Как найти векторы в прямоугольнике

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy.  Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет  найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем 

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow{AB})  и (overrightarrow{AC}) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow{BC} ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

Первая формула это ( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2}. ), для плоскости
( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} )

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2}) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vec{S}right|=sqrt{ s_x^2+s_y^2}) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии.  Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор. 

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Длина вектора — основные формулы

Время чтения: 16 минут

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Ответ:

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Ответ:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vecright|=sqrt<left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2>)
(=sqrt <left ( 5-0 right )^2+ left ( 2-1 right )^2 + left ( lambda^2 -2right )^2>= sqrt<26 + left ( lambda^2 -2right )^2>)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
( sqrt<26+left(lambda^2-2right)^2>=sqrt <30>)
( 26+left(lambda^2-2right)^2=30 )
( left(lambda^2-2right)^2=4 )
( lambda^2-2=2 ) или ( lambda^2-2=-2 ) ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )
Ответ: ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов ( overrightarrow) и ( overrightarrow) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac<pi> <3>) . необходимо найти длину ( overrightarrow).

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
( KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac<pi><3>)
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac<pi><3>)
(=4+16-16cosfrac<pi><3>)
(=20-8=12 )
Получается (KM=sqrt <12>)
Ответ: ( left|overrightarrowright|=sqrt <12>)

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vecright|=sqrt<left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2>) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vecright|=sqrt< s_x^2+s_y^2>) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

Модуль вектора. Длина вектора.

Определение длины вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n -мерного пространства модуль вектора a = < a ₁ ; a ₂; . ; a_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

| a | = (	n	ai 2 ) 1/2
Σ
i =1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .

Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источники:

http://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/dlina-vektora-osnovnye-formuly.html

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/length/

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $

Решение

Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Длина вектора $|overline{a}| = 5 $

Пример 2

Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $

Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $

Ответ

Длина вектора $|overline{a}|=6 $

Пример 3

Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $

Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $

Ответ

$|overline{AB}|=sqrt{13} $

В статье мы ответили на вопрос:»Как найти длину вектора?» с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.

Длина вектора b⃗vec{b} обозначается ∣b⃗∣.left | vec{b} right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Нахождение длины вектора по его координатам

Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

1. Для вектора b⃗=(bx;by),vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣left |vec{b} right|=bx2+by2sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
2. Для вектора b⃗=(bx;by;bz),vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.

Пример 1

Найти длину вектора b⃗=(6;−4).vec{b}=(6;-4).

Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.

Подставим координаты вектора b⃗vec{b} в формулу, получим: ∣b⃗∣=62+(−4)2=36+16=52=213left | vec{b} right |=sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=sqrt {36+16}=sqrt {52}=2sqrt {13}.

Ответ: 2132sqrt {13}.

Пример 2

Найти длину вектора d⃗=(1;3;5).vec{d}=(1;3;5).

Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:

∣d⃗∣=dx2+dy2+dz2left | vec{d} right |=sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.

Подставим координаты вектора d⃗vec{d} в формулу, получим:

∣d⃗∣=12+32+52=1+9+25=35left | vec{d} right |=sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=sqrt {1+9+25}=sqrt {35}.

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора CD⃗vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx;dy−cy)left | vec{CD} right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.

Аналогично находится длина вектора CD⃗,vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: CD⃗=(dx−cx;dy−cy;dz−cz).vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2+(dz−cz)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.

Пример 1

На плоскости заданы точки E(−1;3)иK(3;−4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK⃗.vec{EK}.

Найдем координаты вектора EK⃗.vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:

EK⃗=(3−(−1);−4−3)=(3+1;−4−3)=(4;−7).vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:

∣EK⃗∣=42+(−7)2left | vec{EK} right |=sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49sqrt {16+49}=65sqrt {65}.

Пример 2

В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD⃗.vec{CD}.

Найдем координаты вектора CD⃗.vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD⃗=(3−1;4−2;5−3)=(2;2;2).vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: ∣b⃗∣=22+22+22=4+4+4=12=23left | vec{b} right |=sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=sqrt {4+4+4}=sqrt {12}=2sqrt 3.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,βalpha, beta и γ,gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos (beta), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos (alpha), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos (gamma).

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов KL⃗vec{KL} и KM⃗vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.frac{pi }{4}. Вычислите длину вектора LM⃗.vec{LM}.

Длина вектора LM⃗vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника △KLM.triangle KLM.

LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos⁡∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KLcdot KMcdot cos angle LKM.
LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cos⁡π4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2cdot 2cdot4cdot cos frac{pi }{4}=4+16-8sqrt{2}=20-8sqrt{2}.
LM=20−82.LM=sqrt{20-8sqrt{2}}.
∣LM⃗∣=20−82.|vec{LM}|=sqrt{20-8sqrt{2}}.

Тест по теме «Как вычислить длину вектора»

как доказать, какие нужны условия, примеры задач для 9 класса

Что такое равенство двух векторов в геометрии 

Основными характеристиками вектора в пространстве и на плоскости являются его длина и направление, и именно на этом основано определение равенства векторов.

Для начала введем понятие коллинеарности.

Определение 1

Коллинеарность — характеристика взаиморасположения ненулевых векторов. Векторы коллинеарны, если расположены на одной прямой или параллельных прямых. Коллинеарные векторы допустимо называть параллельными.

Из определения нулевого вектора (вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, и длина равна нулю) ясно, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Если направления коллинеарных векторов совпадают, то их называют сонаправленными и обозначают b→↑↑d→, если нет — противоположно направленными и обозначают b→↑↓d→.

Определение 2

Равными считают те векторы, длины которых равны, а направления совпадают.

Понятие, признаки, какие нужны условия

Понятие равенства векторов применяется не только в геометрии, но и в алгебре, и особенно часто в физике, где действующие на тела сила представляют в векторном виде.

Необходимые признаки следуют из определения равных векторов. Итак, векторы равны, если:

• их модули или координаты равны;
• они сонаправлены.

Остановимся подробнее на первом признаке. Модуль — длина вектора обозначается как left|overrightarrow bright|. Формула для вычисления длины вектора на плоскости имеет вид:

Формула 

b→=x2+y2

Под корнем находится сумма координат вектора, то есть векторы равны, если доказано либо равенство их модулей, либо координат.

Необходимым условием равенства векторов является сочетание двух признаков: векторы должны быть сонаправлены, а их длины равными.

Отметим, что наличие только одного из признаков не делает векторы равными. Так, противоположно направленные векторы с одинаковыми длинами не равны. Сонаправленные векторы с отличными по величине модулями также нельзя назвать равными.

Доказательство теоремы, формулы

Теорема 

Равные векторы обладают следующими свойствами:

1. Вектор равен самому себе.
2. Для равных векторов справедливо тождество: b→=d→⇔d→=b→.
3. Если векторы равны третьему, то они равны друг другу.

 Доказательство. Первые два свойства прямо следуют из определения равенства векторов. Докажем третье свойство. Для этого воспользуемся правилом параллельного переноса. Пусть имеются три вектора, при этом b→=d→ и f→=d→. Начальную и конечную граничные точки f→ совместим с соответствующими граничными точками d→. Так как f→=d→, векторы совпадут. По условию b→=d→, а если f→ и d→ совпали, то b→=f→. Теорема доказана.

Кратко остановимся на используемых для решения задач формулы математических операций с векторами:

1. Умножение b→ на число k: d→=k·b→.
2. Сложение и вычитание векторов производят по методу треугольника.

Примеры задач для 9 класса

Задача 1

Дано: d→=b→. Известны координаты вектора b→ (2; 21) и одна координата вектора d→ (3; y). Найти координату y d→.

Решение

По условию задачи векторы равны, а значит, равных их модули. Составим уравнение с неизвестной переменной — y.

22+(21)2=32+y2

Откуда: 25=9+y2⇒y=4.

Ответ: d→ (3; 4).

Задача 2

Дано: два вектора MN→ и KL→ такие, что MN=KL. По точкам M и L построен отрезок ML, по точкам N и K — NK. Доказать, что середины ML и NK совпадают.

Решение.

Сделаем рисунок по условию задачи.

Видно, что MNLK — параллелограмм. Тогда ML и NK являются диагоналями MNLK. По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей делит их пополам. То есть середина ML совпадет с серединой NK, что и требовалось доказать.

Задача 3

Дано: прямоугольник KLMN. Известны длины сторон: KL=6; LM=8. На отрезке KL обозначена точка O, при этом KO=OL. Найти длину NO→.

Решение

Прямоугольник — частный случай параллелограмма, то есть его противоположные стороны равны. Длину NO→ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника NKO.

NO→=KO2+NK2=KL22+LM2=9+64=73

Ответ: NO→=73.

Задача 4

Определить форму фигуры, заданной точками H, D, F, G, если имеется свободно расположенная на плоскости точка O такая, что OF→-OD→=OG→-OH→.

Решение.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить чертеж по известным условиям. Обозначим точку О, теперь проведем из точки OF→ и OD→. По методу треугольника построим вектор DF→, равный разности OF→ и OD→. Затем из точки О также проведем векторы OH→, OG→ и результирующий HG→. Получили четырехугольник. HDFG. По условию противоположные стороны DF и HG равны, значит, HDFG — параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Векторы – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Вопросы

1. Найдите вектор (vec{a}), перпендикулярный вектору (vec{b} (5; 3)), если их длины равны.

2. Найдите вектор (vec{a}), перпендикулярный вектору (vec{b} (5; 3)), если их длины равны.

3. Определите координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором (vec{p}(-sqrt3;1)).

4. Найдите сумму ветров (vec{a}) {1; – 2} и (vec{в}) {2; – 2}. Найдите длину вектора суммы (vec{c})

5. В равнобедренной трапеции АВСD укажите пары коллинеарных векторов.

6. Найдите скалярное произведение векторов (vec{c})  и (vec{d}), если известно, что (midvec{c}mid) = 5, (midvec{d}mid) = 8, а угол между ними равен 60°

7. Даны векторы (vec{a}) {3; 4} и (vec{в}) {– 3; 3}. Найдите угол между ними, если скалярное произведение равно 7,5(sqrt6).

8. Вычислите скалярное произведение векторов, если (vec{a}) {– 4; – 3}, (vec{в}) {1; 0}, а угол между ними равен 30°.

9. Даны векторы (vec{a}) {1; 6} и (vec{в}) {– 5; 7}. Найдите координаты вектора (vec{с}=2vec{а}+vec{в}).

10. Даны точки А(2;–1), С(3;4). Найдите абсолютную величину вектора АС.

11. (midvec{a}mid)= 1, (midvec{в}mid)= 6, a cos(alpha) = (frac 13). Найдите скалярное произведение данных векторов.

12. Найдите значение m, при котором векторы (vec{a}) и (vec{в}) перпендикулярны, если (vec{a}) {m; – 8} и (vec{в}) {4; 3}

13. Даны точки А (3;8), В (–7;5), С (k; 11). Найдите значение k, при котором (vec{BA}) (bot)(vec{CB}).

14. Найдите координаты вектора (vec{c}=vec{a}-3vec{b}), если (vec{a}) {3; 2}, (vec{b}) {– 3; 1}

15. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid) = 2, (midvec{b}mid) = 3 и угол между ними равен 135°

16. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы (vec{a}) = (vec{AB})  и (vec{b}) = (vec{AC}) вектор (vec{CB})

17. Найдите угол между векторами (vec{a}) (2; 0) и (vec{b}) (– 2 ; 2)

18. Даны векторы (vec{a}) (2; 3), (vec{b}) (–1; 0). Найдите сумму векторов (vec{a}) и (vec{b})

19. Материальная точка переместилась на 3 метра под воздействием постоянной силы в 5 ньютонов, направленной под углом 45 градусов по отношению к оси перемещения. Найдите работу этой силы.

20. Найдите скалярное произведение векторов  (vec{a}(-1;3), vec{b}(-7;5).)

21. Сколько разных векторов определяют стороны параллелограмма?

22. (vec{|a|}=7, vec{|b|}=6,) а угол между векторами   (vec a) и (vec b)  равен 120°. Найдите скалярное произведение (vec acdot (vec a+vec b).)
     

23. Даны векторы (vec a(3;4), vec b(k;2). ) При каком значении (k) эти векторы взаимно перпендикулярны?
     

24.  

    В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°,сторона AC равна 6 см, сторона BC равна 8 см. Найдите AC+BC.

25. При каких значениях числа х векторы ( vec a(x; 3) и vec b(2; 7)) коллинеарны?

26. Даны векторы  (vec a{1;6 }), (vec b{5;7 }). Найдите скалярное произведение векторов

27. Диагонали ромба (ABCD ) равны 10 и 14. Найдите длину вектора  (vec{AB}-vec {AD}) .

28. Даны векторы (vec{а}) {2; 1,5} и (vec{в}) {3; – 1}, (vec{с}) {4,4; 3,3}.

    Найдите пары коллинеарных векторов.

29. Даны (vec{a})( – 1; 2), (vec{b})(0; 5). Найдите (vec{c} = 2vec{a} – vec{b}).

30. Даны (vec{а})( – 4; 3), (vec{в})(0; 1). Найдите скалярное произведение данных векторов.

31. Найдите значение k, при котором векторы (vecа) (– 2; 1) и (vecв) (9; k) перпендикулярны.

32. Даны (vecа)(1; 4) и (vecв)(– 3; 2). Найдите значение k, при котором вектор (vecа+vec{kв}) перпендикулярен (vecа).

33. Даны векторы (vec{а}) {3; 2}, (vec{в}){2; – 1}, (vec{c}) {7; 3}, (vec{d}) {4; – 2}. circ).

34. Даны точки А(3; 8), В( – 7; 5), С(n; 11). Найдите значение n, при котором векторы АВ и АС перпендикулярны.

35. Даны (vec{a})(– 3; 2) и (vec{c})(1; 4). Найдите значение k, при котором вектор (vec{a} + vec{kc})  перпендикулярен (vec{c}).

36. Найдите скалярное произведение векторов (vec{a}) (– 7; 3)и (vec b)(– 1; 5).

37. Сколько пар равных векторов определяют вершины квадрата?

38. (mid vec{a}mid=7; midvec{b}mid=6), угол между векторами равен 60°. Найдите скалярное произведение (vec{a}cdot(vec{a}+vec{b})).

39. Даны векторы (vec a)(1; 0), (vec b)(1; 1). При каком значении(lambda ) вектор (vec{a}+λvec{b}) перпендикулярен вектору (vec{b})?

40. В треугольнике FGH точки M и N – середины сторон FG и GH соответственно. Выразите вектор (vec{MH}) через векторы (vec{m}=vec{GM}, vec{n}=vec{GN}).

41. При каких значениях числа х векторы (vec a)(7; 3), (vec b)(x; 2) являются коллинеарными?

42. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid=4,5, midvec{b}mid=6), а угол между ними равен 60°.

43. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов (vec{AO}) и (vec{DO}).

44. Угол между векторами (vec a) (2; 4) и (vec b) (3; 1) равен

45. Найдите сумму векторов (vec{AB}-vec{FH}+vec{EH}-vec{CB}+vec{CE}).

46. Найдите угол между векторами (vec a) ( – 1; 2) и  (vec b) (3; – 1).

47. При каких значениях x векторы (vec a) (x; 3) и  (vec b) (2; 7) ортогональны (перпендикулярны)?

48. Даны векторы (vec{a}) {2; – 1}, (vec{b}) {– 3; 7}.  Найдите их скалярное произведение.

49. Угол между векторами (vec a) (1,2; 1,8), (vec{b}) (0,2; 0,3)

50. Сторона равностороннего треугольника KLM равна a. Найдите (|vec{KL}+vec{KM}|).

51. Укажите правильное разложение вектора (vec d) (– 4; 2) по координатным векторам (vec i) и  (vec j).

52. Дан треугольник с вершинами в точках A (1; 1), B (– 4; 3), C (2; 2).Найдите длину медианы АК.

53. Найдите координаты вектора (vec{PQ}), если P (1; – 3) и Q (3; – 1).

54. При каких значениях числа х векторы (vec a) (7; 3), (vec b)(x; 2) ортогональны (перпендикулярны)?

55. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid=2,5,midvec{b}mid=7), a угол между ними равен 30°.

56. Найдите длину разности векторов (vec{AO}) и (vec{DO}), если в прямоугольнике ABCD стороны AB и AD равны 3 и 4 см соответственно, а диагонали пересекаются в точке О

Сообщить об ошибке

Видео-вопрос: Использование векторов для определения площади прямоугольника по его вершинам

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴(−6, −7), 𝐵(0, 2), 𝐶(6, −2) и 𝐷(0, − 11). Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Стенограмма видео

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴 минус шесть, минус семь; 𝐵 ноль, два; 𝐶 шесть, минус два; и 𝐷 ноль, отрицательный 11. Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Начнем с рисования прямоугольника на координатной сетке. Точка 𝐴 имеет координаты минус шесть, минус семь. Точка 𝐵 имеет координаты ноль, два. Точка 𝐶 равна шести, минус два. И, наконец, точка 𝐷 имеет координаты ноль, минус 11. Нас просят вычислить площадь прямоугольника с помощью векторов. Мы знаем, что площадь любого параллелограмма равна величине векторного произведения векторов 𝐚 и 𝐛, где вектор 𝐚 и вектор 𝐛 — стороны параллелограмма. Величина векторного произведения любых двух векторов равна величине вектора 𝐚, умноженной на величину вектора 𝐛, умноженной на величину греха 𝜃, где 𝜃 — угол между двумя векторами.

Мы знаем, что прямоугольник — это особый вид параллелограмма, в котором четыре угла равны 90 градусам. Таким образом, площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна величине векторного произведения вектора 𝚨𝚩 и вектора 𝚨𝐃. Это, в свою очередь, равно величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃, умноженной на величину греха 𝜃. 𝜃 равно 90 градусам, а мы знаем, что грех 90 градусов равен единице. Таким образом, площадь прямоугольника равна величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃. Теперь мы освободим место, чтобы мы могли вычислить эти два значения.

Компоненты вектора 𝚨𝚩 будут равны нулю минус минус шесть и два минус минус семь. Ноль минус минус шесть равно шести, а два минус минус семь равно девяти. Следовательно, вектор 𝚨𝚩 равен шести, девяти. Мы можем найти величину любого вектора, найдя сумму квадратов каждого из компонентов, а затем извлекая из ответа квадратный корень. Шесть в квадрате равно 36, а девять в квадрате равно 81. Следовательно, величина вектора 𝚨𝚩 равна квадратному корню из 117. Это упрощает до корня из трех 13.

Теперь мы можем повторить этот процесс для вектора 𝚨𝐃. Это будет иметь 𝑥-компоненту, равную нулю минус минус шесть, и 𝑦-компоненту, равную минус 11 минус минус семь. Это равно шести, минус четыре. Таким образом, величина вектора 𝚨𝐃 равна квадратному корню из шести в квадрате плюс минус четыре в квадрате. Поскольку шесть в квадрате равно 36, а минус четыре в квадрате равен 16, у нас остается квадратный корень из 52. Это упрощается до двух корней из 13. Подстановка этих значений в наше уравнение дает нам три корня из 13, умноженные на два корня из 13. Три, умноженное на два, равно шести, а корень 13, умноженный на корень 13, равен 13. Это дает нам шесть, умноженное на 13, что равно 78. Площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 составляет 78 единиц площади.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Измерение влечет за собой процессы измерения и всех расчетов, относящихся к различным геометрическим формам, происходящие в математической теории, а также в нашей повседневной жизни. Изучение всех геометрических фигур подпадает под сферу измерения. Геометрические формы, такие как треугольники, прямоугольники, четырехугольники, круг и т. д. Здесь прямоугольник обсуждается ниже,

Прямоугольник

Прямоугольник определяется как тип четырехугольника, противоположные стороны которого всегда параллельны и равны по длине. Соседние стороны пересекаются друг с другом под прямым углом. Как и у всех других четырехугольников, сумма всех четырех углов прямоугольника также равна 360°. Прямоугольник — это двумерная фигура, которая имеет только две пропорции длины и ширины, представленные каждой парой четырех сторон.

На приведенном выше рисунке изображен прямоугольник ABDC, где сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AC параллельна стороне BD. Здесь AB и CD обозначают длину прямоугольника, а AC и BD — ширину. Сумма всех четырех прямых углов равна 360°.

Периметр прямоугольника

Периметр двумерной геометрической фигуры представляет собой сумму длин всех его сторон. Итак, периметр прямоугольника ABDC будет равен:

AB + AC + CD + BD

= l + b + l + b

= 2l + 2b

= 2(l + b).

Следовательно, периметр прямоугольника в два раза больше суммы его длины и ширины.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Решение:

Пусть данный периметр равен P единицам, а ширина равна x единицам. Пусть длина обозначается l.

Поскольку Периметр прямоугольника = 2(l + b)

⇒ P = 2l + 2b

⇒ 2l = P – 2b

⇒ l =

Приведенную выше формулу можно использовать для нахождения длины прямоугольника, периметр и ширина которого заданы.

Аналогичные задачи

Вопрос 1: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 50 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 50 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 30/2

⇒ l = 15 см

Вопрос 2: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 5 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 60 см и B = 5 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 50/2

⇒ l = 25 см

Вопрос 3: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 20 см.

Решение:

P = 2(l + b)

Дано: P = 60 см и b = 20 см

Вопрос 4: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 80 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 80 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 60/2

⇒ l = 30 см

Вопрос 5: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 100 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 100 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 80/2

⇒ l = 40 см

Вопрос 6: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 10 см.