Как найти вершину ломаной линии

Как определить вершины ломаной пример

Ломаная линия – это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.

Построим ломаную из четырёх отрезков:

Отрезки AB, BC, CD и DE – это звенья ломаной. Точки A, B, C, D и E – вершины ломаной. Обозначение ломаной линии составляют из букв, стоящих при её вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: ломаная ABCDE или ломаная EDCBA .

Замкнутая ломаная

Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой:

Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником:

Длина ломаной

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Найдём длину ломаной, сложив длины всех её звеньев:

ABCD = AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.

Продолжительность урока: 35 минут

Тип урока: Изучение и первичное закрепление нового материала.

Цель: Познакомить с ломаной линией и ее компонентами.

Задачи урока:

1) Образовательная:

• познакомить учащихся с ломаной линией и её видами; усвоение понятий «ломаная», «звено ломаной линии», «вершина ломаной»;
• повторить: отрезки, линии;
• совершенствование вычислительных умений и навыков.

2) Развивающие:

• развивать логическое мышление, пространственное воображение, внимание, память, фантазию;
• совершенствовать уровень развития математической речи
• показать межпредметную связь математики и астрономии.

3) Воспитывающие:

• воспитывать коммуникативные качества учащихся
• воспитывать гордость за свою отчизну, достижения в науке, технике, космонавтике.

Материалы и оборудование:

1. Мультимедийная презентация
2. Компьютер, проектор, экран
3. «Учебный маршрутный лист»
4. Карандаши: жёлтый, синий, красный
5. Спагетти, кусочек пластилина
6. Массажные коврики для стоп, СУ-ДЖОК (массажный набор «Каштан» для кистей рук)

Ведущий вид деятельности: продуктивный, творческий, проблемный

Методы работы: объяснительно-иллюстративные, частично-поисковые, словесные, наглядные, практические.

Функция учителя: организатор сотрудничества; консультант, управляющий поисковой работой.

Педагогические технологии:

— педагогика сотрудничества (учебный диалог);

Ожидаемый результат:

• знать что такое ломаная линия, из чего она состоит, чем отличается от отрезка, луча, прямой линии, кривой линии
• расширение знаний о геометрическом материале
• повышение активности учащихся на уроках
• использование учащимися приобретённых знаний и умений в практической деятельности
• обогащение словарного запаса

Список использованной литературы.

1. Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1 класса общеобразовательных учреждений. — Смоленск: «Ассоциация XXI век», 2008.

2. Истомина Н.Б. Рабочая тетрадь к учебнику «Математика» для 1 класса

3. Методические рекомендации к учебнику «Математика» 1 класс, под ред. Н.Б.Истоминой.- Смоленск: «Ассоциация ХХI век». 2006 год.

Ход урока

1. Оргмомент

Слайд 1. Звучит голос И.Левитана с сообщением о первом полёте человека в космос.

Учитель: Дети, 2011 год объявлен в нашей стране годом Российской космонавтики. А кто из вас интересуется космосом? Кто хочет полететь в космос? Сегодня представляется такая возможность для всего класса. Мы совершим учебный полёт. Чтобы не совершать ошибок во время полёта, нужно подготовиться, восстановить некоторые знания. Как вы думаете, что нам необходимо вспомнить?

Дети: Повторить числа, сложение и вычитание.

Учитель: Я соглашусь с вами, дети. Добавлю: нужно знать пройденные геометрические фигуры.

2. Актуализация прежних знаний

Учитель: На ваших столах лежат «Учебные маршрутные листы». Все результаты работы на уроке будем заносить на эти листы.

Познакомьтесь с новым словом. «Астроно?мия» (др.- греч.) образован от древнегреческих слов «астрон» — звезда и «номос» — закон или культура, и дословно означает «Закон звёзд».

Все учёные — астрономы знают математику на «отлично». Без этих знаний невозможны точные подсчёты расстояний до далёких звёзд, при строительстве космических кораблей, их траектории движения, развития скорости:

Итак, первое задание: «математический диктант». Прослушайте условие, высчитайте в уме, запишите только ответ.

Из 9 планет солнечной системы только две имеют женские имена. А сколько мужских имён в названиях планет солнечной системы? (7)

У созвездии «Большая медведица» 7 ярких звёзд. А в созвездии «Кассиопея» 5 ярких звёзд. На сколько больше ярких звёзд в созвездии Большая медведица? (2)

На мой вопрос в начале урока: «Кто мечтает полететь в космос?» ответили «да» 3 девочки и 7 мальчиков. Сколько всего ребят нашего класса хотят слетать в космос? (10)

Дети: записывают ответы в свои «Учебные маршрутные листы», а одному ученику — «командиру отряда космонавтов» поручается написать ответы на доске. Затем все дети проверяют, сопоставляют свои результаты с ответами, записанными на доске.

Слайд №2

• Как называются фигуры? (точка, треугольник, кривая линия, прямая линия, отрезок)
• А чем луч отличается от отрезка?
• А чем прямая отличается от луча?

Почему вторая фигура называется треугольником? (имеет три вершины и три стороны)

— Можно ли стороны треугольника назвать отрезками? Почему? (стороны треугольника — отрезки, т.к. линии их образующие имеют границы)

Учитель: В «Учебном маршрутном листе» найдите красную точку и постройте луч. Какой инструмент необходим? (Линейка)

Соедините две синие точки. Какая фигура у вас получилась? (Отрезок)

Через жёлтую точку проведите прямую линию. Можете провести ещё одну? А ещё? (Да!)

Верно, через одну единственную точку можно провести бесчисленное количество прямых линий.

3. Физкультминутка (Ребята выполняют упражнения, стоя у парт)

Раз, два!
Скорость света!
Три, четыре!
Мы летим!
На далёкие планеты
Поскорей попасть хотим!
Чтоб водить корабли,
Чтобы в небо взлететь,
Надо многое знать.
Надо много уметь!
И при этом, и при этом
Вы заметьте-ка,
Очень важная наука
Ма-те-ма-ти-ка!

4. Введение нового материала

Сегодня мы продолжаем путешествие в страну Геометрию.

Посмотрите, что у меня в руках? (Вермишель спагетти)

Какую геометрическую фигуру она вам напоминает? (Прямую линию)

Возьмите в руки спагетти, которые раздал вам дежурный. Переломите в середине, а затем каждую часть ещё раз переломите пополам.

Какие геометрические фигуры вам напоминают? (Отрезки, их получилось 4)

Соедините их кусочками пластилина между собой. Можно ли теперь назвать полученную фигуру прямой линией? (Нет)

Как бы вы назвали такую геометрическую фигуру? (Поломанная линия)

Я должна немного поправить вас, она называется «ломаная» линия.

Посмотрите, из чего состоит ломаная линия? (Из отрезков)

Каждая ломаная линия состоит из нескольких отрезков — звеньев. Сколько звеньев в этой ломаной? (Четыре)

Звенья ломаной не лежат на одной прямой. Конец одного звена является началом другого. Место, где соединяются два звена, называется вершиной.

Сколько вершин у данной ломаной линии? (Три)

Кроме того, у ломаной линии есть 2 конца.

5. Физкультминутка — самомассаж пальцев кистей рук с помощью массажёра СУ-ДЖОК: Слайд №4

По — порядку
Все планеты
Назовёт любой из нас:
Раз — Меркурий,
Два — Венера,
Три — Земля,
Четыре — Марс,
Пять — Юпитер,
Шесть — Сатурн.
Семь — Уран,
Восьмой — Нептун.
А за ним уже потом,
Под названием Плутон.

6. Первичное закрепление

Учитель: Дети, давайте вспомним ещё раз, какими бывают кривые линии? (Замкнутыми и незамкнутыми)

А как вы думаете, ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми?

Учитель открывает на доске таблицу № 1:

— Какие фигуры изображены в таблице? (ломаные линии)

— У какой ломаной больше всего звеньев? (№ 4)

— У какой ломаной меньше всего звеньев? (№ 1)

— Какая ломаная имеет три вершины? (№ 2)

— Какая ломаная имеет пять вершин? (№ 4)

Учитель открывает на доске таблицу №2:

Учитель: Это тоже ломаные линии. Чем они отличаются от ломаных линий на первой таблице? (Все звенья соединены между собой)

— Такие ломаные линии называют «замкнутыми», а линии на первой таблице — «незамкнутыми» линиями.

— Назовите замкнутую ломаную линию, которая имеет меньше всего звеньев. (№1)

Верно, а может ли быть замкнутая линия из двух звеньев, подумайте. Давайте построим такую ломаную линию. (Нет, чтобы «замкнуть» линию нужно третье звено)

Учитель: Найдите и назовите на карте звёздного неба созвездия: незамкнутые ломаные линии и замкнутые.

Учитель: Если вашу «ломаную линию из спагетти» лежащую на парте, перевернуть, то будет напоминать созвездие «Кассиопею». Она была названа в честь царицы, которую заколдовала коварная колдунья.

7. Физкультминутка.

Для глаз. Дети следят за движением Колобка на Слайде№4

Задание на внимание

На несколько секунд я покажу вам одну фигуру. Вы должны запомнить её и выложить из счётных палочек точно такую.

Теперь поработайте в парах. Проверьте внимание своего одноклассника.

Какая фигура у вас получилась?

Что вы ещё скажете о ней? Можно ли её назвать ломаной линией?

Можно ли назвать её замкнутой? (незамкнутой?) Почему?

8. Подведение итога урока

С какой геометрической фигурой познакомились? (Ломаной линией)

Из каких элементов состоит ломаная линия? (Из звеньев и вершин)

Какие бывают ломаные линии? (Замкнутые и незамкнутые)

Переверните «Учебный маршрутный лист». Обведите цветным карандашом только ломаные линии, замкнутые и незамкнутые:

Какую линию описал корабль Ю.Гагарина за 108 минут вокруг Земли? (незамкнутую кривую линию)

В правом нижнем уголке «Учебного маршрутного листа» вам «улыбается» звёздочка. Какую геометрическую фигуру она напоминает? (Замкнутую ломаную линию) Определите количество вершин? Звеньев? Есть ли концы?

Самооценка работы учащихся на уроке:

У вас 3 цветных карандаша. Закрасьте звёздочку в зелёный цвет, если полностью довольны своей работой на уроке; жёлтым — доволен, но не полностью; красным — надо постараться!

Дополнительный материал (Слайды 18 — 31): сведения о планетах, звёздах, освоении космоса.

Ломаной называется особая разновидность геометрической фигуры, которая составлена из нескольких отрезков. Эти отрезки последовательно соединены между собой своими концами. Конец каждого отрезка, за исключением последнего, является начальной точкой следующего. Смежные отрезки не должны находиться на одной прямой линии.

Существует и другое определение того, что такое ломаная фигура. Согласно ему это геометрический объект, который представляет собой непрямую линию и состоит из череды отрезков, последовательно соединенных между собой. Эти отрезки могут образовывать углы различной величины. Даже если угол между ними будет минимальным, он все равно будет ломать линию и ее уже можно считать ломаной. В этом и заключается ее основное отличие от прямой.

Ломаную линию следует отличать от кривой. Основное отличие заключается в том, что отрезки ломаной являются прямыми линиями, а отрезки кривой — нет. Эти понятия подробно объяснит школьная программа по математике за 8 класс.

Звенья, вершины и длина

Чтобы полностью усвоить сущность и свойства этого понятия, рассмотрим, что такое звенья ломаной линии в математике, а также что представляют собой ее вершины и длина:

1. Отдельные отрезки, составляющие такую линию, называются ее звеньями. Каждая такая линия может состоять как минимум из двух звеньев. Максимальное количество звеньев при этом не ограничено.
2. Точки соединения концов этих отрезков называются вершинами.
3. Если концы ломаной соединяются в одной точке, такая фигура носит название замкнутой. Ее звенья могут иметь взаимные пересечения.
4. Если же звенья одной замкнутой линии не пересекаются между собой, она называется многоугольником.
5. Геометрическое понятие длины ломаной включает в себя сумму длин всех ее звеньев.

Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.

Обозначение ее составляется из заглавных латинских букв, которые стоят на вершинах:

1. Каждая вершина на рисунке обозначается одной буквой (например: A, B, C, D или E).
2. Звено принято обозначать двумя буквами (концы соответствующего отрезка, например: AB, BC, CD, DE).

В целом такую совокупность принято называть ABCDE или EDCBA.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Разновидности

В геометрии принято различать несколько разновидностей по структуре:

1. Замкнутые самопересекающиеся.
2. Незамкнутые самопересекающиеся.
3. Замкнутые без самопересечений.
4. Незамкнутые без самопересечений.

Как уже было описано выше, замкнутая непересекающаяся фигура получила название многоугольника.

Если звенья фигуры имеют пересечения между собой — она называется самопересекающейся.

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, которая характеризуется количеством углов и звеньев. Углы составлены парами звеньев замкнутой ломаной, сходящимися в одной точке. Звенья называются еще сторонами многоугольника. Общие точки двух отрезков называют вершинами многоугольника.

Количество звеньев или сторон в каждом многоугольнике соответствует количеству углов в нем же. Замкнутая ломаная из трех отрезков называется треугольником. Ломаная из четырех звеньев получила название четырехугольника. Фигура из пяти отрезков — пятиугольник и т. д.

Часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной, называется плоским многоугольником. Другое ее название — многоугольная область.

Свойства

Ниже приведены основные свойства, общие для всех многоугольников:

1. Если вершины многоугольника служат концами одной стороны, их называют соседними. Если же вершины не прилежат к одной стороне, они несоседние.
2. Наименьшее количество сторон у многоугольника равняется трем. Однако треугольники, находясь рядом друг с другом, могут образовывать новые фигуры.
3. Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, он носит название диагонали.
4. Если фигура лежит относительно одной прямой в любой полуплоскости, она называется выпуклой. При этом прямая содержит в себе одну сторону фигуры и сама принадлежит полуплоскости.
5. Угол, смежный внутреннему углу многоугольника при некоторой вершине, называется внешним.
6. Если все стороны и углы многоугольника равны, он называется правильным.

Треугольники

Треугольником в математике принято называть плоскую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не располагающихся на одной прямой. Эти точки соединены тремя отрезками.

Точки представляют собой вершины или треугольника, а отрезки — его стороны. Возле каждой из вершин образуется угол треугольника. Таким образом эта фигура имеет три угла, что видно из ее названия.

Различают следующие виды треугольников:

1. Равносторонние — все стороны их равны по длине.
2. Разносторонние — все стороны различаются по длине.
3. Равнобедренные — две стороны из трех имеют одинаковую длину.
4. Остроугольные — если все углы острые.
5. Прямоугольные — если имеется прямой угол.
6. Тупоугольные — если есть один тупой угол.

Четырехугольники

Плоская геометрическая фигура, имеющая четыре угла и четыре стороны, называется четырехугольником.

Если все углы у четырехугольника прямые — это прямоугольник.

Правильный четырехугольник носит название квадрата.

Существуют и другие разновидности четырехугольников — ромб, трапеция, параллелограмм и пр. Все они подчиняются общим правилам, описанным выше.