Внешний угол треугольника
- Сумма внешних углов
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:
Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:
∠1 + ∠4 = 180°.
Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:
∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
Из этого следует, что
∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠4.
Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:
∠1 = ∠2 + ∠3.
Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Сумма внешних углов
Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°
Рассмотрим треугольник ABC:
Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:
(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.
Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.
Внешний угол треугольника
Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?
Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.
Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.
∠3 — внешний угол при вершине А,
∠2 — внешний угол при вершине С,
∠1 — внешний угол при вершине В.
Сколько внешних углов у треугольника?
При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.
Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):
Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.
Чему равен внешний угол?
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.
∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.
Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем в геометрии 7 класса – о внешнем угле треугольника. Также разберем примеры решения задач, чтобы закрепить представленный материал.
Определение внешнего угла
Для начала вспомним, что такое внешний угол. Допустим у нас есть треугольник:
Смежный с внутренним углом ( λ ) треугольника угол при той же вершине является внешним. На нашем рисунке он обозначен буквой γ .
-
сумма данных углов равна 180 градусам, т.е. γ + λ = 180° (свойство внешнего угла);
Формулировка теоремы
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Из данной теоремы следует, что внешний угол треугольника больше любого из несмежных с ним внутренних углов.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник, в котором известны значения двух углов – 45° и 58°. Найдите внешний угол, смежный с неизвестным углом треугольника.
Решение
Воспользовавшись формулой теоремы получаем: 45° + 58° = 103°.
Задание 1
Внешний угол треугольника равен 115°, а один из несмежных с ним внутренних углов – 28°. Вычислите значения оставшихся углов треугольника.
Решение
Для удобства будем использовать обозначения, указанные на рисунках выше. Известный внутренний угол примем за α .
Исходя из теоремы: β = γ – α = 115° – 28° = 87° .
Угол λ является смежным с внешним, а значит вычисляется по следующей формуле (следует из свойства внешнего угла): λ = 180° – γ = 180° – 115° = 65° .
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
Пусть — внешний угол при вершине .
Зная , найдем по формуле
2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vneshnij-ugol-treugolnika/
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 
.
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине 
— это угол, смежный с углом 
. Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
1. В треугольнике 
угол 
равен 
, 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине 
.
Пусть 
— внешний угол при вершине .
Зная 
, найдем 
по формуле:
Получим: 
2. В треугольнике угол равен , 
. Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , 
. Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен 
.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.05.2023
Внешний угол треугольника
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 126.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 126.
Внешний угол треугольника – это тема, которая помогает воспринимать треугольник комплексно. При изучении внешних углов, учении понимает, что можно использовать дополнительные построения для облегчения решении задачи.
Угол
Что такое угол? Угол – это два луча с началом в одой точке. Величиной угла зовется степень поворота одного луча относительно другого. Минимальный угол получится при совпадении двух лучей. Такой угол считается нулевым. Углы бывают полными, развернутыми, прямыми, острыми и тупыми.
Смежные и вертикальные углы
Для понимания темы внешнего угла нужно обговорить понятия смежных и вертикальных углов. Вертикальными углами зовутся углы, стороны которых являются продолжением друг друга. Такие угла всегда равны. При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов.
Смежными углами зовутся углы, одна из сторон которых является продолжением другой, а вторая является общей. Два таких угла вместе образуют развернутый угол в 180 градусов. Значит, сумма смежных углов равняется 180 градусам.
Вертикальные углы часто используются в доказательствах, а смежные можно применять при решении задач с дополнительным построением.
Внешний угол
Внешний угол существует не только у треугольника. Такой угол можно достроить к любой фигуре. Для этого необходимо продолжить одну из сторон фигуры, тогда другая сторона образует с этим продолжением два смежных угла.
В любой вершине фигуры всегда пересекается 2 стороны. Значит, можно получить две прямые, которые являются продолжением этих сторон и внешних углов при каждой вершине может быть 2.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника единственный из всех внешних углов обладает набором специфических свойств, которые могут помочь в решении задач.
Но прежде всего, стоит сказать, что редко когда в решении вам понадобятся два внешних угла при одной вершине. Это особо сложные, зачастую олимпиадного уровня, задачи. Поэтому в общем случае, не стоит загромождать чертеж и строить две пары смежных углов.
Теперь перечислим свойства внешних углов треугольника:
- Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Это свойство используется чаще прочих и поэтому считается основным свойством внешнего угла. Но есть и другие.
- Сумма трех внешних углов, по одному при каждой из вершин треугольника равняется 360 градусам.
- Если построить два смежных угла при одной вершине, то они будут вертикальны.
Что мы узнали?
Мы досконально разобрали тему внешнего угла треугольника. Разделили понятие смежных и вертикальных углов, указали, какой из углов для внешнего угла будет смежным, а какой вертикальным. Поговорили об известных и неизвестных свойствах внешнего угла и обсудили особенности построения внешних углов в треугольнике.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Кирилл Грехов
5/5
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 126.
А какая ваша оценка?
Содержание:
- Определение внешнего угла треугольника
- Свойства внешних углов треугольника
- Примеры решения задач
Определение внешнего угла треугольника
Определение
Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними.
Например, для $angle A$, внешними будут углы $angle 1$ и $angle 2$ (см. рис.)
Свойства внешних углов треугольника
- Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{circ}$.
- Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна $180^{circ}$.
-
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
$$angle 1=angle B+angle C$$
Примеры решения задач
Пример
Задание. В треугольнике $Delta M N K$, внешний угол $angle M$ равен $120^{circ}$,
а угол $angle N=65^{circ}$. Найти угол $angle K$.
Решение. По теореме о внешнем угле
$angle M=angle N+angle K$. Подставляя в это равенство исходные данные, получим
$$120^{circ}=65^{circ}+angle K$$
Выразим $angle K : angle K=120^{circ}-65^{circ} Rightarrow angle K=55^{circ}$
Ответ. $angle K=55^{circ}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Внешние углы при двух вершинах треугольник равны $70^{circ}$ и $150^{circ}$.
Найти внутренний угол при третьей вершине.
Решение. Обозначим внешние углы $angle 1, angle 2, angle 3$, а соответствующие им
внутренние — $alpha, beta, gamma$.
По условию $angle 1=150^{circ}$ и $angle 2=70^{circ}$. По свойству внешних углов, их сумма,
взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{circ}$. То есть
$$angle 1+angle 2+angle 3=360^{circ}$$
Выразим из этого равенства неизвестный угол $angle 3$
$$angle 3=360^{circ}-angle 1-angle 2$$
$$angle 3=360^{circ}-150^{circ}-70^{circ}$$
$$angle 3=140^{circ}$$
Тогда искомый внутренний угол можно найти из условия, что сумма внутреннего и внешнего углов равна
$180^{circ}$, то есть $gamma+angle 3=180^{circ}$, тогда:
$$gamma=180^{circ}-angle 3$$
$$gamma=180^{circ}-140^{circ}=40^{circ}$$
Ответ. $gamma=40^{circ}$
Читать дальше: что такое медиана треугольника.