Как найти вершину параболы если даны точки - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Общие сведения

Парабола — кривая, состоящая из равноудаленных точек от заданной точки (вершина) и прямой. Последняя называется директрисой. График функции имеет ось симметрии, которая проходит по определенной траектории и зависит от функции кривой (рис. 1). Ее вершина находится в центре координат.

Рисунок 1. График квадратичной функции с вершиной в начале координат.

Однако существуют и другие случаи прохождения кривой. Она может пересекать оси абсцисс или ординат. В некоторых случаях ее ветви направлены вниз. При вращении вокруг оси симметрии получается поверхность, которая используется в различных устройствах. По этому принципу изготовлены фары автомобиля, зеркала в телескопах и т. д. Кроме того, парабола — это квадратичная зависимость переменных друг от друга. Парабола имеет некоторые свойства:

Парабола — кривая второго порядка.
Ось симметрии перпендикулярна директрисе и проходит через фокус и вершины.
Оптическое свойство отражения.
Отрезок, который соединяет середину любой хорды параболы и точку пересечения касательных прямых, является перпендикуляром относительно директрисы.
Подобность всех парабол.
Траектория фокуса, которая катится по произвольной прямой — цепная молния.

Следует отметить, что оптическое свойство — это способность отражать свет от источника. Если пучок лучей, которые являются параллельными ее оси, отражаются в параболе, то они собираются в фокусе кривой. При нахождении источника света в фокусе происходит отражение параллельного пучка лучей относительно ее оси.

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

Каноническая.
Квадратичная.
Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y² = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x² = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y²]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y²]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y² = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax² + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax². В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
Координата «игрек» по оси ординат: yb = — D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b² — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Методы нахождения вершины

В математике есть три способа нахождения координат точки вершины кривой: по формуле, выделением полного квадрата и нахождением производной. Следует отметить, что первый способ не подойдет в том случае, когда функция отличается от вида y = ax² + bx + c. Первый способ — расчет по формуле вершины параболы квадратичной функции. Координата x0 вычисляется таким образом: x0 = -b / 2a. Для нахождения координаты y0 следует подставить в функцию найденное значение x0.

Когда функция представлена неполным квадратом, нужно прибавить или отнять одинаковое число к двум частям уравнения. Если воспользоваться этим методом, то можно вычислить сразу значения х и у. Алгоритм нахождения вершины для функции у = x² + 4x + 2 имеет такой вид:

Приравнять многочлен к нулю, и перенести свободный член в правую сторону с противоположным знаком: x² + 4x = -2.
Дополнить до полного квадрата. Необходимо вычислить свободный член по такому соотношению: с = (b/2)^2 = (4/2)^2 = 4.
Записать полный квадрат, отняв и прибавив свободный член: x² + 4x + 4 — 4 = -2.
Выделить квадрат: (x² + 2x + 4) — 4 = -2.
Перенести свободное число в правую сторону с противоположным знаком: (x² + 2x + 4) = 4 — 2.
Уравнение принимает следующий вид: (x + 2)^2 = 2.
Для того чтобы вычислить x0, нужно решить уравнение (x + 2)^2 = 0. Следовательно, x = -2.
Ординату точки определить очень просто, поскольку ее значение соответствует числу (нужно брать с противоположным знаком), которое находится в правой части уравнения, т. е. у = -2.

При изображении графика вершину нужно сместить в точку (-2;2). Третий способ позволяет узнать координаты вершины с помощью определения производной. Находить ее следует от заданной функции. Для вычисления координат вершины нужно действовать по следующему алгоритму:

Найти производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.
Выразить х: х = -b / (2a).
Подставить в функцию для вычисления y.
Записать координаты точки.

Однако эти все три метода относятся к ручному вычислению. Автоматизация действий осуществляется с помощью специализированного программного обеспечения. Для этой цели подойдет онлайн-калькулятор, поддерживающий функцию нахождения точек вершины квадратичной кривой. Программы рекомендуется применять только для проверки решения, поскольку очень важно знать методы нахождения этой точки.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x² + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Примеры решений

В математике существует определенная классификация заданий на простые и сложные типы. Все они считаются однотипными, но отличаются только объемами вычислений и необходимостью построения графиков. Для решения нужно воспользоваться рекомендуемыми алгоритмами, которые существенно оптимизируют вычисления.

«Корень» трудностей при расчете — отсутствие систематизации вычислений. Не все ими пользуются. В результате простая задача становится очень сложной, поскольку в ней присутствует много ненужных вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, рекомендуется «набить руку» на ручных вычислениях, ведь не всегда можно будет воспользоваться программами.

Упрощенная задача

Простым примером задания является следующий: необходимо вычислить координаты вершины точки параболы y = x² + 3x — 18. Следует продемонстрировать решение тремя способами. Решение первым методом:

Координата по оси абсцисс: х0 = -3 / (2 * 1) = -1,5.
По ординате: (-1,5)^2 + 3 * (-1,5) — 18 — y= 0. Отсюда, y = -20,25.

Следовательно, вершина находится в точке (-1,5;20,25). Второй способ решения данной задачи имеет такой вид:

Составить уравнение и перенести свободный член: x² + 3x = 18.
Вычислить свободный член: с = (b/2)^2 = 2,25.
Записать выражение: x² + 3x + 2,25 — 2,25 = 18.
Выделить квадрат: (x² + 3x + 2,25) = 20,25.
Определить координаты: (x + 1,5)^2 = 20,25.
Искомая точка: (-1,5;20,25).

Для решения третьим методом следует найти производную: y’ = (x² + 3x — 18)’ = 2x + 3. Затем нужно приравнять ее к нулю: 2х + 3 = 0. Уравнение является простым, а его переменная легко находится: x = -3 / 2 = -1,5. После этого необходимо подставить абсциссу в функцию, приравняв ее к 0: y = 20,25.

Повышенная сложность

Задания повышенной сложности сводятся к вычислению нескольких значений. Кроме того, в некоторых случаях следует построить график параболы y = x² — 7x +10. Необходимо выполнить такие действия:

Пересечение с осями.
Вычислить экстремум (вершину) всеми методами.
Выполнить графический эскиз (график).

Точек пересечения по ОУ нет. Они есть по оси абсцисс. Следует приравнять функцию к 0. Нахождение корней выполняется по теореме Виета: x1 = 2 и x2 = 5.

Для нахождения вершины необходимо воспользоваться тремя методами. При решении первым способом находится координата x0 = 7 / (2 * 1) = 3,5. Ордината определяется таким образом: y0 = (3,5)^2 — (7 * 3,5) + 10 = -2,25. Точка экстремума имеет координаты (3,5;-2,25). Находить вершину параболы необходимо по такому алгоритму:

Записать уравнение, и выполнить перенос свободного члена: x² — 7x = -10.
Найти свободный член: с = (7/2)^2 = 12,25.
Составить уравнение: x² — 7x + 12,25 — 12,25 = -10.
Выделить квадрат: (x — 3,5)^2 = 2,25.
Экстремум: (3,5;-2,25).

Для следующего метода нужно найти производную: y’ = (x² — 7x +10)’ = 2x — 7. Далее нужно приравнять y’ к нулю: 2x — 7 = 0. Значение по оси абсцисс равно х0 = 3,5, а y0 = -2,25. Далее нужно заполнить таблицу зависимостей ординаты от переменной.

y	4	0	-2	-2,25	-2	0	4
x	1	2	3	3,5	4	5	6

Таблица 1. Зависимость y от x.

После заполнения таблицы следует построить график искомой функции (рис. 3). Таблица состоит из следующих элементов: вершины, точек пересечения с осью абсцисс и 4 произвольных значений.

Рисунок 3. График функции.

Математики рекомендуют использовать для построения графика полученные значения при расчетах, поскольку подстановка и вычисление произвольных х существенно снижает скорость вычислений.

Таким образом, нахождение координат вершины параболы является довольно простой задачей, поскольку существует несколько методов. Из них можно выбрать оптимальный, который подходит в конкретной ситуации.

Источник

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Содержание:

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
- Первый способ
- Второй способ
- Третий способ
Построение параболы
Советы
Видео

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

1 — первый корень;
5 — второй корень.

4) Вычисляем:

x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

Нужно проверять правильно ли ваше решение.
Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Источник

Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула

Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье….

Начало поиска

Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.

Рисунок 1. Классический вид параболы

На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая параллельная оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы. Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

(1).

В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:

(2).

Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.

Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:

(3).

Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

(4).

Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<,0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости, в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.

Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Построение кривой параболического типа

Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:

Найти координату вершину на оси X.
Найти координату расположения вершины на оси Y.
Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.

При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А ( , B (, C ( . Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:

(6).

Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10, 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25, -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2,3), B (3,5), C (6,2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.

В частности, если a<,0, то ветки» будут направлены вниз. При a>,1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>,0, то парабола «ползет» вверх, в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b>,0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Вывод

Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.

Как найти уравнение параболы проходящей через точки

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

источники:

http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_20.htm

http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html

Источник

Как определить вершину параболы

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы. Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в квадрате, а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы: у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).

Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Так как вершина параболы, независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы, соответствующей вашей функции.

Попробуйте найти вершину параболы, воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину, эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим расстояние между точками пополам: х=(Iх1-х2I)/2.

Если какой-либо из коэффициентов равен нулю (кроме а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Например, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только коэффициент b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Начало поиска

Рисунок 1. Классический вид параболы

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

(1).

(2).

Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

(3).

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

(4).

Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости, в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

[stop]Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.[/stop]

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Построение кривой параболического типа

Найти координату вершину на оси X.
Найти координату расположения вершины на оси Y.
Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

(6).

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх, в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

[stop]Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.[/stop]

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Вывод

Источник