Как найти вершину угла ромба - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

As we know that the diagonals of rhombus are equal in length & intersect each other normally. Distance of each vertex from the origin is $sqrt{3^2+4^2}=5$.

Thus assuming the rhombus ABCD, the vertex C opposite to $Aequiv (3, 4)$ can be easily determined as the moi-point of AC is $(0, 0)$ Hence, $C(-3, -4)$. Now, assume any vertex say $(x, y)$ on the other diagonal BD. Since, the semi-diagonal OB is normal to OA, we get $$left(frac{y-0}{x-0}right)left(frac{4-0}{3-0}right)=-1 implies y=-frac{3}{4}x tag 1$$ Since $OB=OA=sqrt{3^2+4^2}=5$, we get
$$sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=5 implies x^2+y^2=25$$ Setting the value of $y$, we get $$x^2+left(-frac{3}{4}xright)^2=25 implies x^2=16 implies x=pm 4$$$$ x=4quad implies y=-frac{3}{4}(4)=-3$$ $$ x=-4quad implies y=-frac{3}{4}(-4)=3$$ Thus, all the unknown vertices of rhombus ABCD are $Bequiv (4, -3)$, $Cequiv(-3, -4)$ & $Dequiv(-4, 3)$

Источник

Найти углы ромба, зная только его сторону, нельзя: существуют ромбы, имеющие разные углы, но одинаковые стороны. На пальцах: сделайте ромб из проволоки, «сплющите» его — он останется ромбом, стороны будут те же, углы изменятся.

Значит, чтобы найти углы ромба нужно знать что-то ещё (или что-то другое). Например, зная сторону и диагональ, найти угол можно по теореме косинусов: если x — сторона, d — диагональ, a — угол напротив диагонали, то условие теоремы косинуов — d^2 = x^2 + x^2 — 2 * x^2 * cos(a), из него следует a = arccos((2x^2 — d^2)/2x^2). (Я говорю «найти угол», а не «найти углы», потому что если мы знаем один угол, остальные находятся тривиально: если один угол равен а градусов, то угол напротив него тоже а, остальные два — по 180-а).

Есть и другие варианты: через сторону и площадь (пользуясь тем, что площадь — это квадрат стороны умножить на синус угла), через две диагонали (мы знаем, что диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам — отсюда следует, что тангенс половины угла ромба равен отношению диагоналей, просто по определнию тангенса; зная сторону и диагональ, кстати, тоже можно искать угол примерно таким способом, вместо теоремы косинусов) и так далее.

Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 2: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Определение ромба
Свойства ромба
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
Признаки ромба

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

AB = BC = CD = AD = a
AB параллельна CD, BC параллельна AD.

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

∠ABC = ∠ADC, ∠BAD = ∠BCD
α + β = 180°

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

диагональ BD (d₁) перпендикулярна диагонали AC (d₂)
AE = EC
BE = ED

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC);
половины диагоналей d₁ и d₂ – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Источник