Как найти величину внешнего угла при вершине - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Внешний угол треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем в геометрии 7 класса – о внешнем угле треугольника. Также разберем примеры решения задач, чтобы закрепить представленный материал.

Определение внешнего угла

Для начала вспомним, что такое внешний угол. Допустим у нас есть треугольник:

Смежный с внутренним углом ( λ ) треугольника угол при той же вершине является внешним. На нашем рисунке он обозначен буквой γ .

γ + λ = 180°

Формулировка теоремы

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Из данной теоремы следует, что внешний угол треугольника больше любого из несмежных с ним внутренних углов.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник, в котором известны значения двух углов – 45° и 58°. Найдите внешний угол, смежный с неизвестным углом треугольника.

Решение
Воспользовавшись формулой теоремы получаем: 45° + 58° = 103°.

Задание 1
Внешний угол треугольника равен 115°, а один из несмежных с ним внутренних углов – 28°. Вычислите значения оставшихся углов треугольника.

Решение
Для удобства будем использовать обозначения, указанные на рисунках выше. Известный внутренний угол примем за α .

Исходя из теоремы: β = γ – α = 115° – 28° = 87° .

Угол λ является смежным с внешним, а значит вычисляется по следующей формуле (следует из свойства внешнего угла): λ = 180° – γ = 180° – 115° = 65° .

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

источники:

Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vneshnij-ugol-treugolnika/

Источник

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^{circ}$ .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом alpha . Если угол alpha острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

$sin left( 180^{circ} - alpha right) = sin alpha;$
$cos left( 180^{circ} - alpha right) = - cos alpha;$
$tg , left( 180^{circ} - alpha right) = - , tg , alpha.$

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , $cos A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle sqrt{17}}$ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть varphi — внешний угол при вершине .

$cos varphi = - cos A = - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle sqrt{17}}.$

Зная , найдем по формуле:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos^2 varphi}= 1 + tg^2 , varphi.$

Получим: $tg , varphi= - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 4} = - 0,25.$

2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна $90^{circ}$ , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен 0,1 .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Внешний угол треугольника

Сумма внешних углов

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

∠1 + ∠4 = 180°.

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Из этого следует, что

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠4.

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

∠1 = ∠2 + ∠3.

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.

Источник

Внешний угол треугольника

Содержание:

Как выглядит внешний угол треугольника
Чему равен, как найти при вершине
Теорема о внешнем угле треугольника, доказательство

Как выглядит внешний угол треугольника

Определение

Внешний угол треугольника — это часть плоскости, ограниченной двумя лучами, исходящими из одной точки, которая равна разности между 180° и внутренним углом. Ее диапазон значений — от 0° до 180°.

Внешний угол треугольника

Среди свойств ВУТ выделяют:

сумма ВУ треугольника, взятых по одному при каждой точке соединения сторон, равняется 360^°;
ВУТ приравнивается к сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: angle1=angle B+angle C;
при одной точке соединения сторон сумма внешнего и внутреннего углов составляет 180^°.

Следует отметить, что у каждого треугольника есть два угла, которые являются смежными с ним. Получается, что у данной геометрической фигуры шесть внешних углов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Чему равен, как найти при вершине

Определение

Для того, чтобы найти ВУТ при вершине, необходимо сложить значения не соседних с ним частей плоскости, которые ограничены двумя лучами, рассматриваемой геометрической фигуры.

Продемонстрируем это положение на примерах.

Задача №1

В треугольнике DEF угол D = 50^°, а F = 45^°. Найти: ВУ при каждой вершине фигуры.

Решение

Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Из этого следует, что angle E=180˚-angle D-angle F=85^circ. ВУ при точке соединения сторон DE и DF будет равняться сложенным внутренним углам при вершинах E и F, а это 130°. Соответственно, ВУ при E составляет 95°, а при F — 135°.

Ответ: ∠ D = 130°, ∠ E = 95°, ∠ F = 135°.

Задача №2

В треугольнике ABC ВУ при вершине A = 68°, а при вершине C = 55°. Найти: Внутренний угол при B. На иллюстрации отображены пронумерованные названия углов.

Задача

Решение

Если сложить смежные углы, то в любом случае получится 180°. Из этого составляем равенства: ∠ A = 180° – ∠ 3 = ∠ 180° – 112° = 68°; ∠ С = 180° – ∠ 2 = ∠ 180° – 125° = 55°. Далее из сложенного вычитаем уже известное: ∠ A = 180° – ∠ A – ∠ C = ∠ 180° – 68° – 55° = 57°.

Ответ: ∠ B = 57°.

Теорема о внешнем угле треугольника, доказательство

Определение

Теорема о ВУТ звучит следующим образом: внешний угол треугольника равняется сумме двух других, не смежных с ним.

Доказательство

Предположим, что MNP — треугольник с внешним углом q. Углы n и q являются соседними, поэтому их сумма составляет 180°. Из этого следует, что q = 180° – n. Согласно теореме о сумме углов треугольника n = 180° – (m + p). Поэтому m + p = 180° – n. Вследствие того, что q = 180° – n, то q = m + p. Теорема доказана.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.00 (Голосов: 2)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых
задачах ЕГЭ требуется найти синус,
косинус или тангенс внешнего
угла
треугольника. А что такое внешний
угол треугольника?

Давайте
вспомним сначала, что такое смежные
углы.
Вот они, на рисунке. У смежных углов
одна сторона общая, а две другие лежат
на одной прямой. Сумма смежных углов
равна

Возьмем
треугольник и продолжим одну из его
сторон. Внешний угол

при
вершине

—
это угол, смежный с углом

. Если
угол

острый, то смежный с ним угол —
тупой, и наоборот.

Обратите
внимание, что:

Запомните
эти важные соотношения. Сейчас мы берем
их без доказательств. В разделе
«Тригонометрия», в теме «Тригонометрический
круг»,
мы вернемся к ним.

Легко
доказать, что внешний
угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.

1.
В треугольнике

угол

равен

,

.
Найдите тангенс внешнего угла при
вершине

Пусть

—
внешний угол при вершине

.
Имеем:

Зная

,
найдем

по формуле

Получим:

2.
В треугольнике

угол

равен

,

.
Найдите синус внешнего угла при вершине

.

Задача
решается за четыре секунды. Поскольку
сумма углов

равна
,

.
Тогда и синус внешнего угла при
вершине

также равен

.

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним,
что высота
треугольника —
это перпендикуляр, опущенный из его
вершины на противоположную сторону.

В
прямоугольном треугольнике катеты
являются высотами друг к другу. Главный
интерес представляет высота, проведённая
к гипотенузе.

Один
из типов экзаменационных задач В6 в
банке заданий ФИПИ — такие, где
в прямоугольном треугольнике высота
проведена из вершины прямого угла.
Посмотрим, что получается:

Высота
проведена к гипотенузе

.
Она делит треугольник

на два
прямоугольных треугольника —

и
.
Смотрим внимательно на рисунок
и находим на нем равные
углы.
Это и есть ключ к задачам по геометрии,
в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним,
что сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна

.
Значит,

,
то есть угол

равен
углу

.
Аналогично, угол

.

Иными
словами, каждый из трех углов
треугольника

равен
одному из углов треугольника

и треугольника

.
Треугольники

называются подобными.
Давайте нарисуем их рядом друг
с другом.

Они
отличаются только размерами. Стороны
подобных треугольников пропорциональны.
Что это значит?

Возьмем
треугольники

и
.
Стороны треугольника

длиннее,
чем стороны треугольника

,
в некоторое число

раз:

При
решении задач нам пригодится равенство
углов треугольников

и
,
а также пропорциональность их сторон.
Обратите также внимание, что площадь
треугольника

можно
записать двумя разными способами: как
половину произведения катетов и как
половину произведения гипотенузы
на проведенную к ней высоту.

1.
В треугольнике

угол

равен

,

—
высота,

,

.
Найдите

.

Рассмотрим
треугольник

.
В нем известны косинус угла

и противолежащий катет

.
Зная синус угла
,
мы могли бы найти гипотенузу

.
Так давайте найдем

:

(поскольку
значение синуса острого угла положительно).
Тогда:

Рассмотрим
прямоугольный треугольник

,

.
Имеем:

Отсюда,
поскольку

:

и
тогда

Ответ:

.

2.
В треугольнике

угол

равен

,

,

.
Найдите высоту

Сделайте
чертеж и рассмотрите прямоугольный
треугольник

Ответ:

.

3.
В треугольнике

угол

равен

,

,

.
К гипотенузе проведена высота

.
Найдите

Это
чуть более сложная задача. Ведь вам
неизвестны катеты

и
.

Зато
можно записать теорему Пифагора:

Нам
известно также, что

Решая
эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем
площадь треугольника

двумя
способами:

и найдем

.

Найти
высоту, проведенную из вершины прямого
угла, можно было и другим способом.
Мы выбрали самый короткий путь —
составили и решили систему уравнений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
30.03.201540.15 Mб22спицын мартыненко.djvu
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник