Как найти вершину в равностороннем треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти вершину треугольника?

Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин, нужно воспользоваться одним из предложенных способов.

1 способ (графический)

В системе координат отмечаем две заданные вершины.
Ставим ножку циркуля в одну из построенных точек.
Проводим окружность с радиусом, равным расстоянию между отмеченными вершинами.
Таким же образом чертим вторую окружность с тем же радиусом, но из второй отмеченной точки.
Точки пересечения проведённых окружностей определяют вершины треугольников (их получится два).
Определяем координаты полученных точек, исходя из полученного чертежа.

Данный способ позволяет точно построить третью вершину. Однако определение координат является приблизительным. Метод хорошо использовать для иллюстрации.

2 способ (аналитический)

Решение задачи основано на применении формулы нахождения расстояния между двумя точками: d(A(x1;y1);B(x2;y2))=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

Пусть имеются вершины A(x1;y1) и B(x2;y2) треугольника АВС. Обозначим координаты третьей вершины x и y (то есть, С(x;y))
Составляем соотношения
AC=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)
BC=√((x-x2)^2+(y-y2)^2)
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Учитывая, что треугольник равносторонний, составляем систему уравнений:
AC=BC
AC=AB
Или система уравнений:
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x-x2)^2+(y-y2)^2)
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Методом подстановки решаем полученную систему.

Теперь вы знаете, как найти вершину треугольника.

Внимание! Оба случая применимы только для равностороннего треугольника.
Для равнобедренного или любого другого произвольного треугольника для нахождения координат третьей вершины требуются дополнительные данные (например, значение некоторых отрезков или углов).

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

$[ left{ begin{array}{l} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2 , \ (6 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2 , \ (9 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2 . \ end{array} right. ]$

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Прямая на плоскости

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X , Y координаты вектора; x_i , y_i — координаты точки А_i ; x_j , y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5 ; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁) , a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07 0
Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) , представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /₅x- 41 /₅ или 5y-3x+41=0

Источник

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника
Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Пример задачи

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
AD = DB
∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Equilateral triangle

Type	Regular polygon
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3}
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	D₃
Area	$tfrac{sqrt{3}}{4} a^2$
Internal angle (degrees)	60°

In geometry, an equilateral triangle is a triangle in which all three sides have the same length. In the familiar Euclidean geometry, an equilateral triangle is also equiangular; that is, all three internal angles are also congruent to each other and are each 60°. It is also a regular polygon, so it is also referred to as a regular triangle.

Principal properties[edit]

An equilateral triangle. It has equal sides ( a=b=c ), equal angles (), and equal altitudes ( ${displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$ ).

Denoting the common length of the sides of the equilateral triangle as , we can determine using the Pythagorean theorem that:

Denoting the radius of the circumscribed circle as R, we can determine using trigonometry that:

The area of the triangle is ${displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Many of these quantities have simple relationships to the altitude («h») of each vertex from the opposite side:

In an equilateral triangle, the altitudes, the angle bisectors, the perpendicular bisectors, and the medians to each side coincide.

Characterizations[edit]

A triangle ABC that has the sides , , , semiperimeter , area , exradii $r_{a}$ , ${displaystyle r_{b}}$ , ${displaystyle r_{c}}$ (tangent to , , respectively), and where and are the radii of the circumcircle and incircle respectively, is equilateral if and only if any one of the statements in the following nine categories is true. Thus these are properties that are unique to equilateral triangles, and knowing that any one of them is true directly implies that we have an equilateral triangle.

Sides[edit]

Semiperimeter[edit]

Angles[edit]

Area[edit]

Circumradius, inradius, and exradii[edit]

Equal cevians[edit]

Three kinds of cevians coincide, and are equal, for (and only for) equilateral triangles:^[7]

The three altitudes have equal lengths.
The three medians have equal lengths.
The three angle bisectors have equal lengths.

Coincident triangle centers[edit]

Every triangle center of an equilateral triangle coincides with its centroid, which implies that the equilateral triangle is the only triangle with no Euler line connecting some of the centers. For some pairs of triangle centers, the fact that they coincide is enough to ensure that the triangle is equilateral. In particular:

A triangle is equilateral if any two of the circumcenter, incenter, centroid, or orthocenter coincide.^[8]^: p.37
It is also equilateral if its circumcenter coincides with the Nagel point, or if its incenter coincides with its nine-point center.^[6]

Six triangles formed by partitioning by the medians[edit]

For any triangle, the three medians partition the triangle into six smaller triangles.

A triangle is equilateral if and only if any three of the smaller triangles have either the same perimeter or the same inradius.^[9]^{: Theorem 1}
A triangle is equilateral if and only if the circumcenters of any three of the smaller triangles have the same distance from the centroid.^[9]^{: Corollary 7}

Points in the plane[edit]

Notable theorems[edit]

Visual proof of Viviani’s theorem

Morley’s trisector theorem states that, in any triangle, the three points of intersection of the adjacent angle trisectors form an equilateral triangle.

Napoleon’s theorem states that, if equilateral triangles are constructed on the sides of any triangle, either all outward, or all inward, the centers of those equilateral triangles themselves form an equilateral triangle.

A version of the isoperimetric inequality for triangles states that the triangle of greatest area among all those with a given perimeter is equilateral.^[11]

Viviani’s theorem states that, for any interior point in an equilateral triangle with distances , , and from the sides and altitude ,

independent of the location of .^[12]

Pompeiu’s theorem states that, if is an arbitrary point in the plane of an equilateral triangle ABC but not on its circumcircle, then there exists a triangle with sides of lengths , , and . That is, , , and satisfy the triangle inequality that the sum of any two of them is greater than the third. If is on the circumcircle then the sum of the two smaller ones equals the longest and the triangle has degenerated into a line, this case is known as Van Schooten’s theorem.

Geometric construction[edit]

Construction of equilateral triangle with compass and straightedge

An equilateral triangle is easily constructed using a straightedge and compass, because 3 is a Fermat prime. Draw a straight line, and place the point of the compass on one end of the line, and swing an arc from that point to the other point of the line segment. Repeat with the other side of the line. Finally, connect the point where the two arcs intersect with each end of the line segment

An alternative method is to draw a circle with radius , place the point of the compass on the circle and draw another circle with the same radius. The two circles will intersect in two points. An equilateral triangle can be constructed by taking the two centers of the circles and either of the points of intersection.

In both methods a by-product is the formation of vesica piscis.

The proof that the resulting figure is an equilateral triangle is the first proposition in Book I of Euclid’s Elements.

Derivation of area formula[edit]

The area formula $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ in terms of side length can be derived directly using the Pythagorean theorem or using trigonometry.

Using the Pythagorean theorem[edit]

The area of a triangle is half of one side times the height from that side:

${displaystyle A={frac {1}{2}}ah.}$

An equilateral triangle with a side of 2 has a height of √3, as the sine of 60° is √3/2.

The legs of either right triangle formed by an altitude of the equilateral triangle are half of the base , and the hypotenuse is the side of the equilateral triangle. The height of an equilateral triangle can be found using the Pythagorean theorem

${displaystyle left({frac {a}{2}}right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

so that

${displaystyle h={frac {sqrt {3}}{2}}a.}$

Substituting into the area formula ${displaystyle {frac {1}{2}}ah}$ gives the area formula for the equilateral triangle:

${displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

Using trigonometry[edit]

Using trigonometry, the area of a triangle with any two sides and , and an angle between them is

${displaystyle A={frac {1}{2}}absin C.}$

Each angle of an equilateral triangle is 60°, so

${displaystyle A={frac {1}{2}}absin 60^{circ }.}$

The sine of 60° is ${tfrac {sqrt {3}}{2}}$ . Thus

${displaystyle A={frac {1}{2}}abtimes {frac {sqrt {3}}{2}}={frac {sqrt {3}}{4}}ab={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

since all sides of an equilateral triangle are equal.

Other properties[edit]

An equilateral triangle is the most symmetrical triangle, having 3 lines of reflection and rotational symmetry of order 3 about its center, whose symmetry group is the dihedral group of order 6, ${displaystyle mathrm {D} _{3}}$ . The integer-sided equilateral triangle is the only triangle with integer sides, and three rational angles as measured in degrees.^[13] It is the only acute triangle that is similar to its orthic triangle (with vertices at the feet of the altitudes),^[14]^{: p. 19} and the only triangle whose Steiner inellipse is a circle (specifically, the incircle). The triangle of largest area of all those inscribed in a given circle is equilateral, and the triangle of smallest area of all those circumscribed around a given circle is also equilateral.^[15] It is the only regular polygon aside from the square that can be inscribed inside any other regular polygon.

By Euler’s inequality, the equilateral triangle has the smallest ratio of the circumradius to the inradius of any triangle, with^[16]^: p.198

${displaystyle {frac {R}{r}}=2.}$

Given a point in the interior of an equilateral triangle, the ratio of the sum of its distances from the vertices to the sum of its distances from the sides is greater than or equal to 2, equality holding when is the centroid. In no other triangle is there a point for which this ratio is as small as 2.^[17] This is the Erdős–Mordell inequality; a stronger variant of it is Barrow’s inequality, which replaces the perpendicular distances to the sides with the distances from to the points where the angle bisectors of , , and cross the sides (, , and being the vertices). There are numerous other triangle inequalities that hold with equality if and only if the triangle is equilateral.

For any point in the plane, with distances , , and from the vertices , , and respectively,^[18]

${displaystyle 3left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}right)=left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}right)^{2}.}$

For any point in the plane, with distances , , and from the vertices,^[19]

${displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3left(R^{2}+L^{2}right),}$

${displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3left[left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+2R^{2}L^{2}right],}$

where is the circumscribed radius and is the distance between point and the centroid of the equilateral triangle.

For any point on the inscribed circle of an equilateral triangle, with distances , , and from the vertices,^[20]

${displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+t^{2}right)=5a^{2},}$

${displaystyle 16left(p^{4}+q^{4}+t^{4}right)=11a^{4}.}$

For any point on the minor arc of the circumcircle, with distances , , and from , , and , respectively^[12]

${displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}$

Moreover, if point on side divides into segments and with having length and having length , then^[12]^: 172

${displaystyle z={frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$

which also equals ${textstyle {tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ if and

${displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},}$

which is the optic equation.

For an equilateral triangle:

The ratio of its area to the area of the incircle, ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , is the largest of any triangle.^[21]^{: Theorem 4.1}

The ratio of its area to the square of its perimeter, $frac{1}{12sqrt{3}},$ is larger than that of any non-equilateral triangle.^[11]

${displaystyle {frac {7}{9}}leq {frac {A_{1}}{A_{2}}}leq {frac {9}{7}}.}$

If a triangle is placed in the complex plane with complex vertices ${displaystyle z_{1}}$ , ${displaystyle z_{2}}$ , and ${displaystyle z_{3}}$ , then for either non-real cube root omega of 1 the triangle is equilateral if and only if^[22]^{: Lemma 2}

${displaystyle z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.}$

The equilateral triangle tiling fills the plane.

Notably, the equilateral triangle tiles two dimensional space with six triangles meeting at a vertex, whose dual tessellation is the hexagonal tiling. 3.12², 3.4.6.4, (3.6)², 3².4.3.4, and 3⁴.6 are all semi-regular tessellations constructed with equilateral triangles.^[23]

A regular tetrahedron is made of four equilateral triangles.

In three dimensions, equilateral triangles form faces of regular and uniform polyhedra. Three of the five Platonic solids are composed of equilateral triangles: the tetrahedron, octahedron and icosahedron.^[24]^: p.238 In particular, the tetrahedron, which has four equilateral triangles for faces, can be considered the three-dimensional analogue of the triangle. All Platonic solids can inscribe tetrahedra, as well as be inscribed inside tetrahedra. Equilateral triangles also form uniform antiprisms as well as uniform star antiprisms in three-dimensional space. For antiprisms, two (non-mirrored) parallel copies of regular polygons are connected by alternating bands of equilateral triangles.^[25] Specifically for star antiprisms, there are prograde and retrograde (crossed) solutions that join mirrored and non-mirrored parallel star polygons.^[26]^[27] The Platonic octahedron is also a triangular antiprism, which is the first true member of the infinite family of antiprisms (the tetrahedron, as a digonal antiprism, is sometimes considered the first).^[24]^: p.240

As a generalization, the equilateral triangle belongs to the infinite family of -simplexes, with n=2 .^[28]

In culture and society[edit]

Equilateral triangles have frequently appeared in man made constructions:

The shape occurs in modern architecture such as the cross-section of the Gateway Arch.^[29]
Its applications in flags and heraldry includes the flag of Nicaragua^[30] and the flag of the Philippines.^[31]
It is a shape of a variety of road signs, including the yield sign.^[32]

References[edit]

^ Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). «An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications» (PDF). Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 10 (1): 1–6 (Article No. 16). ISSN 1443-5756. MR 2491926. S2CID 115305257. Zbl 1163.26316.
^ Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). «An elementary proof of Blundon’s inequality» (PDF). Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 9 (4): 1-3 (Paper No. 100). ISSN 1443-5756. S2CID 123965364. Zbl 1162.51305.
^ Blundon, W. J. (1963). «On Certain Polynomials Associated with the Triangle». Mathematics Magazine. Taylor & Francis. 36 (4): 247–248. doi:10.2307/2687913. JSTOR 2687913. S2CID 124726536. Zbl 0116.12902.
^ ^a ^b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). When less is more. Visualizing basic inequalities. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 36. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 71, 155. doi:10.5948/upo9781614442028. ISBN 978-0-88385-342-9. MR 2498836. OCLC 775429168. S2CID 117769827. Zbl 1163.00008.
^ ^a ^b Pohoata, Cosmin (2010). «A new proof of Euler’s inradius — circumradius inequality» (PDF). Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123. S2CID 124244932.
^ ^a ^b ^c Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to…Z (1st ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pp. 70, 113–115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
^ Owen, Byer; Felix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Methods for Euclidean Geometry. Classroom Resource Materials. Vol. 37. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 36, 39. doi:10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC 501976971. S2CID 118179744.
^ Yiu, Paul (1998). «Notes on Euclidean Geometry» (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes).
^ ^a ^b Cerin, Zvonko (2004). «The vertex-midpoint-centroid triangles» (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97–109.
^ ^a ^b «Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum»» (PDF).
^ ^a ^b Chakerian, G. D. «A Distorted View of Geometry.» Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^ ^a ^b ^c Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry. Dover Publ.
^ Conway, J. H., and Guy, R. K., «The only rational triangle», in The Book of Numbers, 1996, Springer-Verlag, pp. 201 and 228–239.
^ Leon Bankoff and Jack Garfunkel, «The heptagonal triangle», Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19,
^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publ. pp. 379–380.
^ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). «Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities» (PDF). Forum Geometricorum. 12: 197–209.
^ Lee, Hojoo (2001). «Another proof of the Erdős–Mordell Theorem» (PDF). Forum Geometricorum. 1: 7–8.
^ Gardner, Martin, «Elegant Triangles», in the book Mathematical Circus, 1979, p. 65.
^ Meskhishvili, Mamuka (2021). «Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances» (PDF). International Journal of Geometry. 10: 58–65.
^ De, Prithwijit (2008). «Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle» (PDF). Mathematical Spectrum. 41 (1): 32–35.
^ Minda, D.; Phelps, S. (2008). «Triangles, ellipses, and cubic polynomials». American Mathematical Monthly. 115 (October): 679–689. doi:10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR 27642581. S2CID 15049234.
^ Dao, Thanh Oai (2015). «Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers» (PDF). Forum Geometricorum. 15: 105–114.
^ Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). «Tilings by Regular Polygons» (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
^ ^a ^b Johnson, Norman W. (2018). Geometries and Transformations (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xv, 1–438. doi:10.1017/9781316216477. ISBN 978-1107103405. S2CID 125948074. Zbl 1396.51001.
^ Cromwell, Peter T. (1997). «Chapter 2: The Archimedian solids». Polyhedra (1st ed.). New York: Cambridge University Press. p. 85. ISBN 978-0521664059. MR 1458063. OCLC 41212721. Zbl 0888.52012.
^ Klitzing, Richard. «n-antiprism with winding number d». Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org (Anton Sherwood). Retrieved 2023-03-09.
^ Webb, Robert. «Stella Polyhedral Glossary». Stella. Retrieved 2023-03-09.
^ H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes (1 ed.). London: Methuen & Co. LTD. pp. 120–121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.
^ Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds. (2006). Eero Saarinen: Shaping the Future. Yale University Press. pp. 160, 224, 226. ISBN 978-0972488129.
^ White, Steven F.; Calderón, Esthela (2008). Culture and Customs of Nicaragua. Greenwood Press. p. 3. ISBN 978-0313339943.
^ Guillermo, Artemio R. (2012). Historical Dictionary of the Philippines. Scarecrow Press. p. 161. ISBN 978-0810872462.
^ Riley, Michael W.; Cochran, David J.; Ballard, John L. (December 1982). «An Investigation of Preferred Shapes for Warning Labels». Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics Society. 24 (6): 737–742. doi:10.1177/001872088202400610. S2CID 109362577.

External links[edit]

Weisstein, Eric W. «Equilateral Triangle». MathWorld.

v t e Fundamental convex regular and uniform polytopes in dimensions 2–10
Family	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Regular polygon	Triangle	Square	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniform polychoron	Pentachoron	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Uniform 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Uniform 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniform 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniform n-polytope	n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pentagonal polytope
Topics: Polytope families • Regular polytope • List of regular polytopes and compounds

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение)

Свойства равностороннего треугольника

Признаки равностороннего треугольника

Формулы равностороннего треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АK = BF = CD

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Коэффициент востребованности
21 612

Источник

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }})

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме ({{180}^{o }}), значит, каждый по ({{60}^{o }})

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

ravnostoronnij treugolnik bissektrisy i mediany

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

vpisannaya okruzhnost ravnobedrennyj treugolnik

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Источник

Как найти вершину треугольника?

1 способ (графический)

2 способ (аналитический)

Уравнение описанной окружности

Прямая на плоскости

Определение равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

Пример задачи

Principal properties[edit]

Characterizations[edit]

Sides[edit]

Semiperimeter[edit]

Angles[edit]

Area[edit]

Circumradius, inradius, and exradii[edit]

Equal cevians[edit]

Coincident triangle centers[edit]

Six triangles formed by partitioning by the medians[edit]

Points in the plane[edit]

Notable theorems[edit]

Geometric construction[edit]

Derivation of area formula[edit]

Using the Pythagorean theorem[edit]

Using trigonometry[edit]

Other properties[edit]

In culture and society[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Свойства равностороннего треугольника:

Признаки равностороннего треугольника:

Формулы равностороннего треугольника:

Свойства равностороннего треугольника