Как найти величину перемещения заряда

Содержание:

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле:

В повседневной жизни мы довольно часто, особенно в сухую погоду, встречаемся с ситуацией, когда, коснувшись какого-либо тела, чувствуем неприятный удар. Как показывает опыт, таких сюрпризов можно ожидать от тел, имеющих высокий потенциал.

Работа по перемещению заряда в однородном электростатическом поле

Если электростатическое поле действует с некоторой силой на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению этих тел.

Пусть в однородном электростатическом поле напряженностью

Вычислим работу А, которую совершает сила , действующая на заряд со стороны электростатического поля. По определению работы: A=Fscosα.

Поле однородное, поэтому сила постоянна, ее модуль равен: F=qE, а scosα=d=является проекцией вектора перемещения на направление силовых линий поля. Следовательно, работа сил однородного электростатического поля по перемещению электрического заряда q из точки 1 в точку 2 ( ) равна:

Обратите внимание! Если бы в данном случае заряд перемещался не из точки 1 в точку 2, а наоборот, то знак работы изменился бы на противоположный, то есть работа совершалась бы против сил поля.

Обратите внимание! Формула будет справедлива в случаях движения заряда по любой траектории. То есть однородное электростатическое поле является потенциальным.

Потенциальным является любое электростатическое поле: работа электростатических (кулоновских) сил (как и работа гравитационных сил) не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а определяется начальным и конечным положениями заряда. Если траектория движения заряда замкнута, работа сил поля равна нулю.

Потенциальная энергия заряженного тела в поле, созданном точечным зарядом

Заряженное тело, помещенное в электростатическое поле, как и тело, находящееся в гравитационном поле Земли, обладает потенциальной энергией. Потенциальную энергию заряда, находящегося в электрическом поле, обычно обозначают символом . Согласно теореме о потенциальной энергии изменение потенциальной энергии заряда, взятое с противоположным знаком, равно работе, которую совершает электростатическое поле по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 поля:

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов Q и q, расположенных на расстоянии r друг от друга, определяют по формуле:

Обратите внимание: 1) потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна ( > 0), если заряды одноименные, и отрицательна ( < 0), если заряды разноименные; 2) если заряды бесконечно отдалить друг от друга (r → ∞), то = 0 (заряды не будут взаимодействовать). Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна работе, которую должно совершить электростатическое поле для увеличения расстояния между этими зарядами от r до бесконечности.

Что называют потенциалом электростатического поля

Потенциал электростатического поля в данной точке — это скалярная физическая величина, которая характеризует энергетические свойства поля и равна отношению потенциальной энергии электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к значению q этого заряда:

Единица потенциала в Си — вольт:

Из определения потенциала следует, что потенциал ϕ поля, созданного точечным зарядом Q, в точках, которые расположены на расстоянии r от данного заряда, можно рассчитать по формуле:

Из формулы ( *) видно: 1) если поле создано положительным точечным зарядом (Q > 0), то потенциал этого поля в любой точке является положительным ( ϕ > 0); 2) если поле создано отрицательным точечным зарядом (Q < 0), то потенциал этого поля в любой точке является отрицательным (ϕ < 0). Формула ( *) справедлива и для потенциала поля равномерно заряженной сферы (или шара) на расстояниях, которые больше ее радиуса или равны ему.

Если поле создано несколькими произвольно расположенными зарядами, потенциал ϕ поля в любой точке данного поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом:

Как определяют разность потенциалов

Когда в электростатическом поле заряд движется из точки 1 в точку 2, это поле совершает работу, которая равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком: . Поскольку то Выражение называют разностью потенциалов, где — значение потенциала в начальной точке траектории движения заряда, — значение потенциала в ее конечной точке.

Разность потенциалов — скалярная физическая величина, равная отношению работы сил электростатического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к значению этого заряда:

Единица разности потенциалов в Си — вольт: = 1 В (V).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 В, если для перемещения между ними заряда 1 Кл электростатическое поле совершает работу 1 Дж. Обратите внимание: в подобных случаях разность потенциалов − также называют напряжением (U). Важно не путать изменение потенциала и разность потенциалов (напряжение) .

Как связаны напряженность однородного электростатического поля и разность потенциалов

Рассмотрим однородное электростатическое поле на участке между точками 1 и 2, расположенными на расстоянии d друг от друга; пусть из точки 1 в точку 2 под действием поля перемещается заряд q (рис. 42.2).

Совершаемую полем работу можно найти двумя способами: 1) через разность потенциалов между точками 1 и 2:; 2) через напряженность поля: — проекция вектора на ось Ох, проведенную через точки 1 и 2.

Приравняв оба выражения для работы, получим: , откуда: , или

Если заряд перемещается в направлении напряженности электрического поля () , последняя формула примет вид:

Из последней формулы следует единица напряженности в Си — вольт на метр:

Какие поверхности называют эквипотенциальными

Для визуализации электростатического поля кроме силовых линий используют также эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, во всех точках которой потенциал электростатического поля имеет одинаковое значение.

Для наглядности следует рассматривать не одну эквипотенциальную поверхность, а их совокупность. Однако графически изобразить совокупность поверхностей сложно, поэтому обычно изображают только линии пересечения эквипотенциальных поверхностей некоторой плоскостью (рис. 42.3).

Эквипотенциальные поверхности тесно связаны с силовыми линиями электростатического поля. Если электрический заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, поскольку A=q ( ), а на эквипотенциальной поверхности .

Работу электростатического поля также можно представить через силу , действующую на заряд со стороны поля: A F= scosα , где α — угол между векторами и . Поскольку A = 0, а F ≠ 0 и s ≠ 0, то cosα = 0, то есть α = 90°. Это означает, что при движении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности вектор силы , а следовательно, и вектор напряженности поля в любой точке перпендикулярны вектору перемещения .

Таким образом, силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 42.3).

Обратите внимание! Симметрия эквипотенциальных поверхностей повторяет симметрию источников поля. Так, поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются концентрические сферы; при однородном поле эквипотенциальные поверхности — это система параллельных плоскостей.

• Заказать решение задач по физике

Пример решения задачи

Электрон, начав движение из состояния покоя, прошел ускоряющую разность потенциалов –300 В. Какую скорость приобрел электрон? Масса электрона кг, заряд Кл.

Заряд электрона — отрицательный, его начальная скорость = 0, поэтому под действием сил поля электрон будет двигаться в направлении, противоположном направлению силовых линий поля, то есть в направлении увеличения потенциала. Поле будет совершать положительную работу, в результате кинетическая энергия электрона и его скорость будут возрастать.

Решение:

Поиск математической модели, решение Согласно теореме о кинетической энергии:

— работа сил поля.

Таким образом, , отсюда .

Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Ответ:

Выводы:

Рассмотрим однородное электрическое поле. Оно образуется между заряженными плоскостями, если они параллельны и бесконечно большие. Практически можно считать однородным электрическое поле между конечными параллельными заряженными плоскостями, если размеры их значительно больше, чем расстояние между ними.

При перемещении пробного заряда в таком электростатическом поле электрические силы осуществляют работу.

Определение работы по перемещению заряда

Произвольное электрическое поле напряженностью ЕЕ действует на пробный заряд q0q_0 с силой

F=q0E.F = q_0E.

Смещение этого заряда вдоль определенной траектории сопровождается выполнением работы, элемент которой

dA=F→d=Fdlcos⁡α=q0Edlcos⁡α,dA=overrightarrow{F}d=Fdlcos alpha ={{q}_{0}}Edlcos alpha,

где dldl –вектор элементарного перемещения заряда q0q_0, αα – угол между векторами dldl и dFdF.

Пусть заряд q0q_0 перемещается из точки 1 в точку 2 в поле, созданном заданным точечным зарядом qq (рис. 1).

Рис. 1.

Определим работу такого перемещения А12А_{12}, подставив в формулу для элементарной работы выражение напряженности поля точечного заряда Также учтем, что dlcosα=drdlcosα = dr (рис. 1). Тогда А12А_{12} выразим так:

A12=qq04πε0∫r1r2drr2=qq04πε0[1r1−1r2]{{A}_{12}}=frac{q{{q}_{0}}}{4pi {{varepsilon }_{0}}}intlimits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}}{frac{dr}{{{r}^{2}}}}=frac{q{{q}_{0}}}{4pi {{varepsilon }_{0}}}left[ frac{1}{{{r}_{1}}}-frac{1}{{{r}_{2}}} right]

Проанализируем это выражение по знаку А12А_{12}. Если знаки зарядов qq и q0q_0 одинаковые, то работа А12А_{12} положительная при условии удаления зарядов (r2>r1r_2 > r_1) и отрицательная при их приближении.

Если qq и q0q_0 отличаются знаками, то работа А12А_{12}, наоборот, положительная при приближении зарядов и отрицательная при их удаления, то есть, положительной считают работу, выполненную самым полем.

Определение свойств электростатического поля

По выражению работы $А_{12} видно, что работа не зависит от формы пути перемещения заряда между точками 1-2, а определяется лишь размещением начальной и конечной точек. Такие силовые поля называют потенциальными (консервативными).

Итак, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным. Если перемещение происходит вдоль замкнутого контура, то работа равна нулю.

Математическое условие потенциальности поля получают, проинтегрировав вдоль замкнутого контура выражение dA:

A=∮Lq0Edlcos⁡α=q0∮LE→dl→=0A=ointlimits_{L}{{{q}_{0}}Edlcos alpha }={{q}_{0}}ointlimits_{L}{overrightarrow{E}doverrightarrow{l}}=0

Поскольку q0q_0 не равно 00, то циркуляция вектора EE

∮LE→dl→=0ointlimits_{L}{overrightarrow{E}doverrightarrow{l}}=0

Данное уравнение отражает то, что силовые линии электростатического поля незамкнуты. В условиях перемещения пробного точечного заряда вдоль замкнутого контура в таких полях на определенных участках пути работа будет положительной, на других — отрицательной, а полная работа равна нулю.

Тест по теме «Работа перемещения заряда»

Напряженность электрического поля

Главное
свойство электрического поля –
способность действовать на электрические
заряды с некоторой силой, поэтому
естественно охарактеризовать
электрическое
поле с помощью силы, действующей на
точечный положительный заряд, внесенный
в это поле.

Напряженностью
электрического поля в данной точке
называют физическую величину, численно
равную силе, действующей на единичный
положительный заряд, помещенный в данную
точку и имеющей направление этой силы:

. (6.2)

В
частности, напряженность в любой точке
поля, созданного точечным зарядом (как
это следует из закона Кулона), равна

. (6.3)

Напряженность
поля не зависит от величины пробного
заряда, а определяется величиной и
знаком заряда, создающего поле, и
положением (координатой) выбранной
точки поля. Напряженность поля определяет
величину и направление силы, действующей
на заряд, помещенный в данную точку
поля:

(6.4)

Если
поле создано двумя или несколькими
зарядами, то электрическое поле каждого
заряда (как утверждает опыт) не зависит
друг от друга, и напряженность
электрического поля, поэтому определяется
как векторная сумма напряженностей
полей, создаваемых отдельными зарядами
(рис. 6.1). В этом состоит принцип суперпозиции
полей:

. (*)

Для
наглядного (графического) описания
электрических полей используется
понятие силовой линии поля.

Силовой
линией называют линию, проведенную в
электрическом поле так (рис. 6.2), чтобы
касательная в любой ее точке совпадала
с направлением вектора напряженности.
Силовой линии приписывают направление,
совпадающее с направлением вектора
напряженности в каждой ее точке. Так
как каждой точке поля соответствует
вполне определенный вектор напряженности
поля, то силовые линии нигде не
пересекаются.

Условились
при изображении
электрических полей с помощью линий
напряженности, число силовых линий,
проходящих через единичную поверхность,
перпендикулярную к силовым линиям в
данной точке поля, выбирать равным
напряженности поля Е в данной точке (в
этом состоит правило графического
изображения полей с помощью силовых
линий). При таком условии картина силовых
линий электрического поля позволяет
наглядно судить как о направлении, так
и о величине напряженности поля в каждой
точке.

Потенциал электрического поля

Помимо
напряженности электрическое поле
характеризуется еще одной важной
физической величиной – потенциалом.

Рассмотрим
перемещение заряда q
в поле другого точечного заряда q₀
из точки 1 в точку 2 (рис. 6.3). Работа силы
F
на элементарном перемещении dl
определяется
соотношением

, (6.5)

но
,
значит.
Подставим сюда вместо силы ее значение
из закона Кулона, получим:

. (6.6)

Для
вычисления работы перемещения заряда
из точки 1 в точку 2 по произвольному
пути 1–2 проинтегрируем (6.6) в пределах
от r₁
до r₂
, получим

. (6.7)

Из
выражения (6.7) следует, что работа
перемещения электрического заряда не
зависит от формы пути, по которому
перемещается заряд, а зависит только
от начальной и конечной точек. Если
заряд q,
перемещаясь в электрическом поле,
возвращается в исходную точку (r₂
= r₁),
то работа перемещения заряда по замкнутому
пути в электростатическом поле равна
нулю. Поля, обладающие указанным
свойством, называются потенциальными.

Найдем
отношение работы перемещения заряда к
величине этого заряда:

. (6.8)

Эта
величина не зависит от величины
перемещаемого заряда и от пути, по
которому он перемещается, и поэтому
служит характеристикой поля, созданного
зарядом q₀
, и называется разностью потенциалов
или электрическим напряжением.

Разность
потенциалов двух точек 1 и 2 электрического
поля измеряется работой, совершаемой
полем при перемещении единичного
положительного заряда между этими
точками.

Следует
подчеркнуть, что разность потенциалов
имеет смысл характеристики поля потому,
что работа перемещения заряда не зависит
от формы пути. Действительно, если бы
работа перемещения заряда зависела от
пути, то при перемещении одного и того
же заряда между теми же самыми точками
поля, это отношение A
/ q
не являлось бы однозначной характеристикой
этих точек поля.

Если
выбрать какую-либо точку пространства
в качестве начальной точки (точки
отсчета), то любой точке можно сопоставить
разность потенциалов относительно этой
начальной точки.

Для
случая поля точечного заряда наиболее
простое математическое выражение для
потенциала получается, если в качестве
начальной выбрать любую точку, удаленную
на бесконечность. Тогда работа перемещения
положительного заряда q
из бесконечности
в данную точку поля, созданного другим
точечным зарядом q₀
, будет равна

. (6.9)

Отношение
работы перемещения положительного
заряда из бесконечности в данную точку
поля к величине этого заряда (работа по
перемещению единичного заряда) называется
потенциалом данной точки поля:

. (6.10)

Знак
минус в этом выражении означает, что в
данном случае работа совершается
внешними силами против сил поля.

Очевидно,
что напряжение U
между произвольными точками 1 и 2
электрического поля и потенциалы этих
точек связаны простым соотношением

. (6.11)

Для поля точечного
заряда

. (6.12)

Потенциал
любой точки поля, созданного положительным
зарядом – положителен и убывает до нуля
по мере удаления от заряда. Напротив –
потенциал поля, созданного отрицательным
зарядом, – отрицательная величина и
растет до нуля по мере удаления от
заряда.

Из
выражения для потенциала (6.12) следует,
что потенциал любой точки сферической
поверхностиS
c
центром в точке расположения заряда
одинаков (рис. 6.4). Такие поверхности
называются поверхностями равного
потенциала или эквипотенциальными
поверхностями.

Работу
перемещения заряда можно выразить через
разность потенциалов

.
(6.13)

Отсюда
следует, что работа перемещения заряда
по эквипотенциальной поверхности равна
нулю. Это значит, что сила, действующая
на заряд, а следовательно, и вектор
напряженности поля Е направлены
перпендикулярно эквипотенциальной
поверхности.

Используя
эквипотенциальные поверхности, можно
также дать графическое изображение
электрического поля.

Результаты,
полученные для поля точечного заряда,
легко распространить на поля, созданные
любым числом точечных зарядов, а так
как любое заряженное тело можно
представить как совокупность точечных
зарядов, то и на поле, созданное любым
заряженным телом.

Поля
точечных зарядов в соответствии с
принципом суперпозиции, накладываясь
друг на друга, не влияют друг на друга.
Поэтому потенциал поля любого числа
зарядов будет равен алгебраической
сумме потенциалов полей, созданных
отдельными зарядами, т. е.:

. (6.14)

Таким
образом, все вышеизложенное в отношении
понятия потенциала справедливо и для
поля, созданного заряженным телом любой
формы, а величину потенциала, в принципе,
можно вычислить по формуле (6.14).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #