Как найти вертикальные углы в параллельных прямых - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Ответ. .

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

внутренние накрест лежащие углы равны;
сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
соответственные углы равны;
внешние накрест лежащие углы равны;
сумма внешних односторонних углов равна 180°.

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/

http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/ugly_dvuh_pryam.html

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{circ}$ .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{circ}$ , то есть

$angle 1+angle 6=180^{circ}$ ,

$angle 4+angle 7=180^{circ}$ .

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют $180{}^circ ,$ если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна $180{}^circ .$

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

$angle MNF+angle FNK=180{}^circ$ как смежные. Значит, $angle MNF+angle ACB=180{}^circ.$

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок ${BH}_1$ равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна $180{}^circ ,$ например $angle 1+angle 4=180{}^circ.$

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

$P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;$

$P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.$

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180{}^circ .$

Мы получили, что

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

$angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

Из треугольника AFB получим, что $AFB=90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, ${AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.$

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда $displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC}$ ;

$BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.$

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 ${}^circ.$ Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда $angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.$

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна $180{}^circ .$

Это значит, что $angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.$

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

$angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

$angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .$

Из треугольника AKB получим, что $angle ABK= 90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е. KH=4.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда $S_{ABCD}=ADcdot MN$ ; $S_{ABCD}=8cdot 7=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $angle 1=120{}^circ ,$ $angle 2=60{}^circ ,$ $angle 3=55{}^circ .$ Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

$angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.$

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: $angle 3=angle 4=55{}^circ.$

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если $angle 1=22{}^circ ,$ $angle 2=72{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ$ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна $180{}^circ .$

Для треугольника на рисунке:

$angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .$

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 ${}^circ$ и 45 ${}^circ.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
$angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,$

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .$

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 ${}^circ.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, $angle A=30{}^circ.$

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна $180{}^circ ,$ значит, $angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.$

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=169{}^circ .$ Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, $angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .$

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, $alpha -beta =50{}^circ ,$ то есть $alpha =beta +50{}^circ .$

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$alpha +beta =180{}^circ ,$ по свойству односторонних углов.

Итак, $2beta +50{}^circ =180{}^circ.$

$beta =65{}^circ ,$ тогда $alpha =115{}^circ .$

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна $180{}^circ .$

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 ${}^circ.$ Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна $180{}^circ .$

Значит, $angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .$

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда $angle ACD=58div 2=29{}^circ .$

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54{}^circ .$ Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен $180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .$

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 ${}^circ.$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть $angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.$

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle A=30{}^circ .$ Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30 ${}^circ .$

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в $30{}^circ$ и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда $S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h;$ $S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.$

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию, $angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;$

angle C и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

$angle C+angle B=180{}^circ.$

Получили:

$left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .$

Сложив два уравнения, получим: $2angle C=230{}^circ ,$ тогда $angle C=115{}^circ.$

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150{}^circ .$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол трапеции равен 30 ${}^circ .$ Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135{}^circ .$ Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $45{}^circ .$

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, $angle BDA=40{}^circ$ и $angle BDC=30{}^circ .$ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ .$ Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $110{}^circ .$

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда $angle ADB=angle DBC=40{}^circ .$

$angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.$

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

$P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20,$ значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если $angle 1=117{}^circ ,$ $angle 2=24{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle 2=angle 4=24{}^circ$ (как накрест лежащие углы).

$angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ$ (развернутый угол).

Тогда $angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .$

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=104{}^circ .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

$AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.$

и параллельны, АС – секущая, $Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .$

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

$angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .$

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Тогда

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Ответ. .

Источник

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами LK и LM(стороны угла), исходящими из одной точки L (вершина угла).

Градусная мера измерения углов

Единицей измерения углов является градус. Его обозначение °.

Угол в 90 называется прямым (AOB); угол, меньший, чем 90°, называется острым (KLM); угол, больший, чем 90°, называется тупым (TNF).

Развернутый угол равен 180°.

Радианная мера измерения углов

Радианная мера угла — это величина угла, выраженная в радианах.

Радианная мера угла в 1° равна π:180°.

Для перевода градусов в радианы, следует число градусов умножить на пи и разделить на 180°.

Пример: 45°= 45°* π:180°= π/4 рад.

Градусная мера угла в 1 радиан равна 180°: π.

Для перевода радиан в градусы, следует число радиан умножить на 180° и разделить на пи.

Пример: π/3 рад = π/3 *180 : π = 60°.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Биссектрисы вертикальных углов являются продолжениями одна другой.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Углы при параллельных прямых

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Углы, лежащие между прямыми и по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними углами.

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°: 1+3=180°, 2+4=180°.

Углы, лежащие между прямыми и по разные стороны от секущей, называются внутренними накрест лежащими углами.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: 1=2 и 3=4.

Углы, лежащие по одну сторону секущей, но один из них лежит между заданными прямыми, а другой не лежит между ними, называются соответствующими.

Соответствующие углы при параллельных прямых равны: 1=5, 4=6, 7=3, 8=2.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. BCD — внешний угол треугольника ABC.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

BCD=ABC+BAC.

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. BOA = дуге ВА.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. ВСА = 0,5 ВОА.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Дан острый угол. Каким углом будет смежный с ним угол?
б) Дан тупой угол. Каким будет смежный с ним угол?

Решение:
а) угол будет тупым, т.к. острый угол меньше 90°, следовательно если из 180° вычесть угол меньший 90, получим угол, градусная мера которого больше 90°.
Ответ: тупой

2. Запишите:
а) внутренние односторонние углы;
б) внутренние накрест лежащие углы.

Решение:

а) Внутренними односторонними углами при двух прямых и секущей являются 2 и 3, 6 и 7.

Ответ: 2 и 3, 6 и 7.

3. а) На какой угол повернется минутная стрелка в течении 20 минут?
б) На какой угол повернется часовая стрелка в течении 40 минут?
Решение:
а) при повороте минутной стрелки на 20 минут она повернется на угол 360:60*20=120°, а это тупой угол.
Ответ: 120°, на тупой гол.

4. а) Найдите величины смежных углов, если один из них на 30° больше другого.
б) Найдите величины смежных углов, если их разность 10°.
Решение:
а) Сумма смежных углов 180°.
1) 180-30=150° — если углы равны
2) 150:2=75° — меньший угол
3) 75+30=105° — больший угол
Ответ: 75°, 105°.

5. а) Из точки, расположенной внутри угла, равного 36°, проведены перпендикуляры к сторонам угла. Найдите угол между перпендикулярами.
б) Из точки, расположенной вне угла, равного 48°, проведены перпендикуляры к сторонам угла. Найдите угол между перпендикулярами.
а)

Дано: ВАС=36°
ОВ ┴АВ, ОС ┴АС
Найти: ВОС

Решение:
1) ABOC — четырехугольник. Сумма углов четырехугольника 360°.
2) АВО =90°, т.к. ОВ перпендикулярен АВ; АСО =90°, т.к. ОС перпендикулярен АВ.
3) ВОС=360°-90°-90°-36°=144°
Ответ: 144°

6. Найдите х:

а) 60°= х рад; 80°= х рад; х°=2π рад; х°=π:4 рад.

б) 30°= х рад; 110°= х рад; х°=4π рад;    х°=π:3 рад.
Решение:
а) 60°= *60°:180°= /3 радиан
80°= *80°:180°= 4 /9 радиан
2  радиан = 2 *180°:  = 360°
  /4 радиан =  /4*180°:  = 45°

7. а) При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна 80. Найдите величину каждого угла.
б) При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Разность двух из них равна 80. Найдите величину каждого угла.
а)

Дано:
a, b — пересекающиеся прямые
1+2=80°Найти:
1, 2, 3, 4

Решение:
Так как сумма двух углов равна 80°, то эти углы не могут быть смежными, а следовательно они вертикальные.
Вертикальные углы равны, значит 1=2=80°:2=40°.
1 и 3 — смежные, сумма смежных углов 180° и 3=180°-40°=140°.
2 и 4 — смежные, сумма смежных углов 180° и 4=180°-40°=140°.
Ответ: 40°, 40°, 140°, 140°.

8. а) А и С — точки касания. CDA=40°. Найдите угол АВС.
б) К и М — точки касания. KLM=50°. Найдите угол KNM.

а)

Дано:

w(О,ОС)

ВС, АС — касательные

CDA=40°

Найти: АВС
Решение:

1) ОС ┴ВС и ОА┴ВА (радиусы, проведенные в точку касания). Следовательно, ВАО=90° и ВСО=90°.

2) Вписанный угол CDA и центральный угол СОА опираются на одну дугу АС, следовательно СОА=2CDA=2*40°=80°.

3) Сумма углов четырехугольника АВСО равна 360°. АВС=360°-90°-90°-80°=100°.

Ответ: 100°.

9. а) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке О. Найдите угол АОВ, если угол СОD равен 95°.
б) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке О. Найдите угол ВОС, если угол АОD равен 108°.

а)

Решение:

1) Сумма углов четырехугольника АВСD равна 360°. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, следовательно, OA, OB, OC, OD — биссектрисы и 1+2+3+4=360°:2=180°.

2) Сумма углов треугольника АВО=180°=1+2+АОВ. Сумма углов треугольника DOC=180°=4+3+95°.

Сумма углов двух треугольников АВО и DOC равна 360° и равна 1+2+АОВ+3+4+95°.

360°=(1+2+3+4)+АОВ+95°.

АОВ=360°-180°-95°=85°.

Ответ: 85°.

10. а) В треугольнике АВС угол В равен х. Найдите угол АОС, если биссектрисы АF и СD пересекаются в точке О
б) Найдите угол В треугольника АВС, если угол АОС равен х, и биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О.
а)

Решение:

1) Сумма углов треугольника 180°. А+С+В=180. Следовательно, А+С=180°-х.

2) AF и CD — биссектрисы углов А и С, следовательно, BAF=FAC и BCD=DCA.

Имеем: FAC=A:2 и DCA=С:2. FAC+DCA=(A+C):2=(180°-x):2=90°-x/2.

3) AOC=180°-(FAC+DCA)=180°-90°+x/2=90°+x/2.

Ответ: 90°+х/2.

11. а) Сумма углов выпуклого n-угольника в х раз больше суммы углов выпуклого (n-3)- угольника. Найдите целое число х.
б) Сумма углов выпуклого 2n-угольника в х раз больше суммы углов выпуклого (n-1) — угольника. Найдите число х.
Решение:
а) 1) Сумма углов n-угольника: 180(n-2).
2) Сумма углов (n-1)-угольника: 180(n-3-2)=180(n-5).
3) Известно, что сумма углов n-угольника в х раз больше суммы углов (n-1)-угольника:
180(n-2)=180(n-5)*х,
n-2=(n-5)*x,
x=(n-2):(n-5),
x=((n-5)+3):(n-5)=1+3:(n-5).
3:(n-5) — целое число, это возможно, если знаменатель будет равен 1:
n-5=1,
n=6.
4) Найдем х:
х=(6-2):(6-5)=4.
Ответ: 4.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Запишите все пары смежных углов, изображенных на рисунке.

2. Сумме каких углов треугольника равен угол АВК?

3. Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите эти углы.

4. Даны две параллельные прямые и секущая. Найдите:

а) величину угла 2, если угол 6 равен 110°;

б) найдите величину угла 8, если угол 5 равен 70°.

5. Сумма углов АОС и BOD равна 242°. ОС — биссектриса угла BOD. Найдите угол ВОС.

6. Найдите х:

а) 10°= х рад; 25°= х рад; х°=0,5π рад; х°=2,4π рад.

7. Найдите угол АВС, если О — центр вписанной в треугольник АВС окружности и угол АОС равен 108°.

8. В выпуклом четырехугольнике АВСD BCA=BDA=40°, DAB=85°. Найдите АСD.

9. Какое наибольшее число внутренних острых углов может иметь выпуклый многоугольник.

10. В окружности, центром которой является точка О, дуга PN равна 68°, дуга LP равна 52°. КМ — касательная к окружности. Найдите угол LKM.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Параллельные прямые
Признаки параллельности двух прямых

Рассмотрим две прямые и , которые пересекает в двух точках третья прямая (Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .

При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на Рис.2.

Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Признаки параллельности двух прямых

1. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 90⁰, т.е. эти углы прямые, получим АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).

2 случай

Предположим, что 1 и 2 — не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н₁ (Рис. 5).

Получим ОНА = ОН₁В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН₁, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к. О — середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 =6, значит, 6 — прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).

Получаем, НН₁ и НН₁, значит (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

2. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — соответственные, 1 = 2 (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:

По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

3. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — односторонние, 1 + 2 = 180⁰ (Рис.7).

Доказать: .

Доказательство:

Углы 3 и 2 — смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 180⁰, откуда 3 = 180⁰ — 2, при этом 1 + 2 = 180⁰, откуда 1 = 180⁰ — 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 188,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 192,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 214,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 3,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 585,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 589,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 858,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 900,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1281,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник