторы, которые принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

Линейные операции над векторами

Будем считать, что векторы Векторы принадлежат одни плоскости. Осуществляя параллельный перенос одного из векторов Векторы, совместим начало вектора Векторы с концом вектора Векторы (или наоборот) и по отрезками, соответствующие векторам, как по двум сторонам, построим треугольник (рис. 6.2 а).

1. Суммой векторов Векторы называется вектор Векторы, который определяется третьей стороной треугольника, с началом в начале вектора Векторы. Порядок построения суммы двух векторов по этому определению называют правилом треугольника.

Параллельный перенос можно осуществить и так, что объединятся начала векторов Векторы и Векторы, тогда на векторах как на сторонах построим параллелограмм (рис. 6.2 б), и придем к известному из школьного курса алгебры правилу параллелограмма.

Векторы

Рис. 6.2

Правило треугольника обобщается на произвольное конечное число векторов. Если параллельным переносом расположить векторы так, что конец предыдущего вектора (начиная с первого) является началом следующего, то результирующим будет вектор, соединяющий начало первого вектора слагаемого с концом последнего (рис. 6.3):

Векторы

Векторы

Рис. 6.3

Соответствующее правило называют правилом многоугольника.
Свойства суммы векторов:
1) переставная, или коммутативна:

Векторы

2) соединительная, или ассоциативная:

Векторы

3) Векторы

4) Векторы

Разницу Векторы можно рассматривать как сумму вектора Векторы с вектором, противоположным вектору Векторы

Векторы

Умножения вектора на скаляр

Пусть Векторы — некоторое действительное число Векторы. Произведением вектора Векторы со скаляром Векторы называется вектор Векторы, модуль которого равен произведению модулей Векторы, а направление Векторы совпадает с направлением Векторы, если Векторы, или противоположно направлению Векторы, если Векторы (рис. 6.4):

Векторы

Векторы

Рис. 6.4

ПриВекторы вектор Векторы превращается в ноль-вектор Векторы.
Свойства умножения вектора на скаляр:
1) переставной или коммутативных закон:

 Векторы где Векторы

2) соединительный, или ассоциативный закон:

Векторы где Векторы

3) распределительный или дистрибутивный закон:

Векторы где Векторы

4) Векторы

5) Векторы

Из определения умножения вектора на скаляр следует необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: вектора Векторы и Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда каждый из них является произведением другого из скаляром:

Векторы

Известно, что три ненулевые векторы Векторы и Векторы компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией двух других:

Векторы компланарны Векторы

Рассмотрим понятие, имеет очень важное значение в теории векторов — проекции вектора на ось (прямую, имеет направление; заданное направление считать положительным, противоположное направление — отрицательным).

Компонентой вектора Векторы относительно оси Векторы называют вектор, начало которого является проекцией начала вектора Векторы на ось Векторы, а конец — проекцией конца вектора Векторы на ось Векторы (рис. 6.5).

Векторы

Рис. 6.5

Проекцией вектора Векторы на ось Векторы называют скаляр, равный длине компоненты вектора Векторы относительно оси Векторы со знаком Векторы, если направление компоненты совпадает с направлением оси Векторы, или со знаком Векторы, если ее направление противоположно направлению оси:

Векторы

Основные свойства проекции вектора на ось

1. Проекция вектора на ось Векторы равна произведению длины вектора Векторы с косинусом угла между вектором и осью:

Векторы

2. Проекция суммы двух векторов на эту ось равна сумме их проекций на эту ось:

Векторы

Это свойство обобщается на любое конечное число векторов.

3. Проекция на ось произведения вектора со скаляром равна произведению со скаляром проекции самого вектора на ось:

Векторы

Прямоугольная система координат в пространстве. Координатная и алгебраическая формы задания векторов

Пусть в трехмерном векторном пространстве Векторы задана прямоугольная декартова система координат Векторы, что определяется тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями — осями, на которых указано масштаб (единицу длины) — с общей точкой Векторыначалом координат (рис. 6.6).

Векторы

Рис. 6.6

Выберем в пространстве произвольную точку Векторы и соединим ее отрезком прямой с началом координат Векторы. Вектор Векторы, началом которого является начало координат Векторы, а концом данная точка Векторы, называется радиусом-вектором точки Векторы. Отметим, что радиусы-векторы точек пространства являются связанными векторами. 

Под декартовыми прямоугольными координатами точки Векторы понимают проекции ее радиус-вектора Векторы на оси Векторы

Векторы

Точка Векторы с координатами Векторы обозначается через Векторы. Вектор Векторы каждой точки пространства (кроме точки Векторы) определяет прямоугольный параллелепипед с диагональю, что является отрезком, на котором построено вектор Векторы (рис. 6.6).

Измерениями параллелепипеда есть модули координат точки Векторы. Длина диагонали параллелепипеда определяется по формуле: 

Векторы

Углы Векторы, которые образованы радиусом-вектором Векторы с координатными осями Векторы называются его направляющими углами. 

Векторы

откуда:

Векторы

Косинусы направляющих углов называются направляющими косинусами радиус-вектора Векторы. С (6.4) получаем свойства:
1) направляющие косинусы являются координатами единичного радиус-вектора: Векторы

2) сумма квадратов направляющих косинусов вектора Векторы равна единице: Векторы

Понятие «координата», «направляющие углы», «направляющие косинусы» без изменений переносятся на любые свободные векторы, потому начало каждого из них параллельным переносом можно поместить в начало Векторы, дает радиус вектор определенной точки.

Координатами любого вектора Векторы в пространстве называются его проекции на оси координат. Они обозначаются символами Векторы и пишут: Векторыили Векторы, где согласно определению координат:

Векторы

Задача вектора тройкой его координат Векторы, называют координатной формой задачи.

Для единичных векторов Векторы, расположенных соответственно на осям Векторы, имеем:

Векторы

Длина произвольного вектора Векторы и его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Векторы

Найти длину и направляющие косинусы вектора ВекторыВекторы

По формулам (6.5) имеем: 

Векторы

Установим связь между координатами вектора — числами — и его компонентами — векторами — с помощью единичных векторов Векторы (рис. 6.7).

Векторы

Рис. 6.7

Компонентами вектора Векторы относительно координатных осей являются векторы Векторы Векторы (рис. 6.7). Согласно операции сложения векторов по правилу многоугольника получаем:

Векторы

Следовательно, любой вектор Векторы в трехмерном пространстве является суммой трех его компонент относительно координатных осей:

Векторы

Изображение вектора с Векторы в виде суммы произведений координат с единичными векторами (ортами) называют алгебраической формой задания вектора.

Согласно свойствами операций над векторами, алгебраическая форма задания дает возможность установить результаты действий над векторами, заданными в координатной форме.
1. При добавлении (вычитании) двух векторов с Векторы: Векторы и Векторы, их соответствующие по номеру координаты прилагаются (вычитаются):

Векторы

Действительно, по свойствам ассоциативности и дистрибутивности имеем:

Векторы

2. При умножении вектора Векторы на скаляр Векторы все его координаты умножаются на этот скаляр:

Векторы

Действительно, согласно распределительным свойствам умножения скаляра на сумму векторов имеем:

Векторы

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов Векторы и Векторы называется число (скаляр), равное произведению их модулей с косинус угла между ними Векторы и обозначается Векторы:

Векторы

Вместо Векторы часто пишут Векторы или используют обозначения Векторы. Название этой операции согласуется с ее сути, а именно: скалярное произведение является скаляром, то есть числом.

Для определения угла Векторы между векторами Векторы и Векторы совмещают их начала и рассматривают угол между двумя лучами Векторы и Векторы (рис. 6.8). Если угол Векторы острый, то Векторы, если тупой, то Векторы.

Основные свойства скалярного произведения векторов вытекают из его определения (6.7).

1. Скалярное произведение Векторы ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы взаимно перпендикулярны (ортогональные):

Векторы

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть

Векторы

3. Скалярное произведение подчиняется всем законам арифметики чисел относительно линейных операций:

Векторы

Векторы

4. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них с проекцией второго на ось, направление которого определяется первым вектором:

Векторы

Доказательство этого свойства основывается на определении (6.3).

Скалярное произведение векторов Векторы и Векторы, заданных в координатной форме. Пусть имеем два вектора Векторы

1. Вычислим скалярные произведения единичных векторов Векторы По свойству Векторы Для других пар на основании свойства 1 имеем: Векторы

2. Находим произведение Векторы, подавая векторы в алгебраической форме (6.6) и используя распределительный закон:

Векторы

Раскрываем скобки и получаем:

Векторы

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат. Это полностью совпадает с определением скалярного произведения Векторы-мерных векторов.

Как следствие из (6.12) при Векторы получаем формулу (6.5) модуля вектора через его координаты:

Векторы

Определим угол между двумя ненулевыми векторами Векторы и Векторы, заданные в координатной форме. Воспользуемся определением скалярного произведения (6.7) и соотношения (6.5). В результате получаем:

Векторы

Следовательно, косинус угла между двумя векторами определяется формулой: 

Векторы

Отсюда Векторы

В результате с соотношением (6.13) получим критерий ортогональности двух векторов, заданных в координатной форме: 

Векторы

Критерием коллинеарности векторов Векторы и Векторы, заданных в координатной форме является пропорциональность их координат:

Векторы

Векторное произведение двух векторов

Пусть Векторы и Векторы — векторы пространства Векторы Векторы, определяющие некоторую плоскость Векторы. Вектор Векторы называется векторным произведением векторов Векторы и Векторы, если вектор Векторы удовлетворяет условиям: 

1) модуль его численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах Векторы и Векторы как на сторонах;
2) он перпендикулярный плоскости параллелограмма Векторы и направленный так, что поворот вектора Векторы до совмещения с вектором Векторы кратчайшим путем наблюдается с конца вектора Векторы против часовой стрелки (рис. 6.9).

Векторы

Рис. 6.9

Векторное произведение обозначается символами: Векторы, или Векторы

Следовательно,

Векторы

где Векторынаименьший из углов Векторы что соответствует совмещению Векторы с Векторы поворотом вектора Векторы против часовой стрелки.

Основные свойства векторного произведения вытекают из его определения.
1. Векторное произведение ненулевых векторов равно ноль-вектору тогда и только тогда, когда векторы Векторы и Векторы коллинеарны:

Векторы

Еще одним критерием коллинеарности векторов является равенство нулевому вектору их векторного произведения.

2. Векторные произведения с разным порядком сомножителей являются взаимно противоположными векторами:

Векторы

Это означает, что векторное произведение не подчиняется переставному (коммутативному) закону.

3. Векторное произведение подчиняется ассоциативному закону относительно скалярного множителя и дистрибутивному закону относительно сложения:

Векторы

где Векторы

Векторное произведение векторов Векторы и Векторы, заданных в координатной форме. Пусть имеем два ненулевые векторы: Векторы

1. Определяем векторные произведения ортов Векторы (рис. 6.10).

Векторное произведение одноименных векторов по свойству 1 дает ноль вектор:

Векторы

Однако все векторные произведения разноименных единичных векторов будут давать единичные векторы:

Векторы

Векторы

Рис. 6.10

Рассмотрим, например, произведение Векторы. Совмещение Векторы с Векторы кратчайшим путем (указано дугой со стрелкой на рис. 6.10) происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора Векторы, следовательно, Векторы. Тогда по свойству Векторы

2. Находим произведение Векторы, подавая векторы в алгебраической форме и используя арифметические свойства (6.18) и соотношения (6.19):

Векторы

Множители при Векторы это вскрытые определители 2-го порядка, поэтому Векторы

Коэффициенты при единичных векторах в соотношении (6.20) являются координатами вектора Векторы как векторного произведения векторов Векторы и Векторы.

Если символы Векторы в соотношении (6.20) считать элементами первой строки определителя 3-го порядка, то окончательно получим представление Векторы в виде определителя: 

Векторы

Найдем векторное произведение векторов Векторы и Векторы

Векторы

Модуль векторного произведения Векторы определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах Векторы и Векторы

Смешанным произведением трех векторов Векторы и Векторы называется векторное произведение двух из них, умножен скалярно на третий вектор, то есть Векторы и т. д.

Смешанное произведение можно обозначать тройкой векторов Векторы, в которой первые два элемента считают связанными векторным произведением, а результат векторного произведения умножают на третий вектор скалярно, то есть Векторы — это все равно, что Векторы. Понятно, что результатом смешанного произведения является скаляр, поскольку векторное произведение Векторы является вектором (обозначим его через Векторы), а произведение Векторы дает скаляр.

Геометрическая интерпретация смешанного произведения. Пусть Векторы и Векторы — некомпланарные векторы. Построим на этих векторах как на ребрах параллелепипед (рис. 6.11).

Векторы

Рис. 6.11

Вектор Векторы по длине численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Векторы и Векторы как на сторонах. Этот параллелограмм является основой параллелепипеда, построенного на векторах Векторы и Векторы. Вектор Векторы является перпендикулярным плоскости параллелограмма.

Согласно (6.11) скалярное произведение Векторы можно представить как произведение модуля Векторы и проекции вектора Векторы на ось, определяется вектором Векторы:

Векторы

где Векторы, причем Векторы является положительным числом, если угол между векторами Векторы и Векторы острый, и отрицательным, если этот угол тупой. По модулю эта проекция равна высоте параллелепипеда Векторы.

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда Векторы, построенного на векторах как на ребрах:

Векторы

Основные свойства смешанного произведения вытекают из его определения и геометрической интерпретации.
1. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю, если по крайней мере два из трех векторов коллинеарны или все три — компланарны, и наоборот.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

Векторы компланарны Векторы

Свяжем с изображенными на плоскости векторами Векторы круг (рис. 6.12). Перечисление векторов, начиная с любого, против часовой стрелки назовем положительным, или циклическим, перестановкой векторов, в противном случае — отрицательной перестановкой.

2. Циклическая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его величины, а отрицательное перестановки меняет его знак на противоположный:

Векторы

Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме

Пусть имеем три ненулевые векторы Векторы По определению смешанного произведения и представлением векторного и скалярного произведений в координатной форме имеем:

Векторы

Полученная сумма произведений является расписанием определителя 3-го порядка, составленный из координат векторов, по элементам его третьей строки, то есть:

Векторы

Векторы Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель 3-го порядка, элементами строк которого являются координаты этих векторов равен нулю (свойство 1):

Векторы компланарны Векторы

С помощью смешанного произведения векторов легко определить, относятся ли четыре точки Векторы одной плоскости. Для этого следует проверить выполнение условия компланарности трех векторов с общим началом в одной из точек.

Простейшие задачи аналитической геометрии

Задача об определении длины отрезка. Найти длину отрезка Векторы, если известны координаты его концов: Векторы. Эту задачу можно рассматривать как задачу о нахождении расстояния между двумя точками.

1. Введем в рассмотрение вектор Векторы с началом Векторы и концом Векторы и радиусы-векторы ВекторыВекторы (рис. 6.13).
2. Определим координаты вектора Векторы как разности векторов Векторыи Векторы: Векторы
3. Находим модуль вектора Векторы, который и равна длине отрезка Векторы:

Векторы

Задача об определении площади треугольника

Найдем площадь треугольника, заданного координатами вершин: ВекторыВекторы

По аксиомой стереометрии известно, что три точки в пространстве определяют плоскость и притом только одну. Для упрощения изложения, не нарушает общего подхода к решению задачи, договоримся рассматривать треугольник Векторы, принадлежащей плоскости Векторы: Векторы и Векторы.

1. Введем в рассмотрение векторы:

Векторы

и найдем их векторное произведение Векторы

По соотношению (6.20) имеем: 

Векторы

2. Вычислим модуль вектора Векторы, численно равна площади параллелограмма Векторы, построенного на векторах Векторы как на сторонах (рис. 6.14):

Векторы

Тогда для площади треугольника Векторы имеем: 

Векторы

Знак Векторыили Векторы берется в зависимости от того, каким будет определитель — положительным или отрицательным.

Если треугольник принадлежит не плоскости Векторы, а любой другой плоскости в пространстве, то его площадь тоже можно найти по формуле:

Векторы

Найдем площадь треугольника с вершинами Векторы Векторы Векторы

Введем в рассмотрение векторы: Векторы и Векторы Векторы и определим их векторное произведение:

Векторы

Тогда 

Векторы (кв. ед.)

Задача о деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространстве заданы две точки Векторы. Проведем через них произвольную прямую Векторы и установим на этой прямой положительное направление, согласно которому определим направление на отрезке Векторы (рис. 6.15). На прямой Векторы возьмем точку Векторы, которая может принадлежать отрезку Векторы, или его продолжению. При этом, если точка Векторы принадлежит отрезку Векторы (рис. 6.15 а), говорится, что она осуществляет внутреннее деление отрезка на части, если не принадлежит (рис. 6.15 б) — то внешний.

Векторы

Рис. 6.15

Число Векторы, которое определяется формулой

Векторы

называется отношением, в котором точка Векторы разделяет направленный отрезок Векторы. Если Векторы, то Векторы осуществляет внутреннее (внешнее) деление отрезка на части.

Задача о деление отрезка в заданном отношении формулируется так: найти координаты точки Векторы, что разделяет отрезок Векторы в отношении Векторы, если отрезок Векторы задан координатами начала Векторы и конца — Векторы

Пусть точкам Векторы соответствуют радиусы-векторы Векторы (рис. 6.16). Из определения (6.29) следует, что векторы Векторы и Векторы коллинеарны, то есть Векторы. Следовательно, Векторы

С этого векторного равенства найдем вектор Векторы

Векторы

или в координатах:

Векторы

Отсюда, если отрезок разделить на две равные части точкой Векторы то координаты точки Векторы могут быть найдены следующим образом:

Векторы

Можно доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника, заданного координатами его вершин Векторы вычисляются по формулам: 

Векторы

Векторы

Векторы

Лекции:

  • Объем конуса
  • Разложение на множители
  • Деление многочлена на многочлен
  • Правила дифференцирования
  • Теорема Пифагора
  • Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций
  • Прямая линия на плоскости
  • Выпуклость и вогнутость графика функции
  • Матанализ для чайников
  • Производные некоторых элементарных функций

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

$$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

  1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
  2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
  3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

$$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

  • Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
  • Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
  • Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

 

    Пример 2
    Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$
    Решение

    Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

    Находим определитель:

    $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$

    Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

    $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$

    По формуле нахождения площади треугольника имеем:

    $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

    Ответ
    $$ S_Delta = 4.33 $$

    Содержание:

    Векторное и смешанное произведения векторов в векторной алгебре

    Векторное произведение

    Определение: Тройка векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пример:

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 13. Правая (а) и левая (б) тройки векторов.

    Определение: Векторным произведением векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения называется вектор Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения который:

    Замечание: Из определения векторного произведения следует, что направление вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияопределяется по правилу правого винта: при вращении вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияк вектору Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияправый винт движется в направлении вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения (Рис. 14): Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 14. Площадь параллелограмма, определяющего длину вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения из треугольника АВС высота Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения тогда Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения следовательно, длина вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения равнаВекторное и смешанное произведения векторов с примерами решения где Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения-угол между векторами Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

    Замечание: Свойство 4. определяет второе условие коллинеарности векторов.

    Формула для векторного произведения векторов через проекции перемножаемых векторов

    Теорема: Пусть Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения и Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения. Тогда Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Доказательство: Запишем вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения в декартовом базисе: Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения и Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей:

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Отсюда следует, что Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой (Рис. 15):

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 15. Циклический переход от одной координаты к другой.

    Для нахождения, например проекции Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения надо взять компонент у первого вектора и умножить на компоненту z второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. Аналогично поступают при нахождении двух других проекций вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, то есть окончательно можно записать, что Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пример:

    Найти, при каком значении параметра m вектор Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения коллинеарен вектору Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Решение:

    Согласно свойству 4. для векторного произведения (пункт 1 Лекция № 6) найдем векторное произведение заданных векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Так как вектор Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения должен быть нулевым, то все его проекции должны быть равными нулю, следовательно, m = 2.

    • Заказать решение задач по высшей математике

    Пример:

    Найти векторное произведение векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Решение:

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пример:

    Найти векторное произведение векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Решение:

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Приложения векторного произведения

    1. Физика. Пусть точка начала вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения закреплена, а к его концу приложена сила Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения тогда момент этой силы будет равен Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения (Рис. 16). Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Рис. 16. Момент силы Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    2. Геометрия. Пусть даны три разные точки Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения и Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Требуется вычислить площадь треугольника Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Введем в рассмотрение вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения (Рис. 17).

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 17. Площадь треугольника Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Проекции этих векторов равны:

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения то Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пример:

    Даны три точки Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Вычислить площадь треугольника Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Решение:

    Введем в рассмотрение вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения вычислим их векторное произведение Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Следовательно, площадь треугольника равна Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    3. Тригонометрия. Выведем формулу для Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пусть в плоской декартовой системе координат даны векторы Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения которые образуют с положительным направлением оси Ох углы Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решениясоответственно (Рис. 18):

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 18. Синус суммы двух углов.

    Проекции векторов равны Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4. для определителей (см. Лекция № 7), получим Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, имеем Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Длина этого вектора равна Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения По определению векторного произведения его длина равна Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения получаем, что синус удвоенного угла равен Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Смешанное произведение векторов

    Определение: Смешанным произведением векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения называется число равное векторному произведению Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения умноженному скалярно на вектор Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения т.е. Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Получим формулу для вычисления смешанного произведенияВекторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияВекторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окончательную формулу Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

    1. Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения, т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически перестав.!ять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков abc.

    2. Смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (Рис. 19):

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Рис. 19. Объем параллелепипеда, построенного на векторахВекторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Так как Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    3. Если вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения, Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияи Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решениякомпланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т.е. Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения.

    Замечание: Свойство 3. определяет условие компланарности трех векторов, т.е. если Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения то вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения и Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

    Пример:

    Доказать, что вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения компланарны.

    Решение:

    Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Пример:

    Даны 4 точки Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Вычислить объем параллелепипеда.

    Решение:

    Составим векторы Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Вычислим объем параллелепипеда Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения и Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решенияобразуют правую тройку.

    Пример:

    Чему равен объём пирамиды с вершинами А, В, С и D (координаты точек А, В, С и D взять из VIII.). Найти длину высоту, которая опущена из точки А на основание BCD.

    Решение:

    Объём пирамиды равен Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Используя векторы Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения из VIII., которые имеют координаты Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения вычислим объём параллелепипедаВекторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Следовательно, объём пирамиды с вершинами А, В, С и D равен

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    С другой стороны, её объём по формуле из средней школы равен

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    Вычислим площадь треугольника BCD, лежащего в основании пирамиды: Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Вычислим векторное произведение этих векторов Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Найдём длину этого вектора Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Следовательно, площадь треугольника BCD равна Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения Тогда длина высоты, опущенной из точки А на основание BCD, равна

    Векторное и смешанное произведения векторов с примерами решения

    • Преобразования декартовой системы координат
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
    • Замечательные пределы
    • Непрерывность функций и точки разрыва
    • Матричный метод
    • Экстремум функции
    • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
    • Скалярное произведение и его свойства

    Содержание:

    • Формула
    • Примеры вычисления векторного произведения векторов

    Формула

    Для того чтобы найти векторное произведение
    $[bar{a}, bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами
    $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и
    $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, необходимо
    вычислить следующий определитель

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

    Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

    Примеры вычисления векторного произведения векторов

    Пример

    Задание. Найти векторное произведение векторов
    $bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$

    Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

    Подставляя координаты заданных векторов, получим:

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{lll}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|$$

    Раскладываем определитель по первой строке:

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|=$$
    $$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}0 & 0 \ 1 & 0end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 0end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right|=$$
    $$=0 cdot bar{i}-0 cdot bar{j}+1 cdot k$$

    Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем
    как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.

    Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть

    $$[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$

    Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$

    236

    проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

    Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Пример

    Задание. Даны векторы
    $bar{a}=(5 ; 3 ;-4)$ и $bar{b}=(6 ; 7 ;-8)$ . Найти координаты векторного произведения
    $[bar{a}, bar{b}]$

    Решение. Координаты векторного произведения
    $[bar{a}, bar{b}]$ вычисляются по формуле

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

    Подставляя координаты заданных векторов, получим:

    $$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 5 & 3 & -4 \ 6 & 7 & -8end{array}right|$$

    Раскладываем полученный определитель по первой строке:

    $$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}3 & -4 \ 7 & -8end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}5 & -4 \ 6 & -8end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}5 & 3 \ 6 & 7end{array}right|=$$
    $$=[3 cdot(-8)-7 cdot(-4)] cdot bar{i}-[5 cdot(-8)-6 cdot(-4)] cdot bar{j}+$$
    $$+[5 cdot 7-6 cdot 3] cdot bar{k}=(-24+28) bar{i}-(-40+24) bar{j}+(35-18) bar{k}=$$
    $$=4 cdot bar{i}+16 cdot bar{j}+17 cdot bar{k}$$

    Тогда

    $$[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$$

    Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$

    Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

    Что такое произведение векторов

    Определение

    Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

    Это одна из основных операций над векторами в векторной алгебре. Вектор, в отличие от обычного отрезка, имеет не только длину, но и направление в пространстве.

    Основные типы перемножения векторов

    В математике есть два основных вида умножения векторов: скалярное и векторное. Результатом первого является число, результатом второго — вектор. Оба произведения применяются к двум векторам. Также выделяют смешанное произведение векторов, которое является комбинацией двух вышеописанных. Оно применяется, когда необходимо узнать результат умножения трех векторов.

    Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

    Скалярное

    Определение

    Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Длина вектора является его модулем.

    Записывается скалярное произведение двумя способами: ( (overline a,;overline b) ) или ( overline acdotoverline b.)

    Алгебраические свойства скалярного произведения

    1. Перестановочность. Произведение не меняется от перемены мест множителей: (overline acdotoverline b=overline bcdotoverline a.)
    2. Сочетательность относительно числа. Умножение одного из векторов на число равносильно умножению обоих векторов на это число: ((lambdaoverline a)cdotoverline b=lambda(overline acdotoverline b)(lambdaoverline a)cdot(muoverline b)=(lambdamu)(overline acdotoverline b).)
    3. Распределительный закон. Скалярное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме скалярных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)cdotoverline c=overline acdotoverline c+overline bcdotoverline c.)

    Примечание

    Таким образом, при выполнении алгебраических действий, связанных со скалярным произведением, с векторами можно обращаться как с числами.

    Геометрические свойства скалярного умножения

    1. Скалярное произведение вектора на него же равняется квадрату его модуля: (overline acdotoverline a=overline a^2=overline{left|aright|}cdotoverline{left|aright|}cdotcosleft(0right)=left|overline a^2right|.)
    2. Если угол между векторами острый (меньше (90^circ)), то скалярное произведение этих векторов больше нуля.
    3. Если угол между векторами тупой (больше (90^circ)), то их скалярное произведение меньше нуля.
    4. Если вектора перпендикулярны (угол равен (90^circ)), то их скалярное произведение будет равняться нулю.
    5. Если координаты перемножаемых векторов известны, то их скалярное произведение будет равняться сумме произведений соответствующих координат:( overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z.)

    Геометрический смысл

    Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

    (overline acdotoverline b=left|overline aright|cdot пр_overline aoverline b=overline{left|bright|}cdot пр_overline boverline a)

    (пр_overline boverline a=frac{overline acdotoverline b}{left|overline bright|})

    Физический смысл

    Скалярное произведение применяется для расчета работы, выполняемой при перемещении материальной точки вдоль вектора (overline s) под действием силы (overline F), приложенной под некоторым углом (varphi.)

    Физический смысл скалярного произведения

     

    Рисунок 1. Физический смысл скалярного произведения

    Силу (overline F) необходимо разложить на ортогональные компоненты (overline{F_1}) и (overline{F_2}.) Тогда (overline{F_1}) будет являться проекцией силы (overline F) на вектор (overline s:)

    (left|overline{F_1}right|=left|overline Fright|cdotcosleft(varphiright).)

    В свою очередь, работа A вычисляется по формуле:

    (A=left|overline{F_1}right|cdotleft|overline Sright|.)

    Соединив данные формулы получим:

    (A=left|overline Fright|cdotleft|overline Sright|cdotcosleft(varphiright),)

    что является скалярным произведением векторов (overline F) и (overline s:)

    (A=overline Fcdotoverline S.)

    Векторное

    Определение

    Векторным произведением векторов overline a и overline b называют перпендикулярный им вектор overline c из правой тройки, модуль которого равняется произведению модулей векторов overline a и overline b на синус угла между ними.

    Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки. В противном случае такая тройка называется левой.

    Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

    Векторное произведение может выражаться в записи двумя способами: (overline atimesoverline b) и (lbrackoverline a,overline brbrack.)

    Алгебраические свойства

    1. Антиперестановочность. В отличие от скалярного произведения, в векторном при перемене мест множителей знак меняется на противоположный: (overline atimesoverline b=-(overline btimesoverline a))
    2. Сочетательность относительно числа. Как и в случае со скалярным умножением, произведение числа на один из векторов равняется произведению его на другой или на оба вектора: ((lambdaoverline a)timesoverline b=overline atimes(lambdaoverline b)=lambda(overline atimesoverline b).)
    3. Распределительный закон. Векторное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме векторных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)timesoverline c=overline atimesoverline c+overline btimesoverline c.)

    Из этого следует, что при выполнении алгебраических действий, связанных с векторным произведением, скобки можно раскрывать так же, как при работе с числами, с поправкой на правило антиперестановочности.

    Геометрические свойства

    1. Если вектора (overline a) и (overline b) параллельны, то их векторное произведение равняется нулю.
    2. Векторное произведение векторов с известными координатами выражается в матричном виде: (overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right).)

    Геометрический смысл

    Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, сторонами которого являются эти вектора.

    Геометрический смысл векторного произведения

     

    Рисунок 2. Геометрический смысл векторного произведения

    Из определения векторного умножения следует, что модуль полученного вектора равняется произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними:

    (left|overline cright|=left|overline aright|cdotleft|overline bright|cdotsinleft(varphiright))

    Площадь параллелограмма вычисляется так:

    (S=left|overline aright|cdot h, где h=left|overline bright|cdotsinleft(varphiright).)

    Таким образом, получаем:

    (S=left|overline aright|cdotleft|overline bright|cdotsinleft(varphiright)=left|overline atimesoverline bright|)

    Отсюда следует формула для площади треугольника:

    (S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

    Физический смысл

    В физике векторное произведение применяется для расчета момента силы, приложенной к одной точке относительно другой:

    (overline M=overline{AB}timesoverline F)

    Смешанное умножение векторов

    Фактически, смешанное произведение векторов представляется как скалярное умножение одного вектора на векторное произведение двух других. Результатом смешанного произведения является число.

    Свойства смешанного умножения

    1. ((overline atimesoverline b)cdotoverline c=overline acdot(overline btimesoverline c)=overline acdotoverline bcdotoverline c.)
    2. Если (overline acdotoverline bcdotoverline c) больше нуля, тройка векторов — правая.
    3. Если( overline acdotoverline bcdotoverline c) меньше нуля, тройка векторов — левая.
    4. Если вектора (overline a, overline b) и (overline c) компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.

    Геометрический смысл

    Если вектора overline a, overline b и overline c не компланарны, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Число будет положительным, если тройка векторов правая, и отрицательным, если тройка левая.

    (V_{пар.}=overline acdotoverline bcdotoverline c)

    Следствием этого является формула нахождения объема пирамиды:

    (V_{пир.}=frac16left(overline acdotoverline bcdotoverline cright))

    Произведение векторов, примеры и решения

    Задача №1

    Даны вектора (overline a=(-1,;0,;3) и overline b=(2,;-3,;1).)

    Найти их скалярное произведение.

    Решение

    Возьмем формулу скалярного произведения для векторов с известными координатами:

    (overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z) и подставим имеющиеся значения:

    (overline acdotoverline b=(-1)cdot2+0cdot(-3)+3cdot1=1)

    Задача №2

    Найти площадь треугольника с известными координатами угловых точек

    Задача №2

     

    Координаты точек: (A(-1,;2,;3), B(0,;-2,;1), C(1,;2,;1))

    Решение

    Для решения этой простейшей задачи из геометрии воспользуемся следствием геометрического смысла векторного произведения:

    (S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

    В данном случае треугольник построен на векторах( overline{AB}) и (overline{AC}). Чтобы рассчитать их координаты, необходимо вычесть из координат конечной точки координаты начальной:

    (overline{AB}=(0-(-1),;(-2)-2,;1-3)=(1,;-4,;-2))

    (overline{AC}=(1-(-1),;2-2,;1-3)=(2,;0,;-2))

    Векторное произведение векторов с известными координатами выполняется в матричном виде:

    (overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right))

    Подставляем значения векторов( overline{AB}) и (overline{AC}) в матрицу и производим вычисления:

    (overline{AB}timesoverline{AC}=begin{vmatrix}i&j&k\1&-4&-2\2&0&-2end{vmatrix}=left(ibegin{vmatrix}-4&-2\0&-2end{vmatrix};;-jbegin{vmatrix}1&-2\2&-2end{vmatrix};;kbegin{vmatrix}1&-4\2&0end{vmatrix}right)=8i-2j+8k)

    Подставляем полученное значение в формулу вычисления площади треугольника, учитывая, что в ней фигурирует модуль произведения:

    (S_bigtriangleup=frac12left|overline{AB}timesoverline{AC}right|=frac12sqrt{8^2+{(-2)}^2+8^2}=sqrt{132}=11.49)

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  1. Как попросить у бога помощи найти работу
  2. Код поддержки 1003 canon как исправить
  3. Хрустит паркет как исправить
  4. Как найти мультик бен тен
  5. Как найти инвойс по номеру