Как найти вероятность про монеты

Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды…» или «Бросают 3 монеты …», но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:

OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза:
OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,

их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

2. Комбинаторика + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2cdot 2cdot 2cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций:
$$
m=C_4^2+C_4^3=frac{4!}{2!2!}+frac{4!}{3!1!}=frac{3cdot 4}{1cdot 2}+4=6+4=10.
$$
Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (!!!), просто по аналогии с примером выше:
$$
n=2^8=256;\
m=C_8^4=frac{8!}{4!4!}=frac{5cdot 6cdot 7 cdot 8}{1cdot 2 cdot 3 cdot 4}=70;\
P=frac{n}{n}=frac{70}{256}=0.273.
$$

Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.

Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли:
$$
P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k cdot left(1/2right)^k cdot left(1-1/2right)^{n-k}=C_n^k cdot left(1/2right)^n.
$$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя):
$$
P=C_n^k cdot left(1/2right)^n=frac{C_n^k}{2^n}=C_n^k cdot 0.5^n, quad C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}.
$$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 cdot left(1/2right)^2=2 cdot frac{1}{4}=frac{1}{2}=0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем
$$P=C_4^2 cdot left(1/2right)^4+C_4^3 cdot left(1/2right)^4=(6+4) cdot frac{1}{16}=frac{10}{16}=0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 cdot left(1/2right)^3=1 cdot frac{1}{8}=frac{1}{8}=0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем
$$P=C_8^8 cdot left(1/2right)^8+ C_8^7 cdot left(1/2right)^8=(1+8) cdot frac{1}{256}=frac{9}{256}=0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Пригодится: онлайн калькулятор для формулы Бернулли

Полезные ссылки

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 55    1–20 | 21–40 | 41–55

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 55    1–20 | 21–40 | 41–55

30 мая 2012

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где p — искомая вероятность, k — число устраивающих нас событий, n — общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n. В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций — это n;
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем число k;
3. Осталось найти вероятность: p = k : n.

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):

OO OP PO PP

Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

OP PO

Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось n = 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C_n^k — число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа n и k. Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C₃⁰ = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p₁ — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p₂ — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p₁ и p₂. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p₁ + p₂ = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Смотрите также:

1. Правила комбинаторики в задаче B6
2. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
3. Что такое числовая дробь
4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
5. Сложные задачи на проценты
6. Задача B4 с таблицами: тарифы на интернет

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.