Вертикальные углы в геометрии
19 июня 2022
В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.
Содержание
- Определение и примеры
- Основная теорема
- Комбинированные задачи
1. Определение и примеры
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.
На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:
В результате образуются две пары вертикальных углов: $angle ASM$ и $angle BSN$, а также $angle ASN$ $angle BSM$.
Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:
Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:
Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.
2. Основная теорема
Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.
Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:
Но сумма смежных углов равна 180°, и если $angle BSN=color{red}{x}$, то
[begin{align}angle ASN&={180}^circ -color{red}{x} \ angle BSM&={180}^circ -color{red}{x} end{align}]
Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.
Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.
Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $angle 1={134}^circ $.
Решение.
Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle 3=angle 1={134}^circ $.
Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:
[begin{align}angle 1+angle 2&={180}^circ \ angle 2&={180}^circ -angle 2= \ &={180}^circ -{134}^circ ={46}^circ end{align}]
Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $angle 4=angle 2={46}^circ $.
Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.
Если предположить, что острый угол равен $color{red}{x}$ градусов, то тупой равен $180-color{red}{x}$ градусов.
Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.
Решение. Пусть острые углы содержат $color{red}{x}$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов.
По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:
[begin{align}{180}^circ -color{red}{x} -color{red}{x} &={68}^circ\ 2color{red}{x}&={112}^circ\ color{red}{x}&={56}^circend{align}]
Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.
Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.
Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $angle color{red}{1}={36}^circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.
Решение.
Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle color{red}{3}=angle color{red}{1}={36}^circ $.
Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:
[begin{align}angle color{red}{1}+angle color{blue}{2}&={180}^circ \ angle color{blue}{2}&={180}^circ -angle color{red}{1}= \ &={180}^circ -{36}^circ ={144}^circ end{align}]
Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:
[begin{align}angle color{red}{3}+angle color{green}{4}&={90}^circ \ angle color{green}{4}&={90}^circ -angle color{red}{3}= \ &={90}^circ -{36}^circ ={54}^circ end{align}]
Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.
Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.
Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2color{red}{x}$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $color{red}{x}$. Но тогда
[begin{align}angle CSD&=angle CSA+angle ASN+angle NSD= \ &=2color{red}{x}+angle ASN end{align}]
С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2color{red}{x}$ смежные, поэтому
[2color{red}{x}+angle ASN={180}^circ ]
Итак, угол $angle CSD={180}^circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.
3. Комбинированные задачи
Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.
Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:
- Сумма двух из них равна 110°.
- Сумма трёх из них равна 308°.
Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $color{red}{x}$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^circ -color{red}{x}$ градусов:
1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.
Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому
[begin{align}color{red}{x}+color{red}{x}&={110}^circ\ 2color{red}{x}&={110}^circ\ color{red}{x}&={55}^circend{align}]
Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.
2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:
Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна
[begin{align}left( {180}^circ -color{red}{x} right)+color{red}{x}+left( {180}^circ -color{red}{x} right)&={308}^circ \ {360}^circ -color{red}{x}&={308}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]
Итак, углы равны 52° и 128°.
Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:
Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $color{red}{x}$. Поэтому
[begin{align}{308}^circ +color{red}{x}&={360}^circ\ color{red}{x}&={52}^circend{align}]
Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».
Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)
Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.
Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $color{blue}{x}$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^circ -color{blue}{x}$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $color{blue}{x}$ градусов:
Но тогда
[angle ACN+angle BCN={180}^circ ne {250}^circ ]
И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.
Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.
В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.
Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.
Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.
Смотрите также:
- Перпендикулярные прямые — определение и свойства
- Что такое смежные углы
- Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
- Метод координат в пространстве
- Интегрирование по частям
- Как формулы приведения работают в задаче B11
Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов
Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.
Свойства вертикальных углов
1. Вертикальные углы равны.
2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.
Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем
Тогда
Следовательно . Аналогично доказывается, что .
Задачи и решения
Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).
Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда
Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда
Ответ. .
Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.
Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:
Ответ. .
Все категории
- Фотография и видеосъемка
- Знания
- Другое
- Гороскопы, магия, гадания
- Общество и политика
- Образование
- Путешествия и туризм
- Искусство и культура
- Города и страны
- Строительство и ремонт
- Работа и карьера
- Спорт
- Стиль и красота
- Юридическая консультация
- Компьютеры и интернет
- Товары и услуги
- Темы для взрослых
- Семья и дом
- Животные и растения
- Еда и кулинария
- Здоровье и медицина
- Авто и мото
- Бизнес и финансы
- Философия, непознанное
- Досуг и развлечения
- Знакомства, любовь, отношения
- Наука и техника
5
Как найти другой вертикальный угол если один из них известен
1 ответ:
0
0
.Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Вертикальные углы всегда равны.
Читайте также
Да, треугольники подобны по трём сторонам:
если 10 = 80
то 20 (10×2) = 160 (80×2)
и 15 (10×1.5) = 120 (80×1.5)
Г) 12,5
Если за (Х) взять боковую сторону, то (Х+3,5) основание. Получается уравнение:
Х+Х+Х+3,5=41
Х+Х+Х=41-3,5
3Х=37,5
Х=37,5 : 3
Х=12,5
Ответ: 12,5 см
Пусть стороны треугольника NMK равны a, тогда
P=3a=48
a=16
Т.к. FL средняя линия то стороны треугольника FLK по 16:2=8 см
P1=8+8+8=24
Что именно ? Картинок ничего нет ???
<em>Ответ: во вложении Объяснение:</em>
<em />
Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов
Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.
Свойства вертикальных углов
1. Вертикальные углы равны.
2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.
Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем
Следовательно . Аналогично доказывается, что .
Задачи и решения
Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).
Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда
Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда
Ответ. .
Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.
Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:
.
Ответ. .
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/
http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/ugly_dvuh_pryam.html
Главная
Как найти другой вертикальный угол если один из них известен
-
- 0
-
?
Алексей Креленев
Вопрос задан 27 сентября 2019 в
5 — 9 классы,
Геометрия.
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
1 Ответ (-а, -ов)
- По голосам
- По дате
-
- 0
-
.Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Вертикальные углы всегда равны.
Отмена
Глеб Блюскин
Отвечено 27 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена