Как найти верные равенства дробей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математика

5 класс

Урок № 48

Равенство дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– обыкновенная дробь;

– числитель, знаменатель обыкновенной дроби;

– сократимая, несократимая дробь;

– равные дроби;

– основное свойство дроби.

Тезаурус

Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

Несократимая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1).

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов.

Эти слова как нельзя кстати походят к теме нашего занятия, на котором мы будем устанавливать между, казалось бы, разными дробями равенство, хоть и не вполне очевидное с первого взгляда.

Итак, выясним, какие дроби можно назвать равными.

Для начала нарисуем отрезок. Далее разделим его на две части. Затем каждую из половинок разделим ещё на две части.

Получается, что весь отрезок поделён на четыре части. Если теперь сложить две части из четырёх, то получится ровно половина отрезка, которая в виде обыкновенной дроби будет записана как одна вторая.

Получается, что одна вторая это тоже самое, что и две четвёртых, т. е. это равные дроби.

Возьмём торт и разделим его на 10 частей.

Половина торта – это 5 частей. В виде обыкновенной дроби получается, что частям торта. Отсюда получается так называемое основное свойство дроби, которое заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

С помощью этого свойства всегда получаются равные дроби. Например,

Аналогично, представим семь в виде дроби:

Если возьмём число один, представим его в виде дроби, то получим:

Получается, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Это свойство можно применить и в обратном порядке, в этом случае говорят, что дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него числитель и знаменатель.

В этом случае тоже получается равная дробь. Такие дроби называются сократимыми.

Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице. Например,

Или возьмём дробь :

Рассмотрим ещё один пример, возьмём дробь :

Стоит отметить, что общий множитель числителя и знаменателя можно найти как их НОД. Например,

Стоит отметить, что сокращать дроби можно постепенно, эти действия всё равно приведут к нужному результату.

Но дроби не всегда можно сократить.

Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1), то такая дробь называется несократимой.

Например, ; – несократимые дроби.

Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Например, дробь равна несократимой дроби , а дробь равна несократимой дроби .

Отметим ещё одно свойство: если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например, возьмём дробь . Мы знаем, что 45 делится на девять, значит, .

Решим задание, связанное с сокращением дробей.

Укажите все общие делители, НОД числителя и знаменателя дроби и сократите дробь.

Решение: начнём с того, что определим общие делители числителя и знаменателя дроби, разложив их на множители:

Общие делители у 66 и 90 – это числа 1, 2, 3, 6.

НОД (66; 90) = 6

Сократим дробь. Так как НОД (66; 90) = 6, то разделим числитель и знаменатель на 6 и получим:

Ответ: общие делители – это числа 1, 2, 3, 6.

НОД (66; 90) = 6, .

Тренировочные задания

№ 1. Сократите дробь .

Решение: для решения этой задачи достаточно определить НОД (15; 20) = 3, это и есть число, на которое будем делить и числитель, и знаменатель, поэтому .

Ответ: .

№ 2. На полке лежат 20 книг. Взяли 4 книги. Какой дробью можно выразить взятую часть книг?

Варианты ответа: ; ; .

Решение: для решения этой задачи сначала найдём дробь, равную взятой части. Это будет дробь . Далее посмотрим на варианты ответов – такой дроби нет, следовательно, нужно сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому получаем .

Ответ: .

Источник

Равенство дробей.

Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.

Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.

На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь (frac{4}{8})

На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь (frac{1}{2})

Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны (frac{4}{8} = frac{1}{2}), то есть это одно и тоже число.

Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.

(frac{4}{8} = frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}} = frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}} =frac{1}{2} cdot color{red}{1} = frac{1}{2})

Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители (frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}}), а потом разделили дроби (frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}}). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей.

Посмотрим еще один пример и сократим дробь.

(frac{6}{10} = frac{3 cdot color{red} {2}}{5 cdot color{red} {2}} = frac{3}{5} cdot color{red} {frac{2}{2}} =frac{3}{5} cdot color{red}{1} = frac{3}{5})

Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.

Основное свойство дроби.

Отсюда следует основное свойство дроби:

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.

(bf frac{a}{b} = frac{a cdot n}{b cdot n})

Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:

(frac{6}{8} = frac{6 div color{red} {2}}{8 div color{red} {2}} = frac{3}{4})

Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.

(bf frac{a}{b} = frac{a div n}{b div n})

Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями.

Пример сократимой дроби: (frac{2}{4}, frac{6}{10}, frac{9}{15}, frac{10}{5}, …)

Так же есть и несократимые дроби.

Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.

Пример несократимой дроби: (frac{1}{2}, frac{3}{5}, frac{5}{7}, frac{13}{5}, …)

Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:

(7 = frac{7}{1})

Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.

Проверьте справедливо ли равенство: (frac{7}{11} = frac{14}{22})?
Ответ: распишем дробь (frac{14}{22} = frac{7 cdot 2}{11 cdot 2} = frac{7}{11}), да справедливо.

Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби (frac{2}{3}).
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби (frac{1}{5}).

Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{2}{3}) на 5.

(frac{2}{3} = frac{2 cdot 5}{3 cdot 5} = frac{10}{15})

б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{1}{5}) на 8. Получим:

(frac{1}{5} = frac{1 cdot 8}{5 cdot 8} = frac{8}{40})

Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)(frac{16}{36}), б) (frac{10}{25}).

Решение:
а) (frac{16}{36} = frac{4 cdot 4}{9 cdot 4} = frac{4}{9})

б) (frac{10}{25} = frac{2 cdot 5}{5 cdot 5} = frac{2}{5})

Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123

Решение:
а) (13 = frac{13} {1})

б) (123 = frac{123} {1})

Источник

Действия с дробями регулируются основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

2/5 = 4/10, т.к. 2 ∙ 2/5 ∙ 2

Равные дроби по сути являются записью одного и того же числа.

Сравним, 2/5 = 0,4 и 4/10 = 0,4.

Числа, которые мы можем записать в виде дробей, называются рациональными числами, множество которых обозначается латинской буквой Q. Вспомним, что любое целое число мы можем записать в виде дроби: 4 = 4/1, следовательно, любое целое число рационально. Иными словами, множество целых чисел Z – это подмножество Q, или Z принадлежит Q.

Итак, умножим дробь на 5: 1/5 ∙ 5 = 1 ∙ 5/5 ∙ 5 = 5/25.

Разделим дробь на 3: 33/21 : 3 = 33 : 3/21 : 3 = 11/7 = 14/7.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется приведение дроби к знаменателю.

Например: если дробь 3/4 мы умножим на 2 и получим 6/8, то мы скажем, что мы привели дробь 3/4 к знаменателю 8, причем число 2 называется дополнительным множителем.

Приведем дробь 4/5 к знаменателю 30.

1. Найдем дополнительный множитель: 30 : 5 = 6. Итак, наш дополнительный множитель 6.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 6: 4 ∙ 6/5 ∙ 6 = 24/30.

Итак, наша дробь 24/30.

Основываясь на главном свойстве дроби, мы приходим к понятию «сокращение дроби». Сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель (отличный от единицы).

Рассмотрим дробь 15/20. Число 5 для чисел 15 и 20 является общим делителем. Значит, и числитель, и знаменатель дроби можно разделить на общий делитель дроби 5. Получим: 15 : 5/20 : 5 = 3/4.

Наибольшим общим делителем называется наибольшее число, на которое можно сократить дробь. Например, дробь 30/45 можно сократить на 3 и 5, но наибольшим числом, на которое можно сократить нашу дробь, является число 15: 30 : 15 / 45 : 15 = 2/3.

Бывает так, что числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, кроме единицы; такую дробь мы называем несократимой, а числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы, называют взаимно простыми.

Приведение дробей к общему знаменателю позволяет сравнивать дроби с разными знаменателями. Иными словами, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо:

1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сравнить числители получившихся дробей.

Рассмотрим пример 3/5 ??? 4/7.

1. Приведем дроби к общему знаменателю 35. Для этого домножим первую дробь на 7 (и числитель, и знаменатель), а вторую (и числитель, и знаменатель) на 5. Получим: 21/35 ??? 20/35.

2. Сравним числители получившихся дробей: 21 больше 20, следовательно, 3/5 > 4/7.

Рассмотрим пример: 6/9 ??? 8/12.

Общим знаменателем наших дробей будет число 9 ∙ 12. Но, чтобы облегчить решение примера, нужно заметить, что наши дроби можно сократить (6/9 на 3, 8/12 на 4): 2/3 ??? 2/3, т.е. 2/3 = 2/3, следовательно, 6/9 = 8/12. Как видим, в таком случае нам понадобилось гораздо меньше времени на установление равенства дробей.

Закрепим материал и докажем неравенство: 123/800 > 1/8.

1. Приведем дроби к общему знаменателю 800. Домножим вторую дробь на 100 и получим 100/800.

2. Итак, наши дроби для сравнения 123/800 и 100/800.

3. Т.к. 123/800 > 100/800, то и 123/800 > 1/8. Следовательно, неравенство верно, что нам и требовалось доказать.

Источник

Определение.
Равными называются дроби, выражающие
длину одного и того же отрезка. Длину
отрезка можно выразить с помощью
бесконечного множества обыкновенных
дробей – все они будут равносильными
или равными.

Теорема 1 (Признак
равенства дробей).
Дроби

являются равными тогда и только тогда,
когда mq=np.

Доказательство.

1. Необходимость.
Даны 2 дроби:

.
Известно, что они равны. Нужно доказать,
что mq=np.

Если дроби

равны,
то по определению они выражают длину
одного и того же отрезка. Возьмем за
единицу измерения отрезка отрезок

.
Длина отрезка, выражаемая дробью

,
в новой единице измерения будет
выражаться:

.

Аналогично, если
длина отрезка равна

,
то

.
Но поскольку
=

по условию, то mq=np.

2. Достаточность.
Даны 2 дроби

и
.
Известно, что mq=np.
Доказать, что

=
.

Так как mq=np
– истинное числовое равенство, то по
свойству истинных числовых равенств
можно обе части этого равенства разделить
на одно и то же число. Разделим обе части
на nq.

,
т.е. мы имеем две дроби, выражающие длину
одного и того же отрезка, т.е. эти дроби
равны.

Теорема доказана.

IV.
Свойства отношения равенства дробей.
Разбиение множества Q₊
на классы.

Теорема 2.
Отношение равенства дробей является
отношением эквивалентности.

Доказательство.
Покажем, что отношение равенства дробей
симметрично, рефлексивно и транзитивно.

1.Рефлексивность.

2.Симметричность.
Если

,
то

Если mq=np,
то np=mq.

Т.к.

,
,
,

то для них выполняется свойство
коммутативности умножения.

3.Транзитивность.
Даны дроби

,

,
.

Если

Из доказательства
теоремы 2 следует, что поскольку отношение
равенства дробей является отношением
эквивалентности, то оно задает разбиение
множества всех дробей на классы. (Классы
– непустые непересекающиеся подмножества
некоторого множества Х,
объединение которых равно множеству
Х).

– класс дробей,
которые равны

.

Таких классов
равных дробей бесконечно много; и в
каждом классе бесконечное число
элементов. Классы равных дробей не
пересекаются, т.е. любая дробь, взятая
из одного класса, не может принадлежать
другому классу, а объединение всех этих
классов дает множество Q₊
(множество положительных рациональных
чисел).

Определение.
Класс равных дробей называется
положительным рациональным числом.

Класс дробей
определяется любым своим представителем,
но мы будем считать представителем
класса равных дробей несократимую дробь
из этого класса.

Определение.
Несократимой дробью называется дробь,
числитель и знаменатель которой –
взаимно простые числа, т.е. их НОД равен
1.

V.
Теорема 3.
Для любого положительного рационального
числа существует одна и только одна
несократимая дробь, которая его
представляет.

Доказательство
(методом от противного). Пусть для каждого
класса равносильных дробей существует
2 несократимые дроби

.
Так как они несократимые, то НОД (m;n)=1
и НОД(p;q)=1.
По условию
=
.
Это может быть тогда и только тогда (по
теореме 1), когда mq=np.
Любая часть
этого равенства делится на q,
значит и

делится
на q,
т.е.

делится
на q
или p
делится
на q.
Но p
на q
делиться не может, так как p
и
q
– взаимно простые числа. Значит ,

делится
на q.

Пусть n=kp.
mq=kqp

m=kp

m
и n
имеют общий делитель k.
Это противоречие, так как

– несократимая дробь по условию.

Вывод. В одном
классе равных дробей не может быть двух
несократимых дробей. Таким образом, в
каждом классе равносильных дробей есть
одна и только одна несократимая дробь.

Каждая несократимая
дробь представляет положительное
рациональное число и наоборот: каждое
положительное рациональное число
выражается некоторой несократимой
дробью.

Соседние файлы в предмете Математика

Источник