Как найти внешний угол выпуклого многоугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Определение

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

Например, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n},]$

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

∠1 = ∠2 (как вертикальные).

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

Теорема

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

Дано:

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

— выпуклый многоугольник,

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

$[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}]$

Доказать:

$[angle 1 + angle 2 + angle 3 + ... + angle n = {360^o}.]$

Доказательство:

$[angle 1 + angle {A_1} = {180^o}]$

(как смежные).

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

Следовательно, сумма всех внешних углов

$[angle 1 + angle 2 + angle 3 + ... + angle n = {180^o} cdot n - {180^o}(n - 2) = ]$

$[ = {180^o} cdot n - {180^o} cdot n + {360^o} = {360^o}.]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Четырехугольники
Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рис.1 многоугольник М₁ является выпуклым многоугольником, а многоугольник М₂ — невыпуклым.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Рассмотрим выпуклый n-угольник (рис.2,). А_nА₁А₂, А₁А₂А₃, …, А_n-1А_nА₁ — углы этого многоугольника. Найдем их сумму.

Соединим вершину А₁ диагоналями с другими вершинами (рис.2, б). В итоге получим n-2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180⁰, поэтому сумма углов многоугольника А₁А₂…А_n равна (n-2)180⁰.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2)180⁰.

Примечание: Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n — 2)180⁰.

Внешний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — угол, смежный с углом многоугольника. На рис.3 угол OAB внешний угол многоугольника АВСDE смежный с углом ВАЕ.

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А₁А₂…А_n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

180⁰ — А₁ + 180⁰ — А₂ + … + 180⁰ — А_n = n180⁰ — (A₁ + A₂ + … + A_n) = n180⁰ — (n-2)180⁰ = n180⁰ — n180⁰ + 2180⁰ = 360⁰.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360⁰.

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 371,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 378,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 3,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 517,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 812,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 860,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1129,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1271,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов
Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

s = 4d,

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Источник

Внутренний угол многоугольника – это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника – это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

где s – это сумма углов, 2d – два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n – количество сторон.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

где s – это сумма внешних углов, 4d – четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

Например, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

Дано :

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Следовательно, сумма всех внешних углов

Что и требовалось доказать .

Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

Определение многоугольника

Рассмотрим n отрезков

[A₁ A₂], [A₂ A₃], … , [A_n A_{n +1}]

(1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Определение 1 . Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L , составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

В случае, когда точки A₁ и A_{n +1} совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Определение 2 . Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию ( звенья ), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Определение 3 . Многоугольник называют n – угольником , если он имеет n сторон.

Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником , многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

Величину, равную половине периметра, называют полупериметром .

Диагонали n — угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Фигура	Рисунок	Описание
Диагональ многоугольника		Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины		Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника

Диагональ многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными , если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Свойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Углы треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Свойства углов многоугольника

Фигура
Рисунок
Формулировка теоремы

Углы
n – угольника

Сумма углов многоугольника равна

Внешние углы
n – угольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Углы n – угольника

Сумма углов многоугольника равна

Внешние углы n – угольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Свойства углов правильного n – угольника

Фигура
Рисунок
Формулировка теоремы

Углы правильного
n – угольника

Все углы правильного n – угольника равны

Внешние углы
правильного
n – угольника

Все внешние углы правильного
n – угольника равны

Углы правильного n – угольника

Все углы правильного n – угольника равны

Внешние углы правильного n – угольника

Все внешние углы правильного
n – угольника равны

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1 . В любом треугольнике сумма углов равна 180° .

Доказательство . Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE . Поскольку углы ABD , ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180° . Теорема доказана.

Теорема 2 . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство . Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC . Теорема доказана.

Замечание . Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3 . Сумма углов n – угольника равна

Доказательство . Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Получим n треугольников:

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O . Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° .

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Источник