Как найти вероятность егэ профиль

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете  яблок, из них  — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно  машин:  красных,  желтых и  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется  машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .

 В сборнике билетов по биологии всего  билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .

Родительский комитет закупил  пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них  с картинами известных художников и  с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: .

В чемпионате по гимнастике участвуют  спортсменок: — из России,  — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая —  спортсменок). Ответ: .

Ученика попросили назвать число от  до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

 — нечетные числа;  — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .

Ответ: .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно,  исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет  очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего  возможных исходов, так как .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна  — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

 В кармане у Пети было монеты по  рублей и  монеты по  рублей. Петя не глядя переложил какие-то  монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами  — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: ,  (это пятирублёвые),  (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от  до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами  и  не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях  и  — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:

.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

.

Всего  возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами  и  не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки  и  обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего  благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403 задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение. Число благоприятных исходов – это и есть число канадских спортсменок. Их 70-(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в чемпионате. Итак, искомая вероятность равна 28/70 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества участниц.

Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина благоприятных исходов (его партнёр — российский теннисист) остаётся всего 6. Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность равна 6/75 = 0,008.

Ответ: 0,08.

Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов	Первое бросание	Второе бросание
	Решка	Решка
	Орёл	Орёл
	Орёл	Решка
	Решка	Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки) благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна 2/4 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.

Решение. Благоприятному событию (А) — орёл выпадет оба раза благоприятствует один исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А) = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна 70/350 =0,2

Ответ: 0,2.

Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом, поэтому искомая вероятность есть 15/300 = 0,05.

Способ 2. Всего рейсов 300/15 = 20. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только один из них, значит, вероятность определяется отношением 1/20 = 0,05.

Ответ: 0,05.

Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность вычисляется как отношение 100/103 ≈ 0,971 ≈ 0,97.

Ответ: 0,97.

Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.

Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую. Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна 16/50 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к. любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас событию — в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность 6/36 = 0,1(6) ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36. Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем вероятность: 4/36 = 0,(1) ≈0,11.

Ответ: 0,11.

Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и поэтому вероятность равна 2/36 = 1/18 ≈ 0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда (соперник Сапфира):

№ исходов	I команда	II команда	III команда
1	+	+	+
2	+	+	—
3	+	—	+
4	—	+	+
5	—	—	+
6	—	+	—
7	+	—	—
8	—	—	—

Очевидно, что интересующему нас событию А — в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего исходов – 8, значит, вероятность равна 4/8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А — в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза,  благоприятствует исход с номером 1 (он – единственный). Таким образом, искомая вероятность  вычисляется как отношение 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор 360^o/12 = 30^o. От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30^o × 6 = 180^o, таким образом, искомая вероятность вычисляется как 180/360 = 0,5.

С другой стороны, посмотрев на 12-часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от 7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

Решение. Все возможные исходы (их при трёх бросаниях представлены в таблице:

№ исхода	1-е бросание	2-е бросание	3-e бросание
1	Орёл	Орёл	Орёл
2	Орёл	Решка	Решка
3	Решка	Орёл	Решка
4	Решка	Решка	Орёл
5	Орёл	Орёл	Решка
6	Решка	Орёл	Орёл
7	Орёл	Решка	Орёл
8	Решка	Решка	Решка

Благоприятный исход один – последний: Решка-Решка-Решка. Вероятность, согласно классической формуле, равна 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

№ исхода	1-е бросание	2-е бросание	3-e бросание	4-e бросание
1	Решка	Решка	Решка	Решка
2	Решка	Решка	Решка	Орёл
3	Орёл	Решка	Решка	Решка
4	Решка	Орёл	Решка	Решка
5	Решка	Решка	Орёл	Решка
6	Решка	Решка	Орёл	Орёл
7	Орёл	Орёл	Решка	Решка
8	Орёл	Решка	Решка	Орёл
9	Решка	Орёл	Орёл	Решка
10	Решка	Орёл	Решка	Орёл
11	Орёл	Решка	Орёл	Решка
12	Решка	Орёл	Орёл	Орёл
13	Орёл	Решка	Орёл	Орёл
14	Орёл	Орёл	Решка	Орёл
15	Орёл	Орёл	Орёл	Решка
16	Орёл	Орёл	Орёл	Орёл

Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их всего 6. Значит, вероятность равна 6/16 = 3/8 = 0.375.

Если взять на себя труд и выучить теорему Я.Бернулли, то составления таблицы можно избежать.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(k) того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

(1).

Здесь  – число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность события, противоположного событию А.

В условиях нашей задачи p = 1/2, q = 1 — 1/2 = 1/2,

Подставляем в формулу (1) и получаем :

Ответ: 0,375.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий

Решение типовых задач ЕГЭ по математике (профильная).

Теория вероятности.

№1.В случайном эксперименте бросают две игральные
кости.Найдите вероятность того ,что всумме выпадет 5 очков.Результат округлите
до сотых.

Решение:Всего вариантов выпадения для 2 кубиков m=6²=36(каждый
из кубиков имеет 6 граней).А подходящих для нас (сумма  равна 5) всего n=4

5=1+4=2+3=3+2=4+1

Искомая вероятность
равна Р=4/36=0,11

Ответ:0,11

№2.В случайном эксперименте бросают три
игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков.
Результат округлите до сотых.

Решение: Всего вариантов выпадения для трёх кубиков
m= 6³ = 216 (каждый из кубиков имеет 6 граней).

А подходящих для нас
(сумма равна 16) всего n= 6:

16 = 6+6+4 = 6+4+6 =
4+6+6 = 5+5+6 = 5+6+5 = 6+5+5.

Искомая вероятность
равна Р = 6/216 = ¹⁄₃₆ ≈ 0,03.

Ответ: 0,03

№3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20
спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором
выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая.

Решение:В чемпионате принимает
участие 20 − (8 + 7) = 5 спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что
спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

Ответ: 0,25.

№ 4: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших
в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный
для контроля насос не подтекает.

Решение: n= 1000 – 5 = 995 – насосов не
подтекают.  m=1000.

Вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает, равна 

  Р= n/m=995/1000 = 0,995.

Ответ : 0,995

№5:  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.

Решение: m= 100 + 8 = 108 – сумок всего
(качественных и со скрытыми дефектами) ; благоприятных исходов n = 100/

Вероятность того, что купленная сумка окажется
качественной, равна       Р = n/m =100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.

Ответ : 0,93

№6 .В соревнованиях по
толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9
спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают
спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен,
который выступает последним, окажется из Швеции.

 Решение : Всего участвует m= 4 + 7 + 9 + 5 = 25
спортсменов; благоприятных исходов n =9.

 Вероятность того, что спортсмен, который
выступает последним, окажется из Швеции, равна 

 Р = n/m =9/25 = 36/100 = 0,36.

Ответ: 0,36

№7: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего
запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные
распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется
запланированным на последний день конференции?

Решение: В последний день конференции
запланировано

n=(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов; всего
возможных выборов m=75.

Вероятность того, что доклад профессора Н. окажется
запланированным на последний день конференции, равна Р= n/m= 12/75 = 4/25 =
0,16.

Ответ: 0,16

№8: Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего
заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8
выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок
выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление
представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение: В третий день конкурса запланировано

 n=(80 – : 4 = 18 выступлений ; всего
возможных выборов m=80.

Вероятность того, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса, равна 

Р = n/m =18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.

Ответ: 0,225.

№9 : На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из
России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение: Всего участвует m= 3 + 3 + 4 = 10 ученых,
из России n=3

Вероятность того, что восьмым окажется доклад
ученого из России, равна   Р = m/n= 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

 №10: Перед началом первого тура чемпионата по
бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью
жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10
участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов не может
играть сам с собою, поэтому m =25 , сам   Руслан Орлов тоже из России , значит
n =9.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов
будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна    Р = m/n=   9/25 =
36/100 = 0,36.

Ответ: 0,36.

 №11: В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов,
в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Решение:  Вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна  Р
= m/n=  11/55 =1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

№12 : В сборнике билетов по математике всего 25
билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность
того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по неравенствам.

Решение: Благоприятных исходов  n=25 – 10 = 15 –
билетов не содержат вопрос по неравенствам.

Вероятность того, что в случайно выбранном на
экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна   Р =
m/n= 15/25 = 3/5  = 0,6.

Ответ: 0,6

№13. Две фабрики выпускают
одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая
— 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло
окажется бракованным.

Решение.Вероятность того, что стекло куплено на
первой фабрике и оно бракованное: 0,45 • 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло куплено на второй
фабрике и оно бракованное: 0,55 • 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
равна                            0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019

№14. Если гроссмейстер А.
играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А.
играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б.
играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите
вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.Возможность выиграть первую и вторую
партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

 Ответ: 0,156.

№15:  Вася, Петя, Коля и Лёша
бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать
игру должен будет Петя.

Решение: Жребий начать игру может выпасть каждому
из четырех мальчиков , значит m=4. Вероятность того, что это будет именно
Петя        Р = m/n= 1/4 = 0,25

 Ответ: 0,25.

 №16: В чемпионате мира
участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по
четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами
групп:     

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется в третьей
группе.   

Решение: Всего команд 20, значит возможных
вариантов m =20 . Благоприятных исходов  n =4 ( четыре карточки с  цифрой 3) .
Вероятность выпадения нужного исхода Р = n/m=  4/20 = 0,2.

Ответ: 0,2.

№17.На экзамене по геометрии
школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые
одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.Введем два события:А:
выбор вопроса по теме «Внешние углы»;B: выбор вопроса по теме
«Тригонометрия».Вероятности этих событий:

Так как вопросов,
которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, то события несовместны и
вероятность их суммы можно вычислить по формуле:

Ответ: 0,45

№18: В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется
в обоих автоматах.

Решение: Рассмотрим события :А = кофе закончится в
первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.  Тогда A•B = кофе
закончится в обоих автоматах,  A + B = кофе закончится хотя бы в одном
автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A•B) = 0,12. События A и B
совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей
этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) +
P(B) − P(A•B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность
противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих
автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

№19:Биатлонист пять раз стреляет
по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а
последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: Результат каждого
следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом
выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.Вероятность каждого
попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: Р= 0,8 ;  2
выстрел : Р= 0,8 ; 3 выстрел : Р= 0,8;4 выстрел :Р = 0,2  ;5 выстрел :Р= 0,2.По формуле умножения
вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна:

 Р=0,8 ∙ 0,8 ∙
0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Ответ: 0,02.

№ 20. В магазине стоят два
платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05
независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.

Решение.Найдем вероятность того,
что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их
произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 • 0,05 =
0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат,
противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

№ 21. Помещение освещается
фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года
равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не
перегорит.

Решение.Найдем вероятность того,
что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения
равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие,
состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

№22: Вероятность того, что
новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того,
что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он
прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение .Пусть  A = «чайник
прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух
лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные,
вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на
вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего
в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день,
час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A•B) = P(A) +
P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.Тем
самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

№24: Агрофирма закупает
куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца
высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего
высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо,
купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение. Пусть в первом хозяйстве
агрофирма закупает x  яиц, в том числе, 0.4x яиц высшей категории, а во втором
хозяйстве y—  яиц, в том числе  02y яиц высшей категории. Тем самым, всего
агрофирма закупает  x+y яиц, в том числе 0.4x +0.2y  яиц высшей категории. По
условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:  (0.4x+0.2y)/(x+y) =0.35  ,
0.4x+0.2y=0.35(x+y) , 0.05x=0.15y , x=3y.Следовательно, у первого хозяйства
закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что
купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна Р=3y/(3y+y) =3/4= 0.75

Ответ : 0,75

№24: На клавиатуре телефона 10
цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет
чётной?

Решение.На клавиатуре телефона 
m=10 цифр, из них  n=5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что
случайно будет нажата четная цифра равна  Р = n/m=5 / 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

№25: Какова вероятность того,
что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение.Натуральных чисел от 10 до
19  m=10, из них на три делятся три числа: n= 12, 15, 18. Следовательно,
искомая вероятность равна   Р = n/m=3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

№26.Ковбой
Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера,
то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них
только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.

Решение.Ковбой Джон может наудачу
схватить как пристрелляный, так и не пристрелянный револьвер. Так как на столе
10 револьверов и из них только 4 пристрелянные, то вероятность выбора
пристрелянного револьвера равна  4/10=0,4,а
непристрелянного 1-0,4=0,6.Известно, что если он выстреливает из пристрелянного
револьвера, то попадает в цель с вероятностью 0,9, значит, вероятность такого
события будет равна0,4*0,9=0,36,а вероятность выбора непристрелянного
револьвера и попадания из него в цель, равна 0,6*0,4=0,24.Если произойдет или
первое или второе событие, то Ковбой Джон попадет в цель и вероятность этого события
равна 0,36+0,24=0,6,тогда вероятность промаха 1-0,6=0,4.

Ответ: 0,4.

№27: В группе туристов 5
человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село
за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.
Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.Всего туристов  m=5,
случайным образом из них выбирают n=2. Вероятность быть выбранным равна Р =
n/m=2 / 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

№28: Перед началом
футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд
начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два
раза.

Решение.Обозначим «Р» ту сторону
монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты
обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций  n=3: РР0, Р0Р, 0РР, а всего
комбинаций  m=2³ = 8:Тем самым, искомая вероятность равна:  Р=n/m=3/8= 0,375.

Ответ: 0,375.

№29:  В классе 26 человек,
среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две
группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей
окажутся в одной группе.

Решение.Пусть один из близнецов
находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе может оказаться n=12
человек из m=25 оставшихся одноклассников. Вероятность этого события
равнаP=n/m= 12 / 25 = 0,48.

Ответ : 0,4

№30.В
случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение.Обозначим выпадение орла буквой О, а
выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:OOO,  OОР,  
ОРО,   ОРР,   РОО,   РОР,  РРО,  
РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО.
Поэтому искомая вероятность равна  то есть 0,375. (Этот
подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

 Ответ: 0,375.

№31 Ковбой
Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера,
то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них
только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.

Решение.Запишем,
как могло случиться, что «Джон промахнулся». «Ковбой схватил
пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил непристрелянный
револьвер И не попал в муху.» Сначала разберемся с пистолетами: —
Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её
по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие,
один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие. — Вероятность
схватить непристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично,
определив число непристрелянных пистолетов. Затем разберемся с мухой: — Если
ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с
вероятностью 1−0,9=0,1. — Если ковбой стрелял из непристрелянного револьвера,
то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8. Здесь мы воспользовались
формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны
вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов. Теперь
вернемся к нашей формулировке события «Ковбой схватил…» и вместо
текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа — их
вероятности, а вместо союзов «И» и «ИЛИ» знаки «·» и
«+» соответственно. Получаем:

0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ :0,52

№32 В
группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он
подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов  m=5, случайным образом из них
выбирают n=2. Вероятность быть выбранным равна Р = n/m=2 / 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

№33 Перед
началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из
команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий
ровно два раза.

Решение.

Обозначим «Р» ту сторону монеты, которая отвечает
за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда
благоприятных комбинаций  n=3: РР0, Р0Р, 0РР, а всего комбинаций  m=2^3 = 8:Тем
самым, искомая вероятность равна:                     Р=n/m=3/8= 0,375.

Ответ: 0,375.

№34 На
рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран.
Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа
из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии?
Результат округлите до сотых.

Решение.

Общее количество выступающих на фестивале групп
для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6
способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н —
Норвегия):

m=…Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…,
…Ш…Н…Д…, …Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д… = 6

Дания находится после Швеции и Норвегии n=2.

 Поэтому вероятность того, что группы случайным
образом будут распределены именно так, равна  Р = n/m=2/6=0,333… = 0,33.

Ответ: 0,33

№35 В
классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным
образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того,
что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение.

Пусть один из близнецов находится в некоторой
группе. Вместе с ним в группе может оказаться n=12 человек из m=25 оставшихся
одноклассников. Вероятность этого события равнаP=n/m= 12 / 25 = 0,48.

Ответ : 0,48

№36 Чтобы
поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать
на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский
язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно
набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский
язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку
— 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З.
нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого
еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть
A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику,
русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов.    
Р=0,6*0,8*(0,7+0,5-0,7*0,5)=0,408

Ответ: 0,408.

№37 Из
районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в
понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность
того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того,
что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15
пассажиров»     и                           В = «в автобусе от 15 до 19
пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров».
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 =
0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

№38 В
Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,
установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с
вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля,
погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в
Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО,
ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности
наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8•0,8•0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8•0,2•0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2•0,2•0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2•0,8•0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их
сумы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128
+ 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

№39 Вероятность
того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает
случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того,
что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна
0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся
исправными) равна произведению вероятностей этих
событий:                          Р= 0,94·0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836. 

№40 Перед
началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди
играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что
«Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.

Требуется найти вероятность произведения трех
событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает
третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда
находим: 0,5•0,5•0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.