Как найти вероятность промаха при двух выстрелах

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.

Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А перед примерами вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик! Удобно решать самому? Посмотрите видеоурок и скачайте бесплатный шаблон Excel для решения задач о выстрелах.

Онлайн решение задачи про попадание в цель

Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель — точка):

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач с выстрелами: как использовать Excel для решения типовых задач с 2, 3 и 4 стрелками (выстрелами).

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать.

Два стрелка

Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй — с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$.

Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).

Соответственно, события $overline{A_1}$, $overline{A_2}$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).

Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше):
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2.
$$

Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $overline{A_1}$ и $overline{A_2}$, что можно записать как произведение событий: $X=overline{A_1} cdot overline{A_2}$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или:
$$
P(X)=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) = q_1 cdot q_2. qquad (1)
$$

Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $overline{A_2}$), то есть получили произведение событий $A_1 cdot overline{A_2}$.

2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $overline{A_1}$), то есть получили произведение событий $overline{A_1} cdot A_2$.

Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта — несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
$$
P(Y) = Pleft(A_1 cdot overline{A_2} + overline{A_1} cdot A_2right)= Pleft(A_1 cdot overline{A_2} right)+ Pleft( overline{A_1} cdot A_2right) =
$$
дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:
$$
= P(A_1) cdot left(overline{A_2} right) + Pleft( overline{A_1} right) cdot P(A_2) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2.
$$
Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель:
$$
P(Y) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2. qquad (2)
$$

Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения.

Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 cdot A_2$. Итоговая формула:
$$
P(Z) = P(A_1 cdot A_2) = P(A_1) cdot P(A_2)= p_1 cdot p_2. qquad (3)
$$

Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки.

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем:
$$
P = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2 = 0,6 cdot 0,3 + 0,4 cdot 0,7 = 0,46.$$

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ:
$$
P = p_1 cdot p_2=0,7 cdot 0,8 = 0,56.
$$

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу «хотя бы один…» мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $overline{Q}$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:
$$
P(overline{Q}) = q_1 cdot q_2= (1-0,3) cdot (1-0,4) =0,7 cdot 0,6 = 0,42.
$$
Вероятность нужного нам события тогда равна:
$$
P(Q) = 1- P(overline{Q}) = 1 — 0,42 = 0,58.
$$

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача — вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Начало одинаковое — формализуем задачу и вводим независимые события:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),

Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).

Известно, что:
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad P(A_3)=p_3, \ Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2, quad Pleft(overline{A_3}right)=1-p_3=q_3.
$$

Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться:
$$
P_0=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2} cdot overline{A_3}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) cdot Pleft(overline{A_3}right)= q_1 cdot q_2 cdot q_3. qquad (4)
$$

Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже:
$$
P_2 = P(X_2)= \
= P(A_1) cdot P(A_2) cdot Pleft(overline{A_3} right) + P(A_1)cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot P(A_3) + Pleft(overline{A_1} right) cdot P(A_2) cdot P(A_3)=\
= p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (6)
$$

$$
P_3 = P(X_3)= P(A_3) cdot P(A_2) cdot P(A_3) = p_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (7)
$$

Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше).

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,2, quad p_2=0,3, quad p_3=0,4, quad q_1=0,8, quad q_2=0,7, quad q_3=0,6
$$
Получаем:
$$
P_1 = p_1 cdot q_2 cdot q_3 + q_1 cdot p_2 cdot q_3 + q_1 cdot q_2 cdot p_3=\
= 0,2 cdot 0,7cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,7 cdot 0,4 = 0,452.
$$

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,5, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,5
$$
Получаем:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3 = \
= 0,8 cdot 0,7 cdot 0,5 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,5 + 0,2 cdot 0,7 cdot 0,5 = 0,47.
$$

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $overline{A}$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,9, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,1
$$
Получаем:
$$
Pleft(overline{A} right) = P_0 = q_1 cdot q_2 cdot q_3 = 0,2 cdot 0,3 cdot 0,1 = 0,006.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 — Pleft(overline{A} right) = 1 — 0,006 = 0,994.
$$

Задачи на формулу Бернулли

Когда я писала первый вариант статьи, этого раздела не было. Но ведь задачи, когда выстрелы попадают в цель с одинаковой вероятностью, встречаются весьма и весьма часто и фактически являются частным и более простым случаем разобранных выше. Так что перед вами дополнительный раздел, надеюсь, он окажется полезным:).

Итак, вернемся к нашим стрелкам. Теперь будем считать, что вероятность попадания в цель при каждом выстреле одинакова и равна $p$, число выстрелов равно $n$ и конечно, как и прежде, выстрелы попадают в цель независимо друг от друга. Хм… Что-то знакомое? Конечно! Это схема независимых повторных испытаний, иначе говоря, схема Бернулли.

Ну вот, скажете вы, только научились решать одним способом, и тут на тебе, «схема Бернулли»!

А я отвечу, что в ней как минимум пара преимуществ:

• нужно запомнить всего одну формулу вместо нескольких (см. выше)
• теперь количество стрелков может быть не только 2, 3 или 4 (что уже громоздко), а практически любое — 5, 10, 12…

Пора приступать. Сначала сама формула, а потом разберем несколько примеров для закрепления пройденного:).

Пусть производится $n$ выстрелов, вероятность попадания в цель каждом из которых равна $p$. Вероятность, что окажется в точности $k$ попаданий, можно вычислить по формуле Бернулли:
$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}.
$$

Пример 7. Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна $p=0,8$. Найти вероятность того, что:
1) Стрелок попадёт 3 раза
2) Стрелок попадёт не менее 3-ёх раз.

Вот она, типовая задача на формулу Бернулли. Наши параметры: $n=4$ (число выстрелов), $p=0,8$ (вероятность попадания при одном выстреле), $q=1-p=0,2$ (вероятность промаха).

1) Вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза:

$$
P_4(3)=C_4^3 cdot 0,8^3 cdot 0,2^{4-3} = 4 cdot 0,8^3 cdot 0,2 =0,41.
$$

2) Вероятность того, что стрелок попадёт не менее 3-ёх раз из 4 (то есть или 3, или 4 раза — складываем вероятности соответствующих событий):

$$
P_4(k ge 3) =P_4(3) + P_4(4)=0,41+ C_4^4 cdot 0,8^4 cdot 0,2^{0} = 0,41+0,8^4 =0,819.
$$

И это все! Проще некуда, но не забывайте, что задачи разные, где-то формула Бернулли подходит (повторяем: вероятности одинаковые, события независимые и повторные), а где-то — нет (как в разобранных в начале этой статьи задачах).

Пример 8. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность выбивания не менее 20 очков при десяти выстрелах.

И опять проверяем выполнение условий схемы Бернулли: вероятности одинаковые (да, $p=0,2$), выстрелы независимые, число выстрелов задано ($n=10$).

Сформулируем вопрос задачи математически: что значит выбито не менее 20 очков? Это значит, что в 10 выстрелах было не менее 2 попаданий в цель (то есть 2, 3, 4,…, 10). Что-то многовато…

В таком случае проще подсчитать сначала вероятность противоположного события: «В 10 выстрелах было менее 2 попаданий в цель» (то есть 0 или 1). Вот тут полегче, давайте посчитаем:

$$
P_{10}(k lt 2) =P_{10}(0) + P_{10}(1)=C_{10}^{0} cdot 0,2^{0} cdot 0,8^{10}+ C_{10}^{1} cdot 0,2^{1} cdot 0,8^{9} =\
=0,8^{10}+ 10 cdot 0,2 cdot 0,8^{9} =0,376.
$$

Тогда искомая вероятность выбить не менее 20 очков будет:

$$
P_{10}(k ge 2) =1-P_{10}(k lt 2)=1-0,376=0,624.
$$

Пригодится: онлайн калькулятор для таких задач

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.

Пример 9. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события $A$ = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие $overline{A}$ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель как $p=0,7$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p=0,3$, то вероятность всех пяти промахов будет
$$
Pleft(overline{A} right) = q^5 = 0,3^5.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 — Pleft(overline{A} right) = 1 — 0,3^5 = 0,998.
$$

Общий случай: как найти вероятность наступления хотя бы одного события

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 = 0,42;\
P_0 = (1-p_1) cdot (1-p_2) = 0,12.\
$$
Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).

Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах — $1-q^4$. Получаем уравнение:
$$
1-q^4=0,9984;\
q^4=0,0016;\
q=0,2;\
p=1-q=0,8.
$$
Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 12. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей
$$
P = p_1 cdot p_1 cdot p_2 cdot p_2 = 0,8 cdot 0,8 cdot 0,7 cdot 0,7 = 0,3136.
$$

Полезная информация

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

Решебник по вероятности

В решебнике вы найдете более 700 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Теория
вероятностей.

       
Задачи на «Стрельбу».

№ 1. Стрелок  стреляет  по 
мишени  один  раз.  В  случае  промаха 
стрелок  делает второй
выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 
0,8.  Найдите  вероятность  того,  что  мишень 
будет  поражена  (либо  первым  либо вторым
выстрелом).

Решение. Первый способ.

 Пусть A —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком с пер­во­го вы­стре­ла, B —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на со вто­ро­го вы­стре­ла.
Ве­ро­ят­ность со­бы­тия A равна P(A) = P₁(A)
= 0,8. Со­бы­тие B на­сту­па­ет, если, стре­ляя пер­вый раз,
стре­лок про­мах­нул­ся P₁() =1 –
0,8 = 0,2, а, стре­ляя вто­рой раз, попал P₂(A) = 0,8. Это не­за­ви­си­мые
со­бы­тия, их ве­ро­ят­ность равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(B)
= P₁() ∙ P₂(A)
= 0,2·0,8 = 0,16. Со­бы­тия A и B не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность
их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0,16 =
0,96.

Ответ:
0,96.

Второй способ. Пусть A —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком
при одном выстреле, B — со­бы­тие,
со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на (либо  первым 
либо вторым выстрелом).

Так как вероятность попасть
в мишень при одном выстреле равна 0,8, то есть P(A) = 0,8, то ве­ро­ят­ность
того, что, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₁() = 1 — 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность
того, что, стре­ляя второй  раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₂() = 1 — 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность
того, что, стре­лок про­мах­нул­ся оба раза,  равна P₁() ∙ P₂() = 0,2∙0,2 = 0,04. Ве­ро­ят­ность
противоположного события (хотя бы один раз не промахнется) равна P(B)= 1 – 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

№
2. Стрелок  4  раза 
стреляет  по  мишеням. Вероятность  попадания  в 
мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал

 в мишень, а последние 3 раза промахнулся.

Решение. Пусть A — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на
стрел­ком при одном выстреле, B — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень
по­ра­же­на.

Так
как вероятность попасть
в мишень при одном выстреле равна 0,7, то
вероятность попадания при первом выстреле равна P₁(A) = 0,7, тогда ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя
второй раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₂() = 1 — 0,7 =  0,3. Ве­ро­ят­ность того,
что, стре­ляя третий  раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₃() = 1 — 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность того,
что, стре­ляя четвертый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₃() = 1 — 0,8 =  0,2. Все события
независимы. Ве­ро­ят­ность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние 

3 раза промахнулся.
P(B)= P₁(A)∙ P₂()∙ P₃()∙ P₄() = 0,7∙0,3∙0,3∙0.3 = 0,0189

Ответ: 0,0189.

№ 3.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7
, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень
попадает только один из стрелков.

Решение. Пусть A₁ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. С — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попал только один из стрелков, то есть (первый попадет и второй промажет) либо (первый промажет и
второй попадет).

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р
(А₁)=0,7, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1-
0,7 = 0,3.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р
(А₂)=0,8, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1
— 0,8 = 0,2.
р (С) = р(А₁)∙р () + р(А₂)∙р
() = 0,7∙0,2 +
0,8∙0,3 = 0,38

Ответ.0,38.

№ 4. Каждый
из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания
1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность
того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

Решение.

 Пусть A₁ — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том,
что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ — со­бы­тие, со­сто­я­щее
в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ — со­бы­тие,
со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на третьим стрелком. С — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попали только двое из трех из стрелков,

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р
(А₁)=0,8, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1-
0,8 = 0,2.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р
(А₂)=0,7, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1
– 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р
(А₃)=0,6, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1
– 0,6 = 0,4.

Чтобы
вычислить вероятность (двое из трех попали), надо вычислить вероятности, когда:

1. Промахнулся только первый стрелок, а второй и
третий попали.
2. Промахнулся только второй стрелок,  а первый
и третий попали.
3. Промахнулся только третий стрелок, а первый и
второй попали.
Вероятность того, что промахнулся только первый
стрелок, а второй и третий попали: P₁ = р ()∙ р (А₂)∙ р (А₃)=  0,2∙0,7∙0,6 = 0,084.
Вероятность того, что промахнулся только второй
стрелок, а первый и третий попали P₂ = р (А₁) ∙ р () р (А₃)= 0,8∙0,3∙0,6 = 0,144.
Вероятность того, что промахнулся только третий
стрелок, а первый и второй попали P₃ = р (А₁) ∙ р (А₂) ∙ р () = 0,8∙0,7∙0,4
= 0,224.
Отсюда вероятность (2 из 3 попали) р (С) = P₁+ P₂+ P₃ = 0,084+0,144+0,224 = 0,452
Ответ: 0,452

№5. Стрелок
3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при  одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал  в мишени, а последний раз
промахнулся.

Решение. Пусть A — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на
стрел­ком при одном выстреле, B — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень
по­ра­же­на.

Так
как вероятность попасть
в мишень при одном выстреле равна 0,8, то
вероятность попадания при первом выстреле равна P₁(A) = 0,8, вероятность попадания при втором выстреле
равна P₂(A)
= 0,8, ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя третий раз, стре­лок про­мах­нул­ся,
равна P₃() = 1 — 0,8 =  0,2.

Все события независимы. Ве­ро­ят­ность того, что стрелок первые 2 раза попал  в мишени, а последний раз
промахнулся.

P(B)= P₁(A)∙ P₂(А)∙ P₃() = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128

Ответ: 0,128

№ 6. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Какова вероятность,
что он попал в мишень 4 раза и один промахнулся? 

Решение.

Промахнуться он мог первым, вторым, ..пятым выстрелом.
ХОООО; ОХООО; ООХОО; ОООХО; ООООХ.
Вероятность каждого исхода равна 0,8⁴ ∙ 0,2 .
Суммируем вероятности: p = 5∙(0,8⁴ ∙ 0,2) = 0,8⁴ =
0,4096.
Ответ.0,4096.

№ 7.  Три стрелка стреляют
в цель. Вероятность попадания в цель для первого, второго и третьего стрелка
соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,75; Определить вероятность хотя бы одного попадания
в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение.

 Пусть A₁ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на третьим стрелком. С — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попали хотя бы один раз.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р
(А₁)=0,6, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1-
0,6 = 0,4.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р
(А₂)=0,7, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1
– 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р
(А₃)=0,75, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1
– 0,75= 0,25.

Посчитаем вероятность события: никто не попал
(то есть  все промазали):

Р= р ()∙ р ()∙ р ()=
0,4∙0,3∙0,25= 0,03.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель,
если каждый стрелок сделает по одному выстрелу р (С) = 1 – Р = 1 – 0,03 = 0,97.

Ответ .0,97.

№ 8. Три стрелка один за
другим стреляют в цель. Вероятность попадания первого — 0,8. Второго — 0,75.
Третьего 0,7.
Какова вероятность того, что попадут все три стрелка?

Решение.

 Пусть A₁ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на первым стрелком, A₂ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на третьим стрелком. С — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в цель попали все три стрелка.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р
(А₁)=0,8. Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А₂)=0,75.
Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А₃)=0,7.

Вероятность того, что в цель попали все три стрелка:

р (С) = р (А₁)∙ р (А₁)∙ р
(А₁)=0,8∙0,75∙0,7= 0,42

Ответ. 0,42.

 № 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с
вероятностью 0,9, если стреляет

 из пристрелянного револьвера.
Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с
вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов,  из них только 4
пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.

Решение.1 способ.

 Пусть A₁ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер, A₂ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В₁—
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного
револьвера. В₂— со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в
муху из не пристрелянного револьвера. С —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что Джон  не промахнётся.

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер
р (А₁) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из
пристрелянного револьвера р (В₁) = 0,9. Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и
Джон попадет, равна Р₁= р (А₁)∙
р (В₁)  = 0,4∙0,9 = 0,36.

Вероятность того, что ковбой схватит не  пристрелянный
револьвер р (А₂) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху
из не пристрелянного револьвера р (В₂) = 0,2. Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер
и Джон попадет, равна Р₁= р (А₂)∙
р (В₂) = 0,6∙0,2 = 0,12.

Вероятность
того, что Джон  не промахнётся р(С) = Р₁
+ Р₂ = 0,36 +0,12 = 0,48.

Вероятность противоположного
события Джон  промахнётся р()= 1 — р(С) =
1 — 0,48 = 0.52.

Ответ. 0,52.

2 способ.

 Пусть A₁ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер. A₂ —
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В₁—
со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного
револьвера. В₂— со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в
муху из не пристрелянного револьвера. — со­бы­тие, со­сто­я­щее в
том, что ковбой промахнется из пристрелянного револьвера. — со­бы­тие, со­сто­я­щее в
том, что ковбой промахнется из не пристрелянного револьвера. С — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что Джон  
промахнётся.

 Вероятность
того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А₁) = 0,4.
Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В₁)
= 0,9, вероятность промаха Р() =  1 — р (В₁) = 1 — 0,9 = 0,1.Вероятность
того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р₁=
р (А₁)∙ р () = 0,4∙0,1 = 0,04.

Вероятность того, что ковбой схватит не  пристрелянный
револьвер р (А₂) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху
из не пристрелянного револьвера р (В₂) = 0,2, вероятность промаха Р() =  1 — р (В₁) = 1 — 0,2 = 0,8.Вероятность
того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р₂=
р (А₂) ∙ р () = 0,6∙0,8= 0,48.

 Вероятность того, что Джон  промахнётся р(С) =
Р₁ + Р₂ = 0,04 +0,48 = 0,52.

Ответ. 0,52.

№10. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет
вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный
вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на.
Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна
0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся
для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос задачи:

Сколько
выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 1
-0,98 = 0,02?

При
первом  выстреле вероятность промаха  1- 0,4 = 0,6.

При
каждом последующем выстреле вероятность промаха 1 — 0,6 = 0,4.

При
двух выстрелах вероятность промаха  0,6∙0,4 = 0,24  (первый
выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При
трех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4
= 0,096

При
четырех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4=
0,0384

При
пяти выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4∙0,4 = 0,01536

Замечаем,
что  0,015360,2

Итак,
пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была
не менее 0,98.

Ответ:
5.

№11. При
артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если
цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются
до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой
цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем — 0,8. Сколько
выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не
менее 0,95?

Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый
отдельный выстрел) будут независимыми. При совершении независимых событий (в
данном случае группы выстрелов) одновременно вероятность такого события будет
равна произведению вероятностей этих независимых событий.

Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,6.

Значит, вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,4.

Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором
ит.д.) равна 0,8.

Значит, вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна
0,2.

Необходимо поставить  вопрос: каким образом может быть
поражена
цель?              

Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо вторым
выстрелом, либо третьим, либо четвёртым, либо пятым выстрелом и т.д. …

Все перечисленные события независимые. Найдём их вероятности.

При первом:

Вероятность поражения равна 0,6.

При втором:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем двумя выстрелами
равна  0,6 + 0,32 = 0,92 < 0,95

При третьем:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (мимо
–мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами
равна  0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 > 0,95

Таким образом, необходимо сделать три выстрела, чтобы мишень была
поражена  с вероятностью не менее  0,95.

Ответ: 3

№
12. Вероятность  попасть  в  мишень  равна  0,6.
 Произведено  три  выстрела.  Какова  вероятность, что
мишень была поражена не менее  двух раз?

Решение: 

Вероятность
того, что все три  выстрела попадут в цель, равна P₁=0,6³=0,216.

Вероятность
того, что мишень будет поражена два раза, равна P₂=3∙(0,4∙0,6∙0,6)=3∙0,144=0,432. 
Здесь умножили на 3, потому что возможны три варианта (попал — не попал 
-попал, попал – попал — не попал и не попал-попал-попал). Тогда искомая
вероятность равна P=P1+P₂=0,216 +0,432 = 0,648.

Ответ
0.648.

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

Задачи про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже.

Два стрелка

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию p1=0,6p1=0,6, p2=0,7p2=0,7, значит q1=1−p1=0,4q1=1−p1=0,4, q2=1−p2=0,3q2=1−p2=0,3. Получаем:

P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи p1=0,7p1=0,7, p2=0,8p2=0,8 и сразу получим ответ:

P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу «хотя бы один…» мы помимо основного события: QQ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие Q¯¯¯¯Q¯ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:

P(Q¯¯¯¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.P(Q¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.

Вероятность нужного нам события тогда равна:

P(Q)=1−P(Q¯¯¯¯)=1−0,42=0,58.P(Q)=1−P(Q¯)=1−0,42=0,58.

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны p1p1, p2p2 и p3p3, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача — вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6

Получаем:

P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5

Получаем:

P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события AA= (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1

Получаем:

P(A¯¯¯¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.P(A¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,006=0,994.P(A)=1−P(A¯)=1−0,006=0,994.

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением.

Пример 7. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события AA = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель какp=0,7p=0,7 (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−p=0,3q=1−p=0,3, то вероятность всех пяти промахов будет

P(A¯¯¯¯)=q5=0,35.P(A¯)=q5=0,35.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,35=0,998.P(A)=1−P(A¯)=1−0,35=0,998.

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как p1p1 и p2p2, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:

P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.

Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: p1=0,6p1=0,6 и p2=0,7p2=0,7 (или наоборот, p1=0,7p1=0,7 и p2=0,6p2=0,6).

Пример 9. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как pp (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−pq=1−p, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна q4q4, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах — 1−q41−q4. Получаем уравнение:

1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.

Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 10. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p1=0,8p1=0,8), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p2=0,7p2=0,7). По правилу умножения вероятностей

P=p1⋅p1⋅p2⋅p2=0,8⋅0,8⋅0,7⋅0,7=0,3136.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям



1.6.4. Задачи на теоремы сложения и умножения

Этот тандем почти 100% встретится в вашей самостоятельной и отчётной работе. Хит хитов и самая настоящая классика теории

вероятностей:

Задача 41
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти

вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение: вероятность попадания / промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности

другого стрелка. Рассмотрим следующие независимые события:

 – 1-й

стрелок попадёт в мишень;
 – 2-й

стрелок попадёт в мишень.

По условию, .

Найдём вероятности противоположных событий  – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие:  – только один стрелок попадёт в мишень. Данное

событие состоит в двух несовместных исходах:
1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

 –

вероятность того, что будет только одно попадание

б) Рассмотрим событие:  – хотя бы один из стрелков попадёт в

мишень.

Способ первый: событие  состоит в двух несовместных исходах:
попадёт кто-то один (событие ) или
попадут оба стрелка, обозначим последнее событие буквой .

Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 –

вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт,
и по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 –

вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие:  – оба стрелка

промахнутся. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

По соответствующей теореме:

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий  равна сумме вероятностей этих событий без

вероятности их совместного появления:

И посему способ третий: события  совместны, а значит, их сумма  выражает событие «хотя бы

один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий). По теореме сложения вероятностей совместных

событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Какой способ лучше? С моей точки зрения, наиболее рационален 2-й способ, и 3-м способом я не пользуюсь вообще (т.к. нет необходимости,

да и путаница с ним бывает). Впрочем, у вас может сложиться своё мнение или пристрастие на этот счёт.

Выполним проверку: события   и  (0, 1 и 2 попадания соответственно)

образуют полную группу, поэтому сумма их

вероятностей должна равняться единице:
, что и

требовалось проверить.

Ответ:

На практике часто используют «быстрый» стиль оформления и решение принимает примерно такой вид:
по условию: ,  – вероятность попадания соответствующих стрелков.

Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
 –

вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 –

вероятность того, что оба стрелка промахнутся.
Тогда:  –

вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ:

Однако не нужно забывать и первый вариант оформления (с росписью событий)  – он хоть и длиннее, но зато содержательнее, в нём

понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно

обозначить лишь некоторые события.

Контрольная задача для самостоятельного решения:

Задача 42
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для

первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут, б) оба датчика сработают.

+ бонус-задание: пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную

группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности

(с помощью теорем сложения и умножения).

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения

оформлен в академичном стиле.
Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9?  Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже

продемонстрировано в примере с двумя монетами). Следующий, более интересный пример тоже самостоятельно:

Задача 43
Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым

и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более

витиеватые измышления. Образец решения оформлен «коротким» способом.

А теперь знакомьтесь – тот самый, который настрогал для вас немереное количество деталей :=)

Задача 44
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75,

третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение: коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует

считать независимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей 41 здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки

потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий  и т.д. Но с тремя

объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый»

стиль:

По условию:  – вероятности того, что в течение смены

соответствующие станки потребуют настройки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 –

вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не

потребует
или:
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не

потребует
или:
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок

потребует.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

 –

вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где  – вероятность того, что в течение смены только два

станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом

«бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства

.
Самостоятельно:

Задача 45
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из

третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет

поражена не менее двух раз.

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого

никого не захочется пристрелить =) – задачи почти подарочные.

И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и

0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.

Вернёмся к распространённой головоломке:

Задача 46
Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного

попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение: обозначим через  – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле

и через  –

вероятность промаха при каждом выстреле.

Здесь будет удобно расписать события:

 – при

3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
 – стрелок

3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

 –

вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
 –

вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ: 0,7

Просто и изящно.

В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и

вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:

Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания, которые выполняются

последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.

К повторным независимым испытаниям мы вернёмся чуть позже, после того, как разберём зависимые события:

1.6.5. Условная вероятность

1.6.3. Теорема умножения вероятностей независимых событий

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин