Как найти верхнюю нижнюю границу

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about precise bounds. For asymptotic bounds, see Big O notation.

In mathematics, particularly in order theory, an upper bound or majorant^[1] of a subset S of some preordered set (K, ≤) is an element of K that is greater than or equal to every element of S.^[2][3]
Dually, a lower bound or minorant of S is defined to be an element of K that is less than or equal to every element of S.
A set with an upper (respectively, lower) bound is said to be bounded from above or majorized^[1] (respectively bounded from below or minorized) by that bound.
The terms bounded above (bounded below) are also used in the mathematical literature for sets that have upper (respectively lower) bounds.^[4]

Examples[edit]

For example, 5 is a lower bound for the set S = {5, 8, 42, 34, 13934} (as a subset of the integers or of the real numbers, etc.), and so is 4. On the other hand, 6 is not a lower bound for S since it is not smaller than every element in S.

The set S = {42} has 42 as both an upper bound and a lower bound; all other numbers are either an upper bound or a lower bound for that S.

Every subset of the natural numbers has a lower bound since the natural numbers have a least element (0 or 1, depending on convention). An infinite subset of the natural numbers cannot be bounded from above. An infinite subset of the integers may be bounded from below or bounded from above, but not both. An infinite subset of the rational numbers may or may not be bounded from below, and may or may not be bounded from above.

Every finite subset of a non-empty totally ordered set has both upper and lower bounds.

Bounds of functions[edit]

The definitions can be generalized to functions and even to sets of functions.

Given a function f with domain D and a preordered set (K, ≤) as codomain, an element y of K is an upper bound of f if y ≥ f(x) for each x in D. The upper bound is called sharp if equality holds for at least one value of x. It indicates that the constraint is optimal, and thus cannot be further reduced without invalidating the inequality.

Similarly, a function g defined on domain D and having the same codomain (K, ≤) is an upper bound of f, if g(x) ≥ f(x) for each x in D. The function g is further said to be an upper bound of a set of functions, if it is an upper bound of each function in that set.

The notion of lower bound for (sets of) functions is defined analogously, by replacing ≥ with ≤.

Tight bounds[edit]

An upper bound is said to be a tight upper bound, a least upper bound, or a supremum, if no smaller value is an upper bound. Similarly, a lower bound is said to be a tight lower bound, a greatest lower bound, or an infimum, if no greater value is a lower bound.

Exact upper bounds[edit]

An upper bound u of a subset S of a preordered set (K, ≤) is said to be an exact upper bound for S if every element of K that is strictly majorized by u is also majorized by some element of S. Exact upper bounds of reduced products of linear orders play an important role in PCF theory.^[5]

See also[edit]

• Greatest element and least element
• Infimum and supremum
• Maximal and minimal elements

References[edit]

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref{ref1}. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C < c₀+1, где c₀+1 = n₀ ∈ (mathbb{N}). Следовательно, $$forall xin X rightarrow x < C < n_0.label{ref5}$$
Если x=a₀,a₁a₂…=a₀,{a_n} — произвольный элемент множества X, то из eqref{ref5} следует, что 0 ≤ a₀ < n₀. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент ({overline a}_0). Обозначим,$$X_0=left{xin X: x={overline a}_0,left{a_nright}right}.nonumber$$

Множество X₀ состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна ({overline a}_0); множество X₀ непустое и X ⊃ X₀.

Пусть E₁ — множество первых десятичных знаков элементов множества X₀. Так как множество E₁ конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует ({overline a}_1=underset{xin X_0}{max} a_1) — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X₀.

Пусть (X_1=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1a_2…right}); тогда X ⊃ X₀ ⊃ X₁. Обозначим ({overline a}_2=underset{xin X_1}{max} a_2) наибольший из вторых десятичных знаков элементов множества X₁,$$X_2=left{xin X_1: a_2={overline a}_2right}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2a_3…right}.nonumber$$

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {X_k} непустых множеств и последовательность десятичных знаков ({overline a}_k) таких, что X ⊃ X₀ ⊃ X₁ ⊃ … X ⊃ X₀ ⊃ …,$${overline a}_k=underset{xin X_{k-1}}{max} a_k,nonumber$$

$$X_k=left{xin X_{k-1}: a_k={overline a}_kright}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_ka_{k+1}…right}nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь (overline x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2…={overline a}_0,left{{overline a}_nright}). Покажем, что x = sup X, то есть что

$$forall xin X rightarrow x leq overline x,label{ref6}$$

$$forall x’ < overline x existswidetilde xin X: widetilde x > x’.label{ref7}$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,{a_n}. Чтобы проверить выполнение условия eqref{ref6}, рассмотрим три произвольных случая:

$$xnotin X_k при k=0,1,2,…,label{ref8}$$

$$xin X_k при k=0,1,2,…,label{ref9}$$

$$exists m: xin X_{m-1}, xnotin X_{m.}label{ref10}$$

Из eqref{ref8} следует, что (a_0 < {overline a}_0) и поэтому (x < overline x). Если выполнено условие eqref{ref9}, то (a_k={overline a}_k) при k = 0, 1, 2,…, откуда, по определению числа (overline x), справедливо равенство (x=overline x). Наконец из eqref{ref10}, согласно определению множества X_m и числа (x=overline x), следует, что

$$x = {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a_m… <{overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_m(0) leq overline x,nonumber$$

и поэтому (x < overline x). Таким образом, неравенство eqref{ref6} доказано.

Проверим условие eqref{ref7}. Если x’ < 0, то eqref{ref7} имеет место при любом (widetilde xin X), т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть (0 leq x’ leq overline x) и (x’=a’_0,left{a’_nright}). Тогда либо (a’_0 < {overline a}_0), либо (a’_k=a_k при k=overline{0, m-1},a’_m < {overline a}_m). В первом случае в качестве (widetilde x) можно взять любой элемент множества X₀, так как из условий (a’_0 < {overline a}_0) и (widetilde xin X_0) следует, что

$$x’ < widetilde x={overline a}_0,a_1…a_n… leq overline x, то есть x’ < widetilde x leq overline x и xin X_0subset X.nonumber$$

Во втором случае условию eqref{ref7} удовлетворяет произвольный элемент (widetilde xin X_m), так как

$$x’={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a’_m… < {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_ma_{m+1}…=widetilde x leq overline x.nonumber$$

Таким образом, (x’ < widetilde x leq overline x), где (widetilde xin X_msubset X). Условие eqref{ref7} проверено.

Итак, условия eqref{ref6} и eqref{ref7} выполняются, то есть x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x₀ ≥ 0, то множество (left{widetilde X=xin X: x geq x_0right}) состоит из неотрицательных чисел, причем (sup X=sup widetilde X). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

$$x=-a_0,a_1a_2…a_n…label{ref11}$$

Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a₀ в записи eqref{ref11} для всех x ∈ X, (a_1^ast) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast); (a_2^ast) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast, a_1=a_1^ast) и т.д. Указанным способом определяется число (x^ast=-a_0^ast,a_1^ast…a_n^ast…=-a_0^ast,left{a_n^astright}). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x^* является точной верхней гранью множества.

Соседние файлы в папке Лекции, матан

• #
• #

Множество, элементами которого являются вещественные числа, будем называть числовым. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его называют конечным, в противном случае – бесконечным.

Определение. Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует такое вещественное число , что для любого элемента из множества выполняется неравенство . Число называется верхней границей .

Определение. Если существует такое число , что все элементы множества удовлетворяют неравенству , то множество называется ограниченным снизу, а число – его нижней границей.

Определение. Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если для всех выполняется неравенство .

Если – верхняя, а – нижняя границы множества , то числа и тоже будут соответственно верхней и нижней границами этого множества. Следовательно, всякое ограниченное множество имеет бесконечно много верхних и нижних границ.

Определение. Наименьшая из всех верхних границ множества называется точной верхней границей этого множества (обозначается ). Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей этого множества (обозначается ).

Точная верхняя и точная нижняя границы могут как принадлежать данному множеству, так и не принадлежать ему.

Если не ограничено сверху, то пишут , если снизу, то .

На вопрос о том, всегда ли у ограниченного множества существуют точные границы, отвечает следующая теорема.

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу, а всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

Пример 1. Даны множества , и . Указать их точные границы.

Решение. – бесконечное, ограниченное снизу множество. Числа – его нижние границы, а . Сверху это множество не ограничено, т. е. . Множество – бесконечное ограниченное множество, т. е. оно ограничено и сверху, и снизу, его точные границы: , , – бесконечное множество, не ограниченное как сверху, так и снизу.

Любое конечное множество ограничено, так как среди его элементов всегда найдутся наибольшее и наименьшее числа, которые и будут точными границами. Обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности множества не следует его конечность, как это видно на примере множества .

Пример 2. Числовое множество состоит из всех чисел, для которых . Какие числа будут его границами?

Решение. Неравенство равносильно двойному неравенству , откуда видно, что число 3 и всякое большее число будет верхней границей, а число –3 и всякое меньшее число – его нижней границей. , .

Пример 3. Числовое множество состоит из чисел, удовлетворяющих условию . Укажите наименьшее число , удовлетворяющее неравенству для всех из данного множества. Какими границами для этого множества будут числа и ?

Решение. Так как равносильно неравенству , то за нужно взять такое положительное число, чтобы неравенства: и выполнялись одновременно. Это, очевидно, будет при , равном наибольшей из абсолютных величин чисел и , то есть при , при этом , a – верхняя (не точная) граница , точной верхней границей является .

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества?

2. Приведите примеры множеств, которым принадлежат их точные границы и множеств, которым не принадлежат их точные границы.

3. Приведите пример множества, которому принадлежит его точная нижняя граница, а точная верхняя не принадлежит.