Как найти величину угла правильного треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Углы равностороннего треугольника

Чему равны углы равностороннего треугольника?

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Что и требовалось доказать .

Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.

Что такое правильный треугольник

Определение правильного треугольника

Треугольник называется правильным, если все его стороны равны: $AB + AC + BC$ (рис. 1). Правильный треугольник еще называется равносторонним.

Свойства правильных треугольников

1. В правильном треугольнике все углы равны между собой и равны $60^<circ>$.
2. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой и биссектрисой.
3. Центры пересечения медиан, биссектрис и высот совпадают.
4. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Радиусы $r$ и $R$, вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника, связаны с длиной его стороны $a$ следующими соотношениями:

Примеры решения задач

Задание. Найти, чему равна высота равностороннего треугольника со стороною $a = 4$ см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Высота в равностороннем треугольнике является так же и медианой, поэтому:

$A H=H C=frac<1> <2>A C=2$

Далее, рассмотрим $Delta B H C$, этот треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:

Ответ. $B H=2 sqrt<3>$ см

Задание. Найти сторону равностороннего треугольника, если его высота равна $3 sqrt<3>$ дм.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Рассмотрим $Delta B C H$, он прямоугольный. Обозначим $BC = a$, тогда $H C=frac<2>$ . Запишем теорему Пифагора для рассматриваемого треугольника:

Используя введенные обозначения и исходные данные, получим

Решим полученное уравнение относительно $a$:

Ответ. $a = 6$ дм.

Задание. Дан равносторонний треугольник $ABC$, со стороной $a=6 sqrt<3>$ см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3).

Радиус $r$ вписанной и радиус $R$ описанной окружностей равностороннего треугольника связаны с его длиной $a$ следующими соотношениями:

Подставляя значение $a=6 sqrt<3>$, получим:

cm>) quad, quad R=frac <sqrt<3>cdot 6 sqrt<3>><3>=6$ (см)

Ответ. $r = 3$ см , $R = 6$ см

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это такой треугольник у которого все три стороны равны и его три угла равны.

Центр правильного треугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного треугольника.

Обозначения на рисунке для правильного треугольника

Основные формулы для правильного треугольника

Периметр правильного треугольника

[ L = 3a ]

Полупериметр правильного треугольника

[ p = frac{3}{2}a ]

Центральный угол правильного треугольника в радианах

[ α = frac{2}{3}π ]

Центральный угол правильного треугольника в градусах

[ α = frac{360°}{3} = 120° ]

Половина внутреннего угла правильного треугольника в радианах

[ β = frac{1}{6}π ]

Половина внутреннего угла правильного треугольника в градусах

[ β = frac{180°}{6} = 30° ]

Внутренний угол правильного треугольника в радианах

[ γ = 2β = frac{π}{3} ]

Внутренний угол правильного треугольника в градусах

[ γ = frac{180°}{3} = 60° ]

Площадь правильного треугольника

[ S = ph = frac{3}{2}ha ]

Или учитывая формулу Площади равностороннего треугольника получим

[S=frac{sqrt{3}}{4}a^2]

Правильный треугольник	стр. 267

Информация по назначению калькулятора

Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.

В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.

Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.

Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:

⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.

⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.

Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:

⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.

⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).

⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.

Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:

• Длины сторон

— равны в равностороннем треугольнике

• Углы

— также равны в равностороннем треугольнике

• Высота

— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)

• Периметр

— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)

• Площадь

— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)

• Медианы
• Биссектрисы
• Радиус Вписанной и Описанной окружностей
• Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
• Длина Вписанной и Описанной окружностей
• Площадь Вписанной и Описанной окружностей