Как найти вертикальную составляющую силы

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Задача 1.

 Однородный куб весит 100 Н. Какую горизонтальную силу нужно приложить к верхней точке куба, чтобы его опрокинуть?

Куб будет поворачиваться вокруг точки правой нижней точки основания. Мешать опрокидыванию будет сила тяжести. Плечо силы, с которой будем толкать – длина ребра куба. А плечо силы тяжести – половина ребра, так как она приложена в центре куба.

Тогда правило моментов:

Отсюда

Ответ: 50 Н.

Задача 2.

Лестница составляет с землей угол и опирается о вертикальную стену, трение о которую пренебрежимо мало. Найдите силы, действующие на лестницу со стороны земли и стены, если человек массой 70 кг поднялся по лестнице на две трети ее длины.

Сделаем чертеж. Запишем уравнения по осям, а также уравнение моментов относительно точки основания лестницы.

Плечо силы равно , плечо силы — расстояние от основания лестницы до линии действия силы — .

Тогда:

Подставим численные данные:

Ответ: со стороны стены 169 Н, со стороны земли 686 Н.

Задача 3. Рабочий удерживает за один конец доску массой 40 кг так, что доска образует угол с горизонтальным направлением. Какую силу прикладывает рабочий в случае, когда эта сила направлена перпендикулярно доске? Найдите силу реакции опоры по модулю и направлению.

Составим уравнение моментов относительно точки опоры доски:

Откуда находим:

Определим теперь силу трения:

Найдем вертикальную составляющую силы реакции опоры:

Откуда

Тогда сила реакции опоры равна по модулю:

И направлена она под углом к горизонту, а этот угол можно найти как арктангенс отношения вертикальной составляющей силы реакции опоры к силе трения:

Ответ: Н, Н, .

Задача 4.

Однородная балка массой и длиной подвешена за концы на двух пружинах. Обе пружины в ненагруженном состоянии имеют одинаковую длину, но при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в раз больше, чем удлинение левой. На каком расстоянии от левого конца балки надо положить груз массой , чтобы балка приняла горизонтальное положение?

Рассмотрим рисунок и составим систему уравнений: одно относительно точки прикрепления левой пружины, второе – относительно точки прикрепления правой.

Из условия, что «при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в раз больше, чем удлинение левой» заключаем, что . На правой части рисунка видно, что , следовательно, можно записать

Разделим теперь первое уравнение системы на второе:

Разделим теперь еще  на :

Ответ:

Расчет
оснований по несущей способности должен
производиться в случаях, если:

а) на основание
передаются значительные горизонтальные
нагрузки (подпорные стены, фундаменты
распорных конструкций и т. п.), в том
чи­сле сейсмические;

б) сооружение
расположено на откосе или вблизи откоса;

в)
основание сложено водонасыщенными
медленно уплотняющимися грунтами,
указанными в п. 2.267 [8];

г) основание сложено
скальными грунтами.

Расчет
оснований по несу­щей способности в
случаях, перечисленных в подпунктах
«а» и «б», допу­скается не производить,
если конструктивными мероприятиями
обеспече­на невозможность смещения
проектируемого фундамента.

Целью
расчета оснований по несущей способности
являе­тся обеспечение прочности и
устойчивости оснований, а также
недопущение сдвига фундамента по подошве
и его опрокидывания. Принимаемая в
расчете схема разрушения основания
(при достижении им предельного состояния)
должна быть как статически, так и
кинематически возмо­жна для данного
воздействия и конструкции фундамента
или сооружения.

Расчет оснований
по несущей способности производится
исходя из условия

(42)

где
F
— расчетная нагрузка на основание;

—
сила предельного сопротивления основания;

—
коэффициент условий работы, принимаемый:
для песков, кроме пылеватых γ_с=1,0;
для песков пылеватых, а также
пылевато-глинистых грунтов в
стабилизированном состоянии γ_с=0,9;
для пылевато-глинистых грунтов в
нестабилизированном состоянии γ_с=0,85;
для скальных грунтов: невыветрелых и
слабовыветрелых γ_с=1,0;
выветрелых γ_с=0,9;
сильновыветрелых γ_с=0,8;

—
коэффициент надежности по назначению
сооружения, принимаемый равным 1,2; 1,15 и
1,10 соответственно для зданий и сооружений
I, II, III
классов.

Вертикальная
составляющая силы предельного
сопротивления основания, сложенного
скальными грунтами
,
(кН), независимо от глубины заложения
фундаментов вычисляется по формуле

(43)

где

—
расчетное значение предела прочности
на одноосное сжатие ска­льного грунта,
кПа;

и
—
соответственно приведенные ширина и
длина фундамента, м, вычисляемые по
формулам:

(44)

где
и—
соответственно эксцентриситеты
приложения равнодействующей нагрузок
в направлении поперечной и продольной
осей фундамента, м.

Расчет
скальных оснований по несущей способности
по форму­лам (42) и (43) производится из
условия, чтобы среднее давление
р по приведенной
площади подошвы фундамента не превосходило
предела прочности на одноосное сжатие

скального грунта.

Приведенные
размеры подошвы фундамента при
внецентренном нагружении определяются
из условия, что равнодействующая давлений
по подошве приложена в центре тяжести
площади подошвы (рис. 10). Подошва фундамента
сложного очертания должна при этом
приводиться к эквивалентной по площади
подошве прямоугольной формы. Для круглого
фундамента эквивалентной формой будет
квадрат, а приведенной — прямоугольник
(рис. 11) (для случая внецентренного
нагружения).

Сила
предельного сопротивления основания,
сложенного нескальными грунтами в
стабилизированном состоянии, должна
определяться исходя из условия, что
соотношение между нормальными о и
касательными напряжениями т по всем
поверхностям скольжения, соответствующее
предельному состоянию основания,
подчиняется зависимости

(45)

где

и
—
соответственно расчетные значения угла
внутреннего трения и удельного сцепления
грунта.

Рис.
10. Схема для определения приведенных
размеров

подошвы прямоугольного
фундамента

а
— ширина
;
б — длина

Рис.
11. Схема для определения приведенных

размеров
круглого фундамента

Сила
предельного сопротивления основания,
сложенного медленно уплотняющимися
водонасыщеннымн пылевато-глинистыми
и биогенными грунтами (при степени
влажности
и коэффициенте консолидации

см²/год),
должна определяться с учетом возможного)
нестабилизированного состояния грунтов
основания за счет избыточного давления
в поровой воде u.
При этом соотношение между нормальными
σ и касательными напряжениями τ
принимается по зависимости

(46)

где

и
—
соответствуют стабилизированному
состоянию грунтов основания.

При
расчете основания по несущей способности
следует учиты­вать, что возможны
различные схемы потери устойчивости,
например, в виде плоского сдвига по
подошве фундамента (или ниже ее) или по
схеме глубинного сдвига с образованием
поверхностей скольжения, охватываю­щих
фундамент и прилегающий к нему массив
грунта. Направление сдвига может быть
также различно — в сторону горизонта­льной
составляющей равнодействующей всех
сил или в сторону действия момента (в
сторону, противоположную эксцентриситету).

При
выборе схемы потери устойчивости следует
учитывать характер нагрузок и их
равнодействующей (вертикальность,
наклон, эксцент­риситет), форму
фундамента (ленточный, прямоугольный
и пр.), характер подошвы фундамента
(горизонтальность, наклон, наличие зуба
и пр.), наличие связей фундамента с
другими элементами здания или сооружения,
ограничивающих возможность потери
устойчивости, характеристику основания
— вид и свойства грунтов, однородность
геологического строения, наличие и
наклон слоев и слабых прослоек, наличие
откосов грунта вблизи фундамента и пр.

Основания
ленточного фундамента следует проверять
на устойчивость только в направлении
короткой стороны (ширины) фундамента,
а прямоугольного, квадратного и круглого
— в направлении действия момен­та либо
наклона равнодействующей (направления
ее горизонтальной сос­тавляющей).

При
проверке несущей способности основания
фундамента следует учитывать, что потеря
устойчивости может происходить по трем
возможным вариантам (в зависимости от
соотношения вертикальной и горизонтальной
составляющих равнодействующей, а также
величины эксцентриситета):

• плоский сдвиг по
  подошве;

• глубокий
  сдвиг в направлении горизонтальной
  составляющей нагрузки;

• глубокий сдвиг в
  направлении момента.

Проверку
устойчивости основания отдельного
фундамента следует производить с учетом
работы основания всего сооружения в
целом. Нап­ример, основание фундамента
здания, примыкающего к подпорной стенке,
следует рассчитывать по устойчивости
вместе с основанием подпорной стенки.

Вертикальную
составляющую силы предельного
сопроти­вления

основания, сложенного нескальными
грунтами в стабилизированном состоянии,
допускается определять по формуле (47),
если фун­дамент имеет плоскую подошву
и грунты основания ниже подошвы одно­родны
до глубины не менее ее ширины

(47)

где
b’
и l’
— обозначения те же, что в формуле (43),
причем символом b
обозначена сторона фундамента, в
направлении которой предполагается
потеря устойчивости основания;

—
безразмерные коэффициенты несущей
способности, определя­емые по табл.
23 приложения В в зависимости от расчетного
значения угла внутреннего трения грунта

и угла наклона к вертикали
ра­внодействующей внешней нагрузки
на основаниеF
в уровне подошвы фундамента;

и
—
расчетные значения удельного веса
грунтов, кН/м³,
нахо­дящихся в пределах возможной
призмы выпирания соответстве­нно
ниже и выше подошвы фундамента (при
наличии подземных вод определяются с
учетом взвешивающего действия воды);

—
расчетное значение удельного сцепления
грунта, кПа;

d
— глубина заложения фундамента, м;

—
коэффициенты формы фундамента,
определяемые по формулам

(48)

здесь
—
соответственно длина и ширина подошвы
фундамента, принимаемые в случае
внецентренного приложения равнодействующей
нагрузки равными приведенным значениямl’
и
b’,
определяемым по формулам (44).

Если
в формуле (48) следует приниматьη=1.

Угол
наклона к вертикали δ равнодействующей
внешней нагрузки на основание определяется
из условия

(49)

где
F_h
и F_v
— соответственно горизонтальная и
вертикальная составляющие внешней
нагрузки на основание
F
в уровне подошвы фундамента.

Расчет
по формуле (47) допускается выполнять,
если соблюдается условие

(50)

Если
условие (50) не выполняется, следует
производить расчет фундамента на сдвиг
по подошве.

Пример
4.11.
Расчет несущей способности основания
прямоугольного фу­ндамента с
использованием формулы (47). В основании
фундамента залегает суглинок с
коэффициентом пористости e=0,65
и показателем текучести I_L=0,4.

Нормативные
значения прочностных характеристик
определяем по таблицам приложения В
φ_n=22°;
c_n=28
кПа. Удельный вес гру­нта принимаем:
выше подошвы фундамента γ_n=16,1
кН/м³;
ниже подошвы фундамента γ_n’=17,2
кН/м³.
Уровень грунтовых вод расположен ниже
подошвы фундамента на 3,5 м. Равнодействую­щие
всех нагрузок в уровне верха фундамента
для расчетов по первой гру­ппе
предельных состояний: вертикальных
F_vI’=220
кН, горизонта­льных F_hI=80
кН, моментов M_I’=64
кН·м.

Для
расчетов по II группе предельных состояний:
F_vII’=190
кН; F_hII’=70
кН; M_II’=56
кН.

Из
расчета по II группе предельных состояний
с учетом веса фундаме­нта и грунта на
его обрезах, а также возможности повышения
краевого давления на 20 % по сравнению с
расчетным давлением получены размеры
фундамента в плане b=1,8
м; l=0,9
м.

Глубина
заложения фундамента d=l,3
м (рис. 12). Символом b
обоз­начена сторона подошвы фундамента,
направление которой совпадает с
направлением действия горизонтальной
составляющей нагрузки и возмо­жным
направлением потери устойчивости.

Расчетные значения
прочностных характеристик для расчета
по I группе предельных состояний:

;

Значения
коэффициентов надежности по грунту
приняты по указаниям п. 2.72 [8].

Требуется проверить
полученные размеры фундамента расчетом
по несущей способности основания,
считая, что здание относится ко II классу.

Приводим
все нагрузки к подошве фундамента.
Равнодействующая ве­ртикальных
расчетных нагрузок в уровне подошвы
фундамента с учетом веса фундамента и
грунта на его обрезах

Результирующий
момент относительно центра тяжести
подошвы

Определим
вертикальную составляющую силы
предельного сопротивления основания.
Предварительно находим приведе­нные
размеры фундамента b’
и l’,
коэффициенты формы
,
угол наклона равнодействующей к вертикали
,
коэффициенты несущей способности
.

Эксцентриситет
приложения равнодействующей вертикальных
расчетных нагрузок равен:

поэтому
принимаем
:

Проверяем
условие (50): sinφ_I=sin20°=0,34;
0,31<0,34, следовате­льно, формула (47)
может быть использована для расчета
основания по несущей способности. По
табл. 23 приложения В при

и
на­ходим.

Находим
вертикальную составляющую силы
предельного сопротивления основания

=1,5·0,9(0,59·0,75·1,5·17,2
+3,17·2,5·16,1·1,3
+ 5,96·1.3·1,3)=254
кН.

Проверяем
условие (42), принимая γ_с=0,9;
γ_n=1,15:
262>0,9·254/
/1,15=198, т.е. условие (42) не выполняется,
поэтому увеличиваем размеры фундамента,
принимая его размеры в плане b=1,8;
l=1,2
м.

Не
пересчитывая вес фундамента и грунта
на его обрезах, находим вер­тикальную
составляющую силы предельного
сопротивления основания
=1,5·1,2(0,59·0,75·1,5·17,2+3,17·2,5·16,1·1,3
+5,96·1,3·1,3)
= 338 кН.

Проверяем
условие (42): 262 < 0,9·338/1,15=264.
Условие выполняет­ся, поэтому
окончательные размеры подошвы фундамента
принимаются
b=1,8; l=1,2.

В
случае возможного поднятия уровня
грунтовых вод следует проверить принятые
размеры фундамента, исходя из расчета
основания как по деформациям, так и по
несущей способности, учитывая взвешивающее
действие воды при определении удельного
веса грунта.

Рис.
12. Схема к примеру расчета основания по
несущей

способности
с использованием формулы (47):

а
— схема фундамента и нагрузок, заданных
на уровне верха фундамента и приведенных
к подошве; б
— схема к определению приведенных
размеров подошвы фундамента

Расчет фундамента
на сдвиг по подошве производится исходя
из условия

(51)

где

и—
суммы проекций на плоскость скольжения
соответственно сдвигающих и удерживающих
сил, определяемых с учетом активного и
пассивного давлений грунта на боковые
грани фундамента;

и
—
обозначения те же, что в формуле (42).

Расчет
на плоский сдвиг по подошве производится
при наличии горизонтальной составляющей
нагрузки на фундамент в случаях:

• нарушения
  условия (50) применимости формулы (47);

• наличия
  слоя грунта с низкими прочностными
  характеристиками непо­средственно
  под подошвой фундамента;

• в
  случаях, указанных в п. 2.288 [8].

При
расчете на плоский сдвиг по формуле
(51) суммы проекций на плоскость скольжения
расчетных сдвигающих и удерживающих
сил определяются по формулам:

(52)

(53)

где
Q
— составляющая нагрузка на фундамент,
параллельная плоскости сдвига, кН;

и
—
соответственно составляющие
равнодействующих активного и па­ссивного
давления грунта, кН;

N
— сумма расчетных нагрузок, нормальных
плоскости сдвига, кН;

U
— сила гидростатического противодавления
(при уровне грунтовых вод выше подошвы
фундамента), кН;

f
— коэффициент трения;

—
обозначения те же, что в формулах (43) и
(47).

Коэффициент
трения f
в формуле (53) определяется в зависимо­сти
от шероховатости подошвы. Для бетонных
фундаментов с повышенной шероховатостью
подошвы

(54)

Для
гладкой подошвы фундамента коэффициент
трения f
принимается по табл. 24 приложения Б, в
зависимости от вида грунта основания
или подготовки.

Пример
4.12. Расчет
фундамента на плоский сдвиг по подошве
по формуле (51). В основании фундамента
залегает супесь с коэффициентом
пористости е=0,65
и показателем текучести I_L=0,5.
Нормативные значения прочностных
характеристик приняты по таблицам
приложения Б: φ_n=24°;
c_n=6
кПа.

Рис.
13. Расчетная схема к примеру 12

Расчетные
значения: удельного веса грунта γ_I=17
кН/м²;
нагрузок в уровне подошвы фундамента
— вертикальной составляющей F_vI=250
кН, горизонтальной составляющей F_hI=100
кН. Глубина заложения фундамента от
уровня планировки d₁=1
м; от уровня пола d=l,5
м (рис. 13).

Размеры
подошвы фундамента, полученные из
расчета по деформаци­ям b=1,5
м; l=1
м. Подошва фундамента шероховатая.
Грунтовые воды от­сутствуют.

Требуется
проверить полученные размеры фундамента
расчетом основания по несущей способности,
считая, что здание относится к III классу.

Расчетные
значения прочностных характеристик
для расчета по I группе предельных
состояний
;

Определяем тангенс
угла наклона равнодействующей к вертикали

Проверяем
условие (50) применимости формулы (47)
,
,
т.е. формула (47) не может быть использована,
и следует производить расчет на плоский
сдвиг по подошве по формуле (51).

Определяем
величины равнодействующих активного
и пассивногодавлении, пользуясь нормативными
указаниями по проектированию подпорных
стен.

Для грунтов обратной
засыпки принимаем

γ_I’=0,95;
γ_I
=0.95·17=16,1
кН/м³;

с_I’=0,5с_I=0,5·4=2
кПа;

φ_I’=0,9φ_I=0,9·22=20°.

;

,

;

;

.

=tg²(45°
+ 20°/2)=0,49;

=tg²(45°
+ 20°/2)=2,04;

=0,5(16,1·1,5·0,49-2·2·0,49)(1,5-0,35)
=3,8 кН;

=0,5·16,l·l·2,04+2(2,04-l)tg
20°=22 кН.

Вычисляем суммы
проекций на плоскость скольжения
сдвигающих и удерживающих сил:

=100
+3,8=103,8 кН;

=(250-0)tg
22° +1,5·1.4
+22=129 кН.

Проверяем
условие (51): 103,80,9·129/1,1=106,
т.е. условие выполняется, и размеры
фундамента могут быть приняты b=1,5
м, l=1
м.

В
некоторых случаях расчет оснований по
несущей способности допускается
выполнять графоаналитическими методами
(кругло-цилиндрических или ломаных
поверхностей скольжения).

Расчет
оснований сооружений по несущей
способности на сдвиг по выбранным
поверхностям в грунтовом массиве следует
производить в случаях, указанных в п.
2.278 [8], когда необходимость проверки и
обеспечения устойчивости грунтового
массива вместе с фундаментом вытекает
из самого назначения сооружения
(подпорные стены, стены под­валов и
т. п.) или из условий его строительства
и эксплуатации. Выбор возможных
поверхностей сдвига следует производить
исходя из геологического строения толщи
грунтов в основании фундамента и с
учетом усилий, действующих на основание
сооружения. Выбранные поверхности могут
полностью или частично совпадать с
выраженными ослабленными поверхностями
в грунтовом массиве (например, контакты
слоев, грунтов, зоны трещиноватости,
тектонических нарушений и т.п.) или
пересекать слои слабых грунтов. Необходимо
также учитывать конструктивные
особенности подземного сооружения.
Например, опирание стены подвала на
перекрытие фиксирует центр поверхности
вращения, по которой при соответствующих
расчетных усилиях и характеристиках
грунтов возможен их сдвиг.

При
выборе поверхностей, возможность сдвига
по которым следует рассмотреть, необходимо
принимать во внимание наклон и расположение
равнодействующей F нагрузки от сооружения.
Следует учитывать, что сила F, пересекающая
поверхность сдвига под углом к ее нормали


(—
расчетное значение угла внутреннего
трения на участке поверхности сдвига,
где ее пересекает сила F)
способствует сдвигу, при
—
препятствует сдвигу, при
—
не оказывает влияния на ус­тойчивость
отсека грунтового массива, ограниченного
этой поверхнос­тью.

При
расчете по указанным поверхностям
рассматривается усто­йчивость отсека
грунтового массива против его сдвига
вместе с сооружением. Рассматриваемый
отсек грунтового массива разбивается
на п элементов
с вертикальными границами между ними
так, чтобы в основании каждого из
элементов (на рассматриваемой поверхности)
расчетные значения прочностных
характеристик грунта (
и
)
были постоянными. Условие устойчивости
определяется при рассмотрении предельного
равновесия каждого элемента и всего
отсека в целом. При расчете должны
учитываться различные возможные
сочетания нагрузок, отвечающие как
периоду строительства, так и периоду
эксплуатации сооружения.

Если
условие устойчивости соблюдается и при
этом
,
то следует
также определить предельную силу
сопротивления основания
.
Соотношение между равнодействующей
внешних усилий от сооружения и силой
предельного сопротивления основания
должно удовлетворять условию (40). Если
это условие не удовлетворяется или не
удовлетворяется условие устойчивости,
то необходимо внести изменения в
проектное решение: в некоторых случаях
может оказаться достаточным уширение
фундамента или увеличение его глубины
заложения, в других случаях необходимо
применять свайные фундаменты,
дополнительные удержива­ющие
конструкции для повышения устойчивости
грунтового массива, дренаж и т. п.

В
графоаналитических методах расчета
вес грунта в объеме сдвигаемого массива
рассматривается как нагрузка. В связи
с этим в целях обеспечения большей
надежности расчетное значение удельного
веса грунта принимается большим
нормативного (при доверительной
вероятности, соответствующей расчету
по первой группе предельных состояний),
а значение коэффициента надежности по
нагрузке для грунта
.

При
рассмотрении возможности сдвига по
плоской поверхности условие устойчивости
имеет вид

(55)

где

—
вес грунта в i-ом
элементе с учетом взвешивающего действия
воды, кН;

—
соответственно значения угла внутреннего
трения и удельного сцепления с учетом
коэффициента устойчивости
;

—
длина основания i-го
элемента;

—
угол наклона поверхности сдвига к
горизонту, град;

—
горизонтальная составляющая фильтрационного
давления воды в i-ом
элементе, кН.

Значения
определяются по формулам:

(56)

(57)

где

—
расчетные значения соответственно угла
внутреннего трения и удельного сцепления
в основании i-го
элемента.

Значения
коэффициента устойчивости рекомендуется
принимать для сооружений I класса
,
для остальных сооружений
.

Значение
определяется по формуле

(58)

где
—
удельный вес воды, кН/м³;

—
разность отметок депрессионной
поверхности на вертикальных границах
i-ro
элемента, м;

—
средняя высота обводненной части i-го
элемента, м.

При
подстановке в формулу (55) вместо
,
соответственнознак равенства будет отвечать предельному
равновесию, при котором (при
)

,
т.е. силе предельного сопротивления
основания, откуда

(59)

Пример
4.13. Расчет
при возможном сдвиге по плоской
поверхности. Прои­звести расчет по
несущей способности основания плитного
фундамента многоэтажного каркасного
здания с наружными кирпичными стенами
и подвалом. Здание расположено вблизи
склона при наклонном падении слоев
грунта в сторону склона.

Схема
фундамента, геологический разрез и
положение поверхности фильтрационного
потока представлены на рис. 14.

Рис.
14. Схема к примеру 13

Грунт
основания: верхний слой — суглинок,
подстилающий слой — арги­ллиты с углом
падения =15,5°.
Расчетные характеристики контактной
зоны (на предполагаемой поверхности
сдвига), определенные на основании
испытания методом «плашек» (ГОСТ
23741—79)

и

кПа; удельный вес суглинков
=19,6
кН/м³;
удельный вес взвешенного грунта
=10
кН/м³.

Ширина
подошвы фундамента b=14
м, заглубление фундамента от уровня
планировки d=3
м. Давление на основание в уровне подошвы
фун­дамента 200 кПа.

Коэффициенты
условий работы и надежности по назначению
приняты:
.

Опасной
поверхностью в грунтовом массиве,
возможность сдвига по которой нужно
проверить, является контакт суглинков
с аргиллитами.

Разбиваем
отсек грунтового массива, устойчивость
которого рассматривается, на 6 элементов
(см. рис. 14). Определяем вес элементов:

=1,7·12·19,6400
кН;

=3,5·3·19,6
+0,3·3·10215
кН;

=2.1·14·19,6
+1,2·14·10744
кН;

=7,3·7·19,6
+1,8·7·101128
кН;

=7·10·19,6
+1,6·10·101532
кН;

=2,4·14·19,6
+0,65·14·10750
кН.

Суммарная
нагрузка на основание (на 1 м плиты)

F=200·14·1=2800
кН/м.

Определяем
значения

и
по формулам (56), (57)

Проверяем
условие устойчивости по формуле (55).
Вычисления сведены в табл. 4.

Таблица
4

Результаты
расчета к примеру 13

№ эле­мента	gi, кН	i, град	tgi	, град	cos	sin	gitgi cos	gi sin	ci, кПа	li, м	ci li	hi, м	hi, м	pi= hi h	cos
1	400	10	0,176	15,5	0,964	0,267	67,87	106,8	15,6	12,5	195	—	—	—	—
2	215	10	0,176	15,5	0,964	0,267	36,48	57,4	15,6	3	46,8	0,2	0,3	0,6	0,6
3	744	10	0,176	15,5	0,964	0,267	126,23	198,7	15,6	14,5	226,2	2,8	1,2	33,6	32,4
4	1128	10	0,176	15,5	0,964	0,267	191,38	301,2	15,6	7	109,6	2	1,8	36	34,7
5	1532	10	0,176	15,5	0,964	0,267	260,26	409,6	15,6	10,2	159,1	3,2	1,6	51,2	49,4
6	750	10	0,176	15,5	0,964	0,267	127,25	200,3	15,6	15,8	246,4	5,4	1	54	52
	—	—	—	—	—	—	809,5	1274,0	—	—	982,8	—	—	—	169,1
	F	I	tgIF	F	cosF	sinF	809,5ks	—	—	—	982,8 ks	—	—	—	—
3	2800	11	0,194	15,5	0,964	0,267	890,4	—	—	—	1081,1	—	—	—	—

В результате
вычислений получено

809,5
+982,8-1274,0-169,1-2800(0,267-0.964·0,176)=76,66>0.

Условие
устойчивости соблюдается. Поскольку
=15,5°>=11⁰,
определяем силу предельного сопротивления
основания по формуле (59) (см. последнюю
строку табл. 4)

=(890,4
+1081,1-1274,0-169,1)/(0,267-0,964·0,194)=528,4/0,08=6605
кН/м.

Проверяем
условие (42) F=2800<6605·0,9/1,15=5169,1.

Устойчивость
обеспечена.

Содержание:

1. Момент силы
2. Момент силы относительно точки (центра)
3. Момент силы относительно оси
4. Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
5. Моменты силы относительно координатных осей
6. Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Момент силы

Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.

Понятие о моменте силы — одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).

Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила , вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести В обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.

      

Момент силы относительно точки (центра)

Заданная сила , изображена вектором , приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:

где — радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

Определим величину (модуль) и направление вектора . Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы   относительно точки О равна:

Обозначим . Поскольку Тогда:

где (рис. 3.3) — высота  опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.

Вектор направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что . Поэтому:

Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора

Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).

Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.

В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)

Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным — если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы:

Момент силы относительно оси

Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется величина, равная  алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила (Рис. 3.6). определим момент силы  относительно произвольной оси . Проведем плоскость П, перпендикулярную оси .
Точку пересечения плоскости П с осью обозначим А. Спроектируем силу на плоскость П и получим силу 

Согласно определению 

Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
— спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
— найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
— определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда
2) линия действия силы пересекает ось, тогда

Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси , то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку

Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.

Доказательство. Сила приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси (рис. 3.8). Определим момент силы относительно оси и относительно точки О на ней.
Известно, что  

где 

Из курса элементарной геометрии известно, что 

где — угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.

Поскольку вектор перпендикулярный плоскости, а ось перпендикулярна  к 

Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим 

Знак полностью определяется знаком .

Поскольку

что и требовалось доказать.

Моменты силы относительно координатных осей

Пусть на тело действует сила  приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы относительно точки О.

Согласно (3.1),где — радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы и радиусвектор через проекции на оси координат выражаются:

где  — координаты точки А; — орты выбранной системы координат.

Тогда векторное произведение можно записать в виде определителя:

Раскрывая этот определитель, получим 

Представим векторный момент через его проекции на оси координат:

Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:

Поскольку точка О принадлежит осями , то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:

Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).

Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим . Найдем момент равнодействующей  относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), где — радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.

Известно, что . Тогда 

Итак, получили равенство 

Теорема доказана.

Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:

Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).

Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.

Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы  и  как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если

Решение.

Для определения момента силы относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу  на две составляющие: горизонтальную  и вертикальную .  Величины этих составляющих   Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Пара сил
4. Произвольная система сил
5. Плоская произвольная система сил
6. Трение
7. Расчет ферм
8. Расчет усилий в стержнях фермы
9. Пространственная система сил
10. Произвольная пространственная система сил
11. Плоская система сходящихся сил
12. Пространственная система сходящихся сил
13. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
14. Естественный способ задания движения точки
15. Центр параллельных сил
16. Параллельные силы
17. Система произвольно расположенных сил
18. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
19. Кинематика
20. Кинематика твердого тела
21. Движения твердого тела
22. Динамика материальной точки
23. Динамика механической системы
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Вертикальная составляющая — сила

Cтраница 1

Вертикальная составляющая силы изменяется по закону F /, Fn sin o t sin ip, а горизонтальная составляющая — по закону Fv FB sin ш t cos t, где FB — сила инерции, развиваемая дебалансом 2; ш — угловая скорость звена 13; t — время; ty — угол отклонения маятника от вертикальной линии.
 [1]

Вертикальная составляющая силы изменяется по закону Fy Fa sin cot sin v /, а горизонтальная составляющая — по закону Fx Fa sin tot x x cos v /, где Fa — сила инерции, развиваемая дебалаисом 2; со — угловая скорость звена 13; t — время; v ( / — угол отклонения маятника от вертикальной линии.
 [2]

Вертикальная составляющая силы F, действующей на мотоциклиста со стороны стены ( рис. 68), уравновешивает силу тяжести Р; горизонтальная составляющая R силы F сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Это означает, что горизонтальная составляющая N силы ( — F), действующей со стороны мотоциклиста на стену ( сила нормального давления), равна по абсолютной величине Nmv2Jr, где v — скорость мотоциклиста, m — масса мотоцикла с мотоциклистом.
 [3]

Вертикальная составляющая сил пара изменяется в зависимости от положения пальца кривошипа за один оборот колеса.
 [4]

Вертикальная составляющая силы F, действующей на мотоциклиста со стороны стены ( рис. 68), уравновешивает силу тяжести Р; горизонтальная составляющая К силы F сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Это означает, что горизонтальная составляющая N силы ( — F), действующей со стороны мотоциклиста на стену ( сила нормального давления), равна по абсолютной величине Nmv / r, где v — скорость мотоциклиста, m — масса мотоцикла с мотоциклистом.
 [5]

Вертикальная составляющая силы F, действующей на мотоциклиста со стороны стены ( рис. 67), уравновешивает силу тяжести mg; горизонтальная составляющая R силы F сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Это означает, что горизонтальная составляющая N силы — F, действующей со стороны мотоциклиста на стену ( сила нормального давления), равна модулю N mvzjr, где о-скорость мотоциклиста, т-масса мотоцикла с мотоциклистом.
 [6]

Вертикальная составляющая силы реакции верт0, так как скорость в сечении 1 — 1 ai0 и истечение жидкости происходит в горизонтальном направлении.
 [7]

Вертикальная составляющая силы избыточного давления рг равна весу жидкости в объеме тела давления.
 [9]

Тогда вертикальная составляющая силы действия стержня на левый конец струны равна нулю.
 [10]

Если вертикальная составляющая силы давления грунта на горизонтальную плоскость сечения на любой глубине z от его внешней поверхности равна Q-v, то нормальная составляющая сяшы давления на вертикальную плоскость скольжения упругого эл.
 [11]

Чем больше вертикальная составляющая силы тяги Ру, тем меньшая подъемная сила нужна для отрыва.
 [12]

Так, вертикальная составляющая силы давления на часть цилиндрической поверхности АВ направлена вниз, а на часть ВС — вверх.
 [13]

Следовательно, вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления равна сумме двух сил: силы внешнего давления на горизонтальную проекцию цилиндрической поверхности АВ, передающегося от воздействия внешней силы на поверхность жидкости, и веса жидкости в объеме ABCD, ограниченного цилиндрической поверхностью АВ, вертикальными плоскостями AD и ВС и свободной поверхностью жидкости.
 [14]

Следовательно, вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления равна сумме силы внешнего давления на горизонтальную проекцию цилиндрической поверхности АВ, передающегося от воздействия внешней силы на поверхность жидкости, и веса жидкости в объеме ABCD, ограниченного цилиндрической поверхностью АВ, вертикальными плоскостями AD и ВС и свободной поверхностью жидкости.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4