Как найти вероятность произведения независимых событий - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №35. Вероятность произведения независимых событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Теорема умножения вероятностей;
Формула полной вероятности;
Вероятность произведения двух и более независимых событий.

Глоссарий по теме

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Гипотеза – одно из событий, которые могут привести к появлению данного события.

Формула полной вероятности

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_n гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A) = P(B₁)·P_B1(A) + P(B₂)·P_B2(A) + P(B₃)·P_B3(A) +…+ P(B_n)·P_Bn(A).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1. с. 194-197

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Задача.

Студент из n билетов знает ответы лишь на m билетов. Найдите и сравните вероятности событий, что студент сдаст экзамен, взяв билет первым, студент сдаст экзамен, взяв билет вторым.

Решение.

Если студент берет билет первым, то вероятность равна m/n (по классическому определению вероятности).

Если студент берет билет вторым, тогда возможны две гипотезы: В₁ — первый отвечающий забрал «хороший билет», В₂ — первый отвечающий забрал «плохой билет». Р(В₁)=m/n, Р(В₂)=(n-m)/n. По формуле полной вероятности

, где Р(А) – вероятность сдать экзамен, идя вторым.

Вероятности равны.

Вспомним теорему произведения вероятностей в общем виде.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)∙P_A(B)

Отметим, если события независимы, получаем выражение теоремы произведения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)·P(B).

Введём формулу полной вероятности.

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_nгипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A)=P(B₁)·P_B1(A)+P(B₂)·P_B2(A)+P(B₃)·P_B3(A)+…+
+P(B_n)·P_Bn(A).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Из 20 экзаменационных вариантов по математике 3 варианта содержат простые задачи. Пятерым учащимся произвольно выдают варианты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется вариант с простыми задачами.

1) 137/228

2) 91/228

3) 15/39

4) 41/80

Решение:

A – хотя бы одному из пяти учащихся достанется простой вариант, сформулируем противоположное событие Ᾱ – всем пятерым достанутся непростые варианты.

Данные события являются противоположными, поэтому P(A) + P(Ᾱ) = 1.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

P(Ᾱ) =17/20·16/19·15/18·14/17·13/16 = 91/228

Тогда P(A) = 1 – P(Ᾱ) = 1 – 91/228 = 137/228 – искомая вероятность

Ответ: P(A) = 137/228 ≈ 0,6.

№2. В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар, равна:

0,4
0,48
0,52
0,6

Решение:

Рассмотрим зависимое от того, какие по цвету шары переложат из первой урны во вторую, событие А= «из второй урны извлечён белый шар».

Событие А наступает в одном из следующих случаев:

B₁ – из первой урны во вторую будут переложены два белых шара;
B₂ – будет переложен белый и чёрный шар;
B₃ – будут переложены два чёрных шара.

Вычислим вероятность наступления события А в каждом из случаев.
Переложить два шара из первой урны можно способами.

C₃² = 3 способами можно извлечь два белых шара из первой урны.

Тогда – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара.

В этом случае во второй урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению вероятности: P_B1(A) = 6/10 = 3/5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) C₃¹·C₂¹ = 3·2 = 6 способами можно извлечь белый и черный шары из первой урны.

– вероятность того, что из первой урны будут переложены белый и черный шар.

В этом случае во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом, P_B2(A) = 5/10= 0,5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

C₂² = 1 способом можно извлечь два черных шара из 1-й урны.

– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара.

В рассматриваемом случае во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Тогда P_B3(A) = 4/10 = 2/5 – вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий получаем: P(A) = P(B₁A + B₂A + B₃A) = P(B₁A) + P(B₂A) + P(B₃A) = P(B₁)·P_B1(A) + P(B₂)·P_B2(A) + P(B₃)·P_B3(A) = 3/10·3/5 +3/5·1/2 +1/10· =13/25 = 0,52 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Ответ: 3) 0,52

Источник

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теоремы сложения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P{A+B+ldots+N}=P{A}+P{B}+ldots+P{N}.

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие ) или 45-го (событие ), или не меньше 46-го (событие ), т. е. событие есть сумма событий A,B,C . События , и несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

P{D}=P{A+B+C}=P{A}+P{B}+P{C}=0,!12+0,!04+0,!01 =0,!17.

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

P{overline{D}}=1-P{D}=1-0,!17=0,!83.

поскольку P{D}=0,!17 , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой «Electra Ltd» оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно A,B,C . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим P{A+B+C}=0,!7+0,!7+0,!7=2,!1 . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события A,B,C являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

P{A+B}=P{A}+P{B}-P{AB}.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается P{B|A} .

Условие независимости события от события записывают в виде P{B|A}=P{B} , а условие его зависимости — в виде P{B|A}ne{P{B}} . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим извлечение изношенного резца в первом случае, а overline{A} — извлечение нового. Тогда $P{A}=frac{2}{5},~P{overline{A}}=1-frac{2}{5}=frac{3}{5}$ . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

$P{B|A}=frac{1}{4},~~~P{B|overline{A}}=frac{2}{4}=frac{1}{2}.$

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .

Формулы умножения вероятностей

Пусть события и независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий и .

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P{AB}=P{A}cdot P{B}.

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

$P{A_1A_2ldots{A_n}}=P{A_1}P{A_2}ldots{P{A_n}}.$

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие ), $P{A}=frac{8}{10}=frac{4}{5}$ . Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие ), $P{B}=frac{7}{10}$ . Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие ), $P{C}=frac{9}{10}$ . Так как события , и независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

$P{ABC}=P{A}P{B}P{C}=frac{4}{5}frac{7}{10}frac{9}{10}=0,!504.$

Пусть события и зависимые, причем вероятности P{A} и P{B|A} известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие , и событие .

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P{AB}=P{A}cdot P{B|A};qquad P{AB}=P{B}cdot P{A|B}

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании $P{A}=frac{5}{12}$ . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность $P{B|A}=frac{4}{11}$ . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, $P{C|AB}=frac{3}{10}$ . Искомая вероятность

$P{ABC}=P{A}P{B|A}P{C|AB}=frac{5}{12}frac{4}{11}frac{3}{10}.$

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие наступает только при условии появления одного из событий $B_1,B_2,ldots{B_n}$ , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий $B_1,B_2,ldots{B_n}$ на соответствующую условную вероятность события $B_1,B_2,ldots{B_n}$ :

$P{A}=sumlimits_{i=1}^{n}P{B_i}P{A|B_i}.$

(2.1)

При этом события B_i,~i=1,ldots,n называются гипотезами, а вероятности $P{B_i}$ — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим событие, означающее годность собранного узла; B_1 , B_2 и B_3 — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

$P{B_1}=0,!5;~~~~~P{B_2}=0,!3;~~~~~P{B_3}=0,!2;$
$P{A|B_1}=0,!98;~~~P{A|B_2}=0,!95;~~~P{A|B_3}=0,!8.$

Искомая вероятность

$begin{gathered}P{A}=P{B_1}P{A|B_1}+P{B_2}P{A|B_2}+P{B_3}P{A|B_3}=hfill\=0,!5cdot0,!98+0,!3cdot0,!95+0,!2cdot0,!8=0,!935.end{gathered}$

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий $B_1,B_2,ldots{B_n}$ , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез $B_1,B_2,ldots{B_n}$ . Априорные (до опыта) вероятности $P{B_1},P{B_2},ldots{P{B_n}}$ известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности $P{B_1|A},P{B_2|A},ldots{P{B_n|A}}$ . Для гипотезы B_j формула Байеса выглядит так:

$P{B_j|A}=frac{P{B_j} P{A|B_j}}{P{A}}.$

Раскрывая в этом равенстве P{A} по формуле полной вероятности (2.1), получаем

$P{B_j|A}=dfrac{P{B_j}P{A|B_j}}{sumlimits_{i=1}^{n}P{B_i}P{A|B_i}}.$

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

для первого станка

$P{B_1|A}=dfrac{P{B_1}P{A|B_1}}{P{A}}=frac{0,!5cdot0,!98}{0,!935}approx0,!525;$

для второго станка

$P{B_2|A}=dfrac{P{B_2}P{A|B_2}}{P{A}}=frac{0,!3cdot0,!95}{0,!935}approx0,!304;$

для третьего станка

$P{B_3|A}=dfrac{P{B_3}P{A|B_3}}{P{A}}=frac{0,!2cdot0,!8}{0,!935}approx0,!171.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Теорема умножения вероятностей

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Произведение событий

Произведением
двух событий

называют событие

, состоящее в совместном
появлении (совмещении) этих событий. Например, если

– деталь годная,

– деталь окрашенная, то

– деталь годна и окрашена.

Произведением
нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих
событий. Например, если

– появление герба соответственно в первом,
втором и третьем бросаниях монеты, то

– выпадение герба во всех трех испытаниях.

Условная вероятность

Случайное событие определено как
событие, которое при осуществлении совокупности условий

может произойти или не произойти.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме
условий

, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если
же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном
условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная
вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается
осуществление условий

Условной
вероятностью

называют вероятность события

, вычисленную в
предположении, что событие

уже наступило.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события:

; пусть вероятности

известны. Как
найти вероятность совмещения этих событий, т.
е. вероятность того, что появится и событие

и событие

? Ответ на этот вопрос
дает теорема умножения.

Вероятность совместного появления двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Независимые события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Пусть вероятность события

не зависит от появления события

Событие

называют независимым от события

,
если появление события

не изменяет вероятности события

,
то есть если условная вероятность события

равна его безусловной вероятности:

Если событие

не зависит от события

,
то и событие

не зависит от события

– это означает, что свойство независимости
событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения
вероятностей имеет вид:

Вероятность совместного появления нескольких
событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих
событий:

Смежные темы решебника:

Классическая вероятность. Вероятность случайного события
Теорема сложения вероятностей
Формула полной вероятности и формула Байеса

Примеры решения задач

Пример 1

В урне 3
белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их
обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие

), если при первом
испытании был извлечен черный шар (событие

Решение

После
первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.

Искомая
условная вероятность:

Этот же
результат можно получить по формуле:

Вероятность
появления белого шара при первом испытании:

Найдем
вероятность

того, что в первом испытании появится черный
шар, а во втором – белый. Общее число исходов, совместного появления двух
шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений:

Из этого
числа исходов событию

благоприятствует

исходов.

Следовательно:

Искомая
условная вероятность:

Ответ:

Пример 2

У
сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик,
а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков –
конусный, а второй – эллиптический.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Вероятность
того, что первый валик окажется конусным (событие

Вероятность
того, что второй валик окажется эллиптическим (событие

), вычисленная в
предположении, что первый валик – конусный, то есть условная вероятность:

По
теореме умножения вероятностей, искомая вероятность:

Ответ:

Пример 3

Слово
«арифметика» разрезали на буквы, 5 из них выложили в ряд. Какова вероятность
того, что получится слово «фирма»?

Решение

Вероятность вытащить
первой букву Ф из 10 равна 1/10

Вероятность вытащить
букву И из оставшихся 9 букв, две из которых И,
равна 2/9

Вероятность вытащить
букву Р из оставшихся 8 букв равна 1/8

Вероятность вытащить
букву М из оставшихся 7 букв равна 1/7

Вероятность вытащить
букву А из оставшихся 6 букв, две из которых А, равна 2/6

Воспользуемся теоремой
умножения вероятностей. Так как имеем
независимые события, то искомая вероятность:

Ответ:

Пример 4

Для
сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Два
из них срабатывают с вероятностью 0,8, а 1 – с вероятностью 0,95. Найти
вероятность того, что при аварии сигнализация сработает.

Решение

События:

– сработал 1-й сигнализатор;

– сработал 2-й сигнализатор;

– сработал 3-й сигнализатор;

Для того,
чтобы сработала сигнализация, необходимо, чтобы сработал хотя ба один
сигнализатор

Пусть
событие

– сработал хотя бы один сигнализатор

Противоположное
событие

– не сработал ни один сигнализатор

Ответ:

Пример 5

Две
фотомодели снимаются для журнала мод, первая – с вероятностью 0,9, вторая – с
вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в следующем номере журнала
появятся снимки: а) обеих девушек; б) только первой; в) хотя бы одной из них?

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пусть
события:

– первая фотомодель появилась в журнале;

– вторая фотомодель появилась
в журнале;

а) Пусть
событие

– в журнале появились обе девушки

б) Пусть
событие

– в журнале появилось фото только первой
девушки

в) Пусть
событие

– в журнале появилось фото хотя бы одной
девушки. Противоположное событие

– в журнале фото обеих девушек не напечатали

Тогда
искомая вероятность:

Ответ: а)

; б)

; в)

Пример 6

В задаче приведены
схемы элементов, образующих цепь с одноим входом и одним выходом.

Предполагается, что
отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого
из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится
данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны

;

. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.

Решение

Все элементы цепи соединены последовательно.
Сигнал пройдет со входа на выход только в том случае, если безотказно работают
все 5 элементов. Найдем вероятность безотказной работы для каждого элемента.

Вероятность того, что
сигнал пройдет со входа на выход:

Ответ:

Пример 7

Приведены схемы
соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом.
Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности
событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви
цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5
соответственно равны

;

. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пусть событие

-сигнал пройдет
со входа на выход.

-сигнал не
пройдет со входа на выход. Это произойдет в том случае, если откажут все 5
элементов.

Тогда:

Так как
события

образуют полную группу событий, то:

Ответ:

Пример 8

;

. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа
на выход.

Решение

Пусть
событие

-сигнал пройдет со входа на выход

-сигнал не пройдет со входа на выход

-сигнал не пройдет участок из элементов 1,2,3

-сигнал не пройдет участок из элементов 4,5

Вероятность
того, что сигнал пройдет со входа на выход:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Клиент
выбирает банк для получения ипотечного кредита по нескольким показателям:
стабильность банка, процентная ставка, условия досрочного погашения кредита.
Статистика показывает, что клиенты данного банка удовлетворены первым
показателем с вероятностью 0.7, вторым – с вероятностью 0.6, третьим – с
вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что клиент, обратившись в банк,
будет удовлетворен:

а) всеми
тремя показателями;

б) только
двумя показателями;

в) хотя бы
одним из показателей?

Задача 2

Найти
вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения
вероятностей.

В ящике
находятся 15 деталей, 5 из которых бракованные. Наудачу отобраны 3 детали.
Какова вероятность, что все они не окажутся бракованными.

Задача 3

Каждую букву слова написали на одной
карточке. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Какова
вероятность, что карточки будут вынуты в порядке следования букв в слове
«теория»?

Задача 4

Устройство
состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной
работы (за время t) первого, второго и третьего элементов
соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать: а)только один
элемент, б)только два элемента, в) все три элемента.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Сколько
надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньше 0,3, можно было
ожидать, что ни одной из выпавших граней не появится шесть очков?

Задача 6

При
изготовлении детали заготовка должна пройти три операции. Предполагая появление
брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность
изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции
равна 0,02, на второй 0,01, на третьей 0,03.

Задача 7

Слово
«СТАТИСТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква.
Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что буквы вынимаются в порядке слова «ТИСКИ».

Задача 8

В схеме,
изображенной на рисунке, элементы k1, k2, k3, k4, k5 работают независимо друг
от друга и пропускают электрический ток с вероятностями p1=0.9; p2=0.8; p3=0.7;
p4=0.6; p5=0.5 соответственно. С какой вероятностью ток пройдет от A к B?

Задача 9

Решить
задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

Вычислительный
центр, который должен производить непрерывную обработку информации, располагает
двумя вычислительными устройствами. Известно, что вероятность отказа каждого из
них за время

равна 0,1. Найти вероятность безотказной
работы за время

: а) каждого устройства; б)
хотя бы одного устройства; в) одного устройства.

Задача 10

Из колоды
в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Найти вероятность того, что все
извлеченные карты разных мастей.

Задача 11

В урне имеется 5 шаров с номерами от
1 до 5. Извлекают по одному без возвращения 3 шара. Найти вероятность
последовательно появляются шары с номерами 1,2,3.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Для помощи во время экзамена/зачета в онлайн режиме необходимо договариваться заранее.

Источник

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A subset B$.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

$$Pleft(sum_{i=1}^{n}A_i right)=sum_{i=1}^{n} P(A_i).$$

Если случайные события $A_1, A_2, …, A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
$P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(Acdot B).$$

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

$$P(Acdot B)=P(A)cdot P(B).$$

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Примеры решений задач с событиями

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;

— вынули черный шар из первого ящика,
;

В – белый шар из второго ящика,
;

— черный шар из второго ящика,
.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей
, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.

Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Решение.

Пусть А – попадание первого стрелка, ;

В – попадание второго стрелка, .

Тогда — промах первого, ;

— промах второго, .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание,

б) – двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

г) – одно попадание,

См. обучающую статью «решение задач о стрелках»

Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй — 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.

Решение.

Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.

Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):

$$
P(X)=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2} cdot overline{A_3}right)= q_1 cdot q_2 cdot q_3 =
0,6cdot 0,4 cdot 0,7 = 0,168.
$$

Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):

$$
P(Z)= \ = P(A_1) cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot Pleft(overline{A_3} right) + Pleft(overline{A_1}right) cdot P(A_2) cdot Pleft(overline{A_3} right) + Pleft(overline{A_1} right) cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot P(A_3)=\
= p_1 cdot q_2 cdot q_3 + q_1 cdot p_2 cdot q_3 + q_1 cdot q_2 cdot p_3 =\ =
0,4cdot 0,4 cdot 0,7+0,6cdot 0,6 cdot 0,7+0,6cdot 0,4 cdot 0,3 = 0,436.
$$

См. обучающую статью «решение задач о станках»

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

2. .

Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, …, A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

$$
P(A)=1-Pleft(overline{A_1}right)cdot Pleft(overline{A_2}right)cdot … cdot Pleft(overline{A_n}right)= 1-q_1 cdot q_2 cdot … cdot q_n.
$$

Если события $A_1, A_2, …, A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:

$$
P(A)=1-(1-p)^n=1-q^n.
$$

Примеры решений на эту тему

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

, ,

Искомая вероятность .

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Искомая вероятность

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .

Приняв во внимание, что, по условию, (следовательно, ), получим

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

См. обучающую статью «решение задач с хотя бы один…»

Источник

Произведением
двух событий А
и В называют событие АВ, состоящее в
совместном появлении этих событий.
Например, если А — деталь годная, В —
деталь окрашенная, то АВ — деталь годна
и окрашена.

Произведением
нескольких событий называют
событие, состоящее в совместном появлении
всех этих событий. Например, если А, В,
С — появление «герба» соответственно
в первом, втором и третьем бросаниях
монеты, то АВС — выпадение «герба» во
всех трех испытаниях.

Условной
вероятностью (два
обозначения) называют вероятность
события В,
вычисленную в предположении, что
событие А уже
наступило.

Вероятность совместного
появления двух зависимых событий равна
произведению вероятности одного из них
на условную вероятность второго,
вычисленную при условии, что первое
событие произошло, т.е.

В
частности, отсюда получаем
.

Теорема
умножения. Вероятность
совмещения событий А и В равна произведению
вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие
осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

7). Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

Два
события называются независимыми,
если вероятность появления одного из
них не зависит от появления другого
события

Теорема.Вероятность
совместного появления двух событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило:

Р
(АВ) = Р (А) Р_A(В).
(*)

Для
независимых событий теорема умножения

Р(АВ)
= Р(А) ·Р_A(В)

имеет
вид

Р(АВ)
= Р(А) ·Р (В), (5)

т.
е. вероятность совместного появления
двух независимыхсобытий
равна произведению вероятностей этих
событий.

Вероятность
появления хотя бы одного из событий
А₁ ,
А₂ ,
…, А_n ,
независимых в совокупности, равна
разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий

Р
(A) = 1 — q₁q₂ … q_n.(*)

Если
события А₁ ,
А₂ ,
…, А_n имеют
одинаковую вероятность, равную р, то
вероятность появления хотя бы одного
из этих событий

P
(A) = l — qⁿ.
(**)

8). Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности.

Вероятность
появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности
их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Теорема
может быть обобщена на любое конечное
число совместных событий. Для трех
совместных событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Формула
полной вероятности.

Теорема
1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную
группу, то вероятность любого события
А можно вычислить по формуле полной
вероятности:

,
или .

Так
как события образуют полную группу, то
можно записать .

Событие
А может произойти только с одним из
событий Hi, i{1,2,…,n},
то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения
вероятностей

Замечание:
при применении формулы полной вероятности
события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную
группу, называются гипотезами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения вероятностей

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Формулы умножения вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Теорема умножения вероятностей

Краткая теория

Произведение событий

Условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Примеры решений задач с событиями

Вероятность наступления хотя бы одного события

Примеры решений на эту тему

7). Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

8). Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности.

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Независимые события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий