Как найти вершину в равнобедренной трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту равнобедренной (равнобокой) трапеции.

Напомним, высотой трапеции называется перпендикуляр, соединяющий оба ее основания. Также, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Нахождение высоты равнобедренной трапеции
- Через длины сторон
- Через боковую сторону и прилежащий угол
- Через основания и прилежащий угол
- Через площадь и основания
- Через диагонали и угол между ними

Нахождение высоты равнобедренной трапеции

Через длины сторон

Зная длины всех сторон равнобедренной трапеции, вычислить ее высоту можно, используя формулу ниже:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Если известна длина боковой стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, найти высоту можно следующим образом:

Через основания и прилежащий угол

Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины ее оснований и угол при любом из оснований (например, при большем).

Через площадь и основания

Также высоту равнобедренной трапеции удастся найти через ее площадь и длины оснований:

Данная формула может быть представлена в другом виде, если вместо оснований дана средняя линия (m).

m – средняя линия, равняется полусумме оснований, т.е. m = ^(a+b)/₂.

Через диагонали и угол между ними

И еще один способ вычислить высоту равнобедренной трапеции, если известны ее диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основания.

Та же самая формула, но со средней линией (m) вместо суммы оснований:

Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.

Источник

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

S_ABCD = h²

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h² = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC² + BD² = AB² + CD² + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF ┴ BC, HF ┴ AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

c =	h	=	a — b
sin α	2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d₁² — c²	b =	d₁² — c²	c = √d₁² — ab
b	a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =	2S	— b b =	2S	— a
h	h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c² — h² = b + √c² — h²

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a — b	tg β	= c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d₁ = d₂

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d₁ = √с² + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d₁ = √a² + c² — 2ac cos α

d₁ = √b² + c² — 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d₁ = √h² + m²

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√4c² — (a — b)²
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r ²	=	4 r ²
sin α	sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d₁²	· sin γ	=	d₁²	· sin δ
2	2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d₁
4√p(p — a)(p — c)(p — d₁)

где

a — большее основание

Источник

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=displaystyle frac{a+b}{2}$ .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: $EF=GH, ; FG=displaystyle frac{a-b}{2}$ .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: PQ=MN .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: S=mh .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: $S=displaystyle frac{1}{2}d_1d_2{sin alpha }$ , где d_1=AC, d_2=BD, (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr . Таким образом, $S=displaystyle frac{a+b+c+d}{2}cdot r$ .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2} .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна sqrt{2} , то по теореме Пифагора получаем, что h=2 .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ${150}^{{}^circ }$ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы angle ABC и angle BAH — односторонние, их сумма равна ${180}^{{}^circ }$ , и тогда angle BAH $=30{}^circ .$

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в ${30}^{{}^circ }$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна $S=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3,5=42$ .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол $63{}^circ$ . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть angle CAD =alpha , тогда angle CAB =alpha и angle BAD =2alpha , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов $vartriangle ACD=3alpha +63{}^circ =180{}^circ$ , откуда
$alpha =39{}^circ .$
Итак, $angle D=78{}^circ$ , а $angle BCD=180{}^circ -78{}^circ =102{}^circ$ .

Ответ: $78{}^circ , 102{}^circ$ .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2={25}^2-7^2=left(25-7right)left(25+7right)=18cdot 32.$ Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен ${135}^circ$ , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом $45{}^circ$ .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна $displaystyle frac{2+4,8}{2}cdot 1,4=4,76$ .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м ^2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ , то $60=displaystyle frac{8+12}{2}cdot h$ , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что $S_{ABCD}=S_{ACE}=displaystyle frac{1}{2}a^2$ .

Ответ: $displaystyle frac{1}{2}a^2$

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен $60{}^circ$ .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

angle D $=60{}^circ$ , следовательно, angle CAD $=30{}^circ$ .

Так как AC — биссектриса, то angle CAB $=30{}^circ$ , откуда angle DAB $=60{}^circ$ , то есть, трапеция равнобедренная. angle BCA =angle CAD $=30{}^circ$ как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в $30{}^circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом $60{}^circ$ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть $S_{BCM}$ =S_1 , $S_{ADM}=S_2$ , тогда

$S_2=k^2cdot S_1=36{cdot S}_1.$

Площадь трапеции будет равна

$S_{ABCD}=S_2-S_1=36 S_1-S_1=35 S_1=35 S_{BCM}.$

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90{}^circ$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна $90{}^circ$ , то $angle BEC=90{}^circ$ , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то , откуда r=1,2 .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3 .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

$m=displaystyle frac{a+b}{2}=displaystyle frac{c+d}{2}=displaystyle frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна $180{}^circ$ . Она делится на три равные части по $60{}^circ .$

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна $120{}^circ$ , отсюда $angle ADC=60{}^circ$ и, стало быть, $angle C=120{}^circ =angle B.$

Ответ: 120.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Признаки и свойства равнобедренной трапеции

(blacktriangleright) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

(blacktriangleright) Углы при каждом основании равны;

(blacktriangleright) Диагонали равны;

(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;

(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.

Задание
1

#296

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD): (AB = CD), (angle C — angle A = 80^{circ}). Найдите (angle D + angle B — angle C). Ответ дайте в градусах.

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle B = angle C) и, следовательно, (angle D + angle B — angle C = angle D = angle A).

У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна (180^{circ}) (так как (angle C = angle B), а (angle A + angle B = 180^{circ}), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).

(angle A + angle C = 180^{circ}),

(angle C — angle A = 80^{circ})
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем (2cdot angle A = 100^{circ}). В итоге имеем: (angle D + angle B — angle C = angle A = 50^{circ}).

Ответ: 50

Задание
2

#1699

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ (AC) равна (2).

В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому (AC = BD = 2). Пускай (O) – точка пересечения диагоналей.

[begin{gathered}
S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD =\ =frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD = frac{1}{2} cdot 2 cdot 2 = 2end{gathered}]

Ответ: 2

Задание
3

#1789

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите диагонали равнобедренной трапеции, если они перпендикулярны, а площадь трапеции равна (8).

Пусть (ABCD) — трапеция с диагоналями (AC) и (BD), (O) – точка их пересечения, тогда
(S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD = )
(frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD =
frac{1}{2}cdot AC^2 = (Rightarrow) (AC = 4).

Ответ: 4

Задание
4

#1704

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции (ABCD) основание (AD) вдвое длиннее основания (BC) и боковой стороны. Найдите острый угол трапеции.

Если опустить высоты (BH) и (CK) на основание (AD), то они отсекут равные отрезки (AH) и (KD), причем (AB = BC = HK) (Rightarrow) (AH = frac{AD — HK}{2} = frac{HK}{2} = frac{AB}{2}) (Rightarrow) (angle ABH = 30^circ), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы (Rightarrow) (angle BAK = 90^circ — 30^circ = 60^circ).

Ответ: 60

Задание
5

#295

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(ABCD) – трапеция с основаниями (AD) и (BC). При этом (AB = CD = 6), (BC = 4), один из углов трапеции (ABCD) равен (60^{circ}). Найдите (AD).

Пусть (angle A = 60^{circ}), (BE) – высота в треугольнике (ABD). (angle ABE = 90^{circ} — 60^{circ} = 30^{circ}). Катет, лежащий против угла в (30^{circ}), равен половине гипотенузы, тогда (AE = 0,5cdot 6 = 3).

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle D = 60^{circ}). Пусть (CF) – высота в треугольнике (ACD), тогда аналогично тому, как находили (AE), находим, что (FD = 3). (EF = BC), так как (BCFE) – прямоугольник. Тогда (AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10).

Ответ: 10

Задание
6

#1700

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. (O) – точка пересечения диагоналей, причем (AO:OC = 7:1). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (1).

(BC) – меньшее основание, треугольники (triangle BOC) и (triangle AOD) подобны и их стороны относятся как (1:7) (Rightarrow) (BC:AD = 1:7) (Rightarrow) (AD = 7); (OB = OC), (OB^2 + OC^2 = 1^2) (Rightarrow) (OB = OC = frac{1}{sqrt2}) (Rightarrow) (AO = frac{7}{sqrt2}). В (triangle ABO): (AO^2 + OB^2 = AB^2) (Rightarrow) (AB = 5). Тогда (P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18).

Ответ: 18

Задание
7

#1702

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции (ABCD) биссектриса (angle ABC) параллельна боковой стороне (CD) и пересекает основание (AD) в точке (K), которая делит (AD) в отношении (AK:KD = 1:2). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (4).

(BCDK) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; (angle AKB = angle KBC), т.к. накрест лежащие при параллельных (BC) и (AD); (angle BAK = angle CDK = angle KBC) (Rightarrow) (triangle ABK) – равносторонний треугольник. (BC = KD = 4) (Rightarrow) (AK = 2 = AB = CD) (Rightarrow) (P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14).

Ответ: 14

Учащимся старших классов, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике, в обязательном порядке стоит повторить тему «Равнобедренная трапеция» и освежить в памяти ее основные свойства и признаки. Многолетняя практика показывает, что подобные задания ежегодно встречаются в программе аттестационного испытания. Поэтому, если вы хотите успешно решить задачи ЕГЭ на применение основных свойств диагоналей или углов равнобедренной трапеции, вам непременно стоит разобраться в этой теме.

Образовательный портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс позволяет учащимся определить наиболее сложные темы и ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и изложили весь материал в максимально доступной форме.

Чтобы выпускники могли успешно справляться с геометрическими задачами, мы рекомендуем вспомнить определение равнобедренной трапеции, свойства ее сторон, углов и диагоналей, а также формулу для вычисления площади. Эта информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вспомнив основные свойства углов, диагоналей и сторон равнобедренной трапеции, учащиеся имеют возможность закрепить усвоенный материал, выполнив практические задания. Упражнения различного уровня сложности представлены в разделе «Каталог». В каждом из них вы найдете подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Практиковаться в выполнении заданий по теме «Трапеция» при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь не только в Москве, но и в любом другом городе России. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.