Как найти вероятность выйгрыша

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Можно ли выиграть в лотерею? Какие шансы угадать нужное количество чисел и получить джекпот или приз младшей категории? Вероятность выигрыша легко просчитывается, любой желающий может сделать это самостоятельно.

Как вообще считается вероятность выигрыша в лотерею?

Числовые лотереи проводятся по определенным формулам и шансы каждого события (выигрыша той или иной категории) рассчитываются математически. Причем эта вероятность вычисляется для любого нужного значения, будь то «5 из 36», «6 из 45», или «7 из 49» и она не меняется, так как зависит только от общего количества чисел (шаров, номеров) и того, сколько из них надо угадать.

Например, для лотереи «5 из 36» вероятности всегда следующие

• угадать два числа — 1 : 8
• угадать три числа — 1 : 81
• угадать четыре числа — 1 : 2 432
• угадать пять чисел — 1 : 376 992

Другими словами — если отметить в билете одну комбинацию (5 номеров), то шанс угадать «двойку» всего 1 из 8. А вот «пять» номеров поймать гораздо сложнее, это уже 1 шанс из 376 992. Именно такое (376 тысяч) количество всевозможных комбинаций существует в лотерее «5 из 36» и гарантированно в ней выиграть можно, если только заполнить их все. Правда, сумма выигрыша в этом случае не оправдает вложений: если билет стоит 80 рублей, то отметить все комбинации будет стоить 30 159 360 рублей. Джекпот обычно намного меньше.

В общем, все вероятности давно известны, всего и остается, что их найти или рассчитать самостоятельно, при помощи соответствующих формул.

Для тех, кому искать лень, приведем вероятности выигрыша для основных числовых лотерей Столото — они представлены в этой таблице

Также, информация по вероятностям в основных числовых лотереях есть по этой ссылке.

Эти же вероятности можно рассчитать самостоятельно при помощи нашего лото-виджета «Расчет вероятности выигрыша» для этого не требуется работать с формулами, надо всего лишь менять исходные значения (числовая формула лотереи и кол-во угадываемых номеров)

Необходимые пояснения

Лото-виджет позволяет рассчитывать вероятности выигрыша для лотерей с одним лототроном (без бонусных шаров) или с двумя лототронами. Также можно просчитать вероятности развернутых ставок

Расчет вероятности для лотерей с одним лототроном (без бонусных шаров)

Используются только первые два поля, в которых числовая формула лотереи, например: — «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49». В принципе, можно просчитать почти любую мировую лотерею. Есть только два ограничения: первое значение не должно превышать 30, а второе — 99.

Если в лотерее не используются дополнительные номера*, то после выбора числовой формулы остается нажать кнопку рассчитать и результат готов. Не важно, вероятность какого события вы хотите узнать – выигрыш джекпота, приз второй/третьей категории или просто выяснить, сложно ли угадать 2-3 номера из нужного количества – результат высчитывается почти моментально!

Примеры. Вероятности выигрыша главного приза для лотерей:
«5 из 36» (Гослото, Россия) – 1:376 922
«6 из 45» (Гослото, Россия; Saturday Lotto, Австралия; Lotto, Австрия) — 1:8 145 060
«6 из 49» (Спортлото, Россия; La Primitiva, Испания; Lotto 6/49, Канада) — 1:13 983 816
«6 из 52» (Super Loto, Украина; Illinois Lotto, США; Mega TOTO, Малазия) — 1:20 358 520
«7 из 49» (Гослото, Россия; Lotto Max, Канада) — 1:85 900 584

Лотереи с двумя лототронами (+ бонусный шар)

Если в лотерее используется два лототрона, то для расчета необходимо заполнить все 4 поля. В первых двух – числовая формула лотереи (5 из 36, 6 из 45 и тд), в третьем и четвертом поле отмечается количество бонусных шаров (x из n). Важно: данный расчет можно использовать только для лотерей с двумя лототронами. Если бонусный шар достается из основного лототрона, то вероятность выигрыша именно этой категории считается по-другому.

* Так как при использовании двух лототронов шанс выигрыша высчитывается перемножением вероятностей друг на друга, то для корректного расчета лотерей с одним лототроном выбор дополнительного номера по умолчанию стоит как 1 из 1, то есть не учитывается.

Примеры. Вероятности выигрыша главного приза для лотерей:
«5 из 36 + 1 из 4» (Гослото, Россия) – 1:1 507 978
«4 из 20 + 4 из 20» (Гослото, Россия) – 1:23 474 025
«6 из 42 + 1 из 10» (Megalot, Украина) – 1:52 457 860
«5 из 50 + 2 из 10» (EuroJackpot) – 1:95 344 200
«5 из 69 + 1 из 26» (Powerball, США) — 1: 292 201 338

Хорошей иллюстрацией сложности игры с двумя лототронами служит лотерея «Гослото «4 из 20». Вероятность угадать 4 числа из 20 в одном поле вполне щадящая, шанс этого — 1 из 4 845. Но, когда угадать надо выиграть оба поля… то вероятность рассчитывается их перемножением. То есть, в данном случае 4 845 умножаем на 4 845, что дает 23 474 025. Так что, простота этой лотереи обманчива, выиграть в ней главный приз сложнее, чем в «6 из 45» или «6 из 49»

Расчет вероятности (развернутые ставки)

В данном случае считается вероятность выигрыша при использовании развернутых ставок. Для примера – если в лотерее 6 из 45, отметить 8 чисел то вероятность выиграть главный приз (6 из 45) составит 1 шанс из 290 895. Пользоваться ли развернутыми ставками – решать вам. С учетом того, что стоимость их получается очень высокая (в данном случае 8 отмеченных чисел это 28 вариантов) стоит знать как это увеличивает шансы на выигрыш. Тем более, что сделать это теперь совсем просто!

И другие возможности

При помощи нашего виджета можно просчитать вероятность выигрыша и в бинго-лотереях, например, в «Русское лото». Главное, что надо учитывать, это количество ходов, отведенных на наступление выигрыша. Чтобы было понятнее: долгое время в лотерее «Русское лото» джекпот можно было выиграть в том случае если 15 чисел (в одном поле) закрывались за 15 ходов. Вероятность такого события совершенно фантастическая, 1 шанс из 45 795 673 964 460 800 (можете проверить и получить это значение самостоятельно). Именно поэтому, кстати, много лет в лотерее «Русское лото» никто не мог сорвать джекпот, и его распределяли принудительно.

20.03.2016 правила лотереи «Русское лото» были изменены. Джекпот теперь можно выиграть, если 15 чисел (из 30) закрывались за 15 ходов. Получается аналог развернутой ставки — ведь 15 чисел угадываются из 30 имеющихся! А это уже совсем другая вероятность:

И в заключение приведем вероятность выигрыша в лотереях, использующих бонусный шар из основного лототрона (наш виджет такие значения не считает). Из самых известных

Спортлото «6 из 49» (Гослото, Россия), La Primitiva «6 из 49» (Испания)
Категория «5 + бонусный шар»: вероятность 1:2 330 636

SuperEnalotto «6 из 90» (Италия)
Категория «5 + бонусный шар»: вероятность 1:103 769 105

Oz Lotto «7 из 45» (Австралия)
Категория «6 + бонусный шар»: вероятность 1:3 241 401
«5 + 1» — вероятность 1:29 602
«3 +1» — вероятность 1:87

Lotto «6 из 59» (Великобритания)
Категория «5 + 1 бонусный шар»: вероятность 1:7 509 579

В любой лотерее можно рассчитать возможность выигрыша, следует только применить теорию вероятности и предугадать возможность выпадения необходимых чисел.

Этот раздел математики поможет оценить шанс сорвать джекпот, выбрать правильную игру, а также разобраться в некоторых мифах. Например, стоит знать, что частые выигрыши людей из столицы — не жульничество организаторов, это увеличенный шанс победить из-за бо́льшего количества участников. Ещё один полезный факт от теории вероятности: покупка 5 билетов на один розыгрыш сулит более достижимый успех, чем приобретение одного — на 5 различных игр.

Что представляет собой теория вероятности и какую связь она имеет с лотереями

Многие события в жизни кажутся непредсказуемыми, но стоит начать разбираться, становится ясно, что все они подчиняются определенным правилам. Выпадение чисел в лотерее — совокупность случайностей, но все вместе случайные события формируют систему закономерностей.

Именно такие закономерности изучает особый математический раздел — теория вероятности. Эта наука может в цифрах выразить шанс наступления любого события.

Обыватель, приобретая лотерейный билет, может рассуждать так: угадал, не угадал — два результата, а значит, шанс наступления каждого, как с подкидыванием рубля, — 50%. В действительности же все немного сложнее. Возможность наступления любого исхода можно описать специальной формулой, а расчет выигрыша зависит от нескольких факторов:

• количества шаров (как общего их числа в игре, так и тех, что участвуют в конечной комбинации);
• используемых лототронов (при одном рассчитывается шанс наступления нескольких зависимых друг от друга событий, при использовании двух — общая вероятность);
• суммы купленных билетов (чем больше у участника билетов на одну игру, тем выше шанс отметить нужные номера).

Справка! Эта теория позволяет рассчитать, с какой вероятностью может выпасть любая комбинация в игре. Достаточно познакомиться с парой формул и можно делать индивидуальный прогноз.

Как самостоятельно посчитать вероятность выигрыша в лотерею

Представьте, что вы дома решили устроить розыгрыш. В банку помещены 10 записок с номерами от 1 до 10, в итоговом раскладе будут разыграны 3 записки. Выиграет тот из участников, кто угадает все 3 цифры.

В данном случае неважно, в какой последовательности будут появляться цифры, но важно, какие именно это будут номера.

Для расчета вероятности выигрыша нужно узнать все возможные объединения используемых номеров, их можно посчитать по специальной математической формуле.

Пояснения для формулы

Теория вероятности использует две переменные:

• общее число шаров (записок с номерами), участвующих в розыгрыше
• количество шаров, которые разыгрываются (бумажек, вытаскиваемых из банки).

Обе переменные в выражении представлены факториалами (обозначаются строчной латинской буквой и восклицательным знаком (например, n!) и представляют собой произведение (перемножение) положительных, целых чисел от одного до n).

Если применить формулу к нашему примеру, то количество сочетаний получается 120. Это значит, что в домашнем розыгрыше победоносной окажется 1 комбинация из 120 возможных.

Этот же принцип расчета можно применить и к любым лотереям, но, в зависимости от условий, вычисления будут отличаться.

Шанс выигрыша в лотерее с одним лототроном

Первый вариант — ситуация, когда в игре присутствует только один лототрон и необходимо отгадать определенное количество чисел. К ней относятся лотереи вида «7 из 49», «6 из 45», а также пример, который был приведен выше.

Вероятность выигрыша при использовании одного аппарата для перемешивания шаров определяется отношением единицы к числу возможных сочетаний. Пример расчета для «7 из 49» представлен на рисунке.

Шанс сорвать джекпот в игре «7 из 49» составляет 1:1 997 688. Чтобы опробовать все комбинации чисел в одном розыгрыше, придется потратить 2 млн руб. (при средней стоимости билета 100 рублей).

Вероятность успеха в лотерее с развернутыми ставками

Теория вероятности позволяет рассчитать, как бо́льшее количество выбранных чисел в лотерейном билете увеличивает шанс их выпадения.

Применение развернутых ставок повышает шанс угадать верные числа. Чтобы рассчитать, во сколько раз возрастает возможность выигрыша, стоит использовать ту же формулу, но поменять значения переменных.

Например, если в лотерее «7 из 49» в билете выбрать 9 цифр вместо 7, то шанс на победу увеличится в 36 раз, вероятность выигрыша составит 1:2 386 127. Организаторы розыгрышей это учитывают, поэтому стоимость билетов с развернутыми ставками выше.

Перспективы игры в лотерею с двумя лототронами (добавляется 1 бонусный шар)

Другой вариант — ситуация, когда в игре участвуют два лототрона: необходимо отгадать несколько чисел, которые выпадут в первом, и один номер, выпавший во втором аппарате.

Чтобы определить общее количество сочетаний, перемножьте сумму возможных сочетаний в первом и во втором поле. Для получения результата нужно разделить 1 на общее количество сочетаний.

Так, в лотерее «5 из 36» возможность получить суперприз составляет 1 к 1 507 968.

На первый взгляд, формулы теории вероятности кажутся сложными, но можно не заморачиваться с самостоятельным расчетом. Существует много сервисов, готовых сделать это автоматически: на сайте выбираете вид лотереи или вводите исходные параметры, а затем получаете нужный результат.

Если надежда не имеет цены

Сразу оговоримся: если для вас ожидание чуда, надежда на большой выигрыш, азарт — самое ценное, что есть на свете, то дальше можно не читать. Размышления, расчёты и факты, которые последуют, трудно противопоставить страсти. Тем не менее, напомним, что не зря регулярные траты на лотерею называют налогом на глупость — шансы на обогащение эфемерны.

Шансы на выигрыш в лотерею: без цифр

Ещё один короткий раздел посвятим тем людям, которые не любят цифр, но здраво мыслят. Поставьте себя на место организатора любой лотереи. Очевидно, что его задача — не осчастливить игроков, а заработать на них. С чего вдруг кто-то будет разбрасывать деньги направо и налево, чтобы вы разбогатели, пусть даже и слегка?

Чем больше вокруг лотереи шума, рекламы, телевидения, приглашённых звёзд, тем меньше ваши шансы на победу: всё шоу должны оплатить игроки, расчитиывающие на успех. Игроки платят, шоу продолжается.

Зарплата для людей, которые организуют лотерею, огромные расходы на рекламу и телепередачи на государственных телеканалах — свидетельство того, что лотерея — действительно крайне выгодное дело. Для организаторов. Всё выше перечисленное требует немалых денег, но организатор идёт на это — потому как он (не вы) всё равно будет в большом плюсе. Это важно понимать во всех случаях, для всех лотерей, включая те, вероятности выигрыша в которых вам сложно подсчитать.

Шансы на крупный выигрыш — с цифрами

Готовимся к холодному душу: сейчас мы расскажем, как подсчитать шансы на джекпот. Вот прямо на вашем калькуляторе. Возьмём любую популярную лотерею вида «угадай X чисел из N». 5 из 36, 6 из 45, 7 из 49 и так далее. Все подобные лотереи проводятся по схожему принципу. Рассчитаем на примере 6 из 45.

Во время розыгрыша сначала определяется первое выигрышное число из доступных (у нас — от 1 до 45). Выигравшее число в этом розыгрыше уже не участвует, и следующее случайное число выбирается из всех чисел, за исключением уже отобранного — то есть, у нас останется не 45 вариантов, а 44. И так далее — потом числа будут выбираться из 43, 42, 41 и 40 вариантов.

Мы не станем с нуля рассчитывать всё по теории вероятностей, а дадим готовую формулу. Сделайте всего три действия:

1. 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5 864 443 200 (почти 6 миллиардов)
2. 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
3. Делим первое на второе: 5 864 443 200 : 720 = 8 145 060 (8 миллионов с небольшим).

Мы получили число всех возможных комбинаций из 6 чисел. Ваш шанс угадать все числа — 1 на более чем 8 миллионов. То есть на одного выигравшего джекпот человека будет 8 145 059 не выигравших и потративших (если билет стоит 50 рублей) более 400 миллионов рублей — на надежду.

Выигрыши других лотерей можете рассчитать сами. Скажем, для 5 из 36 вы посчитаете:

1. 36 × 35 × 34 × 33 × 32 = A
2. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = B
3. A : B = C — число возможных комбинаций.

1 : C — ваш шанс угадать 5 номеров. Вы увидите, что для 5 из 36 шансы выигрыша намного выше. Однако сам выигрыш, соответственно, намного меньше, и вы можете не сомневаться только в одном — лотерея останется крайне невыгодным вложением для вас.

Все крупные лотереи, даже если брать те, которые проводятся полностью прозрачно и честно, подразумевают ничтожный шанс обогащения для игроков. Доля организатора лотереи в суммарной стоимости проданных билетов во много раз выше доли казино от ставок игроков на рулетке.

Не джекпот, а просто выигрыш — разумно ли надеяться

Для того, чтобы быть в плюсе, не обязательно срывать максимальный куш. Скажем, в популярной гослотерее 6 из 45, угадав два числа, можно вернуть стоимость билета, а за три — получить втрое больше потраченного. Четыре угаданных числа дадут аж тридцатикратную стоимость билета.

Однако шансы на то, что вы угадаете

• два числа — примерно 150 из 1000;
• три числа — 22 из 1000;
• четыре числа — 1 из 1000.

На каждую тысячу билетов стоимостью 50 рублей вы потратите 50 000 рублей. При этом в среднем вы выиграете 1 раз 1500 рублей, 21 раз — 150 рублей и 148 раз — 50 рублей. В сумме ваш выигрыш составит:

1500 + 21 × 150 + 148 × 50 = 12 050 рублей.

Итого вы потеряете почти 38 000 рублей. И вообще, разве вы станете класть деньги в банк, если он обещает вам их вернуть с вероятностью 15%?

Каждая ваша попытка угадать 6 чисел из 45 будет иметь одинаково мизерный шанс на успех. Увеличить шансы на выигрыш можно только увеличивая число попыток — то есть увеличивая ваши затраты на лотерею.

Хитрые схемы для выигрыша в лотерею

В интернете вы найдёте немало схем, по которым увлечённые, но игнорирующие математику люди стараются сделать свой выигрыш более вероятным.

Например, некоторые годами отмечают одни и те же числа (дескать, однажды и до них дойдёт очередь, нужно просто быть настойчивым). Некоторые анализируют результаты прошлых лотерей, строят графики и погружаются в создание прогнозов, которым не суждено сбыться. Но теорию вероятностей не обмануть. Предположим, шанс на джекпот в какой-то лотерее один к миллиону. Пусть некто сделал 999 999 попыток и не выиграл. Каковы его шансы выиграть в следующий раз? Правильный ответ — один к миллиону. Каждый раз. Каковы бы ни были прошлые попытки, и сколько бы их ни было.