Как найти внешние углы правильного n угольника

Варианты определений[ | ]

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник
  ; в этом случае сама ломаная называется
  контуром
  многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.[1]

Свойства углов правильного n – угольника

Связанные определения[ | ]

Основной источник: [2]

• Вершины многоугольника называются соседними
  , если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными
  , если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром
  .
• Диагоналями
  называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом
  (или
  внутренним углом
  ) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом
  выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника
  внешний угол
  — разность между 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} и внутренним углом, он может принимать значения от − 180 ∘ {displaystyle -180^{circ }} до 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} .
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Свойства углов треугольника

Виды многоугольников и их свойства[ | ]

Основной источник: [2]

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n {displaystyle n} вершинами называется n {displaystyle n} -угольником
  .

Многоугольник, вписанный в окружность Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник
  — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным
  , если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного n {displaystyle n} -угольника равен { n } {displaystyle {n}} .
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником
  , например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным
  в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным
  около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным
  около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.[3] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Простейшие четырёхугольники

Любой многоугольник, который состоит из четырёх углов, называют четырёхугольным. Он относится к простейшим геометрическим телам. Если о нём ничего не известно, его считают произвольным, то есть фигурой, у которой нет особенных углов или сторон. В другом случае четырёхугольники имеют собственные названия.

Наиболее часто приходится сталкиваться со следующими видами:

• прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равняются 900;
• ромб — фигура с четырьмя сторонами одинаковой длины;
• квадрат — многоугольник, удовлетворяющий одновременно условиям ромба и прямоугольника.

Для всех этих видов характерно, что каждая из фигур имеет 2 пересекающиеся диагонали. Причём точка их соприкосновения делит отрезок на 2 равные части. Кроме этого, для прямоугольника и квадрата длина одной диагонали равна другой. Если у четырёхугольного прямоугольника обозначить стороны a и b, противоположные им грани также будут a и b.

Каждый отрезок, образующий многоугольник, имеет свою длину. При их сложении получается периметр фигуры. Для его обозначения используют заглавную латинскую букву P. Например, если есть многоугольник, образованный сторонами AB, BC, CA, его периметр будет равняться: Pabc = AB + BC + CA. Можно обратить внимание, что количество углов соответствует числу сторон, складываемых для нахождения P. Это важный параметр, позволяющий оценить размер фигуры.

Из-за особенностей прямоугольника формулу для расчёта периметра можно переписать так: P = 2*(a + b). В то же время площадь такой фигуры находится путём простого перемножения примыкающих сторон: S = a*b. Параметры квадрата можно вычислить, зная длину только одной стороны. Всё дело в том, что длины отрезков, из которых он состоит, равны друг другу, поэтому для квадрата периметр находится как P = 4*a, а площадь: S = a*a = a2.

Прямая четырёхугольная фигура является частным случаем ромба. А значит, что все формулы, указанные для квадрата, справедливы и при применении к нему. Следует отметить, что площадь ромба может быть найдена и как половина произведения его диагоналей.

Общие свойства[ | ]

Теорема о сумме углов многоугольника[ | ]

Сумма внутренних углов простого плоского n {displaystyle n} -угольника равна[4] 180 ∘ ( n − 2 ) {displaystyle 180^{circ }(n-2)} . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна 360 ∘ . {displaystyle 360^{circ }.}

Число диагоналей[ | ]

• Число диагоналей всякого n {displaystyle n} -угольника равно n ( n − 3 ) 2 {displaystyle {tfrac {n(n-3)}{2}}} .

Площадь[ | ]

Пусть { ( X i , Y i ) } , i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n {displaystyle n} -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | {displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})right|} , где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) {displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [5].

Площадь правильного n {displaystyle n} -угольника вычисляется по одной из формул[6]:

• половина произведения периметра n {displaystyle n} -угольника на апофему:

• S = n 4 a 2 ctg ⁡ π n {displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}mathop {mathrm {} } ,operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}} .

• S = 1 2 n R 2 sin ⁡ 360 ∘ n ; {displaystyle S={frac {1}{2}}nR^{2}sin {frac {360^{circ }}{n}};}

• S = n r 2 t g π n {displaystyle S=nr^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}

где a {displaystyle a} — длина стороны многоугольника, R {displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур[ | ]

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F {displaystyle F} называется квадрируемой

, если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует пара многоугольников P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} , таких, что P ⊂ F ⊂ Q {displaystyle Psubset Fsubset Q} и S ( Q ) − S ( P ) < ε {displaystyle S(Q)-S(P)<varepsilon } , где S ( P ) {displaystyle S(P)} обозначает площадь P {displaystyle P} .

Теорема об углах

Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Чтобы узнать, какой из них приходится рассматривать в том или ином случае, можно сделать следующее. Через каждую сторону провести прямую. Если по отношению к любой из них фигура будет лежать в одной полуплоскости относительно неё, многоугольник считается выпуклым, в ином случае — вогнутым.

Для первого типа существуют важные соотношения. Пусть имеется произвольный многоугольник. Интерес представляет сумма всех его углов. Посчитать её можно следующим образом. Нужно взять любую вершину и соединить её со всеми оставшимися прямой линией. В результате получится несколько треугольников. Затем нужно посчитать их количество. Например, в шестиугольнике их будет 4, восьмиугольнике — 6. Это число легко находится, так как существует правило, согласно которому в любой n-угольной фигуре можно построить n-2 треугольника.

В каждом треугольнике сумма углов равняется 180 градусов. Отсюда следует, что искомая сумма будет равняться 1800 * (n — 2). Например, для восьмиугольного она равняется 180 * (8 — 2) = 10800. Для многоугольника можно вести понятие внешнего угла.

К любой вершине можно построить 2 таких смежных угла. Если взять каждый из них, то их сумма будет равняться: a1 + a2 +…+ an = 3600. Доказать это можно так. Угол a1 равняется (180 — ∠A1), a2 = (180 — ∠A2) и так далее. Таких слагаемых будет n штук. Тогда можно записать, 180 * n — 180 * (n — 2) = 180 * 2 = 360. Таким образом, сумма всех внешних углов равняется 3600.

Лучше всего понять сказанное можно, рассмотрев пример, рассчитанный на учащихся средней школы. Пусть есть правильный шестиугольник. Нужно определить его угол. У такой фигуры все стороны, а значит и углы равны. Для начала следует определить их сумму. Она будет равняться 180 * (4−2) = 1800 * 4 = 7200. Но так как это шестиугольник, результат необходимо поделить на 6. Таким образом, искомый угол правильной фигуры будет равняться 120 градусам.

Примечания[ | ]

1. ↑ 123
   Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752.
2. ↑ 123
   Элементарная математика, 1976, с. 383—384.
3. Картаслов.ру
4. Элементарная математика, 1976, с. 499.
5. Хренов Л. С.
   Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15
6. Элементарная математика, 1976, с. 503—504.

Свойства углов многоугольника

Построение

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Первый шаг в построении 65537-угольника

Число 65 537 — это самое большое известное простое число Ферма:

65537 = 2 2 4 + 1 {displaystyle 65537=2^{2^{4}}+1} .

Гауссом в 1796 году было доказано, что правильный n

-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители
n
являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц[2] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[3].
Дж. Литлвуд

Примечания

1. «В сложных словах, начинающихся составным числительным свыше 1000, название первого числа в составе сложного слова остаётся неизменным, а все остальные названия чисел ставятся в род. п. в соответствии с правилами согласования: пятьтысячдевятисотдолларовый чек
   ,
   четыретысячидевятисотдолларовый
   ,
   дветысячивосьмисотдолларовый
   и т. д.» (
   Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П.
   Грамматическая правильность русской речи. Опыт частотно-стилистического словаря вариантов / Под ред. С. Г. Бархударова, И. Ф. Протченко, Л. И. Скворцова. — М.: Наука, 1976. — С. 269. — 456 с.).
2. Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse3
   : 170–186. (нем.)
3. Дж. Литлвуд.
   Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4.