Определение.
Центральный угол правильного многоугольника — это угол, под которым сторона многоугольника видна из его центра.
Например,
∠AOB — центральный угол правильного восьмиугольника.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с центром этого многоугольника. Если у многоугольника n сторон, то центральных углов у него также n и все они равны между собой.
Градусная мера всей окружности — 360º, следовательно, градусная мера каждой дуги окружности, на которую окружность разбивают вершины n-угольника, равна
Так как центральный угол равен дуге, на которую от опирается, то и каждый из центральных углов равен 360º:n.
Примеры
Центральный угол правильного треугольника
равен 360º:3=120º.
Центральный угол квадрата
равен 360º:4=90º.
Центральный угол правильного шестиугольника
равен 360º:6=60º.
Центральный угол правильного восьмиугольника
равен 360º:8=45º.
Предмет: Геометрия,
автор: Lilemmays
Ответы
Автор ответа: IiioiiI
4
Ответ:
18 градусов
Объяснение:
угол многоугольника находиться по формуле 180(n — 2):n, где n это кол-во углов. по формуле угол равен 162, следовательно половина его равна 81. тк многоугольник правильный, центральный угол находим по сумме углов треугольника, те 180-81-81=18
Lilemmays:
Спасибо
IiioiiI:
объяснение весьма корявенькое, так что не за что)
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Алгебра,
автор: rockmagpopov
Решите пожалуйста неравенство
4 года назад
Предмет: Математика,
автор: yuliagucul2903
Будь ласка срочно пліс дуже потрібно 35 балів!
4 года назад
Предмет: Математика,
автор: AkiCher
(x-11)/(x-3)(2x+5) ≤ 0
4 года назад
Предмет: Математика,
автор: Мария11999
Помогите пожалуйста срочно надо номер 631!!!
6 лет назад
Предмет: Математика,
автор: SIHTA
нужно решение -7x-7=4-8x
6 лет назад
Углы правильного многоугольника делятся на :
- центральный угол;
- внутренний угол;
- внешний угол.
Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).
Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:
((n — 2)180°)
Для нахождения внутреннего угла используют формулу:
(alpha = frac{{{{180}^o}(n — 2)}}{n})
(n)— число сторон
Для нахождения внешнего угла используют формулу:
(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)— число сторон
Для нахождения центрального угла используют формулу:
(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)— число сторон
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
ВИДЕОУРОК
Правильным
многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы
равны.
Сумма углов
правильного многоугольника, как и произвольного многоугольника, равна 180° (n – 2).
Величина
угла αn правильного n – угольника
равна:
Многоугольник
называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
Многоугольник
называют описанным вокруг окружности, если все его стороны касаются окружности.
Около любого правильного
многоугольника можно описать окружность: в любой правильный многоугольник можно
вписать окружность, к тому же центры вписанной и описанной окружности совпадают.
где R – радиус описанной окружности, r –
радиус вписанной окружности, a – сторона правильного n-угольника.
Формулы для нахождения
стороны an радиуса
R описанной
и радиуса r вписанной
окружности для правильных n-угольников.
Общий центр описанной и вписанной окружности
называют центром правильного многоугольника.
Апофемою
правильного многоугольника называется перпендикуляр, проведенный с центра
правильного многоугольника до его стороны.
Апофема – это радиус
вписанной окружности.
Центральным
углом правильного многоугольника
называют угол, образованный двумя радиусами, проведенными до соседних вершин.
Центральный угол правильного n – угольника вычисляют по
формуле:
ЗАДАЧА:
Найдите внешний угол при вершине правильного шестиугольника.
РЕШЕНИЕ:
Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Поэтому внешний его угол равен
180° – 120° = 60°.
ЗАДАЧА:
Определите количество сторон правильного многоугольника, внутренний
угол которого равен 150°.
РЕШЕНИЕ:
180°n – 360° = 150°n,
30°n = 360°,
n = 360° : 30°,
n = 12.
ЗАДАЧА:
Центральный угол правильного многоугольника равен 30°. Определите количество сторон многоугольника.
РЕШЕНИЕ:
Центральный угол
откуда
ЗАДАЧА:
Как найти диагонали правильного
шестиугольника, если известна длина его стороны ?
РЕШЕНИЕ:
СЕ – одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ – одна из длинных диагоналей.
Учитывая, что углы правильного шестиугольника равны 120°, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30°, и воспользоваться соотношениями в этом треугольнике.
ОТВЕТ: а√͞͞͞͞͞3, 2а.
ЗАДАЧА:
Радиус окружности,
вписанной в правильный многоугольник, равен
2√͞͞͞͞͞3 см, а радиус окружности,
описанной вокруг него 4 см. Найдите периметр многоугольника.
РЕШЕНИЕ:
Пусть n – количество сторон правильного
многоугольника. По известной формуле имеем:
Учитывая
Содержание
- Определение правильного многоугольника
- Элементы правильного многоугольника
- Диагонали n — угольника
- Внешний угол многоугольника
- Сумма внутренних углов
- Сумма внешних углов
- Виды правильных многоугольников
- Основные свойства правильного многоугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Доказательства свойств углов многоугольника
- Правильный n-угольник — формулы
- Формулы длины стороны правильного n-угольника
- Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
- Формулы площади правильного n-угольника
- Формула периметра правильного многоугольника:
- Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
- Формулы правильного треугольника:
- Формулы правильного четырехугольника:
- Формулы правильного шестиугольника:
- Формулы правильного восьмиугольника:
- Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности
- Шаг 1
- Шаг 2
- Шаг 3
Определение правильного многоугольника
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и углы.
Признаки правильного n-угольника
- a1 = a2 = a3 = … an-1 = an
- α1 = α2 = α3 = … αn-1 = αn
Примечание: n – количество сторон/углов фигуры.
Элементы правильного многоугольника
Для рисунка выше:
- a – сторона/ребро;
- α – угол между смежными сторонами;
- O – центр фигуры/масс (совпадает с центрами описанной и вписанной окружностей);
- β – центральный угол описанной окружности, опирающийся на сторону многоугольника.
Диагонали n — угольника
Фигура | Рисунок | Описание |
Диагональ многоугольника |
Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника | |
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины |
Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника |
|
Все диагонали n – угольника |
Число диагоналейn – угольника равно |
Диагональ многоугольника |
Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника |
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины |
Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника |
Все диагонали n – угольника |
Число диагоналей n – угольника равно |
Внешний угол многоугольника
Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).
Рис.1
Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).
Рис.2
Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники выпуклые многоугольники .
Сумма внутренних углов
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.
s = 2d(n — 2),
где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.
Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:
Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:
s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.
Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.
Сумма внешних углов
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).
s = 4d,
где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).
Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:
Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):
s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.
Виды правильных многоугольников
- Правильный (равносторонний) треугольник
- Правильный четырехугольник (квадрат)
- Правильный пяти-, шести-, n-угольник
Основные свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:
180° · (n — 2)
- Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:
β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°
- Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
- В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O
Свойство 1
Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:
где n – число сторон фигуры.
Свойство 2
Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).
Свойство 3
Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:
Свойство 4
В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.
В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.
Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:
Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:
Свойство 5
Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:
- Площадь (S):
- Периметр (P):
- Радиус описанной окружности (R):
- Радиус вписанной окружности (r):
Свойство 6
Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:
Доказательства свойств углов многоугольника
Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.
Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).
Рис.3
Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.
Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).
Рис.4
Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.
Теорема 3. Сумма углов – угольникаn равна
Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).
Рис.5
Получим n треугольников:
OA1A2, OA2A3, … OAnA1
Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Сумма внешних углов – угольникаn , взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.
Рис.6
В соответствии рисунком 6 справедливы равенства
Теорема доказана.
Правильный n-угольник — формулы
Формулы длины стороны правильного n-угольника
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формулы площади правильного n-угольника
- Формула площади n-угольника через длину стороны:
- Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
- Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула периметра правильного многоугольника:
Формула периметра правильного n-угольника:
P = na
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
Формула угла между сторонами правильного n-угольника:
Рис.3 |
Формулы правильного треугольника:
- Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r √3
- Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:
a = R√3
- Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
- Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
- Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
- Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 3√3
- Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
- Угол между сторонами правильного треугольника:
α = 60°
Рис.4 |
Формулы правильного четырехугольника:
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
- Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
- Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
- Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2
- Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Формулы правильного шестиугольника:
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
a = R
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
R = a
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 2√3
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:
α = 120°
Формулы правильного восьмиугольника:
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r · (√2 — 1)
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2 — √2
Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:
S = a2 2(√2 + 1)
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 8(√2 — 1)
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
S = R2 2√2
Угол между сторонами правильного восьмиугольника:
α = 135°
Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности
Сторону правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности можно найти по формуле
Где:
a – длина его стороны;
R – радиус описанной окружности;
n – число сторон многоугольника.
Формула стороны правильного многоугольника
Шаг 1
Рассмотрим правильный многоугольник А1А2А3…Аn.
Пусть его сторона будет равна a.
Опишем вокруг этого многоугольника окружность с центром в точке О и радиусом R.
Вывод формулы стороны правильного многоугольника.
Шаг 2
Соединим точку О с его вершинами. А1А2А3…Аn.
Рассмотрим треугольник ОА1А2.
Рассматриваемый треугольник будет равнобедренным, так как его стороны А1О и А2О – радиусы описанной окружности.
Проведем в треугольнике А1ОА2 высоту ОК.
Так как треугольник А1ОА2 равнобедренный, то высота будет медианой:
Вывод формулы стороны правильного многоугольника.
Шаг 3
Рассмотрим треугольник А1КО.
Этот треугольник прямоугольный, так как ОК – высота по построению.
Так как точка О – центр правильного многоугольника, то отрезки АnO являются биссектрисами углов этого многоугольника.
Таким образом, если углы многоугольника обозначим буквой α, то угол ОА1К будет равен:
По свойству углов правильного многоугольника, каждый угол равен:
Тогда угол ОА1К будет равен:
Из определения косинуса угла получим:
Отсюда:
Подставим в формулу значения, полученные выше и на шаге 2:
Умножим обе части уравнения на 2:
Воспользуемся формулами приведения
Так как А1О является радиусом описанной окружности, то сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле:
Вывод формулы стороны правильного многоугольника.