Как найти вероятность успеха в одном испытании

Под
последовательностью испытаний будем
понимать повторение одного и того же
испытания.

Под
схемой Бернулли понимается последовательность
испытаний, удовлетворяющая следующим
условиям:

1. в
   каждом испытании всего два исхода,
   которые условно называют “успех”, и
   “неуспех”;

2. испытания
   независимы, т.е. вероятность успеха в
   каждом из них не зависит от исходов
   других испытаний;

3. вероятность
   успеха в каждом испытании одна и та же
   – обозначим её p, следовательно
   вероятность “неуспеха” равна 1 – p,
   эта вероятность обозначается q .

Пример
1. Группа
студентов сдает экзамен: успех – сдал,
неуспех – не сдал.

Пример
2. Выпущена
партия изделий: успех – не брак, неуспех
– брак.

В
дальнейшем независимость будем определять
из физических соображений, она
соответветствует отсутствию
физического влияния друг на друга. В
примерах 1,2 такую независимость можно
предположить.

Теорема. Пусть
проводится n испытаний, удовлетворяющих
схеме Бернулли. Пусть вероятность успеха
в одном испытании p, вероятность неуспеха

q
= 1 – p. Обозначим P_n (k)
– вероятность того, что в n испытаниях
наступило k успехов, тогда

 формула
Бернулли 9.1

Доказательство:

Обозначим
успех А, неуспех Ā. У нас k успехов в n
испытаниях. Т.е. это может быть, к примеру,
такое событие: ААА…АĀ…Ā, где событие
А повторяется к раз, а событие Ā –
повторяется (n–k) раз. Вероятность такого
события

P(ААА…АĀ…Ā)
={т.к. события независимы}=

Р(А)…Р(А)…Р(Ā)…Р(Ā)
=р^k ×
q^n-k.

Проблема
в том, что таких вариантов, где событие
А повторяется к раз, а событие Ā –
повторяется (n–k) раз, много. Чтобы
вычислить количество таких вариантов,
можно представить ситуацию так: есть n
номеров мест, из которых надо вытащить
k номеров, на которые поставим событие
А. На оставшиеся (n-k) мест автоматически
поставим событие Ā . Всего таких событий
будет
.
Все эти сложные события несовместны,
следовательно, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей и каждое
слагаемое равно р^k ×
q^n-k.
В итоге получаем:

Р_n(k)=
р^k ×
q^n-k +
р^k ×
q^n-k…
р^k ×
q^n-k +
р^k ×
q^n-k =

Пример
3. В
комнате общежития живут пять студентов.
В этом институте студент с вероятностью
0.8 получает стипендию. Найти вероятность
того, что 4 студента получат стипендию
в следующем семестре.

Решение:
Пусть в данном случае успех – получение
стипендии, т.е. вероятность успеха р =
0.8. Тогда вероятность неуспеха q =1 – p =
0.2. Найти надо

Следствие
1.
 9.2

Доказательство:

Т.к
по формуле 9.1 здесь все возможные исходы
при n испытаниях, то:

Р_n(0)
+ P_n(1)
+ …..+ P_n(n)
= 1

Следствие
2. Обозначим
через P_n(k₁,
k₂)
вероятность того, что при n испытаниях
успехов будет от k₁ до
k₂ включительно.
Тогда

 9.3

Доказательство:

Обозначим
через событие А_i ={
произошло i успехов при n испытаниях}.
Тогда

Р{k1
≤ успехов ≤ k2} = P(Ak1 + Ak1+1 + Ak1+2 +…….+Ak2) =

{cобытия
несовместны}

=
P(Ak1 ) + P(Ak1+1) + P(Ak1+2) +……+ P(Ak2)
= P_n(k₁)
+ P_n(k₁+1)
+…….P_n(k₂)

Если
записать вероятности этих событий по
формуле 9.1, получим требуемую формулу.

Пример
4. Вероятность
выигрыша по одному лотерейному билету
равна 0.1. Некто купил 5 билетов. Найти
вероятность того, что выиграет хотя бы
два билета.

Решение:
очевидно, что выполняются условия схемы
Бернулли, n =5; p = 0,1;

Найти
требуется P₅(2,5).

т.к.
вычислять довольно много, рассмотрим
другой способ решения – через отрицание
нужного события; искомая вероятность
равна

=
1 – Р₅ (0,1)
= 

Часто
необходимо вычислить вероятность хотя
бы одного успеха.

Следствие
3. Вероятность
хотя бы одного успеха в n испытаниях
равна

1
– qⁿ . 9.4

Доказательство
:

Р
{ хотя бы один успех } = Р_n (1,
n) = 1 – P_n (0)
= 1 – qⁿ

Пример
6. Известно,
что у трети людей первая группа крови.
Найти вероятность того, что из пяти
доноров хотя бы у одного будет кровь
первой группы.

Решение:

Р5
(1,5) = 1 – Р5 (0) = 1 – q⁵ =
1 – ( 2/3 )⁵ =
1 – 32/ 243
 0,87.

Пример
7. В
условиях предыдущей задачи сколько
надо взять доноров, чтобы с вероятностью
не меньше 0,9 среди них оказался хотя бы
один с первой группой крови?

Р
(1,n) = 1 – ( 2/3 )ⁿ ≥
0,9
 (
⅔ )ⁿ ≤
0,1

логарифмируем,
чтобы найти n:

n
∙ ln ⅔ ≤ ln 0,1,

т.к.
ln ⅔ < 0 
 знак
неравенства меняется и

На
примере 7 мы рассмотрели задачу, которую
в общем виде можно сформулировать
следующим образом: часто возникает
вопрос о величине серии испытаний (n),
такой, чтобы вероятность хотя бы одного
успеха была не меньше некоторго числа
γ ( 0 < γ < 1). Если провести действия,
подобные решению из примера 7, получим
формулу:

 9.5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Слайд 1

Успех и неудача . Число успехов в испытаниях Бернулли. Теория вероятностей МсСВУ ФГКОУ Московское суворовское военное училище

Слайд 2

Повторение Теория вероятностей

Слайд 3

1. Основные формулы комбинаторики а ) перестановки б) размещения в) сочетания P n =n!=1·2·3…(n – 1) ·n Теория вероятностей Формулы Случайные события

Слайд 4

2 . Классическое определение вероятности Теория вероятностей Формулы Случайные события , где m – число благоприятствующих событию A исходов, n – число всех элементарных равновозможных исходов

Слайд 5

3. Вероятность суммы событий Теория вероятностей Формулы Случайные события Теорема сложения вероятностей несовместных событий : Теорема сложения вероятностей совместных событий: P(A+ B) = P(A) +P(B)−P(AB )

Слайд 6

4. Вероятность произведения событий Теория вероятностей Формулы Случайные события Теорема умножения вероятностей независимых событий: Теорема умножения вероятностей зависимых событий : P(A⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) P(A⋅ B) = P(A) ⋅ P(B|A) P(A⋅ B) = P(B) ⋅ P(A|B)

Слайд 7

Сочетания Задача. Сколькими способам можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах , если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков ? Решение . n =10 , r = 5 , порядок не важен , повторений нет . Нужна формула: Сочетания Выбрать 5 ящиков, которые будут погружены на первую машину, из 10 ящиков, можно способами (сочетания из 10 объектов по 5). Тогда остальные 5 ящиков автоматически погружаем и везем во второй машине. Итого получаем N = 252 способа. Ответ: 252.

Слайд 8

Размещения Задача. Расписание одного дня состоит из 5 уроков . Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин . Решение. n =11, r = 5 , порядок важен (уроки идут по порядку ), повторений нет . Нужна формула: Размещения Будем считать, что уроки в течение дня не повторяются. Тогда количество вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин определим по формуле размещений: 10 = 55440 вариантов . Ответ : 55440

Слайд 9

Перестановки Задача. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе ? Решение . n = 4, r = 4 , порядок важен (места в купе различны), нужно выбрать все объекты, повторений нет. Нужна формула: Перестановки Значит, число различных размещений 4 человек в четырехместном купе – это число всех перестановок из 4 элементов: N = 4!= 1 2 3 4 = 24 способа. Ответ: 24 . P n = n!

Слайд 10

В ходе урока найти и записать в тетради ответы на следующие вопросы : Формула Бернулли. Определение случайной величины. Определение математического ожидания. Формула. Определение дисперсии. Формула.

Слайд 11

Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других . Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли .

Слайд 12

Примеры повторных испытаний: 1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну; 2 ) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой Независимые испытания. Формула Бернулли

Слайд 13

Независимые испытания. Формула Бернулли Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А , либо противоположное ему событие . А Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях).

Слайд 14

Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A) , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой q=P ( ) =1 −p. Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения . Независимые испытания. Формула Бернулли Сумма вероятностей всегда равна 1 .

Слайд 15

Формула Бернулли вероятность появления события ровно k раз при n независимых испытаниях, p — вероятность появления события при одном испытании .

Слайд 16

Примеры: Пример 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности , По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Слайд 17

Примеры: Пример 2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение. Вероятность рождения девочки , тогда Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки : Следовательно , искомая вероятность

Слайд 18

Примеры: Пример 3. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А — «появление нестандартной детали», его вероятность p = 0,004 , тогда q = 0,96 . Отсюда по формуле Бернулли находим

Слайд 19

Примеры: Пример 4 . При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19. Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Слайд 20

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов (появлений события) имеет вид : Так как то эти границы отличаются на 1. Поэтому k являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число ( k=np ) , то есть когда np+p ( а отсюда и np-q ) нецелое число, либо два значения, когда np-q целое число Наивероятнейшее число успехов

Слайд 22

Случайной она называется потому, что до эксперимента невозможно точно предсказать то значение, которое эта величина примет в результате эксперимента — это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен. Случайные величины Случайной величиной называют любую числовую величину, связанную со случайным экспериментом.

Слайд 23

Поскольку каждый такой объект описывается обычно набором числовых характеристик, то выборка предстает перед нами в виде одного или нескольких числовых рядов. Располагая понятием случайной величины, мы можем рассматривать случайную выборку как последовательность наблюдений за одной или несколькими случайными величинами. Таким образом, случайная величина представляет собой функцию, определенную на множестве всех возможных исходов опыта: областью определения этой функции является множество всех возможных исходов W, а значениями — числа (целые или действительные). Случайной выборкой называют множество случайно выбранных объектов генеральной совокупности.

Слайд 24

Случайные величины Ряд распределения дискретной случайной величины Сумма вероятностей всегда равна 1 .

Слайд 25

Для введения дисперсии можно привести следующий пример . На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например , в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия . Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания.

Слайд 26

Математическое ожидание случайной величины вероятность появления события ровно k раз при n независимых испытаниях, p — вероятность появления события при одном испытании . Для дискретной случайной величины X , заданной рядом распределения:

Слайд 27

Математическое ожидание случайной величины

Слайд 28

Математическое ожидание случайной величины

Слайд 29

Дисперсия случайной величины Для дискретной случайной величины X , заданной рядом распределения:

Слайд 30

Распределения случайных величин Биномиальное распределение (дискретное) X — количество «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов , таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p . q =1− p . Закон распределения X имеет вид : Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: Характеристики: M ( X ) = np , D(X) = npq , σ =

Слайд 31

Задание на самоподготовку: п. 49-52, стр. 192 № 2, 3, 4

Слайд 32

http://www.matburo.ru/ http:// www.zhaba.ru/site_data/10667/objects_images/c/8/d/original/c8de6924b2c95f28b69b8532abd50a5e_57512.jpg http:// legalpaper.com.ua/wp-content/uploads/2012/09/klipart_chelovek_kniga_ogromnyy_chtenie_znanie_19519_1280x1024.jpg http:// nevseoboi.com.ua/uploads/posts/2010-03/thumbs/1267705874_3d-humans-3.jpg 11 класс . МКОУ « Усть-Мосихинская СОШ» . Новосёлова Е.А . Шабалина Надежда Ивановна chabalina7@mail.ru Ссылки:

Испытания Бернулли