Как найти величину двугранного угла при ребре

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Двугранный
угол образуется в результате пересечения
двух плоскостей. Ребром двугранного
угла называется линия пересечения этих
двух плоскостей. Мерой
двугранного
угла является плоский угол, получающийся
при пересечении двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной ребру
двугранного угла.

Для
того, чтобы определить величину
двугранного угла, необходимо провести
построения методом замены плоскостей
проекций, в результате которых в новой
системе плоскостей проекций ребро
двугранного угла примет положение
проецирующей прямой, а плоскости,
образующие двугранный угол, сделаются
проецирующими плоскостями.

Найдем
двугранный угол при ребре SB,
образованный плоскостями ABS
и BCS.
Путем замены плоскостей проекций
необходимо сделать ребро SB
проецирующей
прямой. Поскольку ребро SB
является прямой общего положения, его
необходимо при первой замене плоскостей
проекций сделать прямой уровня, а при
второй замене плоскостей проекций
сделать проецирующей прямой (рис. 8).

Рис.8.
Нахождение двухгранного угла

при
ребре пирамиды BS

Порядок построений.

1. Проведем
   новую ось системы плоскостей П₁/П₄
   || S₁B₁,
   найдем проекции точек A₄,
   B₄,
   C₄,
   S₄.
   Ребро SB
   в системе плоскостей проекций П₁/П₄
   стало прямой уровня.

2. Проведем
   новую ось системы плоскостей П₄/П_{5
   ┴}
   B₄S₄.
   Найдем проекции точек A₅,
   B₅,
   C₅,
   S₅.
   Ребро SB
   в системе плоскостей проекций П₄/П₅
   стало проецирующей прямой. Его проекция
   на плоскости П₅
   выродилась в точку S₅≡В₅.
   Боковые грани двугранного угла ABS
   и CBS
   стали проецирующими плоскостями. Их
   проекции на плоскость П₅
   выродились
   в прямые линии A₅B₅
   и C₅B₅,
   которые необходимо выделить красным
   цветом. Угол φ
   между этими прямыми есть натуральная
   величина плоского угла, являющегося
   мерой двугранного угла при ребре SB.

Список литературы

1. Гордон В.О.
   Курс начертательной геометрии. Учеб.
   пособие для вузов. / В.О. Гордон, М.А.
   Семенцов-Огиевский.; Под ред. В.О.
   Гордона, Ю.Б. Иванова. -24-е изд., стереотип.
   — М.: Высш. шк., 2002.-272с.:ил.; Рекомендовано
   М-вом образования РФ.-ISBN 5060035182:75.00,90.00

2. Гордон
   В.О. Сборник задач по курсу начертательной
   геометрии. Учеб. пособие. / В. О. Гордон,
   Ю. Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; Под ред. Ю.Б.
   Иванова. — 8-е изд., стер .-М.: Высшая школа,
   2002.-320с.:ил.;.- Допущено М-вом образования
   РФ.-ISBN 5060035190:87.00

3. Начертательная
   геометрия: Учебник для вузов /
   Н.Н.Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев
   и др.; Под ред. Н.Н.Крылова.-8-е изд., испр.-
   М.: Высш. шк., 2002. -224с.: ил.; .- Рекомендовано
   М-вом образования РФ.-ISBN 5060043193:68.64

4. ГОСТ 2.302-68. Форматы.-
   Взамен ГОСТ 3450-60; введен с 01.01.1971. // Общие
   правила выполнения чертежей: ЕСКД.–
   М.: Издательство стандартов, 1988. С. 3-4.

5. ГОСТ 2.302-68 Масштабы.
   Взамен ГОСТ 3451-59; введен с 01.01.1971. // Общие
   правила выполнения чертежей: ЕСКД.–
   М.: Издательство стандартов, 1988. С. 5.

6. ГОСТ 2.303-68 Линии.
   Взамен ГОСТ 3456-59; введен с 01.01.1971. // Общие
   правила выполнения чертежей: ЕСКД.–
   М.: Издательство стандартов, 1988. С. 6-8.

7. ГОСТ
   2.304-81 Шрифты чертежные. Взамен ГОСТ
   3004-68; введен с 01.01.1982. // Общие правила
   выполнения чертежей: ЕСКД.– М.:
   Издательство стандартов, 1988. С. 12-39.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

14.1. Двугранный угол и его измерение

Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.

Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.

Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).

Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1= a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC =  =  = 10.

Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE =  = 9,6. Тогда tg ϕ =  =  = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ =  =  = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .