Как найти вероятность невыученных вопросов

Если  в каждом билете не более одного не выученного студентом вопроса, то всего не выученных билетов ровно столько, сколько невыученных вопросов, то есть 7 . В каждом билете по 2 вопроса, значит всего билетов 25 . Найдём вероятность того, что студенту попался невыученный билет 7/25 = 28/100= 0.28 зачит вероятность того, что студенту попался билет, который он выучил 1 — 0.28 = 0.72

ответ: 0.72 (72%)

Классическое определение вероятности

Будем
различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности
соответственно равны 1 и 0.

Геометрическое определение
вероятности

Если число
исходов некоторого опыта бесконечно, то
классическое определение вероятности не
может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного
события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению
вероятности. При этом вероятность события A есть
отношение меры A (длины,
площади, объема) к мере U пространства элементарных событий.

Теоремы о вероятностях событий

Произведением событий A и B называется событие C = A• B, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B, т. е. оба события произошли.

Два события
A и B называются
независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются
зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения двух
независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: P(AB) = P(A) • P(B).

Противоположные события

Два события
называются совместными, если появление одного из них не исключает
появление другого в одном и том же испытании.

Два события
называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и
одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме
дают 1.

Если событие
A может
произойти с вероятностью p и опыт повторяют n раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один
раз, есть: 1 — qⁿ, где q = 1 — p.

Сложение вероятностей

Суммой
событий A и B называется
событие C = A + B, состоящее в
наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух
несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A) + P(B).

Условная вероятность

Пусть A и B— зависимые события. Условной
вероятностью P_A(B) события B называется
вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух
зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на
условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие
уже наступило: P(AB) = P(A) • P_A(B).

Теорема. Вероятность суммы двух совместных
событий A и B равна сумме
вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P (A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Формула Бернулли

Для
многократно повторяемых опытов справедлива формула Бернулли:

P _{m, n} = C _n^m • p^m
•q ^n—m, где m — число удачных исходов среди
проводимых n опытов, p —
вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, q = 1 – p.

Рассмотрим некоторые задачи с решениями. 

Задание 5. № 319353. Две фабрики выпускают
одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а
вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине
стекло окажется бракованным.

Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:
0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:
0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное
в магазине стекло окажется бракованным равна
0,0135 + 0,0055 = 0,019. 

Ответ: 0,019.

Задание 5. № 319355. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у
гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52.
Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того,
что А. выиграет оба раза.

Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их
вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

Задание 5. № 320171. На экзамене по геометрии
школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые
одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Задание 5. № 320172. В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется
в обоих автоматах.

Решение.
Рассмотрим события 

А = кофе закончится в первом
автомате,
В = кофе закончится во втором
автомате. 

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих
автоматах,
A + B = кофе закончится
хотя бы в одном автомате. 

По условию P(A) = P(B) = 0,3;
P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: 

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. 

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе
останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Можно
привести и другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна
1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во
втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что
кофе останется в первом или втором автомате равна
1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B),
имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда
искомая вероятность х = 0,52.

Примечание.
Важно понимать, что события А и В не являются независимыми. Действительно,
вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей
этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09,
однако по условию эта вероятность равна 0,12.

Задание 5. № 320173. Биатлонист пять раз стреляет
по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а
последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с
вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. События попасть или
промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения
независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность
события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 

                                              0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02

Ответ: 0,02.

Задание 5. № 320174. В магазине стоят два платёжных
автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат
исправен. 

Решение.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые,
вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Есть другое решение.
Вероятность того, что исправен первый автомат (событие А) равна 0,95. Вероятность того, что исправен второй автомат
(событие В) равна 0,95. Это
совместные независимые события. Вероятность их произведения равна произведению
вероятностей этих событий, а вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Имеем: 

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975. 

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЬНОЙ ЖИЗНИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Комбинаторика и теория вероятности возникла только в XVI веке в связи с запросами привилегированных слоев населения, так как в их жизни большое место занимали азартные игры (карты, кости). Поэтому долгие годы не имела широкого распространения из-за своей узкой направленности. Ситуация кардинально стала менять в конце XX века.

И только лишь в 2011 году раздел теория вероятности прочно основался в курсе обучения математики и был включен в контрольно-измерительные материалы итоговой аттестации. Проанализировав отчеты о результатах выполнения данного задания на итоговой аттестации учащихся, пришли к выводу, что с каждым годом процент учащихся выполняемых правильно данное задание колеблется, и в большей части увеличивается, но по сравнению с другими текстовыми задачами остается намного ниже.

По наблюдению педагогов, чаще всего данная ситуация связана с тем, что задачи представленные в учебно-методических комплексах, основаны на сюжетах, связанными с азартными играми, что не вызывает интереса у обучающихся, так как далека от их реальной жизни,.

Гипотеза. Качество усвоения учащимися комбинаторики и теории вероятности улучшится, если задачи данного раздела приблизить к их реальной жизни.

Для подтверждения данной гипотезы нами была выдвинута идея создать собственный сборник задач по комбинаторике и теории вероятности, применяя школьные ситуации, и использовать данный сборник на уроках математики в 5-6 классах Курайской школы.

Цель. Создать «Сборник задач по комбинаторики и теории вероятности в школьной жизни», способствующий улучшению успеваемости учащихся по данной теме.

Задачи :

Выделить проблему. Выдвинуть гипотезу и поставить цели.

Изучить различные виды источников, включая Интернет — ресурс по комбинаторике и теории вероятности.

Определить сферы школьной деятельности и составить задачи. Классифицировать полученные задачи.

Оформить задачи в сборник с иллюстрациями.

Провести занятие в 5-6 классах по заданной теме.

Провести исследование, подтвердив или опровергнув гипотезу.

Объект исследования – комбинаторика и теория вероятности.

Предмет исследования: применение комбинаторики и теории вероятности в реальной жизни.

Методы исследования:1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) анкетирование, 6) эксперимент.

§1. Развитие комбинаторики и теории вероятности

1.1. Происхождение задач по комбинаторики и теории вероятности

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья в XVI веке. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики и теории вероятности связаны с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

На сегодняшний день вероятностные методы глубоко проникли в современную науку, широко используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. В современном мире автоматизированного производства теория вероятности специалистам необходима для решения задач, связанных с выявлением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы (например: сколько бракованных изделий будет изготовлено). Для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты, определяют риски в производстве.

1. 2. Задачи по комбинаторике и способы их решения

Комбинаторика – раздел математики, изучающая задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некотором порядке.

Исходное множество чаще считается конечным, извлеченные элементы из множества составляют выборку.

Если изначальное множество состоит из mэлементов, то при следующем выборе извлекая из него новый элемент, отличный от других – это выбор без повторений.

Если изначальное множество состоит из элементов m типов, при этом в каждом новом типе элементы можно различить, то при следующем выборе извлекаем из него, либо новый элемент, либо который уже встречался в предыдущих типах – это выбор с повторениями.

В данном пособии приведем решение задач тремя основными способами школьного курса средней школы.

Схема 1. Способы решения задач по комбинаторике

Каждая задача, по комбинаторики может решаться любым из данных способов. Приведем несколько задач из сборника, решаемые различными способами.

Задача, решаемая перебором вариантов.

Пример 1. В магазине «Теремок» осталось только три разные тетради в клетку. Дима и Рома покупают себе по одной тетради. Сколько существуют способов покупок для этих парней? Перечислите.

Решение. Пронумеруем для удобства данные тетради 1,2,3.

И переберем все варианты 1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 1-3, 3-1.

Ответ 6.

Задача, решенная деревом вариантов.

Пример 2. У Насти в гардеробе имеется водолазка, пуловер и рубашка. Сколько возможных вариантов можно составить школьной формы с юбкой и брюками?

Решение. Представим результаты деревом вариантов

Схема 2. Дерево вариантов

Ответ. 6 способов.

В тоже время способ «дерево вариантов» может иметь различные виды, для сравнения представим другой пример.

Пример 3. В столовой Курайской школы на обед готовят три вида первого блюда: щи, рассольник и солянка, а также четыре вида второго блюда: печень тушеная, котлета, сарделька отварная, рыба запеченная. Какое количество обедов из первого и второго может составить повар для меню?

Решение.Представим результаты в виде таблицы.

	Печень тушеная	Котлета	Сарделька отварная	Рыба запеченная
Щи	Щи +Печень	Щи +Котлета	Щи +Сарделька	Щи +Рыба
Рассольник	Рассольник +Печень	Рассольник +Котлета	Рассольник +Сарделька	Рассольник +Рыба
Солянка	Солянка +Печень	Солянка +Котлета	Солянка +Сарделька	Солянка +Рыба

Ответ. 12 способов.

Задача, решаемая по правилу произведения.

Пример 4. В 5 классе по плану 3 урока английского языка в неделю, сколькими способами их можно расставить в расписании на неделю?

Решение. Так как порядок уроков не имеет значение, воспользуемся правилом произведения. Первый урок можно выбрать из пяти дней недели, второй урок из четырех, а третий из оставшихся трех. 5*4*3=60 способов.

Ответ. 60.

Другие задачи с решениям представлены в сборнике (приложение).

1.3. Задачи по теории вероятности, их классификация

Существует множество различных определений понятия вероятности, предлагаем определение создателя аксиоматической теории вероятности А.Н. Колмагорова [5] «вероятность – это числовая характеристика степени возможности появления, какого – либо определенного события в тех или иных условиях»

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Приведем некоторый теоретический материал, необходимый для решения задач.

Случайное событие — это событие, которое при осуществлении условий S может либо произойти, либо не произойти.

Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможное событие — это событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

Противоположное событие к событию А – это событие, которое не происходит, если А происходит, или наоборот.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев (обозначается Р(А)).

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительно число, заключенное между 0 и 1.

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Свойство 4. Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Свойство 5. Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(AB)=P(A) P(B)

Нами было выделено три типа задач по теории вероятности, решаемых в курсе 5-6 классов.

I тип задач. Виды событий.

Пример 1.Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. Учащиеся 6 класса 2016 — 2017 учебного года родились: 1) 2004 году; 2) 2016; 3) до 2016 года.

Решение.

1.  
   Событие, что учащиеся 6 класса родились в 2004 году — случайное, оно может быть, а может и не быть, все завит от месяца рождения в течение года.

   Событие невозможное, так как с рождения не берут в школу.

   Событие достоверное, так как если учащиеся учатся в 6 классе в 2016-2017, значит, родились до 2016.

Пример 2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

1) на контрольной работе по русскому языку меньше половины класса получили пятерки,

2) в 5 классе все умные и усидчивые,

3) учитель биологии вызвал к доске девочку,

4) во время каникул все учащиеся покатались на коньках.

Решение.

на контрольной работе по русскому языку не меньше половины класса получили пятерки,

в 5 классе есть хотя бы один не умный и не усидчивый,

учитель биологии вызвал к доске мальчика,

во время каникул хотя бы один человек покатался на коньках.

II тип задач. Классическое определение вероятности.

Пример 3. Для зачета по биологии Ольга Викторовна под­го­то­ви­ли 5 классу вопросы на отдельных листах с но­ме­ра­ми от 1 до 20. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый Никитой вопрос имеет од­но­знач­ный номер?

Ре­ше­ние. Всего подготовлено 20 вопросов. Однозначными будут вопросы от 1 до 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый вопрос имеет одно­знач­ный номер равна 9:20=0,45.

Ответ: 0,45.

III тип задач. Задачи повышенного уровня.

Пример 4. Во время проведения дня здоровья «Зимние забавы» на станции «Дартс» каждый участник команды имеет три попытки. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что участник пер­вые два раза попал в ми­ше­нь, а по­след­ний — про­мах­нул­ся.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку участник команды по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тие по­пасть или про­мах­нуть­ся не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, про­мах­нул­ся» равна 0,80,80,2=0,128.

Ответ:0.128.

§ 2. Применение сборника задач по комбинаторики и теории вероятности на уроках в 5-6 классах

2.1. Анкетирование

Анкетирование проводилось среди учащихся 5-6 классов Курайской школы (25 человек) до проведения занятий по задачам из сборника, чтобы определить нуждаются ли учащиеся в дополнительной работе по данной теме.

Учащимся необходимо было ответить на вопросы однозначно: Да – Нет.

1. Возникали ли у тебя трудности во время решения задач по теме комбинаторика (теория вероятности)?

2. Считает ли вы данный темы интересными?

3. Пригодится тебе в твоей жизни комбинаторика (теория вероятности)?

Из всей выборки учащихся получили следующие результаты:

Таблица 1. Результаты анкетирования учащихся

	Да	Нет
Вопрос 1	15 (60%)	10 (40%)
Вопрос 2	7 (28%)	18 (72%)
Вопрос 3	13 (52%)	12 (48%)

Опрос показал, что учащиеся не полностью разобрались в данной теме и не увидели ее применение их повседневной жизни.

2.2. Эксперимент

Эксперимент проводился на выборке тех же учащихся.

За входной контроль были взяты результаты проверочной работы, проводимые учителем в рамках учебной программы по математике.

Результат входного контроля 5 класса по решению задач комбинаторики имеет вид:

Диаграмма 1. Результаты входного контроля учащихся 5 класса.

Средний балл – 3,54.

Результаты входного контроля 6 класса по теории вероятности представлен на диаграмме

Диаграмма 2. Результаты входного контроля учащихся 6 класса.

Средний балл – 3,58.

В дальнейшем нами были приведены занятия во внеурочное время по решению задач из составленного нами сборника.

К итоговому контролю были представлены задачи.

Пример карточки.

Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. При измерении роста учащихся 5 класса получили результаты: 1) 156 см, 2) 11 см, 3) меньше 200 см, 4) 254 см, 5) 161 см.

В 6 классе Курайской школы 14 учеников, среди них 2 друга – Егор и Максим. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 2 равные команды для игры в «Снайпер». Найдите вероятность того, что Максим и Егор попали в одну команду.

У Даши было пять одинаковых карточек на которых была напечатана одна из следующих букв «а», «м», «р», «т», «ю». Ариша тщательно перемешала все эти карточки. Какова вероятность, что из этих карточек Даша вытянет те карты, из которых будет составлено слово ЮРТА.

Ве­ро­ят­ность того, что в тесте по истории Иван верно решит боль­ше 11 заданий, равна 0,6. Ве­ро­ят­ность того, что Иван верно решит боль­ше 10 заданий, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Иван верно решит ровно 11 заданий.

На данных диаграммах приведена сравнительная динамика изменений.

Диаграмма 3. Результаты 5 класс.

Средний балл повысился до 4,15

Диаграмма 4. Результаты 6 класса

Средний балл повысился до 4,25

Данный эксперимент показывает, что применение в задачах жизненных ситуаций более интересны учащимся и мотивирует их к плодотворной работе.

Заключение

В результате проделанной нами работы, добились реализации поставленных перед собой задач:

1) создан сборник задач по комбинаторики и теории вероятности из ситуаций реальной жизни школьников 5-6 классов

2) проведены занятия в 5 и 6 классах Курайской школы по применению данного сборника на практике.

3) проведен эксперимент, в результате которого была подтверждена наша гипотеза, о том, что реальные жизненные ситуации в задачах вызывают интерес у учащихся.

После получения результатов, пришли к выводу, что цель работы достигнута в полном объеме.

В дальнейшем планируется расширение области задач с их усложнением.

Список использованных источников и литературы

Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. — М.: ЛКИ, 2013. — 296 c.

История математики с дрвнейших времён до начала XIX столетия / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М: Наука, 1970-1972. T.1-3.

Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс. Учебник. ФГОСАвтор: , Год: 2016 издатель: «Просвещение»,

Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.

Студенецкая В.Н. Решение задч по статистике, комбинаторике и теории вероятности – Волгоград: Учитль, 2009. – 428 с.

Холл. М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы– М. Айрис-пресс, 2006

http://www.studfiles.ru/preview/6014092/

https://sites.google.com/site/teoriaveroyatnosti/teoria/elementy-kombinatoriki

http://mognovse.ru/scl-kombinatorika-i-teoriya-veroyatnosti-1-kombinatorika.html

Приложение 1. «Сборник задач по комбинаторике и теории вероятности в школьной жизни»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Курайская средняя школа

Сборник задач по комбинаторике

и теории вероятности в школьной жизни

Составитель: Курбангулов Егор

С. Курай 2017

Содержание

1. Комбинаторные задачи

2. Задачи по теории вероятности

2.1. Виды событий

2.2. Классическое определение

2.3. Задачи повышенного уровня

3. Решение задач по комбинаторики

4. Решение задач по теории вероятности

1. Комбинаторные задачи

В магазине «Теремок» осталось только три разные тетради в клетку. Дима и Рома покупают себе по одной тетради. Сколько существуют способов покупок для этих парней? Перечислите.

Во время товарищеского матча по мини — футболу между командами Курай и Н-Танай участники соревнования обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? (в команде 6 человек)

В Курайская школа имеет 5 входов, из них три запасных. Запишите все возможные случаи, какими ученик школы может войти в центральный вход, а выйти через любой. Сколько таких способов?

В январе 2017 года в Дзержинском районе в соревнованиях по волейболу среди девушек 2003- 2005 участвовала 5 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре. Сколько всего игр было сыграно?

В магазине «Водолей» продается 7 видов мороженного (не в одном количестве). Егор и Дима покупают по одному. Сколько существует вариантов такой покупки?

Во время школы «Лидер» Даша участвовала в группе из 4 человек. В конце встречи они добавились друг другу в друзья в VK. Сколько всего было добавлено друзей?

Учащиеся 6 класса Курайской школы решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 14 человек?

В столовой Курайской школы на обед готовят три вида первого блюда: щи, рассольник и солянка, а также четыре вида второго блюда: печень тушеная, котлета, сарделька отварная, рыба запеченная. Какое количество обедов из первого и второго может составить повар для меню?

У Насти в гардеробе имеется водолазка, пуловер и рубашка. Сколько возможных вариантов можно составить школьной формы с юбкой и брюками?

В 5 классе по плану 3 урока английского языка в неделю, сколькими способами их можно расставить в расписании на неделю?

У Даши из 5 класса 4 подруги: Катя, Вика, Алина, Полина. Она решила двух из них пригласить на каток. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

В 6 классе Курайской школы при участии в «Математической лиге» выделились 5 лидеров. Сколькими способами учитель может выбрать 2 учащихся для участия в финале?

В Курайскую школу каждый учебный день приходит два школьных автобуса, в автотранспортном предприятии всего 15 школьных автобусов. Сколько существует вариантов отправки в Курайскую школу каждый раз разный состав автобусов?

В кабинете информатики работают 7 стационарных компьютеров. Сколькими способами, возможно, рассадить 7 учащихся 9 класса при практической работе?

2. Задачи по теории вероятности

2.1. Виды событий

Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. Учащиеся 6 класса 2016 — 2017 учебного года родились: 1) 2004 году; 2) 2016; 3) до 2016 года.

Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. При измерении роста учащихся 5 класса получили результаты: 1) 156 см, 2) 11 см, 3) меньше 200 см, 4) 254 см, 5) 161 см.

Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его понятиями «вероятность 100%», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно».

1) на уроке музыки учащиеся делали физические упражнения;

2) на уроке математики учащиеся решали задачи;

3) на уроке физической культуры учащиеся решали задачи;

4) учащиеся вышли с летних каникул – 1 сентября;

5) день рождение ученика Курайской школы – 29 февраля;

Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

1) на контрольной работе по русскому языку меньше половины класса получили пятерки,

2) в 5 классе все умные и усидчивые,

3) учитель биологии вызвал к доске девочку,

4) во время каникул все учащиеся покатались на коньках.

Из событий:

1) «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

2) «сегодня 1 января»

3) «сегодня температура воздуха -40 градусов»

4) «сегодня все учащиеся не учатся»

5) «сегодня наступило утро»

Составить всевозможные пары совместных и несовместных событий.

2.2. Классическое определение вероятности

В 6 классе 8 девочек, среди них две подруги – Яна и Арина. Учитель физкультуры наугад разбивает девчонок в две команды для участия в играх «А ну-ка, девушки». Найдите вероятность того, что Яна и Арина окажутся в одной команде.

В 6 классе Курайской школы 14 учеников, среди них 2 друга – Егор и Максим. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 2 равные команды для игры в «Снайпер». Найдите вероятность того, что Максим и Егор попали в одну команду.

Иван забыл последние 2 цифры пароля от социальной сети VK, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Для зачета по биологии Ольга Викторовна под­го­то­ви­ли 5 классу вопросы на отдельных листах с но­ме­ра­ми от 1 до 20. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый Никитой вопрос имеет од­но­знач­ный номер?

Нина имеет в социальной сети «Одноклассники» пароль из 5 букв: Ш, О, К, А, Л. Какова вероятность того, что Нина наберет в пароль слово «школа»?

Ангелина на урок географии выучила только 10 вопросов из 15 необходимых в домашнем задании. Какова вероятность, что Александр Викторович спросит Ангелину невыученный вопрос?

При дежурстве по школе учащиеся распределяются на семь постов, так как в 6 классе 14 человек, значит на каждом посту по два человека. Какова вероятность, что Настя и Даша окажутся дежурными на одном посту.

2.3. Задачи повышенного уровня

Вероятность того, что на контрольной работе по математике Рома верно решит больше 4 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Рома верно решит больше 3 задач, равна 0,87. Найдите вероятность того, что Рома верно решит ровно 4 задачу.

Ве­ро­ят­ность того, что в тесте по истории Алина верно решит боль­ше 11 заданий, равна 0,6. Ве­ро­ят­ность того, Алина верно решит боль­ше 10 заданий, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Алина верно решит ровно 11 заданий.

Во время проведения дня здоровья «Зимние забавы» на станции «Дартс» каждый участник команды имеет три попытки. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что участник пер­вые два раза попал в ми­ше­нь, а по­след­ний — про­мах­нул­ся.

В трех ма­га­зи­нах с. Курай независимо друг от друга продаются карты для пополнения денежных средств на телефон. Вероятность, что их нет в наличии 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы в одном магазине можно купить карту.

3. Решение задач по комбинаторике

Решение. Пронумеруем для удобства данные тетради 1,2,3. И переберем все варианты1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 1-3, 3-1.

Ответ 6.

Решение. В данной ситуации порядок не имеет значения: если первый участник команды Курай пожимает руку первому участнику Н-Танай, то одновременно и первый участник Н-Танай жмет руку первому участнику Курай, поэтому всего будет рукопожатий.

Ответ. 36

Решение. В данной ситуации порядок входа имеет значение. Если запасных 3 выхода, то центральных — 2, то дерево вариантов будет выглядеть

Ответ 10.

Решение. В данном случае порядок не имеет значение. 45/2=10 игр.

Ответ 10.

Решение. Для решения данной задачи порядок не имеет значение, поэтому Егор может выбрать любое из семи и Дима любое из семи. По правилу произведения 77=49.

Ответ 49.

Решение. Порядок выбора не имеет значения: если всего 4 человек, то каждому необходимо добавить по 3 друга. 34=12.

Ответ. 12.

Решение. Порядок выбора не имеет значения: если всего 14 человек, то каждому необходимо отдать по 13 фотографий. 1314=182.

Ответ. 182.

Решение.Представим результаты ввиде таблицы.

	Печень тушеная	Котлета	Сарделька отварная	Рыба запеченная
Щи	Щи +Печень	Щи +Котлета	Щи +Сарделька	Щи +Рыба
Рассольник	Рассольник +Печень	Рассольник +Котлета	Рассольник +Сарделька	Рассольник +Рыба
Солянка	Солянка +Печень	Солянка +Котлета	Солянка +Сарделька	Солянка +Рыба

Ответ. 12 способов.

Решение. Представим результаты деревом вариантов

Ответ. 6 способов.

Решение. Так как порядок уроков не имеет значение, воспользуемся правилом произведения. Первый урок можно выбрать из пяти дней недели, второй урок из четырех, а третий из оставшихся трех. 543=60 способов.

Ответ. 60.

Решение. Представим решение в виде таблицы

	Катя	Вика	Алина	Полина
Катя		К-В	К-А	К-П
Вика	В-К		В-А	В-П
Алина	А-К	А-В		А-П
Полина	П-К	П-В	П-А

Так как порядок выбора подруг не имеет значение, значит, считаем только варианты над закрашенными ячейками.

Ответ. 6.

Решение. В данной задаче порядок имеет значение, если первый участник выбирается из 5, то второй из четырех. 4*5=20 случаев.

Ответ. 20.

Решение. В данной ситуации порядок автобусов имеет значение, так как набор должен быть разным. Получаем по правилу произведения если певый автобус можно выбрать 15 – ю вариантами, то второго 14 – ю вариантами. Всего способов

Ответ. 6.

Решение. Воспользуемся правилом произведения. Если на первом компьютере можно посадить любого ученика из семи, то на второй любого из оставшихся 6 и т. д. 7654321=5040 способов.

Ответ. 5040.

4. Решение задач по теории вероятности

1. Событие, что учащиеся 6 класса родились в 2004 году — случайное, оно может быть, а может и не быть, все завит от месяца рождения в течение года.

   Событие невозможное, так как с рождения не берут в школу.

   Событие достоверное, так как если учащиеся учатся в 6 классе в 2016-2017, значит, родились до 2016.

Решение.

2. случайное;

   невозможное;

   достоверное;

   невозможное;

   случайное.

Ответ.

3. случайное событие, но при этом маловероятно.

   достоверное событие, вероятность 100%.

   невозможное событие, нулевая вероятность.

   случайное событие, достаточно вероятно

   случайное событие, маловероятно.

Решение.

4. на контрольной работе по русскому языку не меньше половины класса получили пятерки,

   в 5 классе есть хотя бы один не умный и не усидчивый,

   учитель биологии вызвал к доске мальчика,

   во время каникул хотя бы один человек покатался на коньках.

Решение.

Решение.

Совместные события.

1.  
   «сегодня 11 классе отучился 7 уроков» и «сегодня наступило утро»

   «сегодня 1 января» и «сегодня все учащиеся не учатся»

   «сегодня наступило утро» и «сегодня 1 января»

   «сегодня все учащиеся не учатся» и «сегодня температура воздуха -40 градусов»

   «сегодня наступило утро» и «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

   «сегодня наступило утро» и «сегодня все учащиеся не учатся»

   «сегодня наступило утро» и «сегодня температура воздуха -40 градусов»

Несовместные события

1.  
   «сегодня 11 классе отучился 7 уроков» и «сегодня 1 января»

   «сегодня температура воздуха -40 градусов» и «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

Решение. Если Яне первой досталось некоторое место, то Арине остаётся 7 мест. Из них 3 — в той же команде, где и Яна. Искомая вероятность равна 3/7.

Ответ:3/7.

Ответ 6 : 13.

Решение. Используем определение вероятности, рассчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент:

10	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	23	24	25	26	27	28	29

Таких чисел 18 штук. Тогда искомая вероятность P=1/18. Ответ: 1/18.

Ре­ше­ние. Всего подготовлено 20 вопросов. Однозначными будут вопросы от 1 до 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый вопрос имеет одно­знач­ный номер равна 9:20=0,45.

Ответ: 0,45.

Решение: Число различных перестановок из букв равно

54321=120, из них только одна соответствует слову «школа», поэтому по вероятность того, что Нина наберет пароль слово «школа» равна P=1/120.

Ответ. 1/120.

Решение. Всего 15 вопросов. Невыученных 15-10=5. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад заданный вопрос – невыученный 5:15=1/3.

Ответ: 1/3.

Решение. Если Насте первой досталось некоторый пост, то Даше остаётся 13 мест. Из них 1 — на том же посту, где и Настя. Искомая вероятность равна 1/13.

Ответ. 1/13

Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 4: решить 5-ю

Больше 3: решить 4-ю, 5-ю. Вероятность решить 4-ю = 0,87-0,75=0,12.

Ответ:0.12

Ре­ше­ние. Вероятность решить несколько заданий складывается из суммы вероятностей решить каждое из этих заданий. Больше 11: решить 12-е. Больше 10: решить 11-е, 12-е. Вероятность решить 11-е = 0,7-0,6=0,1.Ответ:0.1

Ре­ше­ние. По­сколь­ку участник команды по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тие по­пасть или про­мах­нуть­ся не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, про­мах­нул­ся» равна 0,80,80,2=0,128.

Ответ:0.128.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что во всех магазинах нет карт. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,2 · 0,2 0,2= 0,008. Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что хотя в одном магазине есть карты, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,008 = 0,992.

Ответ: 0,992.Ответ: 0,997

Просмотров работы: 7315

На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Всего 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них, значит количество выученных им билетов 22 (25-3=22). Чтобы найти вероятность того, что ему попадётся выученный билет нужно разделить 22 (количество благоприятных исходов или событий) к 25. 22/25 = 0,88. Можно решить эту задачу и другим способом, найдем вероятность попадания невыученных билетов по формуле вероятности: 3/25 = 0,12. Чтобы найти вероятность того, что Сергею попадётся выученный билет используем теорему о вероятности противоположного события: 1-0,12 = 0,88. Ответ: 0,88.

На рисунке, предоставленном автором вопроса, треугольник искаженный и не соответствует условию. По этой причине предлагаю свой вариант рисунка.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные к прилежащим к ней сторонам. Следовательно согласно условия АВ : АС = 1 :2. Тогда АК = АВ, а треугольник АКВ равносторонний и биссектриса АD делит его на равные части. В свою очередь медиана ВК делит треугольник АСВ на два равновеликих треугольника. Откуда площади треугольников АКЕ и АЕВ составляют по 15 кв. см.

Биссектриса треугольника делит так же площадь треугольника пропорционально прилежащим к ней сторонам. Тогда площади треугольников АDВ и АСD относятся друг к другу как 1 : 2.

На основании сказанного составим систему уравнений, обозначив неизвестные площади треугольников за х и у,

Решая систему относительно х, получаем — площадь 4-угольника EDCK равна 25 кв. см.

ОГЭ по математике это экзамен который сдают девятиклассники, по сути это подготовка к сдаче экзамена ЕГЭ. Еще в прошлом году ОГЭ назывался ГИА (государственная итоговая аттестация), но в этом году изменили название (по аналогии с ЕГЭ), по сути изменилось только название, порядок проведения и правила остались такие же как и раньше. В 2015 году ОГЭ по математике состоится 27 мая. Минимальное количество баллов которое необходимо набрать чтобы продолжить обучение или получить аттестат — 8 баллов.

Если Вы сдали остальные предметы лучше чем математику, то снова пересдать Вы, естественно, можете в этом году через месяц — в сентябре. Но лучше хорошенько подготовиться, решать побольше КИМов в течении августа и, наконец, сдать математику, не завалив алгебру. ОГЭ в 9 классе очень важно для дальнейшей учебы в целом, так что постарайтесь сделать это как можно лучше.

Насколько мне известно, если Вы не сдадите этот экзамен в сентябре, то передавать будете уже в следующем году вместо с будущими девятиклассниками.

Желаю Вам сдать как можно лучше уже через месяц 🙂

Такие задания появились в новой демоверсии ОГЭ по математике. Большинство изменений коснулись именно заданий с геометрическим содержанием. Для выполнения данного конкретного задания выпускнику 9 класса необходимо вспомнить теорему о параллельной прямой, проходящей через точку не лежащую на данной прямой, о неравенстве треугольников и свойства параллелограмма, то есть теоретические знания. Так через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой (и только одну) — это предложение верное. Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны, значит предложение «Треугольник со сторонами 1,2,4 существует» неверное, так как 1+2 < 4. У параллелограмма противоположные углы равны, значит предложение «В любом параллелограмме есть два равных угла» верное. Ответ: 12.

Допустим, третий велосипедист догнал второго через х часов, второй велосипедист к этому времени находился в пути уже (х + 1) час, значит, второй и третий спортсмен встретились в 12(х + 1) км от старта, а скорость третьего в этом случае составляет 12(х + 1)/х км/ч.

С момента старта первого велосипедиста до момента встречи его с третьим прошло (х + 10) часов, а значит, их встреча произошла в 22(х + 10) км от старта. Это расстояние третий спортсмен преодолел за 22х(х + 10)/12(х + 1) или (11х² + 110)/(6х + 6) часов, что по условию на 2 часа меньше, чем потребовалось первому спортсмену. Таким образом,

х + 10 — (11х² + 110х)/(6х + 6) = 2, или

Единственным положительным корнем данного уравнения явл-ся х = 0,8. В этом случае скорость третьего спортсмена 12*(0,8 + 1)/0,8 = 27 км/ч.

ОГЭ Задание «На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3», как сделать?

На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Задача имеет простое академическое решение. Но возникает несколько «если».

1) Если Сергей пойдёт первым на экзамен, то решение простое. По формуле: 22 : 25 = 0.88 или 88% вероятности, что Сергей вытянет билет.

Но в жизни, как правило, не так. Реальная ситуация такова:

2) Но Сергея страшит экзамен, он пропускает вперёд себя 10 человек. Больше нельзя. Экзаменатор добавит отвеченные билеты и 1-й вариант возникнет перед Сергеем снова.

а) Все не выученные билеты оказались в десятке. Выигрыш 100%

б) 1 не выученный билет оказались в десятке. (25 — 10 — 2) : (25 — 10) = 13 : 15 = 0.86 (6 в периоде) почти столько же.

г) 2 не выученных билета оказались в десятке. (25 — 10 — 1) : (25 — 10) = 14 : 15 = 0.93 (3 в периоде). Уже неплохо.

д) 0 не выученных билетов оказались в десятке. (25 — 10 — 3) : (25 — 10) = 12 : 15 = 0.8 почти столько же как в первом варианте, лучше бы он первым пошёл.

3) Исключительный случай. Сергей пошёл последним, экзаменатор не добавлял билетов. Остался один и он как раз тот, который Сергей не выучил.

Всё дело в том, что ожидающие своей очереди спрашивают выходящих: «Какой билет был?», — ну вот и дождался.

Со мной такого не случалось. Я шла на экзамен в первой пятёрке, часто отвечала первой. Эта задача не про меня.

На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Вы перешли к вопросу Из 40 вопросов студент выучил 30?. Он относится к категории Алгебра,
для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот
вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического
умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории
Алгебра. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном
объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части
сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете
ознакомиться с вариантами ответов пользователей.