Как найти величину угла равностороннего восьмиугольника

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

Решение:

Формула нахождения величины угла в правильном многоугольнике:
L=(180(n-2))/n
L — угол в многоугольнике.
n-количество сторон многоугольника.

Величина угла в восьмиугольнике равна:
n=8

∆ALB – равнобедренный т.к. AL=LB и углы LAB и LBA равны.
Найдем углы LAB и LBA из ∆ ALB:

Углы LAB= LBA=22,5
Угол LBA опирается на хорду LA.
LA сторона восьмиугольника, следовательно, LA=AC.
Углы LBA и ABC, т. к. опираются на равные хорды LA=AC

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Восьмиугольник вписанный в окружность найти угол

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

Решение:

Формула нахождения величины угла в правильном многоугольнике:
L=(180(n-2))/n
L — угол в многоугольнике.
n-количество сторон многоугольника.

Величина угла в восьмиугольнике равна:
n=8

∆ALB – равнобедренный т.к. AL=LB и углы LAB и LBA равны.
Найдем углы LAB и LBA из ∆ ALB:

Углы LAB= LBA=22,5
Угол LBA опирается на хорду LA.
LA сторона восьмиугольника, следовательно, LA=AC.
Углы LBA и ABC, т. к. опираются на равные хорды LA=AC

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Нахождение угла восьмиугольника, вписанного в окружность

Условие задачи для наглядности изображается схематически на рисунке. Для начала определяется величина внутреннего угла равностороннего восьмиугольника, применяя формулу нахождения суммы всех углов n-угольника. Величина искомого угла АВС вычисляется как разность между величиной внутреннего угла восьмиугольника и величинами углов СВА и DBC. В ходе дальнейшего решения доказывается равенство углов CBA=DBC. Вычислив величину угла CBA, определяется величина искомого угла.

Skip to content

An octagon is an eight-sided shape, such as a stop sign. Octagons can be regular or irregular. A regular octagon has sides that are congruent, or all equal. An irregular octagon has sides with different lengths. Once you have figured out the total number of degrees for all the angles, knowing whether the octagon is regular or irregular helps you determine the measure of any of the individual angles in the octagon. If you have an irregular octagon, you need to know the other seven angles to figure the unknown eighth angle.

Regular Octagons

Subtract two from the number of sides in an octagon. Since an octagon has eight sides, subtract two from eight to get six.

Multiply six by 180 to find the total number of degrees in an octagon equals 1,080.

Divide 1,080 by eight to find the measure of each interior angle if the octagon is regular. In a regular octagon, each angle measures 135 degrees.

Irregular Octagons

Subtract two from the number of sides in an octagon. Since an octagon has eight sides, subtract two from eight to get six.

Multiply six by 180 to find the total number of degrees in an octagon equals 1,080.

Add the angle measures of the seven known angles to find the sum of those angles. For example, if your seven known angles measure 100, 110, 120, 140, 150, 160 and 170, find the sum to be 950.

Subtract the measure of the seven known angles from 1,080 to find the measure of the unknown angle if you have an irregular polygon. Finishing the example, subtract 950 from 1,080 to find the unknown angle to be 130 degrees.

Things You’ll Need

• Calculator
• Protractor

Tips

• If you do not have the angles given to you, you can determine the angle measures with a protractor. To use a protractor, put the origin over the angle vertex and align the protractor with one of the angle sides. Then find the degree measure based on where the second side of the angle intersects the angle measurement on the protractor.

№12. Четырехугольник A B C D вписан в окружность. Угол ∠ A B C равен 70 ° , угол ∠ C A D равен 49 ° . Найдите угол ∠ A B D .

Решение:

Оба вписанных угла ∠ D A C и ∠ D B C опираются на одну дугу ∪ D C .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠ D A C = ∠ D B C = 49 °

Рассмотрим △ A B C :

∠ A B D + ∠ D B C = ∠ A B C

∠ A B D + 49 ° = 70 °

∠ A B D = 70 ° − 49 °

∠ A B D = 21 °

Ответ: 21

№13. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника △ A B C , в котором A B = B C и ∠ A B C = 177 ° . Найдите величину угла ∠ B O C .

Решение:

∠ A B C – вписанный, опирается на дугу ∪ A C .

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∪ A C = 2 ⋅ ∠ A B C = 2 ⋅ 177 ° = 354 °

∪ A B C = 360 ° − 354 ° = 6 °

Дуги ∪ A B и ∪ B C равны, так как их стягивают равные хорды.

∪ A B = ∪ B C = ∪ A B C 2 = 6 ° 2 = 3 °

∠ B O C – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠ B O C = ∪ B C = 3 °

Ответ: 3

№14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 ° . Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠ A = ∠ C = α

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .

α + α + 120 ° = 180 °

2 α = 180 ° − 120 °

2 α = 60 °

α = 30 °

Применим расширенную теорему синусов для стороны B C и угла ∠ B A C :

B C sin ∠ B A C = 2 R

14 0,5 = 2 R

2 R = 28

Поскольку диаметр окружности равен двум радиусам,

D = 2 R = 28

Ответ: 28

№15. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ∠ A B C .

Решение:

Равные хорды стягивают равные дуги. Правильный восьмиугольник разбивает окружность на восемь равных дуг. Градусная мера одной дуги равна

360 ° 8 = 45 °

∠ A B C – вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠ A B C = 45 ° + 45 ° + 45 ° + 45 ° 2 = 90 °

Ответ: 90

№16. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды A B и C D взаимно перпендикулярны, а ∠ B D C = 25 ° . Найдите величину угла ∠ A B D .

Решение:

∠ B A O = ∠ B D C = 25 ° , так как они опираются на одну и ту же дугу d.

Рассмотрим треугольник △ A B O , он прямоугольный, поэтому:

∠ A B O + 25 ° + 90 ° = 180 °

∠ A B O = 180 ° − 90 ° − 25 ° = 65 °

Ответ: 65

№17. На окружности по разные стороны от диаметра A B взяты точки M и N. Известно, что ∠ N B A = 38 ° . Найдите угол ∠ N M B .

Решение:

∠ N M B = ∠ N A B , так как они опираются на одну и ту же дугу.

∠ N A B найдем из треугольника △ A N B .

Так как по условию задачи A B – диаметр, ∠ A N B = 90 ° , то есть △ A N B прямоугольный.

∠ N A B + 38 ° + 90 ° = 180 °

∠ N A B = 180 ° − 90 ° − 38 °

∠ N A B = 52 ° = ∠ N M B

Ответ: 52

№18. Треугольник △ A B C вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника △ A B C , если ∠ A O B = 115 ° .

Решение:

∠ A O B – центральный.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Значит ∪ A B = 115 ° .

∠ A C B – вписанный, опирается на дугу ∪ A B

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠ A C B = ∪ A B 2 = 115 ° 2 = 57,5 °

Ответ: 57,5

№19. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ A O B = 120 ° . Длина меньшей дуги ∪ A B равна 67. Найдите длину большей дуги.

Решение:

1 способ:

Обозначим большую дугу за l.

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

∪ A B = π R 180 ° 3 ⋅ 120 ° 2 = 67

2 π R 3 = 67 ⇒ π R = 3 ⋅ 67 2

Центральный угол, который опирается на большую дугу l равен 360 ° − 120 ° = 240 ° .

Найдем длину дуги l по формуле:

l = π R 180 ° ⋅ 240 ° = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 240 ° 4 180 ° 3 = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 4 2 3 = 67 ⋅ 2 = 134

2 способ:

На большую дугу опирается угол в 240 ° , он в два раза больше, чем угол, который опирается на меньшую дугу. Значит длина большей дуги будет в два раза больше, чем длина меньшей дуги.

l = 2 ⋅ 67 = 134

Ответ: 134

№20. A C и B D – диаметры окружности с центром O. ∠ A C B = 78 ° . Найдите угол ∠ A O D .

Решение:

∠ A O D = ∠ B O C , так как они вертикальные.

Рассмотрим треугольник △ B O C . Он равнобедренный, O B = O C , так как они являются радиусами окружности.

Раз △ B O C равнобедренный, справедливо равенство: ∠ C B O = ∠ B C O = 78 ° .

∠ B O C + 78 ° + 78 ° = 180 °

∠ B O C = 180 ° − 78 ° − 78 °

∠ B O C = 24 °

Ответ: 24

№21. Центр окружности, описанной около треугольника △ A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол ∠ A B C , если ∠ B A C = 24 ° .

Решение:

Центр окружности лежит на стороне A B , значит A B – диаметр окружности, тогда ∠ A C B = 90 ° ,   так как является вписанным углом, опирающимся на дугу в 180 ° .

∠ A B C + 24 ° + 90 ° = 180 °

∠ A B C = 180 ° − 90 ° − 24 °

∠ A B C = 66 °

Ответ: 66

№22. В угол ∠ C = 71 ° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол ∠ A O B .

Решение:

O A и O B – радиусы окружности, которые проведены к точкам касания A и B соответственно.

Радиус, проведенный к точке касания, образует с касательной прямой угол.

Рассмотрим четырехугольник A B C D .

Сумма углов в четырехугольнике равна 360 ° .

∠ A O B + 71 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

∠ A O B = 360 ° − 90 ° − 90 ° − 71 °

∠ A O B = 109 °

Ответ: 109