Как найти верные значащие цифры числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1

x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;

x = 2.27×10⁶, значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;

x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Пример 2

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

x = 0.002306,

Dx = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

Пример 3

x = 1.121 ± 0.003;

x = 1.121;

Dx = 0.003.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

Пример 4

x = 0.002306 ± 0.00007;

x = 0.002306;

Dx = 0.00007.

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

Пример 5

x = 12.3 ± 0.5;

x = 12.3;

Dx = 0.5.

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

Пример 6

x = 12.3 ± 0.8;

x = 12.3;

Dx = 0.8.

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

Источник

Абсолютная погрешность приближенного значения числа, граница абсолютной погрешности, верные и значащие цифры числа

Верные и значащие цифры числа. Округление чисел.

Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а 10 – основанием этой системы:

разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Аналогично, разряды десятичных дробей: десятые, сотые, тысячные и т.д.

Дробь	Целая часть		Дробная часть
разряды	тысячи	сотни	десятки	единицы	,	десятые	сотые	тысячные
258,034	—	2	5	8	,	0	3	4

В приближенном числе различают верные и сомнительные цифры. Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра.

Если же граница абсолютной погрешности больше единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными. Граница абсолютной погрешности ∆а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.

Например:

24,5 ± 0,3 (| х – а | ≤ ∆а )

Приближенное значение 24,5

Граница абсолютной погрешности 0,3

0,3 < 1, значит верные цифры (в широком смысле) – это 2 и 4, а цифра 5 – сомнительная.

375 ± 20

Приближенное значение 375

Граница абсолютной погрешности 20

20 < 100, значит верная цифра 3, а цифры 7 и 5 сомнительные.

Когда рассматриваем верные цифры в широком смысле, то достаточно посмотреть на границу абсолютной погрешности и взять цифры приближенного числа, которые на разряд больше, чем граница абсолютной погрешности.

Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана эта цифра. Если же граница абсолютной погрешности больше половины единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчётах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.

Значащими цифрами приближенного числа, выраженного десятичной дробью считаются все верные цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Например:

Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих цифр, так как крайняя слева цифра числа отлична от нуля (она равна 1)

Приближенное число 0,01104 имеет 4 значащие цифры:1, 1, 0, 4. Два нуля, стоящие слева от 1 не считаются значащими цифрами

Приближенное число 0,030 имеет 2 значащие цифры: 3 и 0 справа, по правилу два нуля, стоящие слева от цифры 3, не относятся к значащим.

Значащими цифрами приближенного целого числа считаются все его цифры, кроме нулей, поставленных взамен отброшенных или

неизвестных цифр.

Например: Частное

Число 6000 имеет 3 значащие цифры, так как один последний нуль поставлен вместо отброшенной цифры (единицы).

Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности

| а – а₁ | называется погрешностью округления.

При округлении числа до m значащих цифр отбрасываются все цифры, стоящие правее m-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменят их нулями. При этом, если первая слева от отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.

Например:

Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

0,3281 ± 0,05

Граница абсолютной погрешности 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная, 2 – сомнительная, 3 – верная цифра 3

Погрешность округления:

|0,3281 – 0,3| = 0,0281

0,05 + 0,0281 = 0,0781

Ответ 0,3 ± 0,08

Источник

Значащие цифры

Определение 1.6.
Значащими цифрами в записи приближенного
числа называются:

— все ненулевые
цифры;

— нули, содержащиеся
между ненулевыми цифрами;

— нули, являющиеся
представителями сохраненных десятичных
разрядов при округлении.

В следующих примерах
значащие цифры подчеркнуты.

Пример 1.6.
2.305;
0.0357;
0.001123;
0.035299879 = 0.035300.

При округлении
числа 0.035299879 до шести знаков после
запятой получается число 0.035300, в котором
последние два нуля являются значащими.
Если отбросить эти нули, то полученное
число 0.0353 не является равнозначным с
числом 0.035300 приближенным значением
числа 0.035299879, так как погрешности
указанных приближенных чисел отличаются.

Определение 1.7.
Первые n
значащих цифр в записи приближенного
числа называются верными в узком смысле,
если абсолютная погрешность числа не
превосходит половины единицы разряда,
соответствующего n-й
значащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным
определением иногда используется
другое.

Определение 1.8.
Первые n
значащих цифр в записи приближенного
числа называются верными в широком
смысле, если абсолютная погрешность
числа не превосходит единицы разряда,
соответствующего n-й
значащей цифре.

Пример 1.7.
Определить верные цифры приближенного
значения а_p
= 2.721 числа е, если известно, что е = =
2.718281828…

Решение.

Очевидно, что | а_p
– е | = | 2.721 – 2.71828… | < 0.003 < 0.005.
Следовательно, верными являются только
три первые цифры (в узком и широком
смысле), последнюю цифру можно отбросить,
а_р
= 2.72.

Пример 1.8.
Пусть х = 1.10253 ± 0.00009. Верными являются
первые четыре значащие цифры, а цифры
5 и 3 не удовлетворяют определению. В
широком смысле верными являются первые
пять цифр.

Пример 1.9.
При записи следующих физических констант
указаны три верные значащие цифры:

а) гравитационная
постоянная у = 6.67 • 10^-11
Н • м²/кг²;

б) скорость света
в вакууме С = 3.00 • 10⁸
м/с;

в) постоянная
Планка h = 6.63 • 10^-34
Дж • с.

Замечание.
Термин «верные значащие цифры» нельзя
понимать буквально. Например, современное
опытное значение скорости света в
вакууме составляет С = 2.997925 • 10⁸
м/с. Очевидно, что ни одна значащая цифра
в примере 1.9, б не совпадает с соответствующей
точной цифрой, но абсолютная погрешность
меньше половины разряда, соответствующего
последней значащей цифре в записи 3.00 •
10⁸:

|3.00
• 10⁸
– 2.997925
• 10⁸|
< 0.003
• 10⁸
< 0.01
• 10⁸/2
= 0.005
• 10⁸.

Правило округления чисел

Чтобы округлить
число до n
значащих цифр, отбрасывают все цифры,
стоящие справа от n-й
значащей цифры, или, если это нужно для
сохранения разрядов, заменяют их нулями.
При этом:

1) если первая
отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся
десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая
отброшенная цифра больше 5, то к последней
оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая
отброшенная цифра равна 5 и среди
остальных отброшенных цифр есть
ненулевые, то к последней оставшейся
цифре прибавляют единицу;

4) если первая из
отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные
цифры являются нулями, то последняя
оставшаяся цифра оставляется неизменной,
если она четная, и увеличивается на
единицу, если — нечетная (правило четной
цифры).

Это правило
гарантирует, что сохраненные значащие
цифры числа являются верными в узком
смысле, т. е. погрешность округления не
превосходит половины разряда,
соответствующего последней оставленной
значащей цифре. Правило четной цифры
должно обеспечить компенсацию знаков
ошибок.

Пример 1.10.
Приведем примеры округления до четырех
значащих цифр:

а) 3.1415926 = 3.142;

Δ_p
= |3.142 – 3.1415926| < 0.00041 < 0.0005;

б) 1 256 410 = 1 256 000;

Δ_p
= |1 256 000 — 1 256 410| < 500;

в) 2.997925 • 10⁸
=
2.998 • 10⁸;

Δ_p
= |2.998 • 10⁸
– 2.997925 • 10⁸|
= 0.000075 • 10⁸
< 0.0005 • 10⁸.

Следующая теорема
выявляет связь относительной погрешности
числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1.1.
Если положительное приближенное число
имеет n
верных значащих цифр, то его относительная
погрешность δ не превосходит величины
10^1-ⁿ
деленной на первую значащую цифру α_n,:

δ
<10^1-ⁿ
/ α_n
(1.11)

Формула (1.11)
позволяет вычислить предельную
относительную погрешность

δ
=10^1-ⁿ
/ α_n
(1.12)

Пример 1.11.
Найти относительную и абсолютную
погрешности приближенных чисел: а)
3.142, б) 2.997925 • 10⁸.

Решение.

а) Здесь n
= 4, α_n
= 3. Используем формулу (1.12) для оценки
относительной погрешности: δ =10^1-ⁿ
/ α_n = 0.001/3 ≈
0.00033.

Для определения
абсолютной погрешности применим формулу
(1.10):

Δ_a
= |а_р|
δ_а
= 3.142 * 0.00033 = 0.001.

б) Аналогично
вычислим: n
= 7, α_n
= 2, δ_а
= 10^1-ⁿ
/ α_n
= 0.000001/2 = 0.0000005;

Δ_a
= |а_р|
δ_а
= 2.997925
10⁸
• 0.0000005
≈ 150.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение:

Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства:

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Ответ:

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

Оставлять в записи числа только верные цифры.
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.
Если число содержит на конце целой части сомнительные цифры, то они должны быть заменены на , где — число цифр, которые нужно заменить.
Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда.

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: . В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: . Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как , то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на , поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где — цифры, причем (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число в стандартном виде будет представлено как .

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Источник

Содержание

— Какие цифры называются значащими?
— Что такое сомнительные цифры?
— Что называется десятичными знаками числа значащими цифрами числа?
— Как определить количество верных значащих цифр?
— Какая цифра называется значащей цифры приближенного числа?
— Какая цифра называется сомнительной?
— Как определить количество значащих цифр?
— Что такое верное число?
— Какие цифры в записи приближенных чисел называют верными строго верными сомнительными?
— Как определять погрешности при арифметических действиях с приближенными числами?
— Как определить погрешность записи числа?
— Как найти погрешность числа?
— Как найти погрешность двух чисел?
— Как учитывается погрешность измерительного прибора?
— Как находится погрешность округленного числа?

Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Какие цифры называются значащими?

Все сохраняемые десятичные знаки называются значащими цифрами числа , среди них есть равные нулю, за исключением . Итак, значащими цифрами числа называют все цифры в его представлении, начиная с первой отличной от нуля слева.

Что такое сомнительные цифры?

Определение : » Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не больше единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.»

Что называется десятичными знаками числа значащими цифрами числа?

Значащими цифрами числа называются все цифры его десятичной записи, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля.

Как определить количество верных значащих цифр?

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел: x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001. x = 0.002306, Dx = 0.00001.

Какая цифра называется значащей цифры приближенного числа?

Определение 2. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева. Пример 3. У числа 5142,39 все цифры значащие.

Какая цифра называется сомнительной?

Определение: Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит (£) единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.

Как определить количество значащих цифр?

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ числа, записанного в виде десятичной дроби, — все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля цифры. Так, для чисел 3,240; 0,0372 З. ц. будут соответственно 3, 2, 4, 0 и 3; 7; 2.

Что такое верное число?

Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра. …

Какие цифры в записи приближенных чисел называют верными строго верными сомнительными?

Как определять погрешности при арифметических действиях с приближенными числами?

Действия над приближенными числами

Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.

Как определить погрешность записи числа?

Погрешность записи (округления) числа определяется как отношение половины единицы младшего разряда числа к значению числа.

Как найти погрешность числа?

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Как найти погрешность двух чисел?

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ(x + y) = Δx + Δy.

Как учитывается погрешность измерительного прибора?

Из-за того, что в одном измерении точность оказывает влияние на погрешность, то учитывается среднее серии измерений. … Погрешность измерительного прибора обычно задается двумя значениями: погрешностью показания и погрешностью по всей шкале. Эти две характеристики вместе определяют общую погрешность измерения.

Как находится погрешность округленного числа?

Погрешность округления

Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, значение могло быть получено округлением чисел 0.73441, 0.73353 и др.

Интересные материалы:

Какая система для защиты населения от последствий лесных пожаров?
Какая скорость мкс на орбите?
Какая скорость нужна для Мегого?
Какая специальность у доктора Хауса?
Какая статья за съемку без согласия?
Какая степень окисления углерода в метане?
Какая связь в карбиде кремния?
Какая тема повести станционный смотритель?
Какая температура должна быть у индюков?
Какая температура у азота?

Источник