Итак, сегодня у нас из теории вероятностей, задачи об объединении несовместных событий. Мы уже рассмотрели задачи на подбрасывание монеты и кубика, а также задачи средней трудности из ЕГЭ о пересечении независимых событий.
Объединение несовместных событий
Задача 4.1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Пусть событие А означает, что школьнику достался вопрос по теме «Ромб», событие В — вопрос по теме «Описанная окружность». По условию Р(А)= 0,1, Р(В) = 0,15. По условию события А и В несовместны. Искомая вероятность равна 
= Р(А) + Р(В) = 0,1+ 0,15 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 4.2. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение.
1-й способ.
Обозначим через А событие «кофемолка прослужит больше года, но меньше двух лет», через В событие «кофемолка прослужит больше двух лет». События А и В несовместны (кофемолка не может прослужить меньше двух лет и одновременно больше двух лет). Объединением событий А и В является событие А и В «кофемолка прослужит больше года». По условию = 0,93, Р(В) = 0,81. Так как А и В несовместны, то = Р(А) + Р(В), откуда Р(А) = — Р(В) = 0,93 — 0,81 = 0,12.
2-й способ.
Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофемолка. Она может сломаться уже на первом году работы, может сломаться на втором году работы, а может проработать более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следующую таблицу:
| Событие | сломалась на первом году | сломалась на втором году | сломалась после двух лет работы |
| Вероятность |
Так как вероятность события «кофемолка прослужит больше года» равна 0,93, то вероятность противоположного события «кофемолка сломалась на первом году» равна 1 — 0,93 = 0,07. Вероятность события «кофемолка сломалась после первых двух лет работы» по условию равна 0,81. Вносим найденные значения в таблицу.
| Событие | сломалась на первом году | сломалась на втором году | сломалась после двух лет работы |
| Вероятность | 0,07 | 0,81 |
В таблице перечислены три несовместных события, одно из которых обязательно произойдёт. Поэтому сумма вероятностей в таблице должна быть равна 1. Следовательно, незаполненное искомое значение можно вычислить как 1 — 0,07 — 0,81=0,12.
Ответ: 0,12.
Задача 4.3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24.
Решение.
Обозначим через А событие «в автобусе менее 18 пассажиров», через В событие «в автобусе от 18 до 24» пассажиров. Тогда А U В это событие «в автобусе менее 25 пассажиров». По условию Р (А U В) = 0,91, Р(А) = 0,39. Так как события А и В несовместны, то = Р(А) + Р(В), откуда 0,91 = 0,39 + Р(В), Р(В) = 0,52. Ответ: 0,52.
Задачи об объединении пересечений событий
Задача 4.4. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.
Решение.
Так как из 5 револьверов 2 пристреляны, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна 
. Вероятность схватить один из трёх непристрелянных револьверов равна 
.
Обозначим через А событие «Билл схватит пристрелянный револьвер и попадёт из него в муху». Так как события «Билл схватит пристрелянный револьвер» и «Билл попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, то Р(А) = 
.
Аналогично вероятность события В «Билл схватит непристрелянный револьвер и попадёт из него в муху» равна Р(В) = 
. События А и В несовместны (Билл не может одновременно стрелять как из пристрелянного, так и из непристрелянного револьвера). Искомая вероятность равна
= Р(А)+Р(В) = 0,32+0,15=0,47
Ответ: 0,47.
Задача 4.5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение.
Для отбраковки неисправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела неисправную батарейку» и «неисправная батарейка забракована». Вероятность события А «произведена и забракована неисправная батарейка» равна Р(А) = 0,05 • 0,98 = 0,049.
Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1- 0,05 = 0,95. Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Вероятность события В «произведена и забракована исправная батарейка» равна Р(В) = 0,95 • 0,08 = 0,076.
События А и В несовместны. Искомая вероятность равна = Р(А) + Р(В) = 0,049 + 0,076 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Задача 4.6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Решение.
1-й способ.
Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны 0,3, то вероятность ничьей равна 1-0,3-0,3 = 0,4. Команда выходит в следующий круг либо после двух выигрышей, либо после выигрыша и ничьей.
1)Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий находим как Р(А) = 
.
2)Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равна Р(В) = 
З. Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равна Р(В) =
События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна 
= Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.
2-й способ.
Составим таблицу возможных результатов матчей и вероятностей этих результатов.
|
Второй матч |
||||
| победа
Р=0,3 |
ничья
Р=0,4 |
поражение Р=0,3 |
||
| Первый матч | победа Р = 0,3 | 0,09 | 0,12 | 0,09 |
| ничья Р = 0,4 | 0,12 | 0,16 | 0,12 | |
| поражение Р = 0,3 | 0,09 | 0,12 | 0,09 |
Числа в ячейках получаются по принципу таблицы умножения (умножение вероятностей соответствующих результатов первого и второго матчей), так как вероятности результатов первого и второго матча не зависят друг от друга. Жирным шрифтом в таблице выделены вероятности тех результатов, при которых команда выходит в следующий круг. Искомая вероятность равна 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.
Ответ: 0,33.
Задача 4.7. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая-40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Вероятность купить стекло первой фабрики равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р (А) = 0,6 • 0,04 = 0,024.
Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна Р(В) = 0,4 • 0,03 = 0,012.
Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В.
= Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036.
Ответ: 0,036.
Задачи о частоте
Задача 4.8. Вероятность того, что новый DVD — проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступили 130 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение.
Частота события «гарантийный ремонт» равна 
. От вероятности она отличается на 0,065 — 0,05 = 0,015.
Ответ: 0,015.
Подведем итог
После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram.
Также рекомендую изучить простые задачи по теории вероятностей, «Центральные и вписанные углы. Задание № 3 ЕГЭ» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Анализ данных • 14 декабря 2022 • 5 мин чтения
Совместные и несовместные события в анализе данных
Аналитики применяют теорию вероятностей, чтобы предсказать развитие бизнеса. Результат расчётов зависит от того, как взаимодействуют события между собой. Расскажем, какие виды событий есть и как посчитать их вероятность.
- Термины, которые используются в статье
- Противоположные события
- Несовместные события
- Совместные события
- Алгебра событий
- Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
- Совет эксперта
Термины, которые используются в статье
Пространство исходов — это множество всех исходов. Оно описывает все возможные варианты того, что может случиться в результате эксперимента. Обозначается буквой омега Ω.
Событие — это подмножество Ω, удовлетворяющее определённым условиям.
Например, «число очков на кубике чётное» — это событие.
Вероятность произвольного случайного события всегда принимает значения от 0 до 1, где 0 — событие невозможно, а 1 — событие точно произойдёт.
Анализ больших данных: зачем он нужен и кто им занимается
Противоположные события
Событие A̅ противоположно событию A, если состоит из тех исходов Ω, которых нет в A.
Из определения противоположных событий следуют два свойства:
● события А и A̅ и образуют всё пространство исходов,
● события А и A̅ не могут произойти одновременно.
Из двух событий А и A̅ наступить может только одно. При этом исходов в каждом событии может быть несколько.
Примеры:
● А = «на кубике выпало кратное 3 число» = {3, 6} и противоположное A̅ = «на кубике выпало не кратное 3 число» = {1, 2, 4, 5}
● A = «в задании с 5 попытками игрок сделал меньше 3 попыток» = {0, 1, 2, 3} и противоположное «в задании с 5 попытками игрок сделал больше 3 попыток = {4, 5}.
Противоположные события — частный случай несовместных событий.
Несовместные события
Несовместные события похожи на противоположные — они тоже не могут произойти одновременно. Появление одного события исключает появление всех остальных, несовместных с ним. Но есть и важное отличие: несовместных событий может быть сколько угодно, не только два.
Пример. Оплатить покупку в онлайн-магазине можно несколькими способами: картой на сайте, наличными при получении, в рассрочку от магазина или в кредит от банка. Все способы доступны, но пользователь должен выбрать только один из них.
Для набора событий А1, А2, … Аn это условие записывают так:
Аi ∩ Аj = Ø для всех
Пример. В некотором ресторане есть только четыре блюда дня: овощная грилата, суп из шампиньонов, салат по-мексикански и сэндвич с тунцом. И каждый день можно выбрать лишь одно из них. Исследователь, который постоянно заказывает еду из этого ресторана, хочет предсказать блюдо дня на завтра. На основе исторических данных он выяснил, что частота появления грилаты составляет ≈ 34%, супа ≈ 12%, салата ≈ 7%, а сэндвича ≈ 47%
На языке теории вероятностей это выглядит так:
● пространство исходов Ω = {грилата, суп, салат, сэндвич} ;
● P(грилата) = 0.34, Р(суп) = 0.12, Р(салат) = 0.07, Р(сэндвич) = 0.47.
В этом примере события образуют полную группу — набор несовместных событий, которые в объединении дают всё пространство исходов Ω.
Совместные события
События А и B называют совместными, если A ∩ B ≠ Ø .
Пример. Производитель корма провёл онлайн-опрос, чтобы узнать, какие питомцы живут у покупателей. Варианты ответа: собака, кошка, хомяк. У 65% есть собаки, 81% с кошками и 15% c хомячками. При этом у 52% респондентов есть и кошка, и собака, а у 9% — хомяк с собакой.
Совместные события, как и несовместные, необязательно дают в объединении всё пространство исходов Ω. В наборе из нескольких событий часть могут быть совместными друг другу, часть — несовместными.
Разные типы событий на диаграммах Эйлера.
Алгебра событий
Правило суммы для противоположных событий: вероятность объединения противоположных событий равна сумме их вероятностей, которая, в свою очередь, равна 1.
P(A) = 1 — P(A̅).
Правило суммы для несовместных событий: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Правило суммы для совместных событий: чтобы найти вероятность объединения двух совместных событий, нужно из суммы их вероятностей вычесть вероятность их пересечения.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
Формула включений-исключений для трёх событий:
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) +P(C) — P(A ∩ B) — P(A ∩ C) — P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ С)
Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
Пример. Поисковый сервис с равной вероятностью размещает рекламный баннер клиента слева от поисковой выдачи, справа или внутри неё. Нужно изучить, как работают алгоритмы. Чему равна вероятность, что из пяти поисковых запросов хотя бы в одном аналитик увидит рекламу слева от поисковой выдачи?
Решение. «Хотя бы один» — маркер того, что проще искать вероятность через обратное событие. Посчитаем вероятность противоположного события:
Тогда вероятность искомого события находится по формуле для противоположных событий:
Пример. Компания предлагает пользователям индивидуальную и семейную подписку на кино и музыку. Известно, что какая-либо подписка есть у клиентов. Сколько клиентов компании не имеют никакой подписки?
Решение. Всех клиентов компании можно поделить на три группы:
● A — есть индивидуальная подписка;
● B — есть семейная подписка;
● C — нет подписки.
В совокупности они образуют полную группу событий. Тогда P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Известно, что клиентов с подпиской 60%, то есть P(A ∪ B) = 0.6 = P(A) + P(B).
Подставляя в формулу выше, получаем P(C) = 0.4 = 40% клиентов без подписки.
Пример. Аналитик изучает источники трафика. В таблице данные по новым пользователям.
Источник трафика для каждой записи только один. context означает, что пользователь пришёл из контекстной рекламы; email — из рассылки на почту; источники None, other и undef не дают подробностей.
На основе этой таблицы аналитик прогнозирует вероятность источника, из которого придёт новый пользователь. Например, доля источника context равна
Это значение и принимают за вероятность. Какая вероятность того, что новый пользователь придёт из источников без подробностей (None, other и undef)?
Решение. Источник трафика может быть только один, поэтому события «пользователь пришёл из данного источника» несовместны. Вероятности можно сложить:
Эти задачи — примеры того, как аналитики применяют теорию вероятностей в своей работе.
В математике главное — практика. Поэтому знание правил лучше закреплять решением задач. Сделать это можно в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий». В нём более 1000 задач с автоматической проверкой и подробными решениями.
Повторите математику, чтобы решать рабочие задачи
Вспомните проценты, алгебру и другие темы посложнее в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий».
Совет эксперта
Евгений Григоренко
Учёные придумали рассматривать события, чтобы связать реальность с математикой и строго описать понятие вероятности. На самом деле событие — это математическое обозначение любого возможного явления, для которого интересно оценивать шансы. А/B-тесты не будут преградой, если тренироваться на простых задачах.
Автор курса по математике
Как пересечение и объединение множеств используются в анализе данных
Чем занимается аналитик данных, почему он всем так нужен и как освоить эту профессию
На этой странице вы узнаете
- Как кот может быть одновременно жив и мертв?
- Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой?
- Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?
Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.
Вероятность
Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…
Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.
Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов.
Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.
Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом.
По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив.
Пока ящик закрыт, мы не знаем результат эксперимента — такой эксперимент в математике можно назвать случайным. Тем временем кот находится одновременно в двух состояниях: он и жив, и мертв.
Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:
- выпадет орел;
- выпадет решка.
Эти два события образуют множество элементарных событий.
Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента.
В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации.
Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран.
Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности.
Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу.
(P = frac{m}{n})
Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие.
Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.
Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.
Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна (P = frac{2}{2} = 1), то есть мы точно выиграем спор.
Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку.
В редких случаях есть и третий вариант событий — монетка встанет на ребро. Вероятность такого события составляет (frac{1}{6000}). То есть за миллион бросков это может случиться 150 раз или 1 раз в 2 дня, если подкидывать монету каждый день по 8 часов в течение года. Чтобы монета встала на ребро два раза подряд, придется подбрасывать ее в том же темпе около 35 лет.
Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%.
Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?
Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна
(frac{49}{140} = 0,35)
Выразим в процентах:
0,35 * 100% = 35%
Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ.
Ответ: 0,35
Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой.
(P = frac{m}{n} * 100%)
Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.
Равновозможные и противоположные события
Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными.
Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Вероятности появления событий равны.
Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий.
Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий.
Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка.
А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными.
Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}).
Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?
)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1)
Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1.
(P(A) + P(overline{A}) = 1)
Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить.
Объединение и пересечение событий
Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим?
Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.
В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег.
Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B).
Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?
Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.
Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B).
Несовместные и совместные события
Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.
Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно.
Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого.
Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?
Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности.
Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.
Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
(P(A cup B) = P(A) + P(B))
Если существуют несовместные события, то существуют и совместные.
Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого.
В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят? Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет.
Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”.
Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}).
Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})
Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А.
Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги.
А нужно получить вот такую картину:
Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок.
Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:
(P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B))
В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике.
Независимые и зависимые события
Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем.
Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95).
Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?
Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга?
Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми.
Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события.
Определим вероятность независимых событий.
Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95.
А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:
(P(A cap B) = P(A) * P(B))
Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025.
В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”.
Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой.
Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого.
Но если автоматы стоят рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого.
Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?
Нужная последовательность может быть в двух случаях:
- сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
- сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.
Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}).
Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}).
В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы.
Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.
Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.
Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность.
Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:
(P(A cap B) = P(A) * P(B | A))
Формула Бернулли
Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?
Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}).
Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}).
Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k.
Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли.
(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k})
Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики».
Решим задачу, подставив значения в формулу:
(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1)
Фактчек
- Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
- События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
- События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
- События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A).
- Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Проверь себя
Задание 1.
Какие события являются несовместными?
- Подбрасывание монетки.
- Брак батареек в одной упаковке.
- “Миша идет” и “Миша стоит”.
- Случайное вытаскивание конфет из вазы.
Задание 2.
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?
- 0,17
- 1
- 0,83
- 1,17
Задание 3.
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?
- 1
- 0,216
- 0,45
- 1,5
Задание 4.
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут.
- 0,3
- 0,001
- 2,7
- 0,729
Задание 5.
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой.
- 0,77
- 0,135
- 0,23
- -0,23
Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1
Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Итак, теория.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет 
, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: 
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – 
. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: 
.
Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.
Объединение несовместных событий.
Объединение несовместных событий.
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B:
P(A U B) =P(A) + P(B)
Пример: На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0, 1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0, 27. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение. Пусть событие А заключается в нахождении вопроса по теме «Вписанная окружность», тогда событие В заключается в нахождении вопроса на тему «Параллелограмм». События А и В являются несовместными так как данные события не могут произойти одновременно, иначе говоря если произойдет одно событие, другое произойти уже не может, следовательно для решения данной задачи нам необходимо найти объединение событий для этого мы находим их сумму.
0. 27+0. 1=0. 37
Ответ: вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из двух тем равна 0. 37
Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого события.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B: