-
Основные формулы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.
Комбинации
из n элементов по m элементам, которые
отличаются или самими элементами, или
порядком их следования, называются размещениями.
Формула размещения:
Пусть
имеются три буквы А,
В и С.
Составим всевозможные комбинации только
из двух букв: АВ,
ВА, АС, СА, ВС, СВ. Эти комбинации отличаются
друг от друга только расположением букв
или самими буквами.
Пример
1
На
третьем курсе изучается 9 предметов.
Сколькими способами можно составить
расписание занятий на один день, если
в учебный день разрешается проводить
занятия только по четырем разным
предметам?
Решение
Различных
способов составления расписания столько,
сколько существует четырехэлементных
комбинаций из девяти элементов, которые
отличаются друг от друга или самими
элементами, или их порядком, т.е.
Ответ: 3024
Комбинации
из n элементов, которые отличаются друг
от друга только порядком элементов,
называются перестановками.
Перестановки обозначаются Рn, где n —
число элементов, входящих в перестановку.
Формула
перестановки:
Рn=n!
Пусть
имеются три буквы А, В и С.
Составим всевозможные комбинации из
этих букв: ABC, АСВ, ВСА, ВАС, CAB, CBA. Эти
комбинации отличаются друг от друга
только расположением букв.
Пример
1
В
турнире участвуют семь команд. Сколько
вариантов распределения мест между
ними возможно?
Решение:
В
итоговой таблице турнира команды будут
отличаться занятыми местами, поэтому
для подсчета вариантов распределения
мест между ними воспользуемся формулой
перестановки:
Р7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
Ответ: 5040
Комбинации из n элементов
по m элементам, которые отличаются
друг от друга хотя бы одним элементом,
называются сочетаниями.
Формула сочетания:
Пусть
имеются три буквы А, В и С.
Составим всевозможные комбинации только
из двух букв, которые отличаются друг
от друга хотя бы одним элементом: АВ,
АС, ВС. Нетрудно увидеть, что их в два
раза меньше, чем размещений из этих
элементов.
Пример
1
Сколькими
способами можно распределить три путевки
в один санаторий между пятью желающими?
Решение:
Так
как путевки предоставлены в один
санаторий, то варианты распределения
отличаются друг от друга хотя бы одним
желающим. Поэтому число способов
распределения
Ответ: 10.
-
Виды случайных событий.
Случайным
событием
называется результат (исход) наблюдения
какого-нибудь явления при выполнении
некоторого комплекса условий (опыта).
Виды событий:
-
Элементарные
события
— возможно исключающие друг друга
события опыта. -
Невозможное
событие
— не может произойти в результате опыта. -
Достоверное
событие –
в результате опыта обязательно
произойдет. -
Случайное
событие
– при осуществлении некоторых условий
может произойти или не произойти. -
Несовместные
события
– появление одного из них исключает
появление других событий в одном и том
же испытании. -
Совместные
события
– в результате опыта могут появиться
одновременно. -
Равновозможные
события
– одинакова возможность появления в
результате опыта. -
Равносильные
события
– событие А влечет за собой событие В,
а событие В влечет за собой событие А.
-
Алгебра
событий.
-
Суммой
(объединением)
событий А и В называется событие С,
состоящее в появлении события А или
событие В или одновременно событий А
и В. С=А+В -
Произведением
(пересечением)
событий А и В называется событие С,
состоящее в совместном появлении
событий А и В. С=А*В -
Разностью
событий А и В называется событие С,
состоящее в появлении событии А и не
появлении события В. С=А-В
-
Классическое
определение вероятности события.
Свойства вероятности.
Вероятностью
р
события А
называется
отношение числа m-благоприятствующих
случаев к числу всех возможных случаев
n,
образующих полную группу равновозможных
несовместимых событий:
P
(A)=
Свойства
вероятности:
-
Число
появления m-любого
события входит в интервал 0<P<1. -
Вероятность
достоверного события равна 1. -
Вероятность
невозможного события равна 0.
-
Теоремы
сложения вероятностей несовместных
событий.
Теорема
1. Вероятность
появления одного из двух несовместных
событий, безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий:
Р
(А + В) = Р (А) + Р (В).
Доказательство:
Введем обозначения: n — общее число
возможных элементарных исходов испытания;
m1 —
число исходов, благоприятствующих
событию A; m2—
число исходов, благоприятствующих
событию В.
Число
элементарных исходов, благоприятствующих
наступлению либо события А, либо события
В, равно m1 +
m2.
Следовательно,
Р
(A + В)
= (m1 +
m2)
/ n = m1 /
n + m2 /
n.
Приняв
во внимание, что m1 /
n = Р (А) и m2 /
n = Р (В), окончательно получим
Р
(А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема
2. Сумма
вероятностей событий А1 ,
А2 ,
…, Аn , образующих
полную группу, равна единице:
Р
(A1)
+ Р (А2)
+ … + Р (Аn)
= 1.
Доказательство:
Так
как появление одного из событий полной
группы достоверно, а вероятность
достоверного события равна единице, то
Р
(A1 +
A2 +
… + An)
= 1. (*)
Любые
два события полной группы несовместны,
поэтому можно применить теорему сложения:
Р
(А1 +
А2 +
… + Аn)
= Р (A1)
+ Р (A2)
+ … + Р (Аn).
(**)
Сравнивая
(*) и (**), получим
Р
(А1)
+ Р (А2)
+ … + Р (Аn)
= 1.
Пример:
Консультационный
пункт института получает пакеты с
контрольными работами из городов А, В
и С. Вероятность получения пакета из
города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти
вероятность того, что очередной пакет
будет получен из города С.
Р
е ш е н и е.
События «пакет получен из города А»,
«пакет получен из города В», «пакет
получен из города С» образуют полную
группу, поэтому сумма вероятностей этих
событий равна единице:
0,7
+ 0,2 + p =1.
Отсюда
искомая вероятность
р
= 1 — 0,9 = 0,1.
Теорема
3. Сумма
вероятностей противоположных событий
равна единице:
.
Доказательство:
Пусть дано А и
.
Тогда А+
будет достоверным. Сумма достоверного
события равно 1. Тогда
.
З
а м е ч а н и е 1.
Если вероятность одного из двух
противоположных событий обозначена
через р, то вероятность другого события
обозначают через q. Таким образом, в силу
предыдущей теоремы
p
+ q = l
З
а м е ч а н и е 2.
При решении задач на отыскание вероятности
события А часто выгодно сначала вычислить
вероятность противоположного события,
а затем найти искомую вероятность по
формуле
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Геометрические вероятности:
Область применения классического определения вероятности – испытания с конечным числом равновозможных исходов. Существенным является условие равновозможности. От конечности числа исходов опыта можно отказаться и определять вероятности не с помощью числа исходов, 27 а с помощью отношения длин, площадей и т.д., но при сохранении условия равновозможности.
Геометрическое определение вероятности
Пусть область 
Если равновозможно попадание точки в любую точку области G, то вероятность попасть в область равна отношению меры области к мере области G:
где «мера» – означает: 1) длину, если область G часть прямой или кривой линии; 2) площадь, если G часть плоскости; 3) объем, если G часть пространства, и т.д. в зависимости от характера области G.
Пример:
Две радиостанции течение часа независимо друг от друга должны передать сообщения длительностью 10 мин. и 20 мин. соответственно. Какова вероятность того, что сообщения не перекроются по времени.
Решение. Пусть 
– момент начала сообщения первой радиостанции, а 
– момент начала второго сообщения. Для того чтобы сообщения уложились в отведенный час, должны выполняться условия: 
Сообщения не перекроются во времени, если выполнятся условия: 
и у 
Этим условиям удовлетворяют точки заштрихованных областей, изображенных на рис. 2.2.2.
Так как все положения точки 
в прямоугольнике 
равновозможны, то искомая вероятность равна отношению заштрихованной площади, которая равна 
к площади прямоугольника. Поэтому 
Ответ. 
Пример:
В треугольник с вершинами A(0;0), B(4;0) и C(0;2) наугад брошена точка, причем все положения точки в этом треугольнике равновозможны. Найдите вероятность того, что координаты точки X и Y будут удовлетворять неравенству 
Решение. Полагая в квадратном трехчлене 
переменной величиной X, а Y коэффициентом, найдем корни трехчлена X=Y и 
Тогда неравенство 
можно записать в виде 
или 
Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств:
Точки плоскости, координаты которых удовлетворяют этой совокупности систем неравенств, на рис. 2.2.3 выделены штриховкой. Часть из них содержится в треугольнике ABC.
Так как по условию все положения точки 
в треугольнике ABC равновозможны, то по геометрическому определению вероятности искомая вероятность равна отношению площади заштрихованного треугольника AEC к площади треугольника ABC.
Площадь треугольника ABC равна половине произведения AB на AC, т.е. равна 4. Линия BC имеет уравнение 
а линия AE определяется уравнением 
Их точка пересечения имеет координаты E(4/3;4/3). Абсцисса точки E равна высоте треугольника AEC, опущенной на сторону AC. Поэтому площадь треугольника AEC равна 
Поэтому искомая вероятность равна 
Ответ. 1/3.
Пример:
Координаты случайной точки 
в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 
служат коэффициентами квадратного уравнения 
Полагая все положения случайной точки в указанном треугольнике равновозможными, найти вероятность того, что уравнение имеет два действительных корня.
Решение. Пусть А – интересующее нас событие. Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант 
Это неравенство будет выполнено, если случайная точка М попадет в треугольнике ниже кривой 
(на рис. 2.2.4 заштрихованная область). Точка пересечения линий 
имеет координаты (2;1). Поэтому площадь заштрихованной фигуры на рис. 2.2.4 равна 
Так как площадь всего треугольника равна 
то по геометрическому определению вероятности 
Ответ. 
Пример:
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 
Острый угол ромба равен 60°, а наибольшая диагональ равна 
Ромб наугад бросают на плоскость. Какова вероятность того, что ромб пересечет одну из прямых?
Решение. Бросание ромба «наугад» подразумевает, что центр ромба с равными шансами может оказаться на любом расстоянии 
(в пределах от 0 до 
) от ближайшей прямой, а значения угла 
между наибольшей диагональю и ближайшей прямой равновозможны в пределах от 
до 
при этом и независимы. Заметим, что расстояние от центра ромба до его стороны равно 
Если 
то ромб несомненно пересечет ближайшую прямую. Если же 
то для пересечения ближайшей прямой необходимо и достаточно, чтобы 
т.е. проекция половины наибольшей диагонали на перпендикуляр к прямой должна быть больше расстояния от центра ромба до прямой (см. рис. 2.2.5).
Названные условия выполняются в заштрихованной области на рис. 2.2.6. Графики функций 
и 
пересекаются в точках, в которых 
т.е. при 
и 
Поэтому заштрихованная площадь равна
Любое положение ромба относительно ближайшей прямой можно охарактеризовать точкой в прямоугольнике со сторонами 
и 
Поскольку все положения ромба относительно ближайшей прямой равновозможны, то по геометрическому определению вероятности искомая вероятность равна 
Ответ. 
Пример:
Наудачу взяты два положительных числах 
причем 
Найти вероятность того, что 
если 
Подставляя значения коэффициентов в неравенства, получаем
Строим на рис. 1.8 оси координат и область, которая определяет пространство элементарных событий 
она задается неравенствами 
и отображается на рисунке 1.8 прямоугольником.
Площадь прямоугольника 
[условных единиц]. Область благоприятствующих исходов определяется неравенствами 
поэтому строим на рисунке прямые, которые задаются из неравенств 
Заштрихованная на рисунке 1.8 область описывает благоприятствующие исходы (с учетом всех возможных значений) и является трапецией, площадь которой 
[условных единиц]. Тогда вероятность события 
Пример:
Найти вероятность того, что на экране радиолокатора отметка от цели появится в кружке радиусом 
на азимуте 
ноль градусов, на расстоянии 
от центра экрана, если радиус экрана равен 30 см.
Экран радиолокатора, рис. 1.9, представляет собой электронно-лучевую трубку с радиальной разверткой, в которой от центра до края экрана движется электронный луч и после достижения края движение луча опять начинается от центра к краю, но с некоторым смещением по азимуту. Это перемещение луча от центра экрана соответствует началу излучения радиоимпульса антенного радиолокатора, который укреплен на боковой стенке кабины с передающим устройством, а кабина, в свою очередь, вращается вокруг вертикальной оси, что соответствует смещению луча на экране по азимуту. И когда радиоимпульс отражается от цели, на экране радиолокатора вспыхивает яркая точка. По положению этой точки на экране легко определить расстояние до цели и ее азимут.
Зная геометрическое определение вероятности, можно сразу сказать, что вероятность появления отметки от цели в кружке радиусом 
зависит только от отношения площадей и не зависит ни от формы области благоприятствующих исходов, ни от места ее расположения. Поэтому в этой задаче есть избыточная информация — расстояние 
и азимут 
Определяем область благоприятствующих исходов, которой является кружок радиусом 
и площадью — 
Пространство элементарных событий 
— это область экрана, его площадь 
Тогда
- Теоремы сложения и умножения вероятностей
- Формула полной вероятности
- Повторные независимые испытания
- Простейший (пуассоновский) поток событий
- Комбинаторика — правила, формулы и примеры
- Классическое определение вероятности
- Элементы теории ошибок
- Методы математической статистики
Пусть рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е. пространство элементарных исходов представляет собой некоторую ограниченную область (отрезок, многоугольник, круг, параллелепипед, шар и т. п.) k-мерного пространства (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Естественно желание обобщить принцип равновероятности элементарных исходов классической вероятности и на эту схему. Однако в непрерывном случае число элементарных исходов бесконечно и, воспользовавшись принципом равновероятности, мы не смогли бы приписать каждому элементарному исходу иной вероятности, кроме нуля. Поэтому подойдем к определению геометрической вероятности по-другому. Рассмотрим сначала отрезок [0, 1] и предположим, что идеальная частица равномерно бросается на этот отрезок. Понятию равномерности придадим следующий смысл. Каждому отрезку 
независимо от его расположения, поставим в соответствие одинаковую вероятность попадания частицы на этот отрезок, равную его длине: 
а затем эту вероятность попытаемся с помощью трех аксиом 
продолжить на любое подмножество точек отрезка [0, 1]. Очевидно, что вероятность попадания частицы в любую точку х равна нулю, вероятность попадания на любой интервал (а, b) или полуинтервал 
(на отрезке [0, 1]) равна b — а, вероятность попадание в любое множество точек на отрезке [0, 1], состоящее из конечного и даже счетного объединения непересекающихся отрезков, интервалов и полуинтервалов равна сумме их длин, т. е. «длине», или лучше сказать, мере этого множества. В частности, вероятность попадания частицы в множество рациональных точек равна нулю.
Однако, как уже говорилось, имеется препятствие к такому продолжению, связанное с существованием подмножеств, которым разумным образом с сохранением трех аксиом вероятность мы никак не сможем приписать. Поэтому приходится ограничиваться только элементами борелевской 
—алгебры 
порожденной всевозможными интервалами (т.е. подмножествами, имеющими меру), что, впрочем, более чем достаточно для практических потребностей.
В общем случае геометрическая вероятность определяется совершенно аналогично. Пусть 
некоторая область, имеющая меру 
(длину, площадь, объем и т.д.), такую, что 
Скажем, что точка равномерным образом попадает в 
(реализуется принцип геометрической вероятности), если вероятность Р(А) попадания ее в каждую область А, являющуюся подобластью , пропорциональна мере этой области 
или в силу аксиомы нормированности
Пример:
В круг радиусом 
равномерно бросается точка. Найдем вероятность события А, заключающегося в попадании этой точки в круг радиусом 
с тем же центром (рис. 2).
Рассмотрим два способа решения этой задачи:
1)вероятность Р(А) определяется как отношение площади внутреннего круга к площади внешнего:
2) заметим, что в силу принципа геометрической вероятности как угол 
так и расстояние 
от точки 
до центра О должно быть распределено равномерно. Поскольку точки, равноотстоящие от центра, все либо одновременно принадлежат меньшему кругу, либо нет, то вероятность попадания в этот круг равна отношению радиусов: 
Итак, мы получили в одной и той же задаче два разных ответа. Причина кроется в том, что понятие геометрической вероятности не инвариантно относительно преобразований рассматриваемой области . В частности, в нашем примере при втором способе решения мы считаем, что равновероятно попадание точки в области 
заштрихованные на рис. 3. Но с точки зрения обычного понятия площади, используемого при первом способе решения, это не так. Значит, вероятность существенно зависит от способа определения понятия «равновероятно» или, иными словами, от того, как мы задали меру 
Именно на неинвариантности понятия геометрической вероятности относительно преобразований основаны многочисленные парадоксы, часто приводимые в различных учебниках.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру, отметим, что в приведенной постановке задачи предпочтительным нужно считать первый способ. Однако не следует думать, что второе решение относится к числу математических фокусов. Представляемая этим решением модель сигнала с равномерно распределенными фазой (углом) и амплитудой (радиусом) находит широкое применение в статистической радиофизике.
Пример:
На Землю параллельно плоскости экватора падает поток метеоритов. Найдем вероятность того, что упавший метеорит попадет между 15° и 45° северной широты (событие А). Естественно предполагать, что поток метеоритов равномерно распределен на плоскости, перпендикулярной плоскости экватора. Если мы теперь спроецируем земной шар на эту плоскость (рис. 4), то получим, что вероятность наступления события А пропорциональна площади 
заштрихованной области А. Определим
На Землю параллельно плоскости экватора падает поток метеоритов. Найдем вероятность того, что упавший метеорит попадет между 15° и 45° северной широты (событие А). Естественно предполагать, что поток метеоритов равномерно распределен на плоскости, перпендикулярной плоскости экватора. Если мы теперь спроецируем земной шар на эту плоскость (рис. 4), то получим, что вероятность наступления события А пропорциональна площади заштрихованной области А. Определим
Окончательно получаем
Пример:
Поступление каждого из двух сигналов в приемник равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Найдем вероятность того, что приемник будет «забит» (событие А), что происходит в том случае, когда промежуток времени между моментами поступления обоих сигналов меньше 
Для этого обозначим моменты поступления сигналов через х и у. Ясно, что для наложения сигналов необходимо и достаточно, чтобы 
Изобразим х и у как точки внутри квадрата со сторонами Т (рис.5). Тогда исходы, благоприятные для наложения сигналов, представятся заштрихованной областью А. В силу принципа геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
Пример:
Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 
На плоскость наудачу бросается тонкая игла длиной 
Найдем вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую (рис. 6). Для этого прежде всего решим, что в данном случае соответствует понятию «наудачу». Ясно, что если игла бросается с достаточной высоты и ее начальное положение случайно, то под словом «наудачу» естественно подразумевать следующее: во-первых, центр иглы наудачу попадет на отрезок длиной во-вторых, угол 
между иглой и прямой равномерно распределен на 
и, в-третьих, на величину угла
не влияет расстояние от центра до прямой. Поэтому изобразим результат бросания точкой с координатами 
лежащей внутри прямоугольника со сторонами 
(рис. 7), где х — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой. Из рис. 6 видно, что пересечение иглы с прямой происходит тогда и только тогда, когда 
Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области А к площади прямоугольника:
Задача Бюффона может быть использована для экспериментального определения числа 
Так, Вольф (Цюрих) бросал иглу 5000 раз и получил 2532 пересечения с прямыми; при этом 
Заменяя теперь Р(А) частотой пересечения прямых 
получаем эмпирическое значение числа 
Более точное определение числа 
таким путем вряд ли возможно, поскольку, с одной стороны, здесь влияют физические особенности опыта (толщина иглы, неточность при определении факта пересечения и т.д.), с другой стороны, как мы увидим дальше, необходимо производить очень большое число испытаний.
Геометрические вероятности
Смотрите также:
Предмет теория вероятностей и математическая статистика
Решение заданий и задач по предметам:
- Теория вероятностей
- Математическая статистика
Дополнительные лекции по теории вероятностей:
- Случайные события и их вероятности
- Случайные величины
- Функции случайных величин
- Числовые характеристики случайных величин
- Законы больших чисел
- Статистические оценки
- Статистическая проверка гипотез
- Статистическое исследование зависимостей
- Теории игр
- Вероятность события
- Теорема умножения вероятностей
- Формула полной вероятности
- Теорема о повторении опытов
- Нормальный закон распределения
- Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
- Системы случайных величин
- Нормальный закон распределения для системы случайных величин
- Вероятностное пространство
- Классическое определение вероятности
- Условная вероятность
- Схема Бернулли
- Многомерные случайные величины
- Предельные теоремы теории вероятностей
- Оценки неизвестных параметров
- Генеральная совокупность
Геометрическая вероятность
- Геометрическая вероятность на прямой
- Геометрическая вероятность на плоскости
- Геометрическая вероятность в пространстве
- Примеры
Понятие геометрической вероятности было сформулировано в §37 данного справочника. В этом параграфе мы рассмотрим различные задачи, при решении которых используется геометрическая вероятность.
п.1. Геометрическая вероятность на прямой
В одномерном случае пространству всех событий соответствует длина отрезка Ω ↔ L. Событие A ↔ lA – попадание в отрезок lA ≤ L.
Тогда вероятность события A $$ mathrm{ P(A)=frac{l_A}{L} } $$ Говорят, что мерой множеств событий в одномерном случае является длина.
Например:
Оптический кабель длиной 1 м случайно разрезают ножницами. Какова вероятность того, что длина обрезка составляет не меньше 80 см? 
Чтобы получить обрезок не менее 80 см, нужно попасть ножницами в отрезок 20 см справа или слева куска кабеля. Вероятности попадания (mathrm{P_{text{справа}}=frac{l_A}{L}, P_{text{слева}}=frac{l_A}{L}}). По правилу суммы, искомая вероятность при L=100 см, lA=20 см $$ mathrm{ P_{text{справа}}+P_{text{слева}}=frac{2l_A}{L}, P=frac{2cdot 20}{100}=0,4 } $$ Ответ: 0,4.
п.2. Геометрическая вероятность на плоскости
В двумерном случае пространству всех событий соответствует площадь некоторой замкнутой области Ω ↔ SΩ.
Событие A ↔ sA – попадание в замкнутую подобласть с площадью sA ≤ SΩ.
Тогда вероятность события A $$ mathrm{ P(A)=frac{s_A}{S_{Omega}} } $$ Говорят, что мерой множеств событий в двумерном случае является площадь.
Например:
Два друга договорились встретиться между 14 и 15 часами. Каждый может прийти в любой момент в течение назначенного часа. Тот, кто пришёл первым, ждёт другого в течение 15 минут, а затем уходит. Чему равна вероятность встречи? 
Пусть 0≤x≤60 (мин) и 0≤y≤60 (мин) – моменты прихода первого и второго друга соответственно. Тогда пространство событий – квадрат 60х60.
Область ожидания: |x–y|≤15. Раскроем модуль: –15≤x–y≤15. Получаем систему: (left{ begin{array}{ l} mathrm{yleq x+15} &\ mathrm{ygeq x-15} & end{array}right. ). На графике – это зелёная полоса. Событие A – встреча состоялась – соответствует площади зеленой полосы. Получаем: begin{gather*} mathrm{ S_{Omega}=60cdot 60=3600, s_A=3600-2S_{Delta}=3600-2cdot frac{1}{2}cdot 45^2=1575 }\ mathrm{ P(A)=frac{s_A}{S_{Omega}}=frac{1575}{3600}=frac{7}{16}=0,4375 } end{gather*} Ответ: 0,4375.
п.3. Геометрическая вероятность в пространстве
В трёхмерном случае пространству всех событий соответствует объём некоторой замкнутой области Ω ↔ VΩ.
Событие A ↔ vA – попадание в замкнутую подобласть с объёмом vA ≤ VΩ.
Тогда вероятность события A $$ mathrm{ P(A)=frac{v_A}{V_{Omega}} } $$ Говорят, что мерой множеств событий в трёхмерном случае является объём.
Например:
Телескоп находится на космической станции. В каждый момент времени он случайно направлен в одну из сторон и наблюдает часть неба. Пусть телескоп способен регистрировать все объекты в радиусе 10000 км. Какова вероятность, что он заметит астероид радиусом 100 км, залетевший в область регистрации? 
Пространству всех событий соответствует сфера объемом: $$ mathrm{ V_{Omega}=frac{4}{3}pi R^3, R=10000 text{км} } $$ Событие A – астероид замечен – соответствует объему астероида: $$ mathrm{ v_{A}=frac{4}{3}pi R^3, R=100 text{км} } $$ Вероятность того, что астероид будет замечен: $$ mathrm{ P(A)=frac{v_{A}}{V_{Omega}}=frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{4}{3}pi R^3}=left(frac{r}{R}right)^3, P(A)=left(frac{100}{10000}right)^3=10^{-6}=0,000001 } $$ Ответ: 0,000001.
п.4. Примеры
Пример 1. Для игры в «Дартс» используется круглая мишень радиусом 40 см. Центральный круг – «десятка» – имеет радиус 4 см. Если игрок всегда попадает в мишень в любую точку с одинаковой вероятностью, какова вероятность попасть в «десятку»?
Мерой для этой задачи является площадь.
Пространство всех событий – круг радиусом R = 40 см. Его площадь (mathrm{ S_{Omega;}=pi R^2}).
Событие A – попадание в «десятку» – круг радиусом r = 4 см. Его площадь (mathrm{ s_{A}=pi r^2}).
Вероятность попадания: $$ mathrm{ P(A)=frac{s_{A}}{S_{Omega}}=frac{pi r^2}{pi R^2}=left(frac{r}{R}right)^2, P(A)=left(frac{4}{40}right)^2=0,01 } $$ Ответ: 0,01.
Пример 2. В правильный треугольник вписан полукруг. В треугольник случайно ставятся точки. Какова вероятность, что точка попадет в полукруг?
Мерой в данной задаче является площадь.
Пусть сторона треугольника a. Тогда пространство всех событий – треугольник площадью (mathrm{ S_{Omega}=frac{sqrt{3}}{4}a^2}).
Найдем радиус вписанного полукруга.
ΔCOB ~ ΔOEB – по двум углам. $$ mathrm{ frac{CO}{OE}=frac{CB}{OB}Rightarrowfrac{acdot sin60^{circ}}{r}=frac{a}{a/2}Rightarrow r=frac{a}{2}cdot sin60^{circ}=frac{sqrt{3}}{4}a } $$ Площадь вписанного полукруга: (mathrm{ s_{A}=frac{pi r^2}{2}=frac{pi}{2}left(frac{sqrt{3}}{4}aright)^2=frac{3pi}{32}a^2}).
Вероятность попасть в полукруг: $$ mathrm{ P(A)=frac{s_{A}}{S_{Omega}}=frac{frac{3pi}{32}a^2}{frac{sqrt{3}}{4}a^2}=frac{sqrt{3}}{8}pi approx 0,68 } $$ Ответ: (mathrm{ frac{sqrt{3}}{8}pi approx 0,68. })
Пример 3. На отрезке [0; 1] случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что её координата x удовлетворяет условиям:
1) x2 > 0,64
2) (left{ begin{array}{ l} mathrm{0,3x^2leq 0,027} &\ mathrm{2x^2geq 0,08} & end{array}right. )
1) (mathrm{x^2geq 0,64Rightarrow (x^2-0,64)geq 0Rightarrow (x-0,8)(x+0,8)geq 0Rightarrow} left{ begin{array}{ l} mathrm{xleq -0,8} &\ mathrm{xgeq 0,8} & end{array}right. )
Учитывая x ∈ [0; 1], получаем: $$ left{ begin{array}{ l} mathrm{0leq xleq 1} &\ left[ begin{array}{ l} mathrm{xleq -0,8Rightarrow 0,8leq xleq 1} &\ mathrm{xgeq 0,8} & end{array}right.& end{array}right. $$ Мерой в данной задаче является длина: LΩ = 1, lA = 1 – 0,8 = 0,2
Вероятность выбора точки при данных условиях: ( mathrm{P(A)=frac{0,2}{1}=0,2} )
begin{gather*} 2) left{ begin{array}{ l} mathrm{0,3x^2leq 0,027} &\ mathrm{2x^2geq 0,08} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l} mathrm{x^2leq 0,009} &\ mathrm{x^2geq 0,004} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l} mathrm{x^2-0,009leq 0} &\ mathrm{x^2-0,004geq 0} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l} mathrm{(x-0,3)(x+0,3)leq 0} &\ mathrm{(x-0,2)(x+0,2)geq 0} & end{array}right. Rightarrow \ Rightarrow left{ begin{array}{ l} mathrm{-0,3leq xleq 0,3} &\ left[ begin{array}{ l} mathrm{xleq -0,2} &\ mathrm{xgeq 0,2} & end{array}right.& end{array}right. Rightarrow left[ begin{array}{ l} mathrm{-0,3leq xleq -0,2} &\ mathrm{0,2leq xleq 0,3} & end{array}right. end{gather*} Учитывая x ∈ [0; 1], получаем: $$ left{ begin{array}{ l} mathrm{0leq xleq 1} &\ left[ begin{array}{ l} mathrm{-0,3leq xleq -0,2} &\ mathrm{0,2leq xleq 0,3} & end{array}right.& end{array}right. Rightarrow 0,2 leq x leq 0,3 $$ Мерой в данной задаче является длина: LΩ = 1, lA = 0,3 — 0,2 = 0,1
Вероятность выбора точки при данных условиях: (mathrm{P(A)=frac{0,1}{1}=0,1})
Ответ: 1) 0,2; 2) 0,1.
Пример 4. В сито, наполненное до краёв зерном, уронили жемчужину. Сито представляет собой цилиндр радиусом 20 см и высотой 12 см.
1) Какова вероятность случайно зачерпнуть горсть зерна вместе с жемчужиной, если объём горсти 0,1 л?
2) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти обратно в сито, перемешать, и снова зачерпнуть горсть, изменится ли вероятность?
3) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти в сторону и зачерпнуть следующую горсть, изменится ли вероятность?
4) Сколько «неудачных» горстей нужно отсыпать в сторону, чтобы вероятность удачи для следующей попытки превысила 1/3?
1) Мерой для этой задачи является объём.
Пространство всех событий – все возможные точки, где может оказаться жемчужина – это цилиндрическое сито, объемом
VΩ = πR2h, R = 20 см = 2 дм, h = 12 см = 1,2 дм
VΩ = π · 22 · 1,2 = 4,8 π дм3 = 4,8 π л
Событие A – зачерпнуть жемчужину в горсти объемом vA = 0,1 л
Вероятность: $$ mathrm{ P(A)=frac{v_{A}}{V_{Omega}}, P(A)=frac{0,1}{4,8pi} approx 0,0066 } $$ 2) Если высыпать зерно обратно из горсти и перемешать, то пространство всех событий останется тем же, VΩ = 4,8π л. Вероятность не изменится.
3) Если высыпать зерно в сторону, пространство всех событий уменьшится:
V‘Ω = VΩ – vA = (4,8π – 0,1) л
Вероятность увеличится: $$ mathrm{ P(A)=frac{v_{A}}{V_{Omega}^{‘}}, P(A)=frac{0,1}{4,8pi -0,1} approx 0,0071 } $$
4) После того, как мы отсыпаем N горстей, пространство всех событий $$ mathrm{ V_{Omega}^{»} = V_{Omega}-Nv_{A}=(4,8pi-0,1N) text{л} } $$ По условию: $$ mathrm{ P(A)frac{0,1}{4,8pi -0,1N}geq frac13 } $$ Получаем: (mathrm{4,8pi -0,1Nlt 0,3Rightarrow Ngt frac{4,8pi-0,3}{0,1}=147,8})
N = 148.
Ответ: 1) 0,0066; 2) нет; 3) увеличится, 0,0071; 4) 148.
Пример 5. Загадываются два действительных числа от 0 до 4.
1) Какова вероятность, что их сумма больше 3?
2) Какова вероятность, что их разность меньше 1?
По условию 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4
Мерой для этой задачи является площадь.
Пространство всех событий: квадрат 4х4, SΩ = 42 = 16.
Ответ: (mathrm{ 1) frac{23}{32}; 2) frac{7}{16}. })
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие A – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G.
Если для простоты считать, что все точки G «равноправны» (выбор точек равномерен внутри области), то вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
$$
P(A)=frac{m(A)}{m(G)},
$$
где $m(G)$, $m(A)$ – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов $G$ и события $А$ соответственно.
Чаще всего, в одномерном случае речь будет идти о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, в трехмерном — об объемах тел.
При этом, некоторые задачи сразу имеют геометрическую интерпретацию (первый пример), а другие выглядят как задачи «про жизнь», самая распространенная из них — задача о встрече (второй пример).
Основная сложность при решении задач такого типа — построить математическую модель эксперимента, нужным образом выбрать пространство элементарных исходов, обозначить событие, выразить его математически как некоторую область. К сожалению, единого рецепта решения подобых заданий нет, нужно «набить» руку на разных задачах (см. примеры тут, например).
Примеры решений на геометрическую вероятность
Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной $2d$, расстояние между осевыми линиями которых равно $2D$, наудачу брошен круг радиуса $r$ ($r+dlt D$). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние $x$ от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы (ее обозначим за 0). Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок, равный половине расстояния между осями полос $G={x: 0le x le D}$. Его мера — это длина отрезка, то есть $m(G)=D$.
Рассмотрим теперь случаи, благоприятствующие событию $A$ = (Круг пересечет полосу), и найдем меру соответствующей области точек. На чертеже выше покажем различные варианты выпадения круга.
Пересечение круга с полосой очевидно произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу (точнее, ее половину), т.е. координата центра круга удовлетворяет неравенству $0 le x le d$, длина этого отрезка $d$.
Также круг пересечет полосу, если его центр будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус (если равен радиусу — круг коснется полосы, если больше — то отстоит от полосы), т.е. когда $d le x le d+r$ (длина этого отрезка $r$).
Тогда вероятность события $A$ по геометрическому определению вероятности:
$$
P(A)=frac{d+r}{D}.
$$
Пример. Два человека договорились встретиться в определенном месте от 17 до 18 часов. При этом каждый обязался после прихода на место встречи ожидать другого 30 минут. Какова вероятность встречи этих людей, если каждый из них равновозможно придет в течение указанного интервала времени?
Решение. Обозначим моменты прихода первого и второго человека за $x$ и $y$. Так как они приходят в промежуток длительности 60 минут (от 17 до 18 часов), то справедливы следующие условия: $0 le x le 60$ и $0 le y le 60$.
Рассмотрим прямоугольную систему координат $xOy$. В этой системе координат всем возможным значениям времени прихода людей соответствуют точки квадрата со стороной 60.
Лица встретятся, если один человек придет раньше, чем уйдет другой, то есть если $y lt x+30$, когда $y gt x$ (второй пришел позже первого, но не позже чем через 30 минут от него) и $x lt y+30$, когда $y lt x$ (первый пришел позже второго, не но позже чем через 30 минут).
Более компактно запишем условия
$$
x lt y lt x+30 quad text{ или } quad x-30 lt y lt x. quad (*)
$$
Построим прямые $y=x$, $y=x-30$, $y=x+30$ и закрасим область, лежащую внутри квадрата, точки которой удовлетворяют условиям (*). Точки этой фигуры (серый шестиугольник в центре) являются благоприятствующими событию $A$ =(люди встретятся).
Тогда искомая вероятность встречи по геометрическому определению вероятности равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата:
$$
P=frac{60^2-1/2cdot 30^2-1/2cdot 30^2}{60^2}=frac{3600-900}{3600}=frac{3}{4}=0,75.
$$
Больше примеров на геометрическую вероятность