Как найти вершину треуголник

Вершина треугольника

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Оценка статьи

А какая ваша оценка?

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Как найти вершину треугольника формула

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

2 ответа 2

Пусть A , B — вершины основания, C — неизвестная вершина. Если дана сумма s длин боковых сторон, то каждая из сторон равна половине этой суммы. Итак, AC = BC = s/2 .

Пусть M — середина AB (её координаты равны полусумме координат A и B ). Тогда CM — высота, из прямоугольного треугольника AMC имеем:

(Если под корнем отрицательное число, задача, очевидно, не имеет решений.)

Итак, у нас есть длина вектора MC , его направление найти несложно, учитывая, что он перпендикулярен вектору AB : если (p, q) — вектор AB , то вектор (-q, p) перпендикулярен ему, вектор (-q/l, p/l) (где l = sqrt(p^2 + q^2) ) перпендикулярен AB и имеет длину 1, а вектор (-q/l*L, p/l*L) (где L — рассчитанная раньше длина CM ) перпендикулярен AB и имеет длину, равную длине MC .

Таким образом, у нас есть вектор MC . Прибавляя его координаты к координатам точки M , мы получаем точку C .

Заметьте, что у нас возможно 2 решения, отличающиеся знаком вектора MC : для получения второго решения поменяйте знак у MC из первого решения.

Эта и другие подобные задачи будут кодироваться очень легко, если в вашем арсенале есть классы, представляющие точку, вектор, и определены операции над ними. Например, в моём коде обычно решение выглядит так (C#):

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Что такое вершина треугольника

Определение вершины треугольника

Вершина треугольника — это точка, в которой соединяется две его стороны.

В треугольнике три вершины.

Вершины принято обозначать заглавными буквами греческого алфавита, например, $A$, $B$, $C$.

Задание. Какие из точек на рисунке 1 являются вершинами треугольника?

Ответ. Вершинами треугольника являются точки $A$, $B$, $K$.

Как определить вершину треугольника?

Вершина треугольника — это точка, в которой соединяется две его стороны. В треугольнике три вершины. Вершины принято обозначать заглавными буквами греческого алфавита, например, $A$, $B$, $C$.

Где находится Вершина у треугольника?

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Что такое Вершина 2 класс?

Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся.

Как обозначить вершины?

На рисунках, представляющих граф, вершина обычно обозначается кружком с меткой, ребро — линией, дуга — стрелкой, соединяющей вершины.

Чем отличается угол от вершины?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки. Общая вершина называется вершиной угла.

Сколько у треугольника сторон и вершин?

И можно сделать вывод, что треугольник — это тоже многоугольник, у которого имеется ровно три угла, три стороны и три вершины.

Какая фигура называется треугольником?

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Где находится вершина угла?

Определение вершины угла Вершина угла — это точка, из которой выходят два луча, образующих угол и называемые сторонами угла (рис. 1). Угол обозначается символом $angle$ и тремя буквами, которые обозначают концы лучей и вершину угла, причём буква, отвечающая вершине угла, стоит посредине.

Что такое вершина в кубе?

Вершина куба— это точка, где сходятся три грани или точка, в которой сходятся три ребра куба. Площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.

Что такое вершина и стороны?

Вершина угла — это точка, из которой выходят два луча, образующих угол и называемые сторонами угла (рис. 1).

Как обозначаются прямоугольники?

Прямоугольник — это фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла. У прямоугольника противоположные стороны равны. В геометрии прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами. Противоположные стороны прямоугольника ABCD: AB = CD, BC = DA.

Как обозначается угол 2 класс?

Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон. В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠. Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Что такое вершины четырехугольника?

Четырехугольник обозначается его вершинами. Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Несоседние вершины называются противолежащими. Отрезки, которые соединяют противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Основное свойство Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Что такое элемент треугольника?

Треугольником называют многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Основными элементами данной геометрической фигуры являются отрезки, вершины и углы.

Что такое треугольник и его элементы?

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны.

Как определить вершины и стороны угла?

Вершина угла — это точка, в которой два луча берут начало. Стороны угла — это лучи, которые образуют угол. Вершина угла — точка «O». Стороны угла — «OA» и «OB».