Как найти величину в начальной школе

                   Понятие величины и её измерения

                      в начальном курсе математики.

                                                                                                 Выполнила:

                                                               Дубровская Вера Анатольевна,

                                                                                 студентка    кафедры

                                                                          начального образования

                                                      2014г.

Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики.

          Длина, площадь, масса, время, объём — величины.    Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.
        ВЕЛИЧИНА – это     особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность   заключается в том, что это  свойство можно измерить, то есть назвать количество  величины, которые    выражают  одно  и тоже свойство объектов,   называются величинами  одного рода  или  однородными величинами.         Например, длина стола и дли на комнаты — это однородные величины. Величины — длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.
        1)Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна  меньше  (больше)  другой. То есть,  для величин  одного  рода имеют место отношения «равно»,  «меньше»,  «больше»  и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника;

масса лимона меньше, чем масса   арбуза;   длины  противоположных   сторон прямоугольника равны.
       2)Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b — длина отрезка ВС , то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;
       3)Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина  b= x  а,  величину b называют произведением величины а   на число  x. Например, если  a — длину  отрезка  АВ умножить на 
x= 2, то получим длину нового отрезка АС .
         4)Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а —  длина отрезка АС, b —  длина отрезка AB, то длина отрезка ВС  есть разность длин отрезков и АС и АВ.
         5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что     а= х b. Чаще это число — называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b 
=х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2. 
         6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1  меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью — их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение — заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. 
          Величины,  которые  вполне  определяются  одним  численным значением,  называются  скалярными  величинами.   Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в  математике   рассматривают ещё  векторные величины.   Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но  и  направление.  Векторными  величинами  являются  сила,  ускорение, напряжённость  электрического  поля  и  другие.
          В начальной школе рассматриваются только скалярные величины,  причём такие,  численные  значения  которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Длина отрезка и её измерение.
          Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:
1. равные отрезки имеют разные длины;
2. если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
          Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут:      а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n  раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n  раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а   есть бесконечная десятичная дробь.
           Итак, при выбранной единице,   длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , … то взяв его приближение с определённой 
точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …Площадь фигуры и её измерение
          Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше;  что площадь  квартиры  слагается  из площади  комнат и площади  других  её  помещений.
          Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры.Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других   ограниченных   выпуклых  фигур,  или  площадь  круга,  или площадь поверхности тел вращения и так далее.

          В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F,  составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. 

           Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:
I. равные фигуры имеют равные площади;
2. если фигура составлена из конечного числа фигур, то  её  площадь равна сумме  их  площадей.  Если  сравнить  данное  определение  с определением длины  отрезка, то  увидим, что  площадь  характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина — на множестве отрезков, а площадь — на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

             Площадь квадрата со стороной e обозначают e . Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m .
Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e .Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Масса и её измерение
           Масса — одна из основных физических величин. Понятие массы тела тесно  связано с  понятием  веса-силы, с которой тело притягивается Землёй. Поэтому вес тела зависит не только  от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5 % больше, чем на экваторе. Однако  при  своей  изменчивости  вес  обладает  особенностью: отношение весов двух тел в любых условиях остаётся неизменным. При измерении веса тела путём сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а на другую чашку положили  второе тело b. При этом возможны случаи: 
         1) Вторая чашка весов опустилась, а первая поднялась так, что они оказались в результате на одном уровне. В этом случае говорят, что весы находятся в равновесии, а тела а и b имеют равные массы.
         2) Вторая чашка весов так и осталась выше первой. В этом случае говорят, что масса тела а больше массы тела b.
         3) Вторая чашка опустилась, а первая поднялась и стоит выше второй. В этом случае говорят, что масса тела а меньше тела b.
         С математической точки зрения масса — это такая положительная величина,  которая  обладает  свойствами:
        1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
        2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых равна сумме их масс. Если сравнить данное определение с определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что длина и площадь, но задана на множестве физических тел.
         Измерение массы производится с помощью весов. Происходит это следующим образом. Выбирают тело e, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его долю, как грамм: 1г= 0,01кг.
         На одну чашку весов кладут тело, массу тела кого того измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили  первую  чашку  весов.  

         В  результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение  приближённое. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350следует рассматривать как значение массы данного тела ( при единице массы – грамм). Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, то есть сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при одной и той же единице массы).
Основная единица массы — килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и другие.Промежутки времени и их измерение
          Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. В обыденной жизни время — это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, 
потому   что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.
         Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит больше времени, чем велосипедист.
         Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько же времени, сколько два урока в школе.
        Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины, площади или массы. Для измерения длины   можно многократно использовать линейку, перемещая её с точки на точку. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются  и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком. 
        Год — это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки — это время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365   суток. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому четвёртому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.
         В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье — днём недельным  (когда нет дел) или просто неделей, т.е. днём отдыха. Названия следующих пяти дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник — сразу после неделя, вторник — второй день, среда — середина, четвёртые и пятые сутки соответственно четверг и пятница, суббота — конец дел.
         Месяц не очень определённая единица времени, он может состоять из тридцати одного дня, из тридцати и двадцати восьми, двадцати девяти в високосные годы (дней). Но существует эта единица времени с древних времён и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг 
Земли Луна делает примерно за 29,5 суток, и за год она совершает примерно 12 оборотов. Эти данные послужили основой для создания  древних  календарей,   а   результатом   их многовекового усовершенствования является тот календарь, которым мы пользуемся и сейчас.
          Так как Луна совершает 12 оборотов вокруг Земли, люди стали считать полнее число оборотов  (то есть 22) за год, то есть год – 12 месяцев.
           Современное деление суток на 24 часа также восходит к глубокой древности, оно было введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне, а в том, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд, сказывается влияние    шестидесятеричной    системы    счисления,
изобретённой  вавилонскими учёными.
Объём и его измерение.
Понятие объёма определяется так же, как понятие площади. Но при рассмотрение понятия площадь, мы рассматривали многоугольные фигуры, а при рассмотрении понятия объём мы будем рассматривать многогранные Фигуры.
Объёмом фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой Фигуры так, что:
1/равные фигуры имеют один и тот же объём; 
2/если фигура составлена из конечного числа фигур, то её объём равен сумме их объёмов.
Условимся объём фигуры F обозначать V(F).
Чтобы измерить объем фигуры, нужно иметь единицу объёма. Как правило, за единицу объёма принимают объём куба с гранью, равной единичному отрезку e, то есть  отрезку, выбранному в качестве единицы длины.
Если измерение площади сводилось к сравнению площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e ,  то, аналогично, измерение объёма данной фигуры состоит в сравнении   его  с  объёмом   единичного   куба   е3 . Результатом этого сравнения является такое число x, .чтоV(F)=х  е.Число х называют численным значением объёма при выбранной единице объёма.
        Так если единицей объёма является 1 см, то объём фигуры, приведённой на рисунке 7, равен 4 см.
         Современные подходы к изучению величин в начальном курсе математики.
         В начальных классах рассматриваются такие величины, как: длина, площадь, масса, объём, время и другие. Учащиеся должны получить конкретные представления об   этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерений в различных единицах, выполнять различные действия над ними.
         Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей;  обучение измерении связывается  с

изучением счёта;  измерительные  и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются   при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение:   математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

Н. Б. Истомина, преподаватель математики и автор одной из альтернативных программ, выделила 8 этапов изучения величин:

1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).                                                                
2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).
3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.
4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.
5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.
6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.
7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
8-й этап: умножение и деление величин на число.
В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий:

ВЕЛИЧИНА –> ЧИСЛО 
Рассмотрим подробнее методику изучения длины, площади, массы, времени, объёма.Методика изучения длины и её измерения.

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с длины предметов. Первые представления о длине как о свойстве предметов у детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямей линией и отрезком как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.
Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой поезд длиннее, с зелёными вагонами или с красными вагонами? Какой поезд короче?»
       Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по размеру (по длине) практически — наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой ремень короче (длиннее) светлый или тёмный?» Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой — либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка.
Здесь длина выступает как свойство отрезка.
       На следующем этапе происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков. Из множества отрезков выбирают отрезок, который принимают за единицу. Таковым является 

сантиметр. Дети узнают его название и приступают к измерению с помощью этой единицы. Чтобы дети  получили  наглядное  представление о сантиметре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами изготовили модель сантиметра; начертили отрезок длиной 1см в тетради. Нашли, что ширина мизинца примерно равна 1 см.
        Далее учащихся знакомят с измерительным прибором и измерением отрезков с помощью прибора. Чтобы дети ясно поняли процесс измерения и что показывают числа, полученные при измерении. Целесообразно постепенно переходить от простейшего приёма укладывания модели сантиметра и их подсчета к более трудному — отмериванию. Только затем приступают к измерению способом прикладывания линейки или рулетки, к начерченному отрезку.
        Для того, чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной, то есть поняли, что в результате измерения они получают число, которое можно складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и вычитания использовать ту же линейку. Например, ученикам даётся полоска; требуется с помощью линейки определить её длину. Линейка прикладывается так, чтобы 0 совпал с началом полоски, а её конец совпал с цифрой 3 (если длина полоски равна 3 см). Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить линейку так, чтобы начало полоски совпало с числом 2, с каким числом на линейке совпадёт тогда конец полоски. Почему?». Некоторые учащиеся сразу называет число 5, объясняя, что 2+3=5. Тот, кто затрудняется, прибегает к практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений. Возможны аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие — вычитание. Для этого ученики сначала определяют длину предложенной полоски, например, 4см, а затем учитель спрашивает: «Если конец полоски совпадает с числом 9 на линейке, то с каким числом совпадёт начало полоски?»(5; 9-2=5). Для формирования измерительных навыков включается система разнообразных упражнений. Это измерение и черчение отрезков; сравнение отрезков, чтобы ответить на вопрос: на сколько сантиметров один отрезок длиннее (короче)  другого отрезка; увеличение и уменьшение отрезков на несколько сантиметров. В процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие длины как числа сантиметров, которые укладываются в данном отрезке. Позднее, при изучении нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения — дециметр, а затем метр. Работа проходит в таком же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения. С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.
       Далее рассматривают преобразования величин: замену крупных единиц мелкими (3дм 5см = 35см) и мелких единиц крупными (45см = 4дм 5см).
Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки меньшие 1 сантиметра.
       При знакомстве с километром полезно провести практические тяготы на местности, чтобы сформировать представление об этой единице измерения.
        В 3-4  классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц длины и их отношений.
        Начиная со 2   класса дети в процессе решения задач знакомятся с нахождением длины косвенным путём. Например, зная длину данного класса и количество классов на втором этаже, вычисляет длину школы; зная высоту комнат и количество этажей в доме, можно приблизительно
вычислить высоту дома и тому подобное.
         Работу над этой темой можно продолжить на внеклассных занятиях, например, рассмотреть старинные русские меры: верста, сажень, вершок. Познакомить учащихся с некоторыми сведениями из истории развития системы мер. Методика изучения площади и её измерение.
           В методике работы над площадью фигуры имеется много общего с работой над   длиной отрезка, то есть  работа проводится почти аналогично.

         Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» начинается с

 уточнения представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их размерами.
         Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь» выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой.
        «В этом случае, — говорит учитель, — в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры». Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат. После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков.
         Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой.
         Возникает вопрос: какая фигура может быть использована, в качестве мерки для сравнения площадей?
        Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади квадрата M – M , или прямоугольник, равный половине площади квадрата М – М  или 1/4площади квадрата M. Это может быть квадрат M  или треугольник М.
        Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число в каждом.
         В результате выясняется, что площадь прямоугольника равна 20, а площадь квадрата 36.
«Как же так, — говорит учитель, — получается, что в прямоугольнике уложилось мерок меньше, чем в квадрате? Может быть вывод, который мы сделали раньше, о том, что площадь квадрата больше площади прямоугольника, неверен?»
       Поставленный вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для сравнения площадей необходимо пользоваться единой меркой. Для осознания этого факта учитель может предложить выложить  разные фигуры из четырёх квадратов или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой. После того, как задание выполнено, полезно выяснить;
• чем построенные фигуры похожи? (они состоят из четырёх        одинаковых квадратов).
• можно ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы?

 (дети могут проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других).
        Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратиками, получаем число 10, измеряя прямоугольником, состоящим из двух квадратиков, получаем число 5. Если мерка равна 1/2 квадратика, то получаем 29,если 1/4 квадратика, то получаем 40.
        Дети подмечают, что каждая следующая мерка состоит из двух предыдущих, то есть, её площадь больше площади предыдущей мерки в 2 раза.
       Отсюда вывод, во сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз увеличилось численное значение площади данной фигуры.
       С этой целью можно предложить детям такую ситуацию. Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры (фигура предварительно чертится в тетрадях или на листочках). В результате каждый ученик получил в ответе первый — 8, второй — 4, а третий -2.  

       Учащиеся догадываются, что результат зависит от той мерки, которой пользовались ученики при измерении. Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади -1 см (квадрат со стороной 1см). Модель 1см вырезается из плотной бумаги. С помощью этой модели измеряются площади различных фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры, значит узнать сколько квадратных сантиметров она содержит.
        Измеряя площадь фигуры с помощью модели, школьники убеждаются в том, что укладывать 1см в фигуре неудобно и занимает много времени. Гораздо удобнее использовать прозрачную пластину, на которую нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой. Учитель знакомит с правилами пользования палеткой.  Она накладывается на произвольную фигуру. Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а).            Затем  подсчитывается  число  неполных  квадратных сантиметров (пусть оно равно b) делится на 2.(а+b):2. Площадь фигуры приблизительно равна (а+b):2см. Наложив палетку на прямоугольник дети легко находят его площадь. Для этого подсчитывают число квадратных сантиметров в одном ряду потом считают число рядов и перемножают полученные числа: а b (см). Измеряя линейкой длину и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание на то, что число квадратов, которые укладываются по длине, давно численному значению длины прямоугольника, а число строк совпадает с числовым значением ширины.
        После того, как учащиеся убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину и перемножить эти числа. Впоследствии правило формулируется более кратко: площадь прямоугольника равна его длине умноженной на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.
        В тоже время учащиеся приступают к сопоставлению площади и периметра многоугольников с тем, чтобы дети не смешивали эти понятия, а в дальнейшем чётко различали способы нахождения площади и периметра многоугольников. Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами,   дети   подсчитывают   число   квадратных сантиметров и тут же вычисляют периметр многоугольника в сантиметрах.
         Наряду с решением задач на нахождение площади прямоугольника по данным длине и ширине, решают обратные задачи на нахождение одной из сторон, по данным площади и другой стороне.
        Площадь — это произведение чисел, полученных при измерении длины и ширины прямоугольника, значит, нахождение одной из сторон прямоугольника сводится к нахождению  неизвестного  множителя  по  известным произведению и множителю. Например, площадь садового участка 100м, длина участка 25м. Какова его ширина? (100:25=4)
         Кроме простых задач, решаются и составные задачи, в которых наряду с площадью включается и периметр. Например: «Огород имеет форму квадрата, периметр которого 320 м. Чему равна площадь огорода?  
1) 320:4=80(м)- длина огорода; 2) 80*80=1600(м)- площадь огорода.

 Объём фигуры и его измерение.
         Программа по математике предусматривает наряду с рассмотренными величинами знакомство с объёмом и его измерением с помощью литра. Так же рассматривается объём пространственных геометрических фигур и изучаются такие единицы измерения объёма, как кубический сантиметр и кубический дециметр, а так же их соотношения. Методика изучения времени и его измерения. Время является самой трудной для изучения величиной. Временные представления у детей развиваются медленно в процессе длительных наблюдений, накопления жизненного опыта, изучения других величин.
         Временные представления у первоклассников формируются прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре кинофильмов, ежедневная запись в тетрадях даты работы — всё это помогает ребёнку увидеть и осознать изменения времени, почувствовать течение времени.
          Начиная с первого класса, необходимо приступать к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков.      Например, что длится дольше: урок или перемена, учебная четверть или зимние каникулы; что короче учебный день ученика в школе или рабочий день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. В процессе решения задач, связанных с понятием разности, дети приступают к сравнению возраста людей и постепенно овладевают важными понятиями: старше — моложе — одинаковые по возрасту. Например, «Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату?» «Мише 10 лет, а сестра моложе его на 3 года. Сколько лет сестре?» «Свете 7 лет, а её брату 9 лет. Сколько лет будет каждому из них через 3 года?» 
— на осознание течения времени.

         Знакомство с единицами времени способствует уточнению временных представлений детей. Знание количественных отношений единиц времени помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах.
       С помощью календаря учащиеся решают задачи на нахождение продолжительности события. Например, сколько дней длятся весенние каникулы? Сколько месяцев длятся летние каникулы? Учитель называет начало и конец каникул, и учащиеся подсчитывают число дней и месяцев по календарю. Надо показать, как быстро подсчитать» число дней, зная, что в неделе 7 дней. Аналогично решаются обратные задачи.
        Единицы времени, с которыми знакомятся дети в начальной школе: неделя, месяц, год, век, сутки, час, минута, секунда.
        Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер, которую следует повесить в классе на некоторое время, а так же систематические упражнения в преобразовании величин, выраженных в единицах времени, их сравнении, нахождении различных долей любой единицы времени, решение задач на вычисление времени.
         В 3 (1-3) классе рассматривают простейшие случаи сложения и вычитания величин, выраженных в единицах времени. Не обходимые преобразования единиц времени здесь выполняют попутно, без предварительной замены заданных величин.  Чтобы  предупредить ошибки  в вычислениях, которые намного сложнее, чем вычисления с величинами, выраженными в единицах длины и массы, рекомендуется давать вычисления в сопоставлении:
30мин 45сек — 20мин58 сек;
30м 45см — 20м 58см;
30ц 45кг — 20ц 58кг;
        Для развития временных представлений используется решение задач на вычисление продолжительности событий, его начала и конца. 
         Простейшие задачи на вычисление времени в пределах года (месяца) решаются с помощью календаря, а в пределах суток — с помощью модели часов.
Методика изучения массы и её измерения.

     Первые представления о том, что предметы имеют массу, дети получают в жизненной практике ещё до школы. До понятийные представления о массе сводятся к свойству предметов «быть легче» и «быть тяжелее».
     В начальной школе учащиеся знакомятся с единицами массы: килограммом, граммом, центнером, тонной. С прибором, при помощи которого измеряют массу предметов — весами. С соотношением единиц массы.
     На этапе сравнения однородных величин, выполняются упражнения в отвешивании: отвешивают 1,2,3 килограмм соли, крупы и т.д. В процессе выполнения подобных заданий, дети должны активно участвовать в работе с весами. Попутно происходит знакомство с записью полученных результатов.    Далее дети знакомятся с набором гирь:1кг, 2кг, 5кг и затем приступают  к  взвешиванию  нескольких специально подобранных предметов, масса которых выражается целым числом килограмм. При изучении грамма, центнера и тонны устанавливаются   их   соотношения   с   килограммом, составляется и заучивается таблица единиц массы. Затем приступают к преобразованию величин, выраженных в единицах массы, заменяя мелкие единицы крупными и обратно. Например, масса слона 5 тонн. Сколько это центнеров? килограммов? Вырази в килограммах: 12т 96кг, 9385г, 68ц, 52ц 5 кг; в граммах:13кг 125г, 45кг 13г, 6ц, 18кг?
Так же сравнивают массы и выполняют арифметические действия над ними. Например, вставь числа в « окошки», чтобы получились верные равенства:
7т 2ц+4ц=_ц;9т 8ц-6ц=_ц.
     В процессе этих упражнений закрепляются знания таблицы единиц массы. В процессе решения простых, а затем и составных задач, учащиеся устанавливают и используют взаимосвязь между величинами : масса одного предмета -количество предметов — общая масса данных предметов,

 учатся вычислять каждую из величин, если известны численные значения двух других.
  Заключение.
      Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью — их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение — заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. 
        Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.
         В начальной школе рассматриваются только скалярные величины,  причём такие,  численные  значения  которых положительны, то есть положительные скалярные величины.
        Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению   чисел

Изучение понятия «Величина» в начальном
курсе математики.

Автор: Галишникова Л.Ю.,

учитель начальных классов

Обучение математике является важнейшей частью
начального образования. Начальный курс математики является интегрированным
курсом и объединяет в себе арифметические, алгебраические и геометрические
основы.   Через весь этот материал единой линией проходит изучение величин. Понятие
«величины», наряду с понятием «числа» является важнейшим понятием курса
математики в начальной школе.

Арифметические
основы связаны с вычислениями, производимыми над
многозначными числами. В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых
положительных) и дробей (простых и десятичных). Первые связаны со счётом
предметов, вторые — с измерением величин.

Алгебраические
основы связаны с  тождественными преобразованиями,
алгебра изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют
числовой оболочки. Некоторые количественные отношения могут быть выражены без
чисел и до чисел, например, в отрезках, объёмах и т.д. (отношение «больше»,
«меньше», «равно»). 

Разделение школьного курса
математики на  алгебру и арифметику условное. Этот переход происходит
постепенно. Одним из центральных понятий начального курса математики является
понятие натурального числа, которое трактуется, во-первых, как количественная
характеристика класса эквивалентных множеств, а во-вторых, его  понятие
раскрывается на конкретной основе в результате оперирования множества и
измерения величин. С термином «величина» связывается другой термин —
«измерение».

Если рассматривать понятие
«величина» в общем употреблении, то оно связано с понятиями «равно»,
«больше», «меньше», которые описывают самые различные качества.

А множество предметов только
тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии,
позволяющие установить относительно любых его элементов А и В, будет ли А равно
В, больше В или меньше В. При этом для любых двух элементов А и В имеет место
одно и только одно из этих соотношений. «Устанавливая критерии сравнения, мы
претворяем множество в величину»,- писал российский и советский математик,
В.Ф.Коган.

В практике же величиной обычно обозначают
как бы не само множество элементов, а новое понятие, введенное для различения
критериев сравнения «наименование величины». Так возникают понятия «объём»,
«вес», «длина» и т.д. «При этом для любого математика величина вполне
определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения»,- отмечал
В.Ф.Коган.

Работая с величинами,
можно производить сложную систему преобразований, устанавливая зависимость их
свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя сложение и вычитание.
Натуральные и действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и
некоторыми их существенными особенностями.

Работу с числовым рядом удобно сочетать со сравнением
чисел по величине, а также со сравнением положения чисел на числовой прямой.
Постепенно вырабатываются связи суждений геометрического характера:
число 4 находится на числовой прямой правее числа 3; значит 4 больше 3. И наоборот:
число 3 находится левее числа 4, значит число 3 меньше числа 4. Так
устанавливается связь между парами понятий: правее — больше, левее — меньше.

Тема: «Величины» изучается в процессе всего курса
«Математика» начальной школы, при этом у детей формируются представления о
величинах, как  о некоторых свойствах предметов и явлений, связанное с
измерением; происходит познание окружающей действительности, а также рассматриваются
все свойства величин: сравнение, измерение, сложение и вычитание, умножение  и
деление на число однородных величин.  За 4 года обучения младшие школьники
знакомятся с такими величинами и единицами их измерения, как: длина, масса,
емкость, время, площадь, скорость, стоимость. Методика изучения величин в
начальном образовании является естественным продолжением методики ознакомления
с величинами детей в дошкольном образовании.

Распределение материала по классам представлено 
концентрически, с учетом познавательных и возрастных возможностей.

Новые единицы измерения вводятся постепенно, вслед за
введением соответствующих счетных единиц;  результатом измерения величины
является числовое значение, выполняющее функцию мерки, и служит для определения
отношения одной величины к другой.

Изучение величин — это одно из средств связи обучения
математики с жизнью. Учащиеся приобретают ЗУН измерения, учатся правильно
пользоваться измерительными инструментами (линейкой, весами, часами), а знание
зависимости между величинами помогает создать у детей целостные представления
об окружающем мире.   Изучение величин также способствует усвоению многих
вопросов курса математики и способствует дальнейшему изучению математики в
старшей школе. Так величины рассматриваются в тесной связи с изучением
натуральных чисел и дробей; обучение измерению связывается с обучением счёту; арифметические
действия выполняются как над натуральными числами, так и над величинами, а
измерительные и графические действия над величинами являются наглядными
средствами при решении задач.  Так как соотношение единиц измерения величин,
кроме единиц измерения времени, основано на десятичной системе счисления, то изучение
темы «Величины» способствует лучшему пониманию закономерностей десятичной
системы счисления.

Само понятие «Величина» в начально курсе «Математика»
дается без определения. Оно раскрывается только на конкретных примерах через
практические действия детей.

«Следует коснуться некоторых особенностей данного понятия,
руководствуясь которыми учитель будет формировать у детей интуитивное понятие
величины.

Во-первых, величина — это некоторое свойство
предметов.

Во-вторых, величина — это такое свойство предметов,
которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим
свойством в равной мере.

В-третьих, величина — это такое свойство, которое
позволяет сравнивать предметы и устанавливать, какой из них обладает данным
свойством в большей мере.

Усвоения названных особенностей данного понятия учитель
достигает посредством использования в своей работе различных практических
заданий познавательного характера, представляющих своего рода проблемные
ситуации, решение которых учащиеся находят в процессе самостоятельных
практических действий.

Величины — это особые свойства реальных объектов или
явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной.
Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных объектов.
Поэтому про длины конкретных объектов говорят, что это величины одного рода.
Вообще однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого
множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов. Так,
длина и площадь — это разнородные величины.

Величины обладают рядом свойств:

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо
равны, либо одна меньше другой. Иными словами, для величины одного рода имеют
место отношения «равно», «меньше» и «больше» и для любых величин аи в
справедливо одно и только одно из отношений: а<в, а=в, а>в.

2.Величины одного рода можно складывать, в результате
сложения получиться величина того же рода. Другими словами, для любых двух
величин a и b однозначно определяется величина a + b,ее называютсуммой величин
a и в.

3.Величину умножают на действительное число, получая в
результате величину того же рода. Другими словами, для любой величины а и
любого не отрицательного действительного числа х существует единственная
величина в=х?а; величину в называют произведением величины а на число х.

4. Величины одного рода вычитают, определяя разность
величин через сумму: разность величин а и вназывается такая величина с, что
а=в+с.

5. Величины одного рода делят, определяя частное через
произведение величины на число: частнымвеличина а и в называется такое
неотрицательное действительное число х, что а=х?в. Чаще это число хназывают
отношением величин а и в и записывают в таком виде: а:в=х.

Сравнивая величины непосредственно, мы можем
установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат
сравнения, например, узнать, на сколько масса одного тела больше массы другого,
необходимо величины измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины
с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения
зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей —
другой, для масс третий и т.д. Но каким бы он ни был этот процесс, в результате
измерения величина получает определенное численное значение при выбранной
единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины
е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х,
что а=х.е. Это число х называют численным значением величины а при единице
величины е. Последнее предложение можно записать в символической форме:
х=те(а).

Согласно определению любую величину можно представить
в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например,
7кг=7.1кг, 12см=12.1см, 3ч=3.1ч.

Величины, которые вполне определяются одним численным
значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина,
площадь, объём, масса.

Мы будем рассматривать только скалярные величины и
причём такие, численные значения которых положительны, т.е. положительные
скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к
сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над
числами.

1. Если величины а и в измерены при помощи единицы
величины е, то отношения между величинами а и в будут такими же, как и
отношения между их численными значениями, и наоборот:

Например, если массы двух тел таковы, что а=5кг,
в=3кг, то можно утверждать, что масса а больше массы в, поскольку 5>3.

2. Если величины а и в измерены при помощи единицы
величины е, то, чтобы найти численное значение суммы а + в, достаточно сложить
численные значения величин а и в.

Например, если а=15кг, b=12кг, то a + b =15кг +
12кг=(15 + 12) кг=27кг.

3. Если величины a и b таковы, что b= x . a, где x —
положительное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы
величины е, то, чтобы найти численное значение величины b при единице е,
достаточно число х умножить на численное значение отрезка a:

Например, если масса b в 3 раза больше массы а, т.е.
b=3a, и а=2кг, то b=3a=3 . (2кг)=(3.2)кг=6кг». [2, стр.164]

Изучение величин имеет прикладной характер. Дети
непосредственно учатся измерять длину отрезков с помощью линейки, рулетки; с
помощью весов определяют массу тел; используя термометр измеряют температуру
воздуха, учатся по часам определять время; по календарю – даты; с помощью
жидкости-вместимость емкостей; палеткой измеряют площадь.

   В ходе
формирования практических умений и навыков развиваются внимание, память,
наблюдательность, совершенствуется моторика, тактильные и зрительные восприятия
и ощущения. Все это служит решению задач коррекции как познавательной
деятельности, так личностных качеств детей.

Работа по изучению «величины и
ее измерения» имеет первостепенное значение для всего начального раздела
математики, так как связана с построением в деятельности ребёнка системы
отношений, выделяющих величины как основу дальнейших преобразований.

Литература:

1.     http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2011/12/01/izuchenie-algebraicheskogo-materiala-v-nachalnoy-shkole (вхождение 04.11.15, Авторская работа по теме: «Изучение
алгебраического материала в начальной школе», Аверьякова Н.Н.)

2.     Стойлова Л.П., Пышкало А.М., Основы начального курса
математики: М.,ПРОСВЕЩЕНИЕ,1988г.

Основные величины, изучаемые в начальной школе

1. Понятие
   величины.

2. Длина.

3. Масса
   и емкость.

4. Площадь.

5. Время.

6. Скорость.

7. Действия
   с именованными числами.

1. Понятие величины

В
математике под величиной
понимают
такие свойства предметов, которые
поддаются количественной
оценке.
Количественная
оценка
величины называется измерением.
Процесс
измерения предполагает
сравнение данной величины с некоторой
мерой,
принятой
за
единииу
при
измерении величин этого рода.

К
величинам относят длину, массу, время,
емкость (объем), площадь.

Все
эти величины и единицы их измерения
изучаются в начальной
школе. Результатом процесса измерения
величины является определенное
численное
значение,
показывающее
— сколько раз выбранная
мера «уложилась» в измеряемую величину.

В
начальной школе рассматриваются только
такие величины, результат
измерения которых выражается целым
положительным числом (натуральным
числом). В связи с этим, процесс знакомства
ребенка с величинами и их мерами
рассматривается в методике как
способ расширения представлений ребенка
о роли и возможностях
натуральных чисел. В процессе измерения
различных величин ребенок упражняется
не только в действиях измерения, но и
получает новое представление о неизвестной
ему ранее роли натурального
числа. Число
— это
мера
величины,
и
сама идея числа была
в большой мере порождена необходимостью
количественной оценки
процесса измерения величин.

При
знакомстве с величинами можно выделить
некоторые общие
этапы, характеризующиеся общностью
предметных действий ребенка,
направленных на освоение понятия
«величина».

На
1-ом этапе
выделяются
и распознаются свойства и качества
предметов,
поддающихся сравнению.

Сравнивать
без измерения можно длины (на глаз,
приложением и наложением), массы
(прикидкой на руке), емкости (на глаз),
площади (на глаз и наложением), время
(ориентируясь на субъективное ощущение
длительности или какие-то внешние
признаки этого
процесса: времена года различаются по
сезонным признакам в
природе, время суток — по движению
солнца.).

На
этом этапе важно подвести ребенка к
пониманию того, что есть
качества предметов субъективные (кислое
— сладкое) или объективные,
но не позволяющие провести точную оценку
(оттенки цвета),
а есть качества, которые позволяют
провести точную оценку
разницы (на сколько больше — меньше).

На
2-ом этапе
для
сравнения величин используется
промежуточная мерка. Данный этап очень
важен для формирования представления
о самой идее
измерения посредством
промежуточных
мер.
Мера
может быть произвольно выбрана ребенком
из окружающей
действительности для емкости — стакан,
для длины — кусочек шнурка,
для площади — тетрадь. (Удава можно
измерять и
в Мартышках, и в Попугаях.)

До
изобретения общепринятой системы мер
человечество активно
пользовалось естественными мерами —
шаг, ладонь, локоть.
От естественных мер измерения произошли
дюйм, фут, аршин, сажень, пуд. Полезно
побуждать ребенка пройти этот этап
истории развития измерений, используя
естественные меры своего тела как
промежуточные.

Только
после этого можно переходить к знакомству
с общепринятыми
стандартными мерами и измерительными
приборами (линейка,
весы, палетка.). Это будет уже 3-й
этап
работы
над знакомством с величинами.

Знакомство
со стандартными мерами величин в школе
связывают
с этапами изучения нумерации, поскольку
большинство стандартных
мер ориентировано на десятичную систему
счисления: 1
м •= 100 см, 1 кг = 1000 г. Таким образом,
деятельность измерения
в школе очень быстро сменяется
деятельностью преобразования численных
значений результатов измерения. Школьник
практически не занимается непосредственно
измерениями и работой
с величинами, он выполняет арифметические
действия с заданными ему условиями
задания или задачи численными значениями
величин (складывает, вычитает, умножает,
делит), а также занимается
так называемым переводом значений
величины, выраженной в одних наименованиях,
в другие (переводит метры в сантиметры,
тонны в центнеры.). Такая деятельность
фактически формализует
процесс работы с величинами на уровне
численных преобразований.
Для успешности этой деятельности нужно
хорошо
знать наизусть все таблицы соотношений
величин и хорошо владеть
приемами вычислений. Для многих школьников
эта тема является
трудной только по причине необходимости
знать наизусть большие
объемы численных соотношений мер
величин.

Наиболее
сложна в этом плане работа с величиной
«время». Данная
величина сопровождается наибольшим
количеством чисто условных
стандартных мер, которые не только надо
запомнить (час,
минута, день, сутки, неделя, месяц.), но
и выучить их соотношения,
которые заданы не в привычной десятичной
системе счисления
(сутки — 24 часа, час — 60 минут, неделя —
7 дней.).

В
результате изучения величин учащиеся
должны овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:

1. познакомиться с
   единицами каждой величины, получить
   наглядное
   представление о каждой единице, а также
   усвоить соотношения
   между всеми изученными единицами каждой
   из величин, т.
   е. знать таблицы единиц и уметь их
   применять при решении практических
   и учебных задач;

2. знать,
   с помощью каких инструментов и приборов
   измеряют каждую
   величину, иметь четкое представление
   о процессе измерения
   длины, массы, времени, научиться измерять
   и строить отрезки
   с помощью линейки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В содержании начального курса математики можно выделить следующие основные разделы (содержательные линии):

• нумерация целых неотрицательных чисел;
• арифметические действия и их свойства;
• величины и их измерение;
• алгебраическая пропедевтика;
• геометрическая пропедевтика;
• текстовые задачи.

Практика показывает, что тема «Величины, их измерение. Измерение геометрических величин» является одним из трудных в изучении разделов начального курса математики [1].

Остановимся подробнее на содержании указанного раздела, попытаемся выявить трудности и ошибки, возникающие у учащихся при его изучении и причины их возникновения.

Содержание раздела «Величины и их измерение. Измерение геометрических величин» включает следующие вопросы:

• понятие о величине;
• измерение величин, единицы измерения величин, соотношения между ними;
• преобразования величин;
• действия с однородными величинами, выраженными в единицах одного или нескольких наименований (сравнение, сложение, вычитание, умножение на число, деление на число).

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом, временем. Особое внимание в начальной школе уделено периметру и площади прямоугольника (квадрата), величинам, связанным между собой пропорциональной зависимостью. В государственном стандарте начального общего образования выделены группы величин, характеризующих процессы: «движения» (скорость, время, пройденный путь); «купли продажи» (цена – количество товара стоимость); «работы» (производительность труда, время работы, объем всей работы).

При изучении данного раздела типовыми являются задания: «Измерьте длину отрезка», «Выполните действия» (с величинами), «Найдите периметр (площадь) прямоугольника (квадрата) с заданными сторонами» и др.

Анализ результатов выполнения типовых заданий показывает, что чаще всего учащиеся допускают ошибки в преобразованиях величин, в действиях с величинами, выраженными в различных единицах, в ходе решения задач на нахождение периметра (площади) прямоугольника (квадрата), при записи единиц периметра (площади) прямоугольника (квадрата), в ходе решения составных задач с пропорциональными величинами. Причинами возникновения указанных ошибок являются:

• несформированность понятия о величине, в частности, о периметре и площади фигуры;
• незнание единиц измерения величин и соотношения между ними;
• незнание алгоритмов преобразования величин, действий с величинами, выраженными в одинаковых или разных единицах;
• несформированность общего умения решать текстовые задачи.

Рассмотрим методические рекомендации, позволяющие учителю повысить результативность изучения основных вопросов данного раздела.

Понятие о величине

Формируя понятие о той или иной величине, учителю, прежде всего, необходимо:

• выявить первоначальные представления учащихся о величине;
• уточнить их, конкретизировать, систематизировать.

Среди величин, изучаемых в начальной школе, выделяют геометрические величины: длину, площадь, объем. Изучение геометрических величин, в частности понятия о величине, проводится с опорой на

привычные для детей представления о величине.

Например, длина рассматривается, как свойство объекта обладать протяженностью.

Длина отрезка – это протяженность от одного его конца до другого, длина пути

• протяженность от начального пункта до конечного.

Площадь рассматривается, как свойство объекта занимать определенное место на плоскости.

Объем – как свойство объекта занимать определенное место в пространстве.

В работе по формированию понятия об этих величинах учителю необходимо опираться на указанные представления, раскрывать их содержание через различные учебные задания.

Например: «Определи, какая фигура занимает большее место».

При знакомстве с общепринятыми единицами длины, площади, объема целесообразно использовать наглядность, прием сравнения, учебные задания.

Задание № 1. Выбери мерку для измерения длины отрезка. Обоснуй свой выбор.

Задание № 2. Как измерить длину данного отрезка, используя мерку 1 см? В каких единицах будет выражена длина? (Ответ: Надо посчитать, сколько раз мерка 1 см укладывается в отрезке. В сантиметрах).

В дальнейшем при изучении единиц площади, учащимся предлагают аналогичные задания.

Задание № 3. Выбери мерку для измерения площади прямоугольника. Обоснуй свой ответ.

Задание № 4. Удобно ли мерку 1 см использовать для измерения площади прямоугольника, то есть для определения места, которое занимает прямоугольник? Почему?

Задание № 5. Как измерить площадь

прямоугольника, используя мерку 1 см2? В каких единицах будет выражена площадь прямоугольника?

(Ответ: Надо подсчитать, сколько квадратных сантиметров укладывается в прямоугольнике. В квадратных сантиметрах).

Вывод: длина измеряется линейными единицами: см, дм, м, др.; площадь – квадратными единицами: см2, дм2, м2, др.

Описанные задания не только знакомят учащихся с единицами геометрических величин, но и способствуют правильному формированию понятия о величине.

Понятие «периметр»

Понятие «периметр» является одним из основных понятий математики. Правильное сформулированное понятие «периметр» способствует предупреждению ошибок при записи единиц периметра, площади многоугольника. При знакомстве с этим понятием необходимо обратиться к толкованию термина «периметр» в математическом энциклопедическом словаре.

«Периметр» (слово греческого происхождения (греческое окружность), от греческого – измеряю вокруг) – длина замкнутого контура. Чаще всего этот термин применяется к треугольнику и многоугольнику и в этом случае означает сумму длин всех сторон.

В соответствии с изложенным толкованием, необходимо выяснить:

• 1. Какие из изображенных контуров можно измерить вокруг и почему:

(Ответ: 2), 4), 5), потому, что они замкнутые).

Вывод 1. Периметр – длина замкнутого контура.

• 1. Какая геометрическая фигура является контуром многоугольника?

(Ответ: Замкнутая ломаная линия).

• 1. Чем для многоугольника являются звенья этой ломаной?

(Ответ: Сторонами многоугольника).

Значит, для нахождения периметра многоугольника, необходимо найти сумму длин всех его сторон.

Вывод 2. Периметр многоугольника –

сумма длин всех сторон.

На последующих уроках понятие

«периметр многоугольника» конкретизируется до понятия «периметр прямоугольника».

Проведем логико-дидактический анализ первого урока по теме: «Периметр прямоугольника».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Логический анализ

На данном уроке учащиеся впервые знакомятся с понятием «периметр прямоугольника» и способами его нахождения.

Особенности (существенные признаки) данного понятия.

Периметр прямоугольника – это:

1. Длина замкнутой ломаной линии

(границы прямоугольника).

1. Содержащей 4 звена.
2. Которые попарно равны как противоположные стороны прямоугольника.
3. Единицы измерения периметра –

это единицы длины: см, дм, м, др.

Этапы изучения понятия на уроке.

1. Повторить понятие «периметр многоугольника».
2. Познакомить с понятием «пери-

метр прямоугольника».

1. Познакомить с различными спосо-

бами нахождения прямоугольника.

Знания, умения и навыки, лежащие в основе изучения понятия «периметр прямоугольника». Понятия: «отрезок», «ломаная», «многоугольник», «прямоугольник».

Свойство сторон прямоугольника. Понятия: «длина», «длина отрезка»,

«длина ломаной». Единицы длины.

Способы измерения длины ломаной. Конкретный смысл действия умно-

жения.

Устные табличные и внетабличные приемы сложения и умножения в пределах 100.

Сложение величин, умножение величин на число.

Дидактический анализ

1. Понятие «периметр прямоугольника» полностью определяет сущность предстоящего урока.

Данное понятие конкретизирует понятие «периметр многоугольника», имеет важное практическое применение.

Следовательно, на уроке предстоит познакомить учащихся с данным понятием и способами его нахождения.

1. Логика урока требует твердой опоры на перечисленные выше знания и умения. Поэтому на уроке необходимо предусмотреть повторение этих вопросов.

Рассмотрим фрагменты данного уро-

ка.

Методы: беседа, практическая рабо-

та.

Средства: игра «Конструктор», кусок проволоки.

В ходе практической работы следует выяснить ряд вопросов и сделать необходимые выводы относительно периметра прямоугольника.

1. Какая фигура служит границей прямоугольника? (Замкнутая ломаная).
2. В чем ее особенность (то есть сколько звеньев содержит ломаная, как они

соотносятся между собой)? (4 звена, которые попарно равны, как противоположные стороны прямоугольника).

1. Как измерить длину ломаной? (Необходимо на прямой последовательно отложить отрезки, равные по длине звеньям ломаной, измерить длину полученного отрезка. Это и будет длина ломаной).

Возьмем прямоугольник, длина которого 20 см, а ширина 16 см.

(Учитель прикрепляет к доске прямоугольник с заданными сторонами, изготовленный из плотного материала (напри-

мер, картона). К противоположным сторонам прямоугольника прикреплены съемные полоски бумаги одинакового цвета (например, красного и синего)).

Найдем периметр этого прямоугольника. Для этого измерим длину ломаной, которая является границей данного прямоугольника.

(Учитель снимает прикрепленные к сторонам прямоугольника полоски цветной бумаги и последовательно располагает их на одной прямой).

I способ

Красная

Синяя

Красная

Синяя

1. Как найти длину полученного отрезка, то есть ломаной?

(Сложить длины полосок).

На доске записывают равенство: 20+16+20+16=72 (см)

Итак, мы нашли периметр прямоугольника.

Вывод 1.

1. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.
2. Чтобы найти периметр прямо-

угольника надо сложить длины всех его четырех сторон.

1. Можно ли иначе расположить на прямой красные и синие полоски? Изменится ли при этом длина всей полоски, то есть ломаной?

(Учащиеся меняют расположение полосок и убеждаются, что длина ломаной от этого не изменяется. На доске записывают соответствующие равенства).

1. способ

Красная

Красная

Синяя

Синяя

20+20+16+16=72 (см)

Как иначе записать сумму данных чисел?

20*2+16*2=72 (см)

Итак, мы иначе посчитали периметр прямоугольника.

Сколько раз в периметре содержится длина и ширина прямоугольника? (Два раза).

Вывод 2.

1. Периметр прямоугольника – это

две длины и две ширины.

1. Чтобы найти периметр прямоугольника, надо удвоить длину, удвоить ширину и полученные результаты сложить.

Это и есть другой способ нахождения периметра прямоугольника.

Вернувшись к первоначальному расположению полосок на прямой, учащиеся практическим путем (перегибанием или наложением) выявляют третий способ нахождения периметра прямоугольника.

1. способ

Красная	Синяя	Красная	Синяя

(20+16)*2=72 (см)

Мы определили третий способ нахождения периметра прямоугольника.

Вывод 3.

1. сумма длины и ширины прямоугольника – это половина его периметра, то

есть полупериметр. Значит периметр прямоугольника – это два полупериметра.

1. чтобы найти периметр прямоугольника, надо найти его полупериметр и умножить на 2, то есть удвоить.

Мы с вами познакомились с различными способами нахождения периметра прямоугольника, узнали, какими единицами он измеряется.

Действия с однородными величинами

Большинство учащихся испытывают трудности при выполнении действий с однородными величинами, выраженными в единицах различных наименований. Эти трудности могут обусловливаться причинами:

1. Недостаточной работой по формированию представлений о той или иной величине.
2. Недостатком практических упражнений, целью которых является измерение величин.
3. Формальным введением единиц величин и соотношений между ними.
4. Однообразием упражнений, связанных с переводом однородных величин одних наименований в другие.

Прежде всего, необходимо, чтобы учащиеся понимали, что складывать, вычитать и сравнивать можно только однородные величины. Для этой цели:

1. Подумай! Какие величины можно сравнивать? поставь знаки > или <:

7300 мм…73км;

54км…52кг;

35м…32м2;

20км…207м.

1. Подумай! Какие величины можно сложить? Вычисли их сумму:

3078м+285дм;

870м+130дм2;

2м 6дм 4см+6см; 703дм+107кг.

При изучении действий с однородными величинами, выраженными в одинаковых или различных единицах используется алгоритм (сложения, вычитания, сравнения):

1. Определи, в одинаковых или разных единицах выражены величины.
2. Если величины выражены в одинаковых единицах, то выполни действие с

ними, как с обычными числами.

1. Если величины выражены в разных единицах, то:

а) вырази их в одинаковых единицах; б) выполни действие с ними, как с

обычными числами.

1. Преобразуй, если необходимо, полученный результат.

Задание №1

Сравни 3дм 4см и 7см.

Решение:

3дм 4см=34см 34см>7см

3дм 4см>7см.

Задание №2

Выполните действие 2т 079кг+756кг.

Решение:

2т 079кг=2079кг 2079+756=2835 (кг)

2835кг=2т 835кг

2т 079кг+756кг=2т 835кг.

Описанный алгоритм применим всегда при выполнении действий с величинами. Но встречаются случаи, когда задание можно выполнить без его применения. Первый способ выполнения задания №1 связан с переводом длины в сантиметры, другой когда эту операцию можно не выполнять.

Например, в задании №1 сравниваются длины, выраженные в различных единицах: дециметрах и сантиметрах. Большая из них дециметр. Величина слева содержит 3 дм, величина справа всего 7 см, это меньше дециметра. Значит, величина слева больше величины справа, то есть 3дм 4 см>7см.

Проведем подробный анализ результатов выполнения типовых заданий раздела

«Величины, их измерение. Измерение геометрических величин».

Задание. Сравни. Поставь знак >, <,

=.

Цель. Выявить уровень сформированности у учащихся умения сравнивать длины, выраженные в различных единицах.

Решение с ошибкой: 3дм 4см=7см.

Ошибка: ученик неправильно поставил знак сравнения «=».

Причина ошибки: ученик не выразил 3дм 4см в сантиметрах, он просто сложил числа 3 и 4. Это свидетельствует о том, что ученик не знает алгоритма такого перевода.

Итак, ошибка в сравнении величин явилась следствием ошибки в преобразовании длины из различных единиц в одинаковые.

Задание. Выполните действие 2т 079кг+756кг.

Цель: выявление умения учащихся

ка.

Решение с ошибкой №2. а) Р =3+5*2=13 (см)

б) S =3+5=8 (см2).

Ошибки:

а) в ходе решения задачи на нахож-

складывать массы, выраженные в единицах разных наименований.

Решение с ошибкой: 1) 2т 079кг=279кг

2) 279+756=1035 (кг)

3)

а) 1035кг=1т 035кг или б) 1035кг=10т 35кг

Ошибка №1. Неправильно перевел 2т 079кг в килограммы.

Причина ошибки: причина явно не видна. Либо ученик не знает соотношения между тонной и килограммом, либо неверно выполнил сложение 2000+79.

Ошибка №2.

б) 1035кг=10т35кг. Неправильно перевел 1035кг в тонны и килограммы.

Причина ошибки: либо не знает соотношения между тонной и килограммом, либо не смог число 1035 представить в виде суммы 100+35.

Кроме этого, у ученика не сформирован навык самоконтроля, ученик не видит, что результат сложения двух величин меньше одного из слагаемых, чего быть не может.

Задание.

Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 3см 5 см.

Цель: выявление умения учащихся находить периметр и площадь прямоугольника с заданными сторонами.

Решение с ошибкой №1: Р =5+3=8 (см)

S =5*3=15 (см)

Ошибки:

а) в ходе решения задачи на нахождение периметра прямоугольника: найден не периметр, а полупериметр прямоугольника;

б) в записи единиц площади. Причины ошибок:

а) не знает формулы нахождения периметра через полупериметр

Р = (a+b)*2;

б) не знает единиц площади, путает их с единицами периметра прямоугольни-

дение периметра прямоугольника не удвоил одну из его сторон;

б) в ходе решения задачи на нахождение площади прямоугольника (не умножил, а сложил его стороны).

Причины ошибок:

а) не знает теоретического положения: «периметр прямоугольника это две длины и две ширины»;

б) не знает формулы нахождения площади прямоугольника.

Для формирования правильного представления о величинах важно уделить внимание следующим вопросам:

• методике знакомства с величиной;
• формированию измерительных навыков;
• формированию умений перевода величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие [2, 3].

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

В методике выделяют 8 этапов изучения величин:

1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).

2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап: умножение и деление величин на число.

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения [4, 5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах.Ярославль, 1997. – 141 с.
2. Анипченко З.А. Задачи, связанные с величинами и их применение в курсе математики в начальных классах. М.: 1997. – С. 2-5
3. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М. Просвещение, 1988. – 442 с.
4. Овчинникова М.В. Методика изучения темы «Величины» на уроках математики в начальных классах: Методические рекомендации для студентов факультета «Начальное обучение. Дошкольное воспитание». Ялта: ЦОП «Надежда», 2000. – 54 с.
5. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.. Методика преподавания математики в начальных классах. – М., 1984. – 335 с.