Как найти векторное произведение трех векторов

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле: $$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$ где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами $$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$ Полученный ответ можно записать в удобном виде: $$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

• Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
• Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
• Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

 

Пример 2

Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$

Решение

Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов. Находим определитель: $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$ Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора: $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$ По формуле нахождения площади треугольника имеем: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

Ответ

$$ S_Delta = 4.33 $$

Определение
1.
Векторным произведением двух ненулевых
неколлинеарных векторов

называется вектор
,
такой что:

1. длина
   вектора
   
   равна произведению длин этих векторов
   на синус угла между ними:
   

2. вектор
   
   
   перпендикулярен этим векторам
   
   
   
   и
   
   
   

3. векторы
   
   ,
   
   
   образуют базис того же типа, что и
   векторы
   
   (правый базис).

Если
же векторы

коллинеарны или хотя бы один из них
нулевой вектор, то их векторное
произведение есть нулевой вектор

Обозначение:


или

Теорема
1.
(О геометрическом смысле векторного
произведения). Длина векторного
произведения двух ненулевых неколлинеарных
векторов равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.

Доказательство.

Следствие.
Площадь ∆
C
выражается формулой:

Теорема
доказана.

Теорема
2.
Для того, чтобы два вектора

были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их векторное произведение было
нулевым вектором:

Доказательство.

Необходимость.
Пусть
,
тогда согласно определению 1 либо
,
либо
,
либо
,
либо
,
либо
.
Во всех этих случаях вектора

коллинеарны по определению.

Достаточность.
Пусть
,
тогда снова по определению 1

Теорема
доказана.

Следующие
три теоремы сформулируем без доказательства.

Теорема
3.
Векторное произведение антикоммутативно
(антисимметрично):

Теорема
4.
Векторное произведение ассоциативно
относительно скалярного множителя:

Теорема
5.
Векторное произведение дистрибутивно
относительно суммы векторов:

Теорема
6.

Доказательство.

Доказательство
следует из определения 1.

Пусть,
например,
,
тогда имеем:

⟹
⟹
.

Замечание.
Достаточно запомнить первую формулу,
вторая получается из первой, а третья
– из второй с помощью круговой или
циклической замены векторов

Теорема
7. (О
координатах векторного произведения).
Если в прямоугольном базисе (ортогональном)
(



и
,
то

Доказательство.

Воспользуемся
определением координат вектора и
теоремами 3, 4, 5 и 6:

(см.
определение определителя 3-его порядка)

Теорема
доказана.

Пример.
Вычислить площадь треугольника с
вершинами А(-1,0,-1), В(0,2,-3), С(4,4,1).

Решение.

,

По
следствию из теоремы 1 имеем:
(кв.ед.).

§24. Смешанное произведение векторов

Определение
1.
Смешанным произведением трёх векторов




называется число, равное скалярному
произведению векторного произведения
векторов

на вектор
.

Обозначение.
(

Можно
показать, что

Теорема
1. Абсолютная
величина (модуль) смешанного произведения
трёх неколлинеарных векторов равна
объёму параллелепипеда, построенного
на этих векторах.

Доказательство.

Введём
обозначения:
,
∠(

Тогда
имеем:

(





(1)

По
теореме 1 из §2 имеем:

(2)

Пусть


— высота параллелепипеда (
.

Из
∆

Случай
1:

Случай
2:

В
обоих случаях получаем:

.
(3)

Подставляя
значения (2) и (3) в формулу (1), окончательно
получаем:

(

Итак,

.
(4)

Теорема
доказана.

Следствие
1.

. (5)

Доказательство
следствия.

Следствие
доказано.

Следствие
2. Знак
смешанного произведения тройки
некомпланарных
векторов соответствует
её ориентации,
то есть если тройка правая, то
,
если тройка левая, то

Следствие
3.
Три вектора коллинеарны тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение
равно нулю.

Доказательство
следствия.

Если
тройка векторов коллинеарная, то объём
параллелепипеда, построенного на
векторах этой тройки, равно нулю. Обратно,
если V_ПАР
= 0,
то вектора тройки коллинеарны.

Следствие
доказано.

Замечание.
Из трёх неколлинеарных
векторов
,
можно составить шесть
упорядоченных троек:

причём первые три тройки векторов
образуют правый
базис,
а последние три – левый
базис
(большой, указательный, средний пальцы).

При
перестановке любых двух векторов в
каждой из первых троек получается копия
– либо из трёх последних, поэтому в
результате меняется ориентация
упорядоченных троек векторов.

Если
в упорядоченной тройке векторов
осуществить циклическую перестановку
векторов, то непосредственной проверкой
убедимся, что при этом ориентация
упорядоченной тройки векторов не
меняется.

Из
теоремы 1 следует, что при перестановке
векторов в упорядоченной тройке модуль
скалярного произведения не меняется,
так как во всех случаях он равен объёму
одного и того же параллелепипеда. Так
же от скалярного произведения зависит
ориентации
тройки
векторов.

Следствие
4.

(6)

Пример.

Используя
формулу (6), то есть определение 1
дано
корректно.

Теорема
2.

Теорема
3.

Доказательства
теорем 2 и 3 следуют из свойств определителя
3-го порядка; мы их опускаем (см. теорему
4).

Теорема
4.
Если в ортонормированном базисе

то

(7)

Доказательство.

.

Теорема
доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Векторное и смешанное произведения векторов в векторной алгебре

Векторное произведение

Определение: Тройка векторов

Пример:

Рис. 13. Правая (а) и левая (б) тройки векторов.

Определение: Векторным произведением векторов называется вектор который:

Замечание: Из определения векторного произведения следует, что направление вектора определяется по правилу правого винта: при вращении вектора к вектору правый винт движется в направлении вектора Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах (Рис. 14):

Рис. 14. Площадь параллелограмма, определяющего длину вектора из треугольника АВС высота тогда следовательно, длина вектора равна где -угол между векторами

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Замечание: Свойство 4. определяет второе условие коллинеарности векторов.

Формула для векторного произведения векторов через проекции перемножаемых векторов

Теорема: Пусть и . Тогда

Доказательство: Запишем вектора в декартовом базисе: и Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей:

Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов

Отсюда следует, что Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой (Рис. 15):

Рис. 15. Циклический переход от одной координаты к другой.

Для нахождения, например проекции надо взять компонент у первого вектора и умножить на компоненту z второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. Аналогично поступают при нахождении двух других проекций вектора С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, то есть окончательно можно записать, что

Пример:

Найти, при каком значении параметра m вектор коллинеарен вектору

Решение:

Согласно свойству 4. для векторного произведения (пункт 1 Лекция № 6) найдем векторное произведение заданных векторов

Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть равными нулю, следовательно, m = 2.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти векторное произведение векторов

Решение:

Пример:

Найти векторное произведение векторов

Решение:

Приложения векторного произведения

1. Физика. Пусть точка начала вектора закреплена, а к его концу приложена сила тогда момент этой силы будет равен (Рис. 16). Рис. 16. Момент силы

2. Геометрия. Пусть даны три разные точки и Требуется вычислить площадь треугольника

Введем в рассмотрение вектора (Рис. 17).

Рис. 17. Площадь треугольника

Проекции этих векторов равны:

Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов то

Пример:

Даны три точки Вычислить площадь треугольника

Решение:

Введем в рассмотрение вектора вычислим их векторное произведение Следовательно, площадь треугольника равна

3. Тригонометрия. Выведем формулу для

Пусть в плоской декартовой системе координат даны векторы которые образуют с положительным направлением оси Ох углы соответственно (Рис. 18):

Рис. 18. Синус суммы двух углов.

Проекции векторов равны Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4. для определителей (см. Лекция № 7), получим Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, имеем

Длина этого вектора равна По определению векторного произведения его длина равна Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при получаем, что синус удвоенного угла равен

Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число равное векторному произведению умноженному скалярно на вектор т.е.

Получим формулу для вычисления смешанного произведения

Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окончательную формулу

Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

1. , т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически перестав.!ять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков abc.

2. Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (Рис. 19):

Рис. 19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

Так как

3. Если вектора , и компланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т.е. .

Замечание: Свойство 3. определяет условие компланарности трех векторов, т.е. если то вектора и лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Пример:

Доказать, что вектора компланарны.

Решение:

Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем

Пример:

Даны 4 точки Вычислить объем параллелепипеда.

Решение:

Составим векторы Вычислим объем параллелепипеда Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора и образуют правую тройку.

Пример:

Чему равен объём пирамиды с вершинами А, В, С и D (координаты точек А, В, С и D взять из VIII.). Найти длину высоту, которая опущена из точки А на основание BCD.

Решение:

Объём пирамиды равен Используя векторы из VIII., которые имеют координаты вычислим объём параллелепипеда Следовательно, объём пирамиды с вершинами А, В, С и D равен

С другой стороны, её объём по формуле из средней школы равен

Вычислим площадь треугольника BCD, лежащего в основании пирамиды: Вычислим векторное произведение этих векторов Найдём длину этого вектора Следовательно, площадь треугольника BCD равна Тогда длина высоты, опущенной из точки А на основание BCD, равна