Как найти вертикаль угол

Вертикальные углы в геометрии

19 июня 2022

В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.

Содержание

1. Определение и примеры
2. Основная теорема
3. Комбинированные задачи

1. Определение и примеры

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:

В результате образуются две пары вертикальных углов: $angle ASM$ и $angle BSN$, а также $angle ASN$ $angle BSM$.

Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:

Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:

Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.

2. Основная теорема

Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:

Но сумма смежных углов равна 180°, и если $angle BSN=color{red}{x}$, то

[begin{align}angle ASN&={180}^circ -color{red}{x} \ angle BSM&={180}^circ -color{red}{x} end{align}]

Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.

Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.

Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $angle 1={134}^circ $.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle 3=angle 1={134}^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

[begin{align}angle 1+angle 2&={180}^circ \ angle 2&={180}^circ -angle 2= \ &={180}^circ -{134}^circ ={46}^circ end{align}]

Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $angle 4=angle 2={46}^circ $.

Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.

Если предположить, что острый угол равен $color{red}{x}$ градусов, то тупой равен $180-color{red}{x}$ градусов.

Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.

Решение. Пусть острые углы содержат $color{red}{x}$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов.

По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:

[begin{align}{180}^circ -color{red}{x} -color{red}{x} &={68}^circ\ 2color{red}{x}&={112}^circ\ color{red}{x}&={56}^circend{align}]

Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.

Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.

Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $angle color{red}{1}={36}^circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle color{red}{3}=angle color{red}{1}={36}^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

[begin{align}angle color{red}{1}+angle color{blue}{2}&={180}^circ \ angle color{blue}{2}&={180}^circ -angle color{red}{1}= \ &={180}^circ -{36}^circ ={144}^circ end{align}]

Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:

[begin{align}angle color{red}{3}+angle color{green}{4}&={90}^circ \ angle color{green}{4}&={90}^circ -angle color{red}{3}= \ &={90}^circ -{36}^circ ={54}^circ end{align}]

Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.

Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.

Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2color{red}{x}$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $color{red}{x}$. Но тогда

[begin{align}angle CSD&=angle CSA+angle ASN+angle NSD= \ &=2color{red}{x}+angle ASN end{align}]

С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2color{red}{x}$ смежные, поэтому

[2color{red}{x}+angle ASN={180}^circ ]

Итак, угол $angle CSD={180}^circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.

3. Комбинированные задачи

Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.

Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

1. Сумма двух из них равна 110°.
2. Сумма трёх из них равна 308°.

Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $color{red}{x}$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов:

1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.

Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому

[begin{align}color{red}{x}+color{red}{x}&={110}^circ\ 2color{red}{x}&={110}^circ\ color{red}{x}&={55}^circend{align}]

Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.

2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:

Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна

[begin{align}left( {180}^circ -color{red}{x} right)+color{red}{x}+left( {180}^circ -color{red}{x} right)&={308}^circ \ {360}^circ -color{red}{x}&={308}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]

Итак, углы равны 52° и 128°.

Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:

Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $color{red}{x}$. Поэтому

[begin{align}{308}^circ +color{red}{x}&={360}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]

Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».

Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)

Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.

Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $color{blue}{x}$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^circ -color{blue}{x}$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $color{blue}{x}$ градусов:

Но тогда

[angle ACN+angle BCN={180}^circ ne {250}^circ ]

И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.

Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.

В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.

Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.

Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.

Смотрите также:

1. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
2. Что такое смежные углы
3. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
4. Метод координат в пространстве
5. Интегрирование по частям
6. Как формулы приведения работают в задаче B11

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Тогда

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Ответ. .

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

.

Ответ. .

Вертикальные углы

Какие углы вертикальные? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Рассмотрим определение вертикальных углов и их свойство, а также применим свойство вертикальных углов для решения задач.

Определение.

Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов:

∠1 и ∠2 — вертикальные углы

∠3 и ∠4 — вертикальные углы

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

Таким образом, при пересечении двух прямых образуется две пары равных межу собой углов.

1) Сумма вертикальных углов равна 140º. Найти эти углы.

Так как вертикальные углы равны, а в условии сказано, что их сумма равна 140º, то каждый из них равен по 140:2=70º.

2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 100º. Найти эти углы.

При пересечении двух прямых образуются углы двух видов — вертикальные и смежные.

Так как сумма смежных углов равна 180º, а по условию, сумма углов равна 100º, то эти углы — вертикальные.

А так как вертикальные углы равны, то каждый из них равен по 100:2=50º.

Вертикальные углы во многих задачах — важный элемент при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Как найти вертикаль треугольника

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины).
Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

• Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
• Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
• Острый угол — угoл меньше прямого угла.
• Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов:
Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
Минута — часть градуса.
Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Свойства смежных и вертикальных углов

Углы при пересечении двух прямых секущей

Вы смотрели конспект по геометрии «Угол. Смежные и вертикальные углы». Использованы цитаты из учебных пособий:

Цитирование указанных пособий произведено в учебных целях (часть 1 статьи 1274 Гражданского кодекса РФ) с указанием авторства, источника заимствования и ссылки на покупку учебного пособия в крупнейшем книжном Интернет-магазине. Выберите дальнейшие действия:

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

.

Ответ. .

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
• соответственные углы равны;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна 180°.