Как найти внутренний силовой фактор

Внутренние
силовые факторы

В процессе
деформации бруса, под нагрузкой происходит
изменение взаимного расположения
элементарных частиц тела, в результате
чего в нем возникают внутренние силы.
По своей природе внутренние силы
представляют собой взаимодействие
частиц тела, обеспечивающее его
целостность и совместность деформаций.
Для определения этих сил применяют
метод сечений: надо мысленно рассечь
брус, находящийся в равновесии, на две
части и рассмотреть равновесие одной
из них.

Под действием
внешних нагрузок в поперечном сечении
бруса возникают следующие внутренние
силовые факторы (рис. 2.1):

Nz = N —
продольная растягивающая (сжимающая)
сила

Mz = T — крутящий
(скручивающий) момент

Qx (Qy) = Q —
поперечные силы

Mx (My) = M —
изгибающие моменты

Каждый
внутренний силовой фактор определяется
из соответствующего уравнения равновесия
оставшейся после рассечения бруса части
(уравнения статики):

5. Виды нагружений. Понятие напряжения

Основные
виды нагружения

При простейших
случаях нагружения бруса в его поперечных
сечениях возникает один внутренний
силовой фактор (Рис. 2.2).

Если в
поперечном сечении бруса имеет место
только внутренняя продольная сила N,
такая деформация называется
растяжением/сжатием;

Если в
сечении бруса возникает только внутренний
крутящий момент T, то такая деформация
называется кручением (скручиванием);

Изгиб — вид
нагружения, при котором в поперечных
сечениях бруса действует изгибающий
момент M.

Случай,
когда в поперечных сечениях бруса есть
только поперечная сила Q называется
сдвиг.

Понятие о
напряжениях в точке

На основании
допущения о сплошности тела можно
считать, что внутренние силы непрерывно
распределены по всему сечению. Выделим
в произвольной точке малую площадку
ΔA, а равнодействующую внутренних сил
на этой площадке обозначим ΔR.

Отношение

представляет
собой среднее напряжение на данной
площадке. Если площадку ΔA уменьшить,
то в пределе получим полное напряжение
в точке

Полное
напряжение р может быть разложено на
три составляющие: по нормали к плоскости
сечения и по двум осям в плоскости
сечения. Проекция вектора полного
напряжения р на нормаль обозначается
через σ и называется нормальным
напряжением. Составляющие в плоскости
сечения называются касательными
напряжениями и обозначаются τ . В
зависимости от расположения и наименования
осей обозначения σ и τ снабжаются
системой индексов.

6, Закон Гука.

Зако́н
Гу́ка — уравнение теории упругости,
связывающее напряжение и деформацию
упругой среды

Для тонкого
растяжимого стержня закон Гука имеет
вид:

Здесь F— сила, которой растягивают (сжимают)
стержень,— абсолютное удлинение (сжатие) стержня,
аk— коэффициент упругости
(или жёсткости).

Можно
выделить зависимость от размеров стержня
(площади поперечного сечения и длины
L) явно, записав коэффициент
упругости как

Величина
Eназывается модулем
упругости первого рода или модулем Юнга
и является механической характеристикой
материала.

Если
ввести относительное удлинение e

и нормальное
напряжение в поперечном сечении

то закон
Гука в относительных единицах запишется
как

В такой
форме он справедлив для любых малых
объёмов материала.

Также при
расчёте прямых стержней применяют
запись закона Гука в относительной
форме

Следует
иметь в виду, что закон Гука выполняется
только при малых деформациях. При
превышении предела пропорциональности
связь между напряжениями и деформациями
становится нелинейной. Для многих сред
закон Гука неприменим даже при малых
деформациях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #

  28.03.201514.85 Mб19История. Методичка.pdf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1. Метод сечений. Внутренние силовые факторы

Внешние силы стремятся разрушить конструкции или узлы, а внутренние силы противодействуют этому.

Рассмотрим произвольный брус, нагруженный самоуравновешенной системой сил (рис. 1.1):

Рис. 1.1 Приведение внешних нагрузок

Чтобы найти внутренние силы воспользуемся методом сечений РОЗУ (рис. 1.2).

Р – разрезаем произвольной плоскостью на А и В.

О – отбрасываем  одну из этих частей, например, В (рис. 1.2а). Рассмотрим оставшуюся часть(рис. 1.2б).

З – заменяем. Внутренние силы мы заменяем главным вектором и главным моментом.

Рекомендуемые материалы

Рис. 1.2 Метод сечений РОЗУ

Раскладываем главный вектор и главный момент в плоскости на оси (рис. 1.2в).

Внутренние силовые факторы:

Q_x, Q_y – вызывают сдвиг – перерезывающие поперечные силы;

N – нормальная продольная шина, растяжение, сжатие бруса;

М_z – крутящий момент;

М_x, М_y – изгибающий момент (рис. 1.2в).

В  общем случае нагружения в сечении действуют 6 внутренних факторов. График изменения внутреннего фактора при передвижении вдоль оси стержня называется – эпюрой.

У – уравновешиваем.

1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней

Построение эпюр нормальных сил N

Правило знаков для N имеет физический смысл: нормальная сила является положительной, если вызывает растяжение бруса, отрицательной – если сжатие.

Пример 1 (рис. 1.3).

Если на стержень действуют силы, приложенные вдоль его оси, то он находится в условиях растяжения и остается только один внутренний фактор N.

Рис. 1.3 Стержень

Порядок построения эпюр:

1. Определяем реакции опор.

2. Разбиваем стержень на участки.

Участок – часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

3. Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.

4. Строим график (эпюру) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил

Эпюра – график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.

Внутренний фактор – равнодействующая внутренних сил.

N_z2 = P-3P = -2P

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Построить эпюру нормальных сил N.

q – интенсивность равномерно – распределенной нагрузки.

Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.

Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил

Построим эпюру нормальных сил

1.2 Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.

Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).

Стержень, в основном  работающий на кручение, называется валом.

Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).

Пример (К — 1)

Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).

Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов

Пример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).

Рис.1.10 Построение эпюры крутящих моментов

1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

Балка –  стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Вал – стержень в основном работающий на кручение.

Виды опор:

Шарнирно-подвижная опора – опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).

Рис.1.11 Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора – опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).

Рис.1.12 Шарнирно-неподвижная опора

Заделка (жесткое защемление) – опора, в которой могут быть: вертикальная и горизонтальная реакции и опорный момент (рис.1.13).

Рис.1.13 Заделка

1.3.1 Правило знаков для Q

1.3.2 Правило знаков для М

Эпюру для М строят на сжатых волокнах.

Пример (Э-3)

Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки (рис. 1.14).

Рис. 1.14 Расчетная схема

Дано:

Р=0,5qa

M=0,5qa²

Решение:

Вычислим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.

Y:     R_A-P-q·2a+R_B=0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна  

откуда

Сумма моментов всех сил относительно точки В равна  

Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий

Внутренние усилия на втором участке равны

На третьем участке

Внутренние усилия на четвертом участке равны

Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.

Ещё посмотрите лекцию «Содержание и литература» по этой теме.

Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M

Метод сечений. Силовые факторы в методе сечений

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой упругости или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений.

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N — продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим):

.

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов

продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z;

поперечные силы равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y, соответственно;

крутящий момент равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z;

изгибающие моменты равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y, соответственно.