Как найти вес призмы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: $V~=~pi~*~{D^2/4}~*~H$ , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/4000}~*~rho$

3. Масса шара

шар Объем шара: $V~=~pi~*~{D^3/6}$ , где — диаметр шара.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^3}/6000}~*~rho$

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: $V~=~{1/6}pi*H*(H^2+~{3/4}D^2)$ , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(4H^2+~3D^2)}/24000}~*~rho$

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: $V~=~{1/12}pi*D^2*H$ , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/12000}~*~rho$

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : $V~=~{1/12}pi*(D1^2*H1~-~D2^2*H2)$ , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
$V~=~{1/12}pi*H*(D1^2+D1*D2+D2^2)$ , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(D1^2~+~D1*D2~+~D2^2)}/12000}~*~rho$

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями W1*L1 и W2*L2 : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: $V~=~{1/3}H*~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}$ , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: $V~=~{1/3}H*~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}$ .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

$m~=~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}~*~{H~*~rho}/3000$

или

$m~=~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}~*~{H~*~rho}/3000$

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

$m~=~(A1^2~+~A1A2~+~A2^2)~*~{H~*~rho}/3000$

Источник

Прочность на сдвиг с учетом массы в подводном положении

Идти

Прочность на сдвиг = (Напряжение сдвига*Вес погруженного агрегата*tan((Угол внутреннего трения*pi)/180))/(Насыщенный вес единицы*tan((Угол наклона*pi)/180))

Масса погруженной установки с учетом запаса прочности

Идти

Вес погруженного агрегата = Фактор безопасности/((tan((Угол внутреннего трения*pi)/180))/(Насыщенный вес единицы*tan((Угол наклона*pi)/180)))

Коэффициент запаса прочности с учетом веса подводной единицы

Идти

Фактор безопасности = (Вес погруженного агрегата*tan((Угол внутреннего трения*pi)/180))/(Насыщенный вес единицы*tan((Угол наклона*pi)/180))

Масса погруженного устройства с учетом прочности на сдвиг

Идти

Вес погруженного агрегата = (Прочность на сдвиг грунта/Напряжение сдвига)/((tan((Угол внутреннего трения)))/(Насыщенный вес единицы*tan((Угол наклона))))

Напряжение сдвига при заданном весе погруженной единицы

Идти

Напряжение сдвига = Прочность на сдвиг грунта/((Вес погруженного агрегата*tan((Угол внутреннего трения)))/(Насыщенный вес единицы*tan((Угол наклона))))

Компонент напряжения сдвига, заданный удельным весом насыщения

Идти

Напряжение сдвига = (Насыщенный вес единицы*Глубина призмы*cos((Угол наклона*pi)/180)*sin((Угол наклона*pi)/180))

Эффективное нормальное напряжение при насыщенном единичном весе

Идти

Эффективный нормальный стресс = ((Насыщенный вес единицы—Удельный вес жидкости)*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Удельный вес воды при эффективном нормальном напряжении

Идти

Удельный вес жидкости = Насыщенный вес единицы-(Эффективный нормальный стресс/(Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2))

Масса погружного агрегата с учетом восходящей силы

Идти

Вес погруженного агрегата = (Нормальный стресс—Восходящая сила)/(Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Нормальная составляющая напряжения при заданном весе погруженного устройства и глубине призмы

Идти

Нормальный стресс = Восходящая сила+(Вес погруженного агрегата*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Восходящая сила из-за оттока воды с учетом веса погруженной установки

Идти

Восходящая сила = Нормальный стресс-(Вес погруженного агрегата*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Вес грунтовой призмы с учетом массы насыщенной единицы

Идти

Вес призмы = (Насыщенный вес единицы*Глубина призмы*Наклонная длина*cos((Угол наклона*pi)/180))

Наклонная длина призмы при насыщенном единичном весе

Идти

Наклонная длина = Вес призмы/(Насыщенный вес единицы*Глубина призмы*cos((Угол наклона*pi)/180))

Эффективное нормальное напряжение с учетом запаса прочности

Идти

Эффективный нормальный стресс = Фактор безопасности/((tan((Угол внутреннего трения*pi)/180))/Напряжение сдвига)

Коэффициент запаса прочности при эффективном нормальном напряжении

Идти

Фактор безопасности = (Эффективный нормальный стресс*tan((Угол внутреннего трения*pi)/180))/Напряжение сдвига

Эффективное нормальное напряжение при заданном весе погруженной единицы

Идти

Эффективный нормальный стресс = (Вес погруженного агрегата*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Масса погруженной единицы с учетом эффективного нормального напряжения

Идти

Вес погруженного агрегата = Эффективный нормальный стресс/(Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Вертикальное напряжение на призме при насыщенном единичном весе

Идти

Вертикальное напряжение в точке = (Насыщенный вес единицы*Глубина призмы*cos((Угол наклона*pi)/180))

Компонент нормального напряжения с учетом веса насыщенного блока

Идти

Нормальный стресс = (Насыщенный вес единицы*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Удельный вес воды с учетом восходящей силы из-за просачивающейся воды

Идти

Удельный вес жидкости = Восходящая сила/(Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Восходящая сила из-за оттока воды

Идти

Восходящая сила = (Удельный вес жидкости*Глубина призмы*(cos((Угол наклона*pi)/180))^2)

Эффективное нормальное напряжение, создаваемое восходящей силой из-за просачивающейся воды

Идти

Эффективный нормальный стресс = Нормальный стресс—Восходящая сила

Компонент нормального напряжения с учетом эффективного нормального напряжения

Идти

Нормальный стресс = Эффективный нормальный стресс+Восходящая сила

Восходящая сила из-за оттока воды при эффективном нормальном напряжении

Идти

Восходящая сила = Нормальный стресс—Эффективный нормальный стресс

Источник

Определение призмы

Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.

Такие параллелограммы в призме называются боковыми.

Онлайн-калькулятор объема призмы

Призмы разделяют на некоторые типы:

Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
Пентапризма — пятиугольная призма.

Деление, в общем, продолжается до бесконечности.

Виды призм

Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.

Формула объема призмы

Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.

Объем призмы

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.

Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.

Задача

Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.

Решение

a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10

Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,

где ll — высота равнобедренного треугольника.

Отсюда:

l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2

l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}

l=25−9l=sqrt{25-9}

l=4l=4

Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:

S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12

В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:

S=SоснS=S_{text{осн}}

Тогда объем призмы найдется по формуле:

V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3

Ответ

120 см3.120text{ см}^3.

На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!

Тест по теме «Объем призмы»

Источник

2018-10-20

Полая прямая призма, сделанная из тонкого прочного листового материала, имеет высоту $L$, а ее основания представляют собой равнобедренные треугольники с углом $2 alpha$ между боковыми сторонами. У призмы аккуратно удалили боковую грань, лежащую напротив угла $2 alpha$, и поставили призму на гладкий стол так, что упомянутый угол оказался сверху (основание призмы лежит в плоскости рисунка, ее высота перпендикулярна плоскости рисунка). Вблизи оказавшегося сверху угла проделали маленькое отверстие, и начали медленно заливать через него внутрь призмы воду плотностью $rho$. В момент, когда уровень воды в призме достиг высоты $h$, вода начала вытекать из-под призмы. Найдите массу $m$ призмы с удаленной гранью, считая, что давление $P_{0}$ воздуха над водой в призме и снаружи одинаково и равно атмосферному.

Решение:

Силу тяжести, действующую на сосуд, должна уравновешивать сила давления на стенки сосуда со стороны воды. Найдём модуль силы давления $Delta F$, действующей на часть одной из стенок сосуда малой высотой $Delta x$, находящуюся на глубине $x$ (см. рис.):

$Delta F = frac{ rho gx L Delta x }{ cos alpha}$,

Проекция этой силы на вертикальную ось X равна

$Delta F_{x} = — rho gxL Delta x tg alpha$.

Чтобы найти проекцию $F_{x}$ полной силы, действующей на стенку, нужно просуммировать проекции сил, действующих на все участки, лежащие на глубинах от 0 до $h$. Это всё равно, что найти площадь под графиком зависимости $Delta F_{x}/ Delta x$ от $x$. Поскольку этот график линейный с угловым коэффициентом $rho g L tg alpha$, то

$F_{x} = — rho gL tg alpha frac{h^{2} }{2}$.

Осталось учесть, что у сосуда есть две стенки, и приравнять нулю сумму силы тяжести $m_{min}g$ и проекции силы давления $F_{x}$:

$m_{min}g + 2F_{x} = 0$, откуда $m_{min} = rho Lh^{2} tg alpha$.

Источник

Что такое призма

Призма

Призма — это трехмерное геометрическое тело с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Название зависит от фигуры, которая лежит в ее основании. Например, если это треугольник, призму называют «треугольной».

Эта объемная фигура может быть нескольких видов:

Прямая. То есть с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.
Правильная. В основании лежит правильный многоугольник.
Наклонная. Ее ребра расположены под углом к основанию.

Формулы вычисления объема правильной призмы

Правильные призмы могут быть разных видов, в зависимости от многоугольника, который лежит в их основании. Формула вычисления объема во всех случаях выглядит одинаково:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(V=Scdot h)

Разница лишь в том, каким образом находится площадь S для каждой из фигур.

Треугольная

Треугольная призма

Чтобы вычислить объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник, используем формулу:

(V=frac{sqrt3}4cdot a^2cdot h)

Где (frac{sqrt3}4cdot a^2=S) — площадь правильного треугольника в основании, a — сторона треугольника, h — высота всей фигуры.

Четырехугольная

Четырехугольная призма

Для фигуры, в основании которой лежит квадрат, используем следующую формулу для вычисления объема:

(V=a^2cdot h)

Где a — сторона квадрата.

Пятиугольная

Пятиугольная призма

В этом случае объем будет вычисляться по формуле:

(V=frac52cdot acdotsqrt{left(frac a{2sinleft({displaystylefracpi5}right)}right)^2-frac{a^2}4}cdot h\)

Шестиугольная

Шестиугольная призма

Для призмы с правильным шестиугольником в основании формула объема выглядит так:

(x = V=frac{3sqrt3}2cdot a^2cdot h\)

Объем наклонной и прямой

Он находится через произведение площади основания на высоту:

(V=Scdot h\)

Таким образом, формула вычисления объема совпадает с предыдущими вариантами и зависит лишь от фигуры в основании.

С прямой призмой все то же самое. Сначала нужно вычислить площадь ее основания, а потом умножить на высоту.

Примеры задач

Задача № 1

Известно, что площадь основания призмы равна 12 (см^2), а длина ее высоты — 5 см. Вычислить объем фигуры.

Решение:

Так как уже дана площадь основания, нам не важно какая фигура лежит в основании. Подставляем известные значения в формулу:

(V=Scdot h=12cdot5=60 ) (см^3)

Ответ: V=60 (см^3.)

Задача № 2

В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами a и b по 6 см и 3 см. Высота данной фигуры равна 10 см. Рассчитать ее объем.

Решение:

Так как сначала для вычисления объема нам нужно определить площадь четырехугольника, будем использовать уравнение: (V=acdot bcdot h)

Подставляем значения: (V=6cdot3cdot10=180) (см^3)

Ответ: V=180 (см^3.)

Источник