Как найти вероятность попадания на заданный интервал

Пусть нам задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины. Тогда с её помощью мы можем найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(alpha ,beta )$.

Для начала вспомним несколько свойств функции распределения вероятности $F(x)$, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Свойство 1: Для любых $X$ выполняется равенство:

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Геометрически данную теорему можно интерпретировать следующим образом: Вероятность попадания случайной непрерывной величины $X$ в интервал $(alpha ,beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми $y=varphi left(xright), x=alpha ,$ $x=beta $ и $y=0$ (рис. 1).

Следствие 1: Если плотность распределения $varphi (x)$ — четная функция, а значения $alpha и beta $ равны по абсолютной величине (по модулю), причем $alpha ne beta $, то вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ можно найти по формуле:

«Вероятность попадания непрерывной величины в заданный интервал » 👇

Этот факт может быть легко показан геометрически:

Очевидно, что $S_1=S_2$.

Используя геометрический смысл плотности распределения, и получаем, что

Примеры задач на нахождение вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность
распределения, можно вычислить вероятность
того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее заданному
интервалу. Вычисление основано на
следующей теореме.

Теорема. Вероятность
того, что непрерывная случайная величина
X
примет значение, принадлежащее интервалу
(а,
b),
равна определенному интегралу от
плотности распределения, взятому в
пределах от а до b:

Р(а<Х<b)
=

Доказательство.
Используем соотношение (**) (см. гл. X,
§ 2)

Р(а

Х<b)
= F(b)
— F(a).

По формуле Ньютона
— Лейбница,

F(b)
— F(a)=.

Таким образом,

Р(а

Х<b)
=

Так как Р(а

Х<b)
= Р(а<Х<b),то
окончательно получим

Р(а<Х<b)
=
(*)

Геометрически
полученный результат можно истолковать
так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (а,b),
равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной
осью Ох,
кривой
распределения f
(х)
и прямыми х
=а и х=b.

Замечание. В
частности, если f
(х)
— четная
функция и концы интервала симметричны
относительно начала координат, то

Р(-а<Х<a)
= Р(|Х|<a)
=2

Пример.
Задана плотность вероятности случайной
величины X

Найти вероятность
того, что в результате испытания X
примет
значение, принадлежащее интервалу (0,5;
1).

Решение. Искомая
вероятность

Р (0,5
< X
< 1)=

§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность
распределения f(х),
можно найти функцию распределения F
(х)
по формуле

F(x)
=

Действительно, мы
обозначили через F
(х)
вероятность
того, что случайная величина примет
значение, меньшее х,
т. е.

F(x)
= P(X<x).

Очевидно, неравенство
X
< х
можно записать
в виде двойного неравенства —<X
< х,
следовательно,

F(х)=Р(—<X
< х)
(*)

Полагая в формуле
(*) (см. § 2) а=—,b
= х, имеем

Р(—<X
< х)
=

Наконец, заменив
Р (—<
X
< х) на F
(х),
в силу (*), окончательно получим

F(x)
=

Таким образом,
зная плотность распределения, можно
найти функцию распределения. Разумеется,
по известной функции распределения
может

быть найдена
плотность распределения, а именно:

f(x)=Г’(x).

Пример.
Найти функцию распределения по данной
плотности распределения:

Построить график
найденной функции.

Решение. Воспользуемся
формулой F(x)=

Если x

a,
то f(x)
=0, следовательно, F(x)=0.
Если a<x

b,то
f(x)=1/(b
— а),
следовательно,

.

Если х
> b,
то

F(x)=

Итак, искомая
функция распределения

График этой функции
изображен на рис. 4.

§ 4. Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность
распределения—неотрицательная
функция:

f(x)
0.

Доказательство.
Функция распределения — неубывающая
функция, следовательно, ее производная
F‘(х)=f(х)—функция
неотрицательная.

Геометрически
это свойство означает, что точки,
принадлежащие графику плотности
распределения, расположены либо над
осью Ох, либо
на этой оси.

График плотности
распределения называют кривой
распределения.

Свойство 2.
Несобственный
интеграл от плотности распределения в
пределах от —
до

равен единице:

Доказательство.
Несобственный интеграл
выражает
вероятность события, состоящегов
том, что
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (—,).
Очевидно, такое событие достоверно,
следовательно, вероятность его равна
единице.

Геометрически это
означает, что вся площадь криволинейной
трапеции, ограниченной осью Ох
и кривом
распределения, равна единице.

В частности, если
все возможные значения случайной
величины принадлежат интервалу (а,
b),
то

Пример. Плотность
распределения случайной величины X
задана:

f
(x)=

Найти постоянный
параметр а.

Решение. Плотность
распределения должна удовлетворять
условию
,
поэтому потребуем, чтобы выполнялось
равенство

Отсюда

Найдем неопределенный
интеграл:

Вычислим несобственный
интеграл:

Таким образом,
искомый параметр

a=.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



2.2.8. Вероятность попадания в промежуток

Найдём  – вероятность того,

что случайная величина  примет

какое-нибудь значение из интервала .

В данном случае концы интервала (–1 и 5) находятся в области непрерывности функции распределения поэтому: .
И действительно, на данном интервале находятся значения , вероятности появления которых: .
Вычислим вероятность . Оба

конца этого промежутка не «попадают»  в точки разрыва, поэтому:
 – вероятность того, что

случайная величина  примет

значение из данного промежутка. И в самом деле – на нём находится единственное значение  , которое может появиться с вероятностью .

Та же самая история с  –

единственное, тут левый конец промежутка равен «минус» бесконечности:
 – самостоятельно

проанализируйте, какие значения , и с какими вероятностями располагаются на промежутке

Найдём . Как быть? – под

правило не подходит! Вспоминаем теоремы тервера. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

 – вероятность того, что

случайная величина  примет

значение из отрезка .
И действительно, этот отрезок  включает в себя два значения , которые появляются с вероятностями .

Тут же рассмотрим три других неравенства:
, т.к. на интервале  нет значений случайной величины.

Да-да, так и пишем.

 – это «штатный» случай

(см. правило).

И для 2-го полуинтервала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:

Едем дальше:

 – поскольку там нет

значений случайной величины.

Кстати, случай с нестрогим неравенством – есть «штатный» случай:
, который можно оформить и

так:
 – ведь на функции

распределения «свет клином не сошёлся».
И, наконец, типовая вероятность  – того, что значение случайной величины  отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение. И, как вы догадываетесь, эти характеристики нужно

вычислить. Но на самом деле не нужно, поскольку они уже рассчитаны в Задаче 87:

Раскрываем модуль:

подставляем конкретные значения  и пользуемся тем фактом, что они не «попадают» в точки разрыва функции

распределения:

 – искомая вероятность.

Напоминаю, что в типичном случае на интервале  или вблизи него «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной

величины. Так сказать, «центр событий».

Ответ:

Аналогичное задание для самоконтроля, весь трафарет приведён выше:

Задача 94
Составить функцию распределения случайной величины

Выполнить чертёж. Найти вероятности следующих событий:

Подумайте над рациональным масштабом графика. Если возникают сомнению с нахождением вероятностей, помните – их всегда можно

пересчитать вручную, просто посмотрев на исходную табличку.

Решение и ответ там, где обычно.

И не успел я запостить этот материал на сайте (давно это было J), как от читателей стали поступать просьбы включить

в статью контрольный пример. Я даже прослезился (прямо как тот

профессор), и, конечно же, не смог вам отказать:

2.2.9. Контрольное задание

2.2.7. Функция распределения случайной величины

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (A,B), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от A до B :

.

Доказательство: Используем соотношение

P(A ≤ X< B) = F(B) – F(A).

По формуле Ньютона-Лейбница,

.

Таким образом,

.

Так как P(A ≤ X < B)=P(A < X < B), то окончательно получим

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так : Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения F(X) и прямыми X = A и X = B.

Замечание: В частности, если F(X) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

.

< Предыдущая		Следующая >