Как найти вертикаль треугольника

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

.

Ответ. .

Вертикальные углы

Какие углы вертикальные? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Рассмотрим определение вертикальных углов и их свойство, а также применим свойство вертикальных углов для решения задач.

Определение.

Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов:

∠1 и ∠2 — вертикальные углы

∠3 и ∠4 — вертикальные углы

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

Таким образом, при пересечении двух прямых образуется две пары равных межу собой углов.

1) Сумма вертикальных углов равна 140º. Найти эти углы.

Так как вертикальные углы равны, а в условии сказано, что их сумма равна 140º, то каждый из них равен по 140:2=70º.

2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 100º. Найти эти углы.

При пересечении двух прямых образуются углы двух видов — вертикальные и смежные.

Так как сумма смежных углов равна 180º, а по условию, сумма углов равна 100º, то эти углы — вертикальные.

А так как вертикальные углы равны, то каждый из них равен по 100:2=50º.

Вертикальные углы во многих задачах — важный элемент при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Как найти вертикаль треугольника

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины).
Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

• Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
• Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
• Острый угол — угoл меньше прямого угла.
• Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов:
Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
Минута — часть градуса.
Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Свойства смежных и вертикальных углов

Углы при пересечении двух прямых секущей

Вы смотрели конспект по геометрии «Угол. Смежные и вертикальные углы». Использованы цитаты из учебных пособий:

Цитирование указанных пособий произведено в учебных целях (часть 1 статьи 1274 Гражданского кодекса РФ) с указанием авторства, источника заимствования и ссылки на покупку учебного пособия в крупнейшем книжном Интернет-магазине. Выберите дальнейшие действия:

Вертикальные углы в геометрии

19 июня 2022

В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.

Содержание

1. Определение и примеры
2. Основная теорема
3. Комбинированные задачи

1. Определение и примеры

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:

В результате образуются две пары вертикальных углов: $angle ASM$ и $angle BSN$, а также $angle ASN$ $angle BSM$.

Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:

Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:

Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.

2. Основная теорема

Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:

Но сумма смежных углов равна 180°, и если $angle BSN=color{red}{x}$, то

[begin{align}angle ASN&={180}^circ -color{red}{x} \ angle BSM&={180}^circ -color{red}{x} end{align}]

Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.

Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.

Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $angle 1={134}^circ $.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle 3=angle 1={134}^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

[begin{align}angle 1+angle 2&={180}^circ \ angle 2&={180}^circ -angle 2= \ &={180}^circ -{134}^circ ={46}^circ end{align}]

Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $angle 4=angle 2={46}^circ $.

Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.

Если предположить, что острый угол равен $color{red}{x}$ градусов, то тупой равен $180-color{red}{x}$ градусов.

Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.

Решение. Пусть острые углы содержат $color{red}{x}$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов.

По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:

[begin{align}{180}^circ -color{red}{x} -color{red}{x} &={68}^circ\ 2color{red}{x}&={112}^circ\ color{red}{x}&={56}^circend{align}]

Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.

Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.

Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $angle color{red}{1}={36}^circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle color{red}{3}=angle color{red}{1}={36}^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

[begin{align}angle color{red}{1}+angle color{blue}{2}&={180}^circ \ angle color{blue}{2}&={180}^circ -angle color{red}{1}= \ &={180}^circ -{36}^circ ={144}^circ end{align}]

Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:

[begin{align}angle color{red}{3}+angle color{green}{4}&={90}^circ \ angle color{green}{4}&={90}^circ -angle color{red}{3}= \ &={90}^circ -{36}^circ ={54}^circ end{align}]

Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.

Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.

Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2color{red}{x}$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $color{red}{x}$. Но тогда

[begin{align}angle CSD&=angle CSA+angle ASN+angle NSD= \ &=2color{red}{x}+angle ASN end{align}]

С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2color{red}{x}$ смежные, поэтому

[2color{red}{x}+angle ASN={180}^circ ]

Итак, угол $angle CSD={180}^circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.

3. Комбинированные задачи

Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.

Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

1. Сумма двух из них равна 110°.
2. Сумма трёх из них равна 308°.

Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $color{red}{x}$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов:

1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.

Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому

[begin{align}color{red}{x}+color{red}{x}&={110}^circ\ 2color{red}{x}&={110}^circ\ color{red}{x}&={55}^circend{align}]

Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.

2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:

Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна

[begin{align}left( {180}^circ -color{red}{x} right)+color{red}{x}+left( {180}^circ -color{red}{x} right)&={308}^circ \ {360}^circ -color{red}{x}&={308}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]

Итак, углы равны 52° и 128°.

Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:

Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $color{red}{x}$. Поэтому

[begin{align}{308}^circ +color{red}{x}&={360}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]

Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».

Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)

Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.

Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $color{blue}{x}$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^circ -color{blue}{x}$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $color{blue}{x}$ градусов:

Но тогда

[angle ACN+angle BCN={180}^circ ne {250}^circ ]

И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.

Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.

В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.

Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.

Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.

Смотрите также:

1. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
2. Что такое смежные углы
3. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
4. Метод координат в пространстве
5. Интегрирование по частям
6. Как формулы приведения работают в задаче B11

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Тогда

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Ответ. .

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

---

---

Презентация на тему: 7 класс.
I часть.
Решение задач.
Треугольники.
Вертикальные углы.
Смежные углы

1

Первый слайд презентации

7 класс.
I часть.
Решение задач.
Треугольники.
Вертикальные углы.
Смежные углы.

Изображение слайда

2

Слайд 2

1.
В
Ответ (2)
А
С
D
Подсказка
Периметр
треугольника?
Дано:
Найти: стороны

Изображение слайда

3

Слайд 3

2.
В
Ответ
А
С
Подсказка
Чему равна
сумма смежных?
Дано:
Найти:
?
D
F

Изображение слайда

4

Слайд 4

3.
В
Ответ
А
С
Подсказка (2)
Сумма смежных
углов равна
…
Дано:
Найти:
?
D
F

Изображение слайда

5

Слайд 5

4.
Е
Ответ
А
С
В
Подсказка
Периметр
треугольника?
Дано:
Найти:

Изображение слайда

6

Слайд 6

5.
В
Ответ
А
С
Дано:
Найти:
?
О
120 0
120 0

Изображение слайда

7

Слайд 7

6.
В
Ответ
А
С
D
Подсказка
Периметр
треугольника?
Дано:
Найти:
О

Изображение слайда

8

Слайд 8

Первый признак
равенства треугольников.
А
А 1
В
В 1
С
С 1

Изображение слайда

9

Слайд 9

7.
В
А
С
A 1
Подсказка
Дано:
Доказать:
B 1
С 1
Вывод
Необходимо доказать
равенство отрезков
АС и А 1 С 1.

Изображение слайда

10

Слайд 10

8.
В
Вывод
А
Р
Подсказка
Необходимо доказать
равенство
треугольников
A ОТ и B ОР.
Т
О
Дано:
Доказать: РО = ОТ

Изображение слайда

11

Слайд 11

9.
В
Вывод
А
С
Подсказка
Необходимо доказать
равенство
треугольников
A ВС и С D А.
D
Дано:
Доказать:

Изображение слайда

12

Слайд 12

10.
В
Вывод
А
С
Подсказка
Необходимо доказать
равенство
треугольников
A ВН и СВН.
Н
Дано:
Доказать:

Изображение слайда

13

Слайд 13

11.
В
А
С
Подсказка (2)
Необходимо
воспользоваться
равенством
Δ A ВН = Δ СВН.
Н
Дано:
Доказать:
Необходимо
вспомнить свойство
смежных углов.

Изображение слайда

14

Слайд 14

12.
В
А
С
Подсказка
Необходимо
вспомнить
определение
вертикальных углов.
D
Дано:
Доказать:
O

Изображение слайда

15

Слайд 15

13.
В
Вывод
А
С
Подсказка (2)
Необходимо доказать
равенство
треугольников
ABD и CBD.
D
Дано:
Доказать:
1
2

Изображение слайда

16

Слайд 16

14.
В
Ответ
А
С
Подсказка
Необходимо доказать
равенство
треугольников
AD С и А B С.
D
1
2
Дано:
Найти:

Изображение слайда

17

Слайд 17

15.
В
Ответ
А
С
Подсказка
Необходимо доказать
равенство
треугольников
A ВС и А D С.
D
1
2
Дано:
Найти:

Изображение слайда

18

Слайд 18

1 6.
В
Ответ
А
С
Подсказка (2)
Необходимо доказать
равенство
треугольников
A В E и С DE.
D
1
2
Дано:
Найти:
E
Необходимо
вспомнить свойство
смежных углов.

Изображение слайда

19

Слайд 19

Вертикальные углы.
В
А
О
C
D

Изображение слайда

20

Слайд 20

Смежные углы.
В
А
О
C

Изображение слайда

21

Слайд 21

Периметр треугольника.
В
А
C

Изображение слайда

22

Слайд 22

Пусть x – коэффициент пропорциональности,
тогда,  BOC = 25 x ;  AO В = 11 x.
Так как  AO В +  BOC = 180,
то 11 x + 25x = 180 ;
36 x = 180;
x = 5.
Следовательно,  BOC = 125  ;  AO В = 5 5.
Пример оформления задачи:
Дано :  AO В и  BOC – смежные;
 BOC :  AO В = 25:11
Найти :  AO В ;  BOC.
Решение.

Изображение слайда

23

Слайд 23

№1 Дано:  = 3 . Найти:  и .
№2
ОС- биссектриса
Найти  BOC
№3 Найти  BOC

Изображение слайда

24

Слайд 24: Образец оформления решения задачи

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0. Найдите величины остальных углов.
M
O
F
P
K
43 0
Дано:
Найти:
Решение:
Ответ: 137 0, 43 0, 137 0
МК  PF = О
МО F = 43 °
 FOK, KOP, POM.
МО F и KOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, МО F = KOP, KOP = 43 °
МО F +  FOK = 180 °, так как они смежные. Отсюда  FOK = 180 ° — 43 ° =137 °
 FOK и POM вертикальные, значит  FOK = POM,
POM =137 °

Изображение слайда

25

Слайд 25

Задача 4. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0.
Задача 5. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого.
Задача 6. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого?
Задача 7. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0.
Задача 8. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если сумма трех углов равна 280 0.

Изображение слайда

26

Слайд 26

А
В
D
С
Найти:
Задача 9
О
углы АОВ и СОД

Изображение слайда

27

Слайд 27

А
В
С
О
Задача 10
Найти:

Изображение слайда

28

Слайд 28

А
В
С
О
Задача 11
Найти:

Изображение слайда

29

Слайд 29

С
А
В
Д
Найти:
О
Задача 12

Изображение слайда

30

Слайд 30

А
В
С
Сравните
и
Задача 13

Изображение слайда

31

Слайд 31

А
В
С
Докажите, что
Задача 14

Изображение слайда

32

Слайд 32

А
В
С
Докажите, что
Задача 15

Изображение слайда

33

Последний слайд презентации: 7 класс.
I часть.
Решение задач.
Треугольники.
Вертикальные углы.
Смежные углы

О
Равны ли
и
?
А
В
С
D
E
Задача 16

Изображение слайда

§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах. — ЗФТШ, МФТИ

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, — очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Отметим также важный момент. Запись равенства треугольников $$ △ABC=△KPM$$ означает: $$ angle A=angle K$$, $$ angle B=angle P$$, $$ angle C=angle M$$, $$ AB=KP$$, $$ AC=KM$$ и $$ BC=PM$$, т. е. соответствующие вершины стоят на соответствующих местах.

Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике $$ ABC$$ углы обозначать $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$ – стороны, противолежащие углам $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ {h}_{a}$$, $$ {h}_{b}$$, $$ {h}_{c}$$ – высоты к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$,

$$ {m}_{a}$$, $$ {m}_{b}$$, $$ {m}_{c}$$ – медианы к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ [email protected]`, и $$ △KAM=△KBC$$   Делаем вывод:  $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$). 

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$  называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BDperp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ angle ADB$$ смежный с $$ angle BDC=90°$$  поэтому $$ angle ADB=90°$$ ).

Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.

Доказательство признака  б) Столь же простое,  докажите  его  самостоятельно.

Докажем признак  в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$  Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные,  и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$   Из равенства треугольников следует

$$ CD=AB$$                                                                               (1) 

и $$ angle CDM=angle ABM$$. Но $$ angle ABM=angle CBM$$ поэтому $$ angle CDM=angle CBM$$, т. е.  в  треугольнике $$ BCD$$ углы  при основании $$ BD$$  равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).

Найти углы треугольника $$ ABC$$.

Решение

Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ alpha $$.

3. $$ angle BAK=2alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ angle BCA=2alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ angle DKC=alpha $$ ($$ angle DKC=angle AKM$$ как вертикальные).

Расставим углы.

4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ angle KDC=alpha $$ и б) $$ angle KDC=2alpha $$.

а) Если $$ angle KDC=alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если $$ angle KDC=2alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ alpha +2alpha +2alpha =180°$$ ,$$ alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ angle A=angle C=2alpha =72°$$ , $$ angle B=180°-2·angle A=36°$$. 

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Решение

Пусть высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ C{C}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ равны друг другу. 

1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ равны по катету ($$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$) и противолежащему острому углу (угол $$ B$$ – общий). Тогда
равны их гипотенузы $$ AB=CB$$, а это и означает, что треугольник $$ ABC$$ равнобедренный.

Рис. 12a	Рис. 12б	Рис. 12в

2. (Треугольник тупоугольник, угол $$ В$$ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ имеют равные катеты $$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$ и равные противолежащие углы $$ angle AB{A}_{1}=angle CB{C}_{1}$$ как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы $$ AB=CB$$. Треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если $$ B{B}_{1}=A{A}_{1}=h$$ (рис. 12в), то $$ △A{A}_{1}B=△B{B}_{1}A$$ по гипотенузе (у них общая $$ AB$$) и катету $$ A{A}_{1}=B{B}_{1}$$. Тогда $$ angle BA{A}_{1}=angle AB{B}_{1}$$ (обозначен $$ alpha $$ ), т. е. накрест лежащие углы при секущей $$ AB$$ равны и прямые $$ A{A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}B$$ параллельны, что неверно.
4. Если угол $$ B$$ – прямой, то высоты из вершин $$ A$$ и $$ C$$ совпадают с катетами $$ AB$$ и $$ CB$$. 
При равных высотах равны и катеты, треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный. 

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MKperp AC$$.

Из $$ BCperp AC$$ и $$ MKperp AC$$ следует $$ BCparallel MK$$.

Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.

В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM={displaystyle frac{1}{2}}AB$$.

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.

Решение

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).

Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ ADperp BM$$.

2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$. 

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы. 

Равенство и подобие треугольников. 

Медиана, биссектриса, высота. 

Свойства треугольников. 

Площадь треугольников.

---

Кругом одна геометрия — круг друзей, квадрат врагов, треугольник любящих.

Ю. Татаркин

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Когда небо было ярче, трава зеленее, а ты учился в 7 классе, началось знакомство с геометрией, туда и перенесёмся. Чтобы мы с тобой разговаривали на одном языке, начнем с равных углов.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой. 

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

А вот эти фигуры какие?

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).

Давай закрепим теорию в задачах.

Введем секретный шифр:

«~» означает подобие

«Δ» означает треугольник

«∠» означает угол

Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к. треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов. 

AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC

Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC: 

Ответ: 13,125

Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:

Ответ: 20; 40; 50.

Задача №3. Дано на рисунке:

∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°

∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°

А сумма углов в треугольнике 180°, да-да, не всегда, конечно, но Неевклидовая геометрию оставим на другой раз.

∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°

Ответ: 60° и 30°

Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.

Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.

Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны. 

Задача №4. Дано на рисунке:

Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°

В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда 

В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°

∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:

В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°

В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°

Ответ: 30° и 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 

Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный

2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.

А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

Полезные свойства: 

1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.

2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.

3) Теорема Пифагора 

Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%. 

Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов. 

Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.

Задача №6. Дано на рисунке:

В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°

Опустим высоту из вершины В:

В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18. 

В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)

В ΔABH по т. Пифагора:

Ответ: 6√3.

Задача №7. ΔMNK ∼  ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:

225/75 = 3 = k² => k = √3 

M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3

Ответ: 3√3

Отлично, поздравляю тебя с Beginnerом по геометрии. 

Вторая часть по треугольникам − площадь треугольников, свойства треугольников, тригонометрия в прямоугольных треугольниках, что такое синус/косинус, таблицы Брадиса (как пользоваться), теорема синусов и косинусов

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Смежные и вертикальные углы — презентация онлайн

1. Смежные и вертикальные углы

№1. Один из четырёх
углов, образованных при
пересечении двух прямых
360. Найдите остальные
углы.

2. Смежные и вертикальные углы

№2. Два угла с общей
вершиной равны. Будут ли
они вертикальными?

3. Смежные и вертикальные углы

0
48
№3. Один из углов
,а
другой 1320 .Будут ли углы
смежными?

4. Смежные и вертикальные углы

№4. Разность 2-х смежных
углов равна 300. Найдите
эти углы?

5. Смежные и вертикальные углы

№5. Градусные меры 2-х
смежных углов относятся
как 7:5. Найдите эти углы?

6. Треугольники и их элементы

№6.
Середину стороны МК
треугольника МКР соединили
с вершиной Р. Как называется
этот отрезок?

7. Треугольники и их элементы

№7.
В треугольнике CDE отрезок
DM провели так, что угол
DME прямой. Как
называется отрезок DM?

8. Треугольники и их элементы

№8.
В равнобедренном
треугольнике основание равно
боковой стороне. Как
называется такой треугольник?

9. Треугольники и их элементы

№9.
В треугольнике АВС биссектриса,
проведённая из вершины А, не
совпадает с высотой, проведённой из
той же вершины. Может ли
треугольник оказаться
а)равнобедренным?
б) равносторонним?

10. Треугольники и их элементы

№10.
Могут ли биссектрисы двух
углов треугольника быть
взаимноперпендикулярными?

11. Признаки равенства треугольников

№11.
У треугольников АВС и А1В1С1
равны АС и А1С1 и углы А и
А1.Равенство каких сторон или
углов можно установить, чтобы
воспользоваться 1-ым признаком
равенства треугольников?

12. Признаки равенства треугольников

№12.
Стороны одного треугольника
30см; 40см; 0,5м. Стороны
другого треугольника 3дм;
4дм; 5дм. Равны ли эти
треугольники?

13. Признаки равенства треугольников

№13.
Сколько пар равных углов нужно
найти, доказывая равенство
треугольников:
а) по определению;
б) по1-му признаку;
в) по 2-му признаку;
г) по 3-му признаку.

14. Признаки равенства треугольников

№14.
В неравных треугольниках АВС и
МЕК стороны АВ и ВС равны
соответственно сторонам МЕ и
ЕК. Может ли сторона АС быть
равной стороне МК?

15. Признаки равенства треугольников

№15.
Будут ли
равны
треугольники
АВС и АМК ?

Признаки равенства треугольников | Геометрия

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AB = A₁B₁,  AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁B₁  совместилась со стороной  AB,  то точка  B  совместится с точкой  B₁,  так как  A₁B₁ = AB.  Сторона  A₁C₁  совместится со стороной  AC,  так как  ∠A = ∠A₁.  Точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Стороны  B₁C₁  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁  и  ∠C = ∠C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁C₁  совместилась со стороной  AC,  то точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Сторона  A₁B₁  совпадёт со стороной  AB,  так как  ∠A = ∠A₁.  Сторона  C₁B₁  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C₁.  Вершина  B₁  совпадёт с вершиной  B,  так как  B  и  B₁  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  AC = A₁C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A₁,  вершина  C  — с  C₁, а вершины  B  и  B₁  оказались по разные стороны от прямой  AC.

Соединив точки  B  и  B₁,  получим два равнобедренных треугольника  BAB₁  и  BСB₁.

В треугольнике  BAB₁  ∠1 = ∠4,  в  BСB₁  ∠2 = ∠3  (как углы при основании). Следовательно,

∠1 + ∠2 = ∠4 + ∠3,  поэтому  ∠ABC = ∠AB₁C.

Итак,  AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Из этого следует, что треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

Теорема Пифагора

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами
и двигательная установка
необходимо использовать некоторые математические идеи из
тригонометрия
изучение треугольников.
Давайте начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде.
Начнем с прямоугольного треугольника . Прямоугольный треугольник — это
трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов
называется прямым углом , и отсюда прямоугольный треугольник получил свое название.Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к
— гипотенуза , h . Это самая длинная из трех сторон.
прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов.
означает «растягивать», так как это самая длинная сторона.
Мы собираемся обозначить две другие стороны a и b .
Теорема Пифагора — это утверждение, относящееся к длинам
сторон любого прямоугольного треугольника .

Теорема утверждает, что:

Для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов двух других сторон.2

25 = 9 + 16

Пифагор обобщил результат на любой прямоугольный треугольник. Есть много разных
алгебраические и геометрические доказательств теоремы. Большинство из них начинаются с
построение квадратов по эскизу основного прямоугольного треугольника. На рисунке в
В верхней части этой страницы мы показываем квадраты, нарисованные на трех сторонах треугольника.
Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
в длину. В
площадь прямоугольника — это произведение сторон.2 квадрата, начерченного на стороне b .

Вот интерактивная программа на Java, которая позволяет убедиться, что эта взаимосвязь областей верна:

На этой странице показан интерактивный Java-апплет, демонстрирующий теорему Пифагора.

Начнем с прямоугольного треугольника, на котором мы построили квадраты с двух сторон, один
красный и один синий. Мы собираемся разбить эти два квадрата на части и переместить их в
серый квадрат на гипотенузе.Мы не потеряем материал во время
операция. Итак, если мы можем точно заполнить квадрат гипотенузы,
мы показали, что площади равны. Вы работаете со строительством, нажимая на
кнопка с надписью «Далее». Вы можете вернуться «Назад» и повторить раздел или вернуться к началу, нажав «Сброс».

Что он делает? На первом шаге треугольник поворачивается вниз на синий квадрат.
Этот
разрезает синий квадрат на три части, два треугольника и красный прямоугольник.Два треугольника точно такого же размера, как и исходный треугольник.
«Дно» исходного треугольника точно соответствует
вертикальная сторона квадрата, потому что стороны квадрата равны.
Красный прямоугольник имеет вертикальные стороны, равные основанию исходного треугольника,
а его горизонтальные стороны равны разнице между «нижней» стороной и
«вертикальная» сторона исходного треугольника.
Используя терминологию из рисунка вверху этой страницы, размеры
красного прямоугольника:

длина по вертикали = b

длина по горизонтали = b — a

Следующий шаг — переместить красный прямоугольник.
над прилегающей к красной площади.Прямоугольник выступает из верхней части красного квадрата.
и два треугольника остаются в синем квадрате. Следующим шагом является перемещение одного из
синие треугольники вертикально переходят в квадрат гипотенузы. Он подходит ровно по бокам
в
квадрат гипотенузы, потому что стороны квадрата равны. Следующий шаг — переместить
другой синий треугольник в квадрат гипотенузы. (Мы на полпути!) Следующий шаг
состоит в том, чтобы сдвинуть форму исходного треугольника влево в красную область. Треугольник разрезает
красную область на три части, два треугольника и небольшой желтый квадрат.Исходный треугольник точно попадает в эту область по двум причинам;
вертикальные стороны идентичны, а горизонтальная сторона красной области равна
длина красного квадрата плюс горизонтальная длина красного прямоугольника, который мы
взолнованный. Горизонтальная длина красной области составляет:

длина по горизонтали = a + (b — a) = b

Горизонтальная длина красной области точно равна длине горизонтальной стороны.
исходного треугольника.
Желтый квадрат имеет размеры b — по с каждой стороны.Следующий шаг — переместить один из красных треугольников в
квадрат гипотенузы. Опять же, это идеально подходит.
Следующий шаг — переместить последний красный треугольник в
квадрат гипотенузы. Теперь, если мы посмотрим на серый квадрат, который остается в
квадрат гипотенузы, видим, что его размеры b — ; длинная сторона
треугольника за вычетом короткой стороны. Последний шаг — переместить желтый квадрат в
эта дыра. Он идеально подходит, и мы использовали весь материал оригинального красного цвета.
и синие квадраты.

---

Действия:

---

Экскурсии с гидом

---

Навигация ..

Руководство для начинающих Домашняя страница

Вертикальные углы в геометрии: определение и примеры — стенограмма видео и урока

Вертикальные углы: другие примеры

Давайте рассмотрим еще несколько примеров вертикальных углов.

Линия c пересекает две линии: a и b .На каждом пересечении образуются вертикальные углы. Вертикальные пары углов следующие:

1 и 6
2 и 5
3 и 8
4 и 7

Вертикальные углы: свойство конгруэнтности

Основным свойством вертикальных углов является то, что они равны конгруэнтности . Другими словами, у них одинаковая угловая мера. Здесь, если мы добавим угловые меры, мы увидим, что вертикальные углы совпадают.

Доказательство

Давайте сделаем для этого простое доказательство.Прежде чем мы начнем, мы должны признать некоторые определения и теоремы в геометрии. Прежде всего, линейная пара углов — это пара смежных углов. Их необщие стороны всегда противоположные лучи. Кроме того, углы, образующие линейную пару, также равны дополнительным , поэтому их сумма всегда равна 180 градусам. Вот наше доказательство.

1. Прямые m и n пересекаются, образуя углы 1, 2, 3 и 4 (данные).
2. Углы 1 и 2 являются линейной парой, поэтому они являются дополнительными (определение линейной пары).
3. Угол 1 + угол 2 = 180 градусов (определение дополнительных углов).
4. Углы 2 и 3 являются линейной парой, поэтому они являются дополнительными (определение линейной пары).
5. Угол 2 + угол 3 = 180 градусов (определение дополнительных углов).
6. Угол 1 + угол 2 = угол 2 + угол 3 (замена; см. Утверждения 3 и 5).
7. Угол 1 = угол 3 (вычтите угол 2 из уравнения в утверждении 6).
QED (наше доказательство завершено)

Определение угловых мер

Теперь решим задачу! Если угол 1 равен 115 градусам, каковы размеры других углов?

Угол 3 составляет 115 градусов, потому что углы 1 и 3 представляют собой пару вертикальных углов. Углы 1 и 2 представляют собой линейную пару, поэтому их сумма составляет 180 градусов; следовательно, угол 2 составляет 180 — 115 = 65 градусов. Угол 4 составляет 65 градусов, потому что углы 2 и 4 представляют собой пару вертикальных углов.

Чем не являются вертикальные углы

Давайте закончим этот урок, показав еще один не пример вертикальных углов. Здесь углы 1 и 3 не являются парой вертикальных углов. Несмотря на то, что они имеют общую вершину и не являются смежными, они не образованы одной и той же парой пересекающихся линий. Угол 1 образован линиями r и t , а угол 3 образован линиями s и t .

Резюме урока

Когда две линии пересекаются, они образуют две пары вертикальных углов .Вертикальные углы имеют общую вершину, но никогда не являются смежными углами. Наконец, вертикальные углы всегда совпадают.

Ключевые термины

Углы в природе

Вертикальные углы — пара несмежных углов, образующихся при пересечении двух линий

Смежные углы — два угла с общей стороной

Конгруэнтные углы — углы, имеющие одинаковую величину угла

Линейная пара — пара смежных углов

Дополнительные — углы, сумма которых составляет 180 градусов

Результаты обучения

После этого видео вы сможете:

• Определить вертикальные углы
• Различение вертикальных и смежных углов
• Опишите свойства вертикальных углов
• Найдите величину угла на основе ваших знаний о вертикальных углах

Фиолетовые треугольники вертикальные жалюзи | Декошейкер

Пурпурные треугольники

Некоторые люди склонны упускать из виду красивый эффект, который хорошая шторка производит на их окна.Красивые произведения искусства, такие как вертикальные жалюзи с фиолетовыми треугольниками с уникальным дизайном, цветами, оттенками и формами, необходимы для украшения вашего окна. Эти произведения искусства можно разместить на окне или двери гостиной или кухни в виде вертикальных жалюзи.

Преимущества оконных жалюзи

Эти вертикальные и горизонтальные жалюзи обладают множеством преимуществ по разумной цене. При размещении на окне эти произведения искусства могут помочь сохранить вашу конфиденциальность и ограничить количество посторонних глаз, которые могут получить доступ к вашему дому.

Помимо того, что эти прекрасные произведения искусства являются хорошим источником защиты от вторжений в частную жизнь, они могут помочь ограничить попадание лучей света в вашу комнату. Вы взглянули на вертикальные жалюзи Purple triangles , они специально разработаны для этой цели. Эти милые конструкции вертикальных жалюзи хороши для спальни.

Качественные произведения искусства от Decoshaker имеют компактные размеры, что упрощает процесс установки. Летом эти прекрасные произведения искусства могут ограничить поступление тепла в вашу комнату, а зимой они могут не дать температуре в вашей комнате достичь точки замерзания.Это отличный способ сэкономить на отоплении.

Если вам нужна формальная атмосфера, яркая или теплая атмосфера, эти прекрасные произведения искусства помогут вам создать ту атмосферу, которую вы хотите. Сейчас они используются в большинстве современных домов, и ваш дом нельзя оставлять позади.

Обработка окон от Decoshaker

Чтобы получить эти современные дизайны, вы можете выбрать один из множества типов рисунков, форм, цветов, оттенков и размеров или вы можете загрузить изображение по вашему выбору.Decoshaker — это место в сети, где вы можете получить качественные услуги.

Помимо того, что это подходящее место, где вы можете купить качественные произведения искусства для своего окна в Интернете, Decoshaker также предлагает услуги по обработке окон. Обработка окон сделает вашу комнату более привлекательной. Вы можете получить все эти услуги по невысокой цене. Свяжитесь с Decoshaker сегодня.

Vertical Doors® GR8CFDCT0714 — Треугольники входных дверей из углеродного волокна German Rush ™

Треугольники входных дверей German Rush ™ от Vertical Doors®.Этот продукт изготовлен из высококачественных материалов, чтобы прослужить вам долгие годы. Этот продукт German Rush, разработанный с использованием новейших технологий и с учетом интересов клиентов, прослужит всю жизнь. Он удовлетворит ваши потребности и обеспечит отличное качество по доступной цене. Требуется профессиональная установка.

Примечания:

• Это продукт по специальному заказу и, следовательно, не подлежит отмене и возврату.

Технические характеристики:

Материал: Углеродное волокно

Количество: 2 шт. особые потребности Специально очерченный и формованный для вашей марки и модели автомобиля С гордостью изготовлен в США Вертикальные двери — это отличные продукты, доступные по конкурентоспособной цене.Компания делает все возможное, чтобы предоставить вам наилучшие решения. Вся продукция Vertical Doors производится с тщательной тщательностью и создается профессионалами в соответствии со всеми вашими требованиями. Вертикальные двери не приемлют компромиссов, когда речь идет о качестве, поэтому вы можете быть уверены, что все продукты имеют только высшее качество. Компания Vertical Doors, обладающая многолетним производственным опытом, — это имя, которому можно доверять. Vertical Doors, Inc.® Все системы представляют собой высококачественные комплекты, аналогичные концепции дверей Lamborghini.Это полностью продуманная и протестированная система. Превосходный дизайн, материалы, производство, безопасность, производительность и стиль — компания Vertical Doors Inc. является лидером отрасли и известна своим качеством и отличным обслуживанием клиентов. Сделано в США ПАТЕНТ США № 6,808,223; 6 845 547 и 7 059 655 и другие заявленные патенты. Эта система — все, что вам нужно для успешного, надежного и экономичного преобразования за минимальное время. * Рекомендуется профессиональная установка. 3 модели треугольников, которые должен знать каждый трейдер Forex Треугольник имеет три основных разновидности и часто встречается на рынке форекс.Эти модели позволяют трейдерам лучше понять будущее движение цены и возможное возобновление текущего тренда. Однако не все образования треугольников можно интерпретировать одинаково, поэтому важно понимать каждый образец треугольника индивидуально. Шаблоны треугольников Forex Основные темы для обсуждения: Определение шаблона треугольника Объяснение симметричных треугольников Шаблоны восходящих и нисходящих треугольников Ключевые моменты, которые следует помнить при торговле шаблонами треугольников Проверьте свои знания шаблонов Forex с нашими интерактивная викторина по моделям торговли на Форекс Что такое треугольник? Треугольник на форексе — это модель консолидации, которая возникает в середине тренда и обычно сигнализирует о продолжении существующего тренда.Паттерн треугольной диаграммы формируется путем рисования двух сходящихся линий тренда, когда цена временно движется в боковом направлении. Трейдеры часто ищут последующий прорыв в направлении предшествующего тренда как сигнал для входа в сделку. В этой статье используются иллюстрации линейных диаграмм для представления трех моделей треугольных диаграмм. Трейдеры должны ознакомиться с тремя графиками технического анализа и выяснить, какой из них подходит им лучше всего, хотя большинство предпочитает использовать графики форекс-свечей. Симметричные треугольники Симметричный треугольник можно рассматривать как отправную точку для всех вариаций треугольника. Как следует из названия, треугольник можно увидеть после нанесения на график двух сходящихся линий тренда. Разница между симметричным треугольником и другими формами треугольника состоит в том, что симметричный треугольник является нейтральным узором и не наклоняется ни в каком направлении. Хотя сам треугольник нейтрален, он по-прежнему поддерживает направление существующего тренда, и трейдеры ищут прорывы в направлении тренда. Торговая стратегия с симметричным треугольником Треугольники представляют собой эффективный метод измерения для торговли на прорыве, и этот метод также может быть адаптирован и применен к другим вариантам. График AUD / USD ниже показывает симметричный треугольник. Расстояние по вертикали между верхней и нижней линией тренда можно измерить и использовать для прогнозирования соответствующей цели, как только цена выйдет за пределы симметричного треугольника. Важно отметить, что нахождение идеального симметричного треугольника крайне редко и что трейдеры не должны слишком торопиться, чтобы аннулировать несовершенные модели.Трейдеры должны понимать, что анализ треугольников — это не столько поиск идеального паттерна, сколько понимание того, что рынок сообщает через ценовое действие. Модель восходящего треугольника Модель восходящего треугольника похожа на симметричный треугольник, за исключением того, что верхняя линия тренда плоская, а нижняя линия тренда растет. Эта модель указывает на то, что покупатели более агрессивны, чем продавцы, поскольку цена продолжает достигать более высоких минимумов. Цена приближается к плоской верхней линии тренда, и чем больше таких случаев, тем больше вероятность, что она в конечном итоге прорвется вверх. Торговая стратегия восходящего треугольника Восходящий треугольник можно увидеть в Индексе доллара США ниже. От существующего восходящего тренда следует период консолидации, который формирует восходящий треугольник. Трейдеры могут еще раз измерить вертикальное расстояние в начале формирования треугольника и использовать его при прорыве, чтобы спрогнозировать уровень тейк-профита. В этом примере довольно близкий стоп может быть размещен на недавнем минимуме колебания, чтобы уменьшить риск падения. Модель нисходящего треугольника Модель нисходящего треугольника, с другой стороны, характеризуется нисходящей верхней линией тренда и плоской нижней линией тренда.Эта модель указывает на то, что продавцы более агрессивны, чем покупатели, поскольку цена продолжает достигать более низких максимумов. Торговая стратегия нисходящего треугольника Ниже приведен хороший пример паттерна нисходящего треугольника, появляющегося на GBP / USD. Нисходящий тренд ведет к периоду консолидации, когда продавцы перевешивают покупателей и медленно понижают цену. Сильный прорыв нижней линии тренда дает трейдерам возможность открыть короткую позицию. В этом примере позиция быстро переместится в противоположном направлении, что подчеркивает важность установки соответствующего стоп-уровня. Уровень тейк-профита устанавливается с использованием вертикального расстояния, измеренного в начале формирования нисходящего треугольника. Торговля с использованием треугольников: ключевые моменты, о которых следует помнить Всегда обращайте внимание на направление тренда до периода консолидации. Используйте верхнюю и нижнюю линии тренда, чтобы определить, какой треугольник формируется. Используйте метод измерения, описанный выше, для прогнозирования подходящих целевых уровней. Придерживайтесь разумной практики управления рисками, чтобы снизить риск ложного прорыва и обеспечить поддержание положительного отношения риска к прибыли во всех сделках. Дополнительная литература по моделям торговли на Форекс Углы и параллельные линии (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D. Другое слово для обозначения противоположных углов — вертикальные углы. Вертикальные углы всегда совпадают, что означает, что они равны. Соседние углы — это углы, выходящие из одной вершины. Соседние углы имеют общий луч и не перекрываются. Размер угла xzy на рисунке выше является суммой углов A и B. Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 90 °. Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 180 °. Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как на картинке ниже — линия пересечения называется поперечной. Когда трансверсаль пересекается с двумя параллельными линиями, получается восемь углов. Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов. Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы равны. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных линий и трансверсали, представляют собой соответствующие пары, например 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6. Углы, которые находятся в области между параллельными линиями, такими как угол 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами. Углы, которые находятся на противоположных сторонах поперечной оси, называются альтернативными углами, например 1 + 8. Все углы, которые являются внешними углами, внутренними углами, альтернативными углами или соответствующими углами, являются конгруэнтными. Пример На рисунке выше показаны две параллельные линии с трансверсалью. Угол 6 равен 65 °. Есть ли другой угол, который также составляет 65 °? 6 и 8 являются вертикальными углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 8 также равен 65 °. 6 и 2 являются соответствующими углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 2 составляет 65 °. 6 и 4 являются альтернативными внешними углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 4 составляет 65 °. Видеоурок Найдите размеры всех углов на рисунке конгруэнтных доказательств треугольника (часть 3) Вы видели, как использовать SSS и ASA, но на самом деле есть несколько других способов показать, что два треугольника совпадают.Здесь мы покажем еще два метода и доказательства, которые его используют. Метод 3: SAS (Сторона, Угол, Сторона) Подобно методу 2, мы можем использовать две пары конгруэнтных сторон и пару конгруэнтных углов, расположенных между сторонами, чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны. На этой диаграмме. Это показывает, что две стороны и входящий угол одинаковы в каждом треугольнике. Мы называем это SAS или Side, Angle, Side. Мы можем использовать SAS, чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны, или использовать его для доказательства других возможных фактов о треугольниках. Вот пример: 1. Учитывая Докажите, что Как и в других доказательствах, обязательно начните с показа предоставленной информации. Заявления Причины 1. BC ≅ DC 1. Дано 2. AC ≅ EC 2. Дано Затем используйте другую информацию, которую вы можете получить из диаграммы. Например, мы видим, что Заявления Причины 1.BC ≅ DC 1. Дано 2. AC ≅ EC 2. Дано 3. 3. Вертикальные углы Теперь мы показали, что у каждого треугольника есть соответствующие части, показывающие SAS или Side Angle Side. Следовательно, два треугольника совпадают. Заявления Причины 1. BC ≅ DC 1. Дано 2. AC ≅ EC 2. Дано 3. 3. Вертикальные углы 4. ΔABC ≅ ΔEDC 4. SAS Наконец, мы можем показать, что другая пара соответствующих сторон конгруэнтна, потому что треугольники конгруэнтны. Напомним, что причина этого сокращается до CPCTC. Заявления Причины 1. BC ≅ DC 1. Дано 2. AC ≅ EC 2. Дано 3. 3. Вертикальные углы 4. ΔABC ≅ ΔEDC 4. SAS 5. BA ≅ DE 5. CPCTC Метод 4: AAS (угол, угол ) Мы также можем показать, что два треугольника конгруэнтны, показав два угла и невключенная сторона одного треугольника, соответствующие и совпадающие с двумя углами и невключенной стороной другого треугольника. Здесь мы видим, что AC ≅ ZX.Это показывает, что в этих двух треугольниках два угла и невключенная сторона в ΔABC конгруэнтны двум углам и невключенной стороне ΔZYX. Следовательно, ΔABC ≅ ΔZYX. Вот еще одно доказательство с использованием AAS. 2. Дано: EA ≅ EC Докажите: B — это средняя точка AC. Во-первых, давайте взглянем на данную информацию. Дано: EA ≅ EC Нам нужно использовать эту информацию, чтобы показать, что ΔABF ≅ ΔCBF.Тогда мы сможем сказать, что AB ≅ CB. Если эти два сегмента совпадают, то точка B должна быть средней, потому что она будет прямо посередине. Итак, теперь задача состоит в том, чтобы показать, что эти два треугольника конгруэнтны. равнобедренных углов. Утверждения Причины EA ≅ EC Учитывая Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных Сначала мы показали, что два верхних угла совпадают. Далее мы покажем, что BF ≅ BD. Утверждения Причины EA ≅ EC Учитывая Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных равнобедренных сторон. Дано BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают. Пока у нас есть пара соответствующих конгруэнтных углов и пара соответствующих конгруэнтных сторон. Далее мы можем показать, что еще одна пара соответствующих углов конгруэнтна. Утверждения Причины EA ≅ EC Учитывая Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных равнобедренных сторон. Дано BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают. Дано Если два конгруэнтных угла вычитаются из двух конгруэнтных углов, разница составляет конгруэнтные углы. Теперь у нас есть две пары углов и пара сторон, которые не включены, что показывает, что два треугольника конгруэнтны. Мы будем использовать CPCTC, чтобы показать, что стороны AB и CB также совпадают. Утверждения Причины EA ≅ EC Учитывая Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных равнобедренных сторон. Дано BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают. Дано Если два конгруэнтных угла вычитаются из двух конгруэнтных углов, разница составляет конгруэнтные углы. No related posts.