Как найти вероятность разноцветных шаров - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решение задач про выбор шаров из урны

Понравилось? Добавьте в закладки

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):

$$
P=frac{C_K^k cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. qquad (1)
$$

*Поясню, что значит «примерно»: шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно «белыми шарами», второй — «черными шарами» и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

$$
P=frac{C_{10}^2 cdot C_{8}^{3}}{C_{18}^5} = frac{45 cdot 56}{8568} = frac{5}{17} = 0.294.
$$

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

$$
P=frac{C_{5}^2 cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^2} = frac{10 cdot 1}{45} = frac{2}{9} = 0.222.
$$

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине).
Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

$$
P(A_1)=frac{C_{4}^2 cdot C_{2}^{0}}{C_{6}^2} = frac{6 cdot 1}{15} = frac{2}{5} = 0.4.
$$

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

$$
P(A_2)=frac{C_{4}^0 cdot C_{2}^{2}}{C_{6}^2} = frac{1 cdot 1}{15} = frac{1}{15}.
$$

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

$$
P(A)=P(A_1)+P(A_2)=frac{2}{5} + frac{1}{15} =frac{7}{15} = 0.467.
$$

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Полезные ссылки

Онлайн-учебник по теории вероятностей
Примеры решений задач по теории вероятностей
Решить теорию вероятности на заказ

Поищите готовые задачи в решебнике:

Источник

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.3. Классическое определение вероятности.

Пример 3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров:

Р(зел.)=2/24; Р(кр.)=7/24; Р(кор.)=5/24. Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:

Предыдущий пример

Источник

Загрузить PDF

Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений.^[1] Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.

1

Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет.^[2]

Например:» невозможно вычислить вероятность такого события: при одном броске кубика выпадут 5 и 6 одновременно.
2
Определите все возможные события и результаты, которые могут произойти. Предположим, необходимо определить вероятность того, что при броске игрового кубика с 6 цифрами выпадет тройка. «Выпадение тройки» является событием, и поскольку мы знаем, что может выпасть любая из 6 цифр, число возможных исходов равно шести. Таким образом, мы знаем, что в данном случае есть 6 возможных результатов и одно событие, вероятность которого мы хотим определить. Ниже приведено еще два примера.^[3]
- Пример 1. Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? В данном случае событием является «выбор дня, который приходится на выходные», а число возможных исходов равно количеству дней недели, то есть семи.
- Пример 2. В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Событием является «вынуть красный шар», а число возможных исходов равно общему количеству шаров, то есть двадцати.
3
Поделите число событий на количество возможных исходов. Таким образом вы определите вероятность одиночного события. Если мы рассматриваем случай выпадения 3 при бросании кубика, число событий равно 1 (тройка находится лишь на одной грани кубика), а общее количество исходов равно 6. В результате получаем соотношение 1/6, 0,166, или 16,6 %. Вероятность события для двух приведенных выше примеров находится следующим образом:^[4]
- Пример 1. Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? Число событий равно 2, так как в одной неделе два выходных дня, а общее количество исходов составляет 7. Таким образом, вероятность равна 2/7. Полученный результат можно записать также как 0,285 или 28,5 %.
- Пример 2. В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Число событий равно 5, поскольку в коробке 5 красных шаров, а общее количество исходов составляет 20. Находим вероятность: 5/20 = 1/4. Полученный результат можно записать также как 0,25 или 25 %.
4
Сложите вероятности всех возможных событий и проверьте, получится ли в сумме 1. Суммарная вероятность всех возможных событий должна составлять 1, или 100 %. Если у вас не получится 100 %, скорее всего, вы допустили ошибку и пропустили одно или несколько возможных событий. Проверьте свои вычисления и убедитесь, что вы учли все возможные исходы.^[5]
- Например, вероятность выпадения 3 при бросании игрового кубика составляет 1/6. При этом вероятность выпадения любой другой цифры из пяти оставшихся также равна 1/6. В результате получаем 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, то есть 100 %.
- Если вы, например, забудете о цифре 4 на кубике, сложение вероятностей даст вам лишь 5/6, или 83 %, что не равно единице и указывает на ошибку.
5
Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0. Это означает, что данное событие не может произойти, и его вероятность равна 0. Таким образом вы сможете учесть невозможные события.^[6]
- Например, если бы вы вычисляли вероятность того, что в 2020 году Пасха придется на понедельник, то получили бы 0, поскольку Пасха всегда празднуется в воскресенье.
Реклама

1
При рассмотрении независимых событий вычисляйте каждую вероятность отдельно. После того как вы определите, каковы вероятности событий, их можно будет рассчитать отдельно. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Мы знаем, что вероятность выпадения одной пятерки составляет 1/6, и вероятность выпадения второй пятерки также равна 1/6. Первый исход не связан со вторым.^[7]
- Несколько выпадений пятерок называются независимыми событиями, поскольку то, что выпадет первый раз, не влияет на второе событие.
2
Учитывайте влияние предыдущих исходов при расчете вероятности для зависимых событий. Если первое событие влияет на вероятность второго исхода, говорят о расчете вероятности зависимых событий. Например, если вы выбираете две карты из колоды, состоящей из 52 карт, после взятия первой карты состав колоды изменяется, что влияет на выбор второй карты. Чтобы рассчитать вероятность второго из двух зависимых событий, необходимо вычесть 1 из количества возможных результатов при расчете вероятности второго события.^[8]
- Пример 1. Рассмотрим следующее событие: Из колоды случайным образом одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность того, что первая карта будет иметь трефовую масть, составляет 13/52, или 1/4, поскольку всего в колоде 13 карт одной масти.
  - После этого вероятность того, что вторая карта окажется трефовой масти, составляет 12/51, поскольку одной трефовой карты уже нет. Это объясняется тем, что первое событие влияет на второе. Если вы вытянули тройку треф и не положили ее обратно, в колоде будет на одну карту меньше (51 вместо 52).
- Пример 2. В коробке 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым?
  - Вероятность того, что первый шар окажется красным, составляет 5/20, или 1/4. Вероятность того, что второй шар будет синим, равна 4/19, поскольку в коробке осталось на один шар меньше, но по прежнему 4 синих шара. Наконец, вероятность того, что третий шар окажется белым, составляет 11/18, так как мы уже вынули два шара.
3
Перемножьте вероятности каждого отдельного события. Независимо от того, имеете ли вы дело с независимыми или зависимыми событиями, а также количества исходов (их может быть 2, 3 и даже 10), можно рассчитать общую вероятность, умножив вероятности всех рассматриваемых событий друг на друга. В результате вы получите вероятность нескольких событий, следующих одно за другим. Например, стоит задача Найти вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Это два независимых события, вероятность каждого из которых равна 1/6. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 1/6 x 1/6 = 1/36, то есть 0,027, или 2,7 %.^[9]
- Пример 1. Из колоды наугад одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность первого события составляет 13/52. Вероятность второго события равна 12/51. Находим общую вероятность: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, то есть 0,058, или 5,8 %.
- Пример 2. В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вытянуть из коробки три шара один за другим, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым? Вероятность первого события составляет 5/20. Вероятность второго события равна 4/19. Вероятность третьего события составляет 11/18. Таким образом, общая вероятность равна 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, или 3,2 %.
Реклама

1
Рассматривайте возможность как дробь с положительным результатом в числителе. Вернемся к нашему примеру с разноцветными шарами. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что вы достанете белый шар (всего их 11) из всего набора шаров (20). Шанс того, что данное событие произойдет, равен отношению вероятности того, что оно случится, к вероятности того, что оно не произойдет. Поскольку в коробке имеется 11 белых шаров и 9 шаров другого цвета, возможность вытянуть белый шар равна отношению 11:9.^[10]
- Число 11 представляет вероятность достать белый шар, а число 9 — вероятность вытянуть шар другого цвета.
- Таким образом, более вероятно, что вы достанете белый шар.
2
Сложите полученные величины, чтобы перевести возможность в вероятность. Преобразовать возможность довольно просто. Сначала ее следует разбить на два отдельных события: шанс вытянуть белый шар (11) и шанс вытянуть шар другого цвета (9). Сложите полученные числа, чтобы найти общее число возможных событий. Запишите все как вероятность с общим количеством возможных результатов в знаменателе.^[11]
- Вы можете вынуть белый шар 11 способами, а шар другого цвета — 9 способами. Таким образом, общее число событий составляет 11 + 9, то есть 20.
3
Найдите возможность так, как если бы вы рассчитывали вероятность одного события. Как мы уже определили, всего существует 20 возможностей, причем в 11 случаях можно достать белый шар. Таким образом, рассчитать вероятность вытянуть белый шар можно так же, как и вероятность любого другого одиночного события. Поделите 11 (количество положительных исходов) на 20 (число всех возможных событий), и вы определите вероятность.^[12]
- В нашем примере вероятность достать белый шар составляет 11/20. В результате получаем 11/20 = 0,55, или 55 %.
Реклама

Советы

Для описания вероятности того, что то или иное событие произойдет, математики обычно используют термин «относительная вероятность». Определение «относительная» означает, что результат не гарантирован на 100 %. Например, если подбросить монету 100 раз, то, вероятно, не выпадет ровно 50 раз орел и 50 решка. Относительная вероятность учитывает это.^[13]
Вероятность какого-либо события не может быть отрицательной величиной. Если у вас получилось отрицательное значение, проверьте свои вычисления.^[14]
Чаще всего вероятности записывают в виде дробей, десятичных дробей, процентов или по шкале от 1 до 10.
Вам может пригодиться знание того, что в спортивных и букмекерских ставках шансы выражаются как «шансы против» — это означает, что возможность заявленного события оценивается первой, а шансы того события, которое не ожидается, стоят на втором месте. Хотя это и может сбить с толку, важно помнить об этом, если вы собираетесь делать ставки на какое-либо спортивное событие.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 705 498 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,662
гуманитарные
33,654
юридические
17,917
школьный раздел
611,984
разное
16,905

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Источник

Пример 1.

В урне 30 шаров: 10
красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного
шара (событие А) P(A)=10/30=1/3 Вероятность появления синего шара (событие В) P(B)=5/30=1/6 События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает
появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность:

Пример 2.

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с
4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: Всего
получено магазином: N=4 + 5 + 7 + 4 =
20 ящиков.

Обозначим через А ящики с первого склада, а через В – с третьего. Найдём по формуле отдельно вероятность продажи
ящика с первого склада и отдельного вероятность продажи с третьего:

Р(А)=0,2 –
вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада; Р(В)=0,35 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

По
теореме сложения несовместных событий получим:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,55 –
вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Пример 1.

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым
орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение: Событие А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая
вероятность P(AB)=P(A)•P(B)=0.7•0.8=0.56

Пример 2.

В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули
по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение: В первом ящике всего 6 шаров, во втором – 12. Обозначим события:

А – вынули белый шар из первого ящика, вероятность этого события соответственно
равна Р(А)=1/6;

Ᾱ — вынули черный шар из первого ящика, вероятность: Р(Ᾱ)=5/6 ;

В – белый шар из второго ящика, вероятность: Р(В)=8/12=2/3;

Источник